المحددات وقاعدة كرامر - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa المحددات وقاعدة كرامر Determinants and Cramer's Rule 2-4 فيما سبق: درست حل أنظمة من المعادلات جبريًا. (مهارة سابقة) والآن أحسب المحددات. أحل أنظمة معادلات خطية باستعمال قاعدة كرامر المفردات: المحددة determinant second-order determinant محددة الدرجة الثانية محددة الدرجة الثالثة third-order determinant قاعدة الأقطار diagonal rule مصفوفة المعاملات لماذا؟ لتحديد الإقليم الذي يعيش فيه أحد النمور، قام عالم حيوانات بتتبعه بواسطة جهاز GPS وبعد عدة أيام، تأكد العالم أن الإقليم مثلث الشكل. وأنه من الممكن بعد تحديد إحداثيات رؤوس المنطقة استعمال المصفوفات والمحدّدات لحساب مساحتها. المحددات كل مصفوفة مربعة لها محدّدة، وتسمى محدّدة المصفوفة من النوع 2×2 محدّدة الدرجة الثانية. القطر الرئيسي لمصفوفة مربعة هو: جميع عناصر المصفوفة التي تمتد من الزاوية اليسرى العلوية للزاوية اليمنى السفلى. أو جميع العناصر aij بحيث i=j . مفهوم أساسي محددة الدرجة الثانية a b | الله a b d C التعبير اللفظي: يرمز لمحدّدة المصفوفة بالرموز مثال : أضف إلى مطويتك بالرمز | وقيمتها تساوي حاصل d ضرب عنصري القطر الرئيس مطروحًا منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر. а b = ad - cb C d 5 4 -36 - |= 4(6) − (−3)(5) = 39 مثال 1 محدّدة الدرجة الثانية أوجد قيمة كل محددة فيما يأتي: تعريف محددة الدرجة الثانية بسط تعريف محددة الدرجة الثانية بسط 7 5 LO 9 -4 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس -4-2 المحدّدات وقاعدة كرامر 1 - 283 5 LO∞ -4 8 9 | 3 | -4 9 = 5(9) - 8(-4) = = 45 + 32 = 77 6 −11 9% 0 4 0 6 4 -11 | |=0(−11) — 4(6) = 0 - 24 = −24 - (a (b تحقق من فهمك -6 -7 (18) (1A 10 8 coefficient matrix قاعدة كرامر Cramer's Rule قراءة الرياضيات المحددات: يرمز لمحددة المصفوفة A بالرمز |A|

إرشادات للدراسة قاعدة الأقطار يمكن استعمال قاعدة الأقطار فقط للمصفوفات من الرتبة .3 x 3 تُسمى محددات المصفوفات من الرتبة 33 محدّدات الدرجة الثالثة. ويمكنك حساب هذه المحددات باستعمال قاعدة الأقطار أو باستعمال محددة المصفوفة 2 × 2 . مفهوم أساسي حساب محددة المصفوفة 3 × 3 الطريقة الأولى: باستعمال قاعدة الأقطار خطوة 1 : أعد كتابة العمود الأول والثاني عن يمين المحدّدة. أضف إلى مطويتك ୪ d g e h $ a b e a b d e e g h خطوة 2 : أوجد حاصل ضرب عناصر القطر الرئيس وثلاثيات العناصر على الموازيات المبينة ثم اجمع. خطوة 3 : أوجد حاصل ضرب عناصر القطر الآخر وثلاثيات العناصر على الموازيات المبينة ثم اجمع. کا خطوة 4 : لإيجاد قيمة المحدّدة نطرح ناتج الخطوة 3 من ناتج الخطوة 2 . الطريقة الثانية: باستعمال محدّدة المصفوفة 2 × 2. 