العمليات على المصفوفات - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

2-2 العمليات على المصفوفات Operations with Matrices رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa فيما سبق: لماذا؟ لدى مؤسسة تجارية للمعدات الثقيلة فروع في كل من: الرياض، والشرقية، وجدة، يتبع كلًا منها ثلاثة معارض. درست تنظيم البيانات في وتبين المصفوفات الآتية معدل النفقات والمبيعات الأسبوعية في معارض المناطق الثلاث: مصفوفات (الدرس 1-2) والآن : جدة المبيعات النفقات الشرقية المبيعات النفقات الرياض المبيعات النفقات - أجمع المصفوفات وأطرحها. 1700 122000 1050 109500 1800 145500 1800 135000 1800 160000 1800 150500 145000 1900 225000 2400 290000 2700 المعرض المعرض (1) (2) المعرض (3) أضرب مصفوفة في عدد جمع المصفوفات وطرحها يمكن جمع مصفوفتين أو طرحهما إذا وفقط إذا كان لهما الرتبة نفسها، حيث ثابت. المفردات: جمع مصفوفتين : تجمع العناصر المتناظرة في حالة الجمع، وتطرح في حالة الطرح. مفهوم أساسي جمع المصفوفات وطرحها أضف إلى adding matrices طرح مصفوفتين subtracting matrices ضرب المصفوفة في عدد ثابت مطويتك التعبير اللفظي : إذا كانت مصفوفتين من الرتبة m n فإن + هي مصفوفة أيضًا من الرتبة m xn ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في A و B ، وكذلك A - B هي مصفوفة من الرتبة m xn أيضًا، وتحصل عليها بطرح العناصر المتناظرة. scalar multiplication الرموز لتكن: إرشادات للدراسة مثال : إذا كان A + B = C فإن Cij = ajj + bij. مثال 1 فإن A = - Cb B - Gh [ e f = d = [a+e b+f] A - B = [a-e b-f] A+B = c+g d+h c 3 -5 + 1 7 [ 2 0 3 +2 = -9 10 1 + (-9) d-h -5 +0 7 + 10 جمع المصفوفات وطرحها إذا كانت بانت [ 8 ] - [ 3 ] - [ 1 ] = 4 ، فأوجد كلا مما يأتي إن أمكن: -4 -3 -7 -1] .c = [ 6 A+B (a -1 ,B= 16 2 A + B = -9 8 [3] + [33] -7 16 2 -9 8 عوض = [ = [ 16+ (-4) 2+ (−1) ] -9+ (-3) 8+ (-7) 12 -12 ==[= =} ] - [8] B-C = -4 -3 1 -7 B-C (b اجمع العناصر المتناظرة بسط عوض بما أن المصفوفتين B لهما رتبتين مختلفتين، فلا يمكن إجراء عملية الطرح B - C تحقق من فهمك -9 8 3 -2 4 -7 [21] 33 18 -3 + -5 -9 ] -3 4 (1B -9 -5 [ -4 12 (1A 8 -7 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 2-2 العمليات على المصفوفات 1 - 269

إرشادات للدراسة ضرب المصفوفة في عدد ثابت إذا كان KA = B فإن : kajj = bij 70 الفصل 2 المصفوفات الضرب في عدد ثابت: يمكنك ضرب أي مصفوفة في عدد ثابت، وهذا عدد ثابت وهذا يعني ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في ذلك العدد الثابت. وتُسمى هذه العملية ضرب المصفوفة في عدد ثابت. مفهوم أساسي الضرب في عدد ثابت ف إلى مطويتك التعبير اللفظي: حاصل ضرب مصفوفة A من الرتبة m xn في عدد ثابت K هي مصفوفة KA من الرتبة m × n وكل عنصر فيها يساوي العنصر المناظر له في المصفوفة A مضروبا في العدد الثابت K الرموز إذا كانت مثال : a b dl = A و K عدد ثابت فإن: k . = A k [ a b = C 2] - [ 4 ka kb kc kd 4 1 -3(4) -3(1) -3 = 7 -2 -3(7)-3(-2) مثال 2 ضرب مصفوفة في عدد ثابت -12 8 = R ، فجد 5R -16 19 4 $ 16] -- إذا كانت -12 8 6 5R = 5 4 -16 19 = [ 5(-12) 5(8) 5(6) 5(-16) 5(4) 5(19)] = [ -60 -80 40 30 20 95 . عوض اضرب كل عنصر في المصفوفة في العدد 5 بسط تحقق من فهمك }] 803 -1 -4 -2 9 -2 (2) إذا كانت = T ، فأوجد 4T تنطبق كثير من خصائص العمليات التي تُجرى على الأعداد الحقيقية على المصفوفات. وفيما يأتي ملخص لهذه الخصائص: مفهوم أساسي خصائص جمع المصفوفات الخصائص الآتية صحيحة لأي ثلاث مصفوفات لها الرتبة نفسها ولأي عدد ثابت K: أضف إلى مطويتك الخاصية الإبدالية لجمع المصفوفات الخاصية التجميعية لجمع المصفوفات خاصية التوزيع للضرب في عدد A + B = B + A (A+B)+C= A + (B + C) k(A+B) = kA + kB وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

يمكنك إجراء عمليات متعددة الخطوات على المصفوفات. وترتيب تلك العمليات شبيه بترتيب العمليات على الأعداد الحقيقية. مثال 3 العمليات على المصفوفات إذا كانت [ 3 - 1 ] = B [ 2 ] = 4 ، فأوجد 34 - 48 - . ,B A 4B 12 -9 -6 -4B-3A = -4 [ -4 -8 2 = = [ -9 -4 2 3] - 3 [−2 12 ] -3 -4(-4) -4(-8) -4(2) -4(-3). [ 16 32] - [-27 12 16 - (-27) -8 - 6 = [ = [ 43 -4 -14 30 62 -6 -3(-9) ] 3(-9) 3(12) 3(2) 3(-6). 36 ] ] 32-36 12-(-18) اتحقق من فهمك -5 3 12 5 6 -8,B 5 2 9 4 -7 إذا كانت | 4- عوض أوجد ناتج ضرب المصفوفات في الثوابت بسط اطرح العناصر المتناظرة بسط = A ، فأوجد 74 + 6B− الربط مع الحياة يمكنك استعمال المصفوفات في الكثير من الأعمال التجارية. المخطط المالي يستعمل المخطط المالي المصفوفات لتنظيم البيانات التي يستعملها ووصفها. مثال 4 استعمال العمليات على المصفوفات أعمال: ارجع إلى فقرة "لماذا" في بداية الدرس، وعبر عن معدل المبيعات والنفقات لجميع المعارض في خمسة أسابيع. حتى يتم حساب المبيعات في خمسة أسابيع، يجب ضرب كل مصفوفة في العدد 5 وجمع المصفوفات إرشادات للدراسة العناصر المتناظرة عند تمثيل البيانات بمصفوفات متعددة، تأكد أن العناصر الناتجة معًا. 1900 2400 5 2700 145000 225000 290000 122000 1700 145500 +5 1800 +5 1800 160000 1800 1050 109500 135000 1800 150500 = 9500 12000 13500 725000 1 125000 1 450000 5250 610000 8500 9000 + 727500 9000 + 9000 800000 9000 547500 675000 752500 المبيعات النفقات ضرب كل مصفوفة في 5 ثم الجمع تطبيق قاعدة الضرب في ثابت المتناظرة تمثل البيانات المتناظرة 23250 1882500 = 30000 31500 2527500 3002500 تدل المصفوفة النهائية على معدل المبيعات والنفقات في خمسة أسابيع. تحقