توصيف البيانات عن طريق الإحصاءات الجزء الثاني - صناعة القرار في الأعمال - ثاني ثانوي

الدرس 5 الفصل 9 رابط الدرس www.ien.edu.sa توصيف البيانات عن طريق الإحصاءات ( الجزء الثاني) 1-5 الاختلاف (التشتت) Variability في الدرس السابق، تعلمنا كيف نفهم بطريقة بسيطة مجموعة كبيرة من البيانات باحتساب القيمة المركزية لمجموعة البيانات. وعلى الرغم من كون هذا النوع من التوصيف والشرح للبيانات مفيد جدًّا، ما زال قياس النزعة المركزية لا يعطينا سوى معلومات ناقصة عن البيانات. من المهم وصف مدى الاختلاف بين عناصر مجموعة البيانات. عندما تختلف عناصر مجموعة البيانات عن بعضها بعضًا ، نتحدث عن وجود اختلاف Variability في مجموعة البيانات. ستجد في الشكل التالي ثلاث عينات ويتساوى فيها المتوسط الحسابي والوسيط (المتوسط الحسابي = الوسيط = 45) . هناك اختلافات كبيرة في العيّنة الأولى مقارنة بالعيّنة الثالثة، أما في العينة الثانية فالاختلافات هي أقل مقارنة بالعيّنة الأولى وأكثر مقارنة بالعيّنة الثالثة. عليه فالاختلاف الأكبر هو في العيّنة الثانية والسبب في ذلك هو وجود قيمتين طرفيتين بعيدتين كثيرا عن النقطة الوسطية في هذه العينة. تعريف الاختلاف (التشتت) Variability مدى اختلاف عناصر البيانات في المجموعة عن بعضها البعض. الشكل "9-5" : ثلاث عينات تتفق في نقطة الوسط وتتفاوت في درجة الاختلاف وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 نموذج أ. 20, 40, 50, 30, 60, 70 +o+bo+ + 47, 43, 44, 46, 20, 70. + + + 44, 43, 40, 50, 47, 46. ج. 20 30 40 50 60 70 المتوسط الحسابي = الوسيط الفصل 9 316

في هذا المثال، نلاحظ عدم وصف المتوسط الحسابي والوسيط البيانات وصفًا كاملًا . المتوسط الحسابي هو نفسه الوسيط في العينات الثلاث ( 45 ) ، وعلى الرغم من ذلك نرى بوضوح اختلاف مجموعات البيانات الواحدة عن الأخرى. فإذًا ، من المفيد حيازة مقياس يصف مدى اختلاف = عناصر مجموعات البيانات عن النقطة الوسطية في المجموعة. لمحة سريعة • أبسط قياس رقمي للاختلاف هو النطاق (المدى ) Range. بشكل عام، كلّما كان النطاق أكبر ، كان الاختلاف بين البيانات أكبر. وهنا يجب الانتباه إلى كون مقياس النطاق خاصية نطاق مجموعة مجموعة بيانات كاملة، علمًا بإسهام كل عنصر منها في هذا الاختلاف في العينتين الأوليتين عندما يكون البيانات صغيرًا نسبيًّا، يمكن استخدام النطاق كأداة لتوصيف البيانات. أما عندما يكون مع الموضحتين في المخطط النقطي في الصفحة السابقة، التراوح هو نفسه 70 – 20 = 50، المخطّط العلم بكون درجة الاختلاف أقل في العيّنة الثانية، لاحتساب النطاق باستخدام القيمة الأعلى والقيمة الأدنى في مجموعة البيانات. ولا يُعتبر النطاق أفضل مقياس لدرجة الاختلاف. تعريف = النطاق المدى ) Range: مدى مجموعة البيانات - القيمة الأكبر - القيمة الأصغر نطاق مجموعة • تصف لنا مقاييس الاختلاف الأكثر استخدامًا مدى انحراف عناصر العينة عن المتوسط الحسابي "". عندما نطرح المتوسط الحسابي "" من كل عنصر نحصل على مجموعة الانحرافات عن المتوسط الحسابي Deviations from the mean. البيانات كبيرًا، فيفضَّل استخدام تقنيات أخرى. تعريف الانحراف عن المتوسط الحسابي Deviations from the mean : انحرافات عناصر العينة (x₁ x) عن المتوسط الحسابي لتمثل الاختلافات ) ، .... ( - ) ، ( - ) ( - ، n لاحظ كون الانحراف إيجابيًا في حال كانت قيمة العنصر أعلى من المتوسط الحسابي، وسلبيا في حال كانت قيمة العنصر أقل من المتوسط الحسابي . لمنع الانحرافات السلبية والانحرافات الإيجابية من تعديل بعضها بعضًا، نحولها إلى الصيغة التربيعية قبل إضافتها إلى بعضها بعضًا للحصول على المجموع الكلي. وبهذا تساهم الانحرافات المضادة، سواء أكان الانحراف إيجابيًّا (2) أو سلبيًّا (2) ، بالدرجة نفسها في قياس الاختلاف في البيانات. الانحرافات المربعة هي: (x₁ − x )², (×₂ - x)², ..., (x - x) ² - X, n أما مجموعها فهو: (×₁ − x)² + (×₂ − x)² + ... + (x − x)² = Σ(x − x)² - x - - n - عندما نقسم هذا المجموع على حجم العينة، نحصل على الانحراف المعياري المتوسط. قد هذا المقياس مقياسًا منطقيًّا للاختلاف في البيانات، غير أننا نستخدم قاسمًا أقل بقليل يبدو من (1-n(n. استخدام البيانات لدعم عملية اتخاذ القرآن الـ317 Ministry of Education 2024-1446