84 الفصل 2 المصفوفات e d f d h i g i +c g h حساب محددة المصفوفة 3 × 3 مثال 2 أوجد قيمة | 6 : 4 3 -8 2 -4 5 9 -3 باستعمال قاعدة الأقطار، ثم باستعمال محددة المصفوفة 2 × 2 . أولا : باستعمال قاعدة الأقطار: الخطوة 1 : أعد كتابة العمود الأول والثاني عن يمين 4 3 -8 -3 2 4 -3 6 -4 5 9 -8 2 -4 5 المحدّدة. الخطوة 2: جد حاصل ضرب عناصر الأقطار وموازياتها. 3 4 -8 4 3 -8 -8 -3 2 2 -3 6 2 -4 5 -4 5 -4(2)(3)=-24 5(6)(4) = 120 9(-3)(-8)=216 الخطوة 3 : اجمع نواتج الضرب في كل مجموعة. −24 + 120 + 216 = 312 الخطوة 4 اطرح المجموع الثاني من المجموع الأول. 219312 -93 فتكون قيمة المحددة هي 93 4(2)(9) = 72 -8(6)(-4)=192 3(-3)(5)=-45 72+ 192+(-45) = 219 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

ثانيًا : باستعمال محدّدة المصفوفة 2 × 2 : 4 -8 3 2 6 -3 6 -3 2 -3 2 6 = 4 5 9 - (-8) +3 -4 -4 5 -4 5 9 = 4 × (-12) +8 × (-3) + 3x (-7)=-93 تحقق من فهمك -5 9 4 -2 -1 5 (2A -4 6 2 -8 -4 4 0 -5 -8 (2B 3 4 1 إرشادات للدراسة صيغة المساحة لاحظ أنه يجب أن تستعمل القيمة المطلقة للمقدار A حتى تضمن أن المساحة غير سالبة. تستعمل المحدّدات أيضًا لإيجاد مساحة المثلث . فإذا كانت إحداثيات رؤوس المثلث معلومة، فيمكنك استعمال الصيغة أدناه لإيجاد مساحة المثلث. مفهوم أساسي مساحة المثلث التعبير اللفظي: مساحة المثلث الذي إحداثيات رؤوسه ) ,a, b), (c, d), (e) مثال : هي القيمة المطلقة للمقدار A، حيث: a b 1 A C d 1 e f 1 مساحة المثلث في الشكل المجاور هي: X أضف إلى У (-4,3) (3.1) (-2,-2) الربط مع الحياة يعيش النمر في أقاليم قد تصل مساحتها إلى 100km 2 ، ويحرس النمر إقليمه الذي يعيش فيه ويعرفه بتتبع أثره وأماكن روثه. -4 3 1 3 1 1 A -2 -2 1 حساب مساحة المثلث باستعمال المحددات مثال 3 من واقع الحياة عالم الحيوان : عُد إلى فقرة "لماذا ؟ " بداية الدرس. إذا كانت إحداثيات رؤوس الإقليم الذي يعيش فيه النمر موضحة في الشكل المجاور بالكيلومترات، فاستعمل المحدّدات لإيجاد مساحة الإقليم. (4,12) У a b 1 1 C d 1 2 e f 1 (a, b)=(0, 0) 0 0 1 1 (c, d) = (4, 12) 4 12 1 2 -2 8 1 (e, f) = (-2, 8) 00 4 12 1 4 12 2 8 8 0 0 0 0 4 12 1 4 12 -2 8 0+0+32 32 = -24+0+0 = −24 0 0 1 1 A 4 12 1 2 -2 8 1 قاعدة الأقطار (0, 0) X اجمع نواتج ضرب عناصر الأقطار (-2, 8) قيمة A وزارة التعليم Ministry of Education الدرس -4-2 المحدّدات وقاعدة كرامر 1 - 285

إرشادات للدراسة مساحة المثلث لا تختلف قيمة مساحة المثلث باختلاف ترتيب الرؤوس في المحدّدة، أو بتبديل الصفوف فيها. إرشادات للدراسة المحددات تستعمل المحددات = = (21) [32 - (-24)] = 28 فتكون مساحة الإقليم الذي يعيش فيه النمر هي تحقق من فهمك . 28 km2 بسط (3) خرائط: يقف خالد وسعد ورضوان عند ثلاث نقاط مختلفة على خريطة المدينة التي يسكنونها، فإذا كانت إحداثيات هذه النقاط هي : (11) (6) (3) ، بحيث تمثل كل وحدة على الخريطة 0.5km. ,(4 ,(3)، فما مساحة المنطقة المثلثة التي يقفون عند رؤوسها؟ تسمى المصفوفة التي عناصرها معاملات المتغيرات في نظام معادلات بعدة متغيرات بعد ترتيب النظام مصفوفة المعاملات. قاعدة كرامر يمكنك استعمال المحدّدات لحل أنظمة معادلات، فإذا كانت قيمة المحددة لمصفوفة لتحديد ما إذا كان لنظام المعاملات لا تساوي صفرًا، فإن للنظام حلّا وحيدًا. وإذا كانت قيمة المحدّدة صفرًا، فإما أن يكون للنظام عدد من المعادلات الخطية لانهائي من الحلول أو لا حل له، وهنالك طريقة لحل أنظمة المعادلات الخطية تُسمى قاعدة كرامر حل وحيد أم لا . مفهوم أساسي قاعدة كرامر إذا كانت C مصفوفة المعاملات للنظام فإن حل هذا النظام هو m b n g |C| X و ax + by = m fx + gy = n a m f n ICI ، حيث C = a b f g = y ، وذلك إذا كانت 0 ICI أضف إلى مطويتك وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 5x - 6y=15 3x + 4y = -29 احسب محددة مصفوفة المعاملات m b n g X IC | 15 -6 -29 4 38 || 15(4) (-29)(-6) 60 = -3 ― 38 114 38 - 38 174 إرشادات للدراسة قاعدة كرامر عندما تكون قيمة محددة مصفوفة المعاملات C صفرا، فإنه لا يكون للنظام حل وحيد. مثال 4 حل نظام من معادلتين حل النظام الآتي باستعمال قاعدة كرامر: = 5(4) −(3)(−6) = 38 a m | | f n = 4 53 ICI = قاعدة كرامر عوض احسب المحددات اضرب اجمع واطرح بسط || |C| 5 15 3 -29 38 5(-29) - 3(15) -145 38 - 45 38 190 38 = -5 الفصل 2 المصفوفات 86

أضف إلى مطويتك حل النظام هو : (35) x=-3, y=-5 5(-3) — 6(-5)= 15 بسط x=-3, y=-5 8x5y=70 (4B 9x + 7y = 3 بسط -15+ 3015 ✓15=15 3(-3)+4(-5)=-29 -9-20-29 ✓ −29 = -29 تحقق تحقق من فهمك 7x+3y=37 (4A -5x - 7y = -41 يمكنك استعمال قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات أيضًا. مفهوم أساسي استعمال قاعدة كرامر لحل نظام من ثلاث معادلات ax + by + cz = m jx + ky + llz = p إذا كانت C مصفوفة المعاملات للنظام ، حيث فإن حل هذا النظام هو وذلك إذا كانت 0 C . a b C C=f g j k l m b C h a m C a b m f n h f g n P l j k P y |C| │C ' n g P k |CI l مثال 5 حل نظام من ثلاث معادلات حل النظام الآتي باستعمال قاعدة كرامر 14 = 62 - 4x + 5y 3x-2y+7z = 47 7x6y8z = 15 43 ད |C| = عب محدّدة مصفوفة المعاملات 437 4 5 -6 -2 7 = 621 7 -6 -8 m g b C h P k x = || C -14 5 -6 47 -2 7 15 -6 -8 621 437 a f m C n h j P |C| 4 47 7 7 15 -8 621 3105 1242 وزارة ال عليم 621 = = 621 Ministry of Education الدرس -4-2 المحدّدات وقاعدة كرامر 1 - 287 N II a j 133 1880 b m f g k n P |C| -14 -6 437 LO -14 -2 47 -6 15 621 2484 2 = = 4 621