لمحة سريعة قد تكون عملية احتساب التباين في العيّنة شاقة بعض الشيء، لا سيما إذا كان حجم العينة يمكن أن تكون كبيرًا . لحسن الحظ، توجد اليوم آلات حاسبة وبرمجيات حاسوبية قادرة على احتساب التباين والانحراف المعياري Variance and standard deviation . يمكن بكلمات غير تقنية، تفسير قيم التباين كبيرة جدًّا في الانحراف المعياري على أنه حجم الانحراف "النموذجي" أو "التمثيلي" عن المتوسط الحسابي بعض مجموعات (انظر الشكل "9-4" ) . البيانات. يُستخدَم الانحراف تعريفان التباين في العينة Deviations from the mean: المشار إليه بـ 2ء ، هو مجموع الانحرافات المعياري بشكل التربيعية عن المتوسط الحسابي مقسومة على عدد العيّنة ناقص واحد (1-n): أكبر كونه يبين الانحراف " النموذجي" Σ(x-x)² 52 = n-1 "I عن المتوسط الانحراف المعياري للعيّنة Variance and standard deviation : هو الجذر التربيعي الإيجابي لحجم التباين في العيّنة، ويشار إليه بحرف s. الحسابي (بدلاً من المقياس الأكبر للتباين الشكل "9-6 : الانحراف المعياري عن المتوسط الحسابي الكلي). 318 الفصل 9 الانحراف المعياري = 5 المتوسط الحسابي = 10 المتوسط الحـ 60 70 80 90 100 10 20 30 40 50 0 تتأثر قيمة التباين بشكل كبير في حال وجود قيمة واحدة كبيرة جدًّا أو صغيرة جدًّا نسبيًّا العيّنة. المدى الربيعي (Interquartile range (iqr مقياس لدرجة الاختلاف في البيانات لا يتأثر بالقيم الطرفية. يُحتسب الانحراف الربيعي بالاستناد إلى كميات تُسمّى بـ "أرباع". الربيع الأدنى Lower quantity هو الربيع الذي يفصل نسبة %25 الصغرى بالبيانات عن نسبة الـ 75% الأعلى، أما الربيع الأعلى Upper quantity فيفصل نسبة الـ 25% الأعلى عن نسبة الـ 75% الأصغر. الربيع الأوسط هو نفسه الوسيط ويفصل الـ 50% الدنيا عن الـ 50% العليا. يبين الشكل "9-7" مواقع هذه الأرباع في مخطط المنحنى التكراري. لک وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تعريفات الربيع الأدنى Interquartile Lower quantity وسيط النصف الأدنى من العينة. الربيع الأعلى Interquartile Upper quantity وسيط النصف الأعلى من العينة (في حال كان حجم العينة رقما فرديَّا ، يُستبعد وسيط العينة الكلية من النصفين عند احتساب الربيع الأدنى والربيع الأعلى). المدى الربيعي (Intergartile range (lar مقياس لدرجة الاختلاف في البيانات لا يتأثر بوجود قيم طرفية، بعكس الانحراف المعياري. يُحتسب الانحراف الربيعي كالآتي: الانحراف الربيعي - الربيع الأعلى - الربيع الأدنى = الشكل "9-7 : الأرباع على مخطّط منحنى تكراري %25 %25 %25 %25 الربيع الأعلى الربيع الأدنى الوسيط 2-5 الارتباط Correlation تُسمّى العلاقة بين متغيّرين أو أكثر الارتباط Correlation . ويمكن للارتباط أن يكون إيجابيًا Positive ، وذلك عندما تتحرك النقاط في مجموعة البيانات بالاتجاه نفسه، أو سلبيًا Negative، وذلك عندما تكون العلاقة بين نقاط البيانات عكسية، أي تتحرك النقاط في اتجاهين معاكسين. يظهر الجدول 9-2 معدل حضور ودرجات اختبارات مجموعة من الطلبة. تجدر الإشارة إلى ارتباط زيادة نجاح الطلبة بزيادة عدد أيام حضورهم إلى المدرسة. الجدول 9-2 : معدل حضور ودرجات اختبارات مجموعة من الطلبة درجات الاختبارات (%) عبد الله مريم محمد على سعد ليلى الحضور (%) الطالب 85 95 67 74 81 83 65 87 91 98 94 91 استخدام البيانات لدعم عملية اتخاذ القرآن الـ319 Ministry of Education 2024-1446