وعليه يكون حل النظام هو (52) 3(5)-2(-2)+ 7(4) = 47 15+4+2847 ✓ 47=47 4(5)+5(-2)-6(4) ± −14: 2010-24-14 ✓-14-14 7(5) 6(-2)-8(4) 15 35+123215 فلوريدا وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 D ✓ 15 = 15 إرشادات للدراسة تحقق التحقق من الحل للتحقق من الحل تحقق من فهمك 6x+5y+2x= -1 (5B -x + 3y + 7z = 12 5x - 7y - 32 = 52 3x+5y+2x= -7 (5A -4x+3y-5z = -19 5x+4y-7z = -15 -6 8 16 / 2 أوجد قيمة كل محددة مما يأتي: 8 6 5 7 (1 عوض القيم في المعادلات الأصلية. تأكد المثالان 1 الربط مع الحياة مثلث برمودا منطقة جغرافية في المحيط الأطلسي على شكل مثلث متساوي الأضلاع (كل ضلع نحو 1500km)، ومساحته حوالي .1000000 km2 منطقة شهيرة . وهي بسبب مزاعم عن مخاطر وحوادث وقعت فيها ولم يُحَلَّ اللغز حتى الآن. 16 -10 -4 12 (4) (3 -8 5 9 5 2 -3 5 3 -2 2 -4 6 -2 -4 2 -5 (6 (5 4 −1 -6 -3 1 4 -5 -3 4 -2 -4 -3 8 -2 4 ۱۰ 8 4 0 (8 -2 -6 (7 5 -3 6 -4 3 1 5 -2 (10 -1 -8 -3 821 8 2 1 125 346 4 (9 (11) جغرافيا : استعمل الخريطة الإحداثية المجاورة، مثال 3 التي تظهر منطقة مثلث برمودا، للإجابة عما يأتي: a احسب مساحة منطقة مثلث برمودا على الخريطة. إذا كان طول كل وحدة على الخريطة تمثل 175 ميلا في الواقع، فأوجد مساحة منطقة مثلث برمودا الحقيقية. استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: مثال 4 X برمودا I + مثلث برمودا سان جيان 10c – 7d = -59 (13 6c + 5d = −63 4x-5y = 39 (12 3x + 8y = -6 الفصل 2 المصفوفات 88

مثال 5 استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: 4x - 2y + 7z = 26 5x + 3y - 52 = 50 -7x-8y-3z = 49 (14 تدرب وحل المسائل المثالان 1 أوجد قيمة كل محددة مما يأتي: 6x - 5y + 2z=-49 (15 -5x-3y8z = -22 -3x+8y-5z = 55 -5 8 -8 -9 (18 -6 -7 11 طاقه 12 -7 (17 (16 12 5 6 -5 -1 -2 2 0 -6 3 5 -2 1 8 4 (21 -3 -4 -5 (20 -1 -4 6 (19 0 -6 -2 5 8 -2 -6 5 مثال 3 (22) علم الآثار وجد عالم آثار عظام حوت عند الإحداثيات (45) على الخريطة. فإذا كانت الإحداثيات بالأمتار . فجد مساحة المثلث الذي رؤوسه تلك النقاط المثالان استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: 10a-3b= -34 (24 3a + 8b = -28 6x - 5y = 73 -7x+3y=-71 (23 8x-4y+7z = 34 (26 5x - 4y + 62 = 58 (25 5x + 6y + 32 = 21 3x + 7y - 82 = 85 -4x+6y+3z = -13 6x + 3y + 7z = 53 الربط مع الحياة عثر الباحثون أثناء التنقيب في 6 (27) رحلة مدرسية نظمت مدرسة ثانوية رحلة إلى المدينة المنورة التي تبعد 615km عن المدرسة. فإذا كان معدل سرعة الحافلة على الطريق السريع 105km/h ، ومعدل سرعتها داخل المدن km/h 45، وكان الحافلة 7 ساعات. فاستعمل قاعدة كرامر لإيجاد عدد ساعات سيرها على الطريق السريع، وعدد زمن