جرب بنفسك الفصل 9 تعريفان الارتباط الإيجابي Positive correlation العلاقة بين متغيّرين يتحركان في الاتجاه نفسه، مثل طول ووزن الشخص. الارتباط السلبي Negative correlation : يُسمّى أيضًا "العلاقة العكسية"؛ متغيّران مرتبطان ببعضهما البعض يتحركان في اتجاهين معاكسين. مثلا ، من المرجح لارتفاع عدد الغيابات عن المدرسة إنتاج انخفاض في درجات الاختبارات. فهم الاختلاف في البيانات: أحجام الرؤوس المواد اللازمة: يحتاج كل فريق إلى شريط قياس. في هذا التمرين ستعملون ضمن مجموعات من 6 إلى 10 أشخاص في كل مجموعة. .1 تختار كل مجموعة قائدًا للفريق. 2. يتولى قائد الفريق أخذ قياس رأس كلّ عضو في فريقه ويدوّن القياس (يُقاس حجم الرأس عند الجزء الأعرض من الجبهة. .3 سجلوا قياسات رؤوس أعضاء الفريق التي أخذها قائد الفريق. .4 بعدها، يقيس كل عضو في الفريق حجم رأس قائد الفريق. لا تفصحوا عن نتيجة القياس للآخرين إلى حين انتهاء أعضاء الفريق من قياس حجم رأس قائد الفريق. ء جميع أعضاء الفريق من قياس حجم رأس قائد الفريق، سجلوا مختلف القياسات .5 بعد انتهاء جميع التي حصلتم عليها. 6. باستخدام البيانات من الخطوة رقم 3 ، ابنوا مخطّطا نقطيًّا بالقياسات التي أخذها قائد الفريق لرؤوس أعضاء الفريق. ومن ثم باستخدام سلم القياس نفسه، ابنوا مخططًا نقطيًّا بمختلف قياسات حجم رأس قائد الفريق الذي أخذها أعضاء الفريق (من الخطوة رقم 5). الآن، استخدم المعلومات المتوفرة أمامك للإجابة عن الأسئلة التالية: .7 هل تعتقد أن حجم رأس قائد الفريق قد تغيّر بين قياس وآخر ؟ اطلب من الأعضاء الآخرين في الفريق مشاركة القياسات التي أخذوها . هل جميع القياسات متشابهة؟ وإن لم تكن كذلك، هل تستطيع أن تشرح سبب هذا الاختلاف؟ أي من مجموعات البيانات فيها اختلافات أكبر بين البيانات - قياسات رؤوس مختلف أعضاء الفريق أو قياسات حجم رأس قائد الفريق؟ اشرح أساس إجابتك. 9. الآن فكر بالسيناريو التالي (هذا السؤال غير إلزامي). فلنفترض قياس مجموعة من 10 أشخاص حجم رؤوس أعضاء المجموعة، بتعيين رقم من 1 إلى 10 لكلّ عضو، وتولّي الشخص الذي أعطي الرقم 1 قياس حجم رأس الشخص الذي أعطي الرقم 2، وتولي الشخص رقم 2 قياس حجم رأس الشخص رقم 3 ، وهكذا دواليك ، حتى يتولى الشخص رقم 10 قياس حجم رأس الشخص رقم .1. هل تعتقد أن قياسات أحجام الرؤوس سوف تكون على درجة اختلاف أعلى أو درجة اختلاف أقل، أو على نفس درجة الاختلاف في ما لو تولّى شخص واحد أخذ قياسات رؤوس أعضاء المجموعة العشرة؟ علل إجابتك. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 320

أسئلة مراجعة اختر الإجابة الصحيحة : .1 تمثل البيانات التالية كلفة الكيلوغرام الواحد لتسعة أنواع مختلفة من التمور (بالريال السعودي): 14.90 15.20 14.70 18.20 17.00 14.10 13.70 16.20 12.90 أ. احسب التباين والانحراف المعياري لهذه المجموعة من البيانات (نصيحة: استخدم جدولًا بيانيًا). ب. إذا أضيف سعر الكيلوغرام من التمور لعلامة تجارية فاخرة، وقيمته 35.00 ريالاً سعوديا، إلى المجموعة، فكيف تتغير قيمة المتوسط الحسابي والانحراف المعياري؟ 2. هذه أسعار ثمانية هواتف جوال حصلت على تصنيف عال في العام 2022 (بالريال سعودي): 3,520 2,250 2,300 1,480 2,100 2,130 2150, 1,730 .أ. احسب التباين والانحراف المعياري. ب. الانحراف المعياري كبير جدًّا ، ماذا يقول لك ذلك عن أسعار هذه الهواتف التي حصلت على تصنيف عال؟ 3. انظر عن كثب في الجدول 9-2"، ستلاحظ إظهار البيانات ارتباطا إيجابيًا بين المتغيّرين ما عدا بيانات طالب واحد، فأي البيانات لا تتناسب مع الارتباط؟ أ. محمد. ب. ليلى. ج. علي. ب. سعد. استخدام البيانات لدعم عملية اتخاذ القران الـ321 Ministry of Education 2024-1446