سیر ساعات سيرها داخل المدن. أحد الكهوف على بقايا بشرية استعمل قاعدة كرامر لحل كل نظام معادلات مما يأتي: وقدروا أنها ترجع إلى ما قبل 200000 سنة. 3a 5b 9c = 17 4a - 3c = 31 -5a-4b2c = -42 (28 7x + 8y + 9z = -149 (29 -6x + 7y5z = 54 4x + 5y - 22 = -44 (30) صناعة : ينتج مصنع 3 أحجام من علب الطلاء الفارغة، حجم صغير بتكلفة 1.15 ريال للعلبة، وحجم متوسط بتكلفة 1.75 ريال للعلبة، وحجم كبير بتكلفة 2.25 ريال للعلبة، وفي أحد الأيام أنتج من علب الحجم الصغير ضعف ما أنتجه من علب الحجم المتوسط، وكان مجموع ما أنتجه في ذلك اليوم 1385 علبة من جميع الأحجام، بتكلفة إجمالية قدرها 2238.75 ريالا. استعمل قاعدة كرامر لإيجاد عدد العلب التي أنتجها المصنع من كل حجم في ذلك اليوم. ( إذا زادت تكلفة إنتاج علب الحجم الصغير فقط في اليوم التالي لتصبح 1.25 ريال بعد زيادة قليلة في الحجم، فأوجد تكلفة الإنتاج في اليوم التالي إذا كان إنتاج المصنع مقارنة باليوم السابق أقل بـ 140 علبة من الحجم الصغير ، وأكثر بـ 125 علبة من الحجم المتوسط، وأكثر بـ 35 علبة من الحجم الكبـ وزارة التعليم Ministry of Education الدرس -4-2 المحدّدات وقاعدة كرامر 1 - 289

تدريب على اختبار (31) بستنة : أراد حمد إنشاء حديقة مثلثية الشكل في فناء منزله، فرسم لها مخططا على المستوى الإحداثي، فكانت إحداثيات رؤوس الحديقة على المستوى (2),(17). جد المساحة الحقيقية للحديقة إذا كانت كل وحدة على المستوى الإحداثي تمثل مترًا على الأرض. مسائل مهارات التفكير العليا (32) تحد: أوجد قيمة محدّدة مصفوفة من النوع 3×3 ، على أن تكون عناصرها على النحو الآتي: إذا كان m + n زوجيا إذا كان m + n فرديا 0 Aamn = { " + " (33) مسألة مفتوحة : أعط مثالا لمصفوفة من الرتبة 22 تحقق الشرط المذكور في كل مما يأتي: a) المحددة تساوي صفرًا. b) المحددة تساوي 25 (c جميع العناصر أعداد سالبة والمحددة تساوي 32 (34) اكتب صف التمثيلات البيانية الممكنة لنظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين إذا كانت محددة مصفوفة المعاملات تساوي صفرًا. (35) إجابة قصيرة: أعط مثالًا لمصفوفة من الرتبة 2 × 2 ، بحيث (36) أوجد مساحة المثلث عناصرها أعدادًا سالبة ومحددتها تساوي 20. تكون جميع المبين في الشكل المجاور. A 10 وحدات مربعة مراجعة تراكمية B 14 وحدة مربعة 12 وحدة مربعة D 16 وحدة مربعة X A C حدد إذا كانت مصفوفة الضرب معرّفة في كل مما يأتي أم لا، وإذا كانت كذلك، فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة (الدرس (3-2) A4 × 2 • B2 x6 •B2×6 (37 حل كل نظام مما يأتي: (مهارة سابقة) 2x 5y-26 (40 - 5x + 3y = -34 90 الفصل 2 المصفوفات C5×4• D5×3 (38 4y + 6x = 10 (41 2x-7y = 22 E2 × 7 • E7 x 1 (39 B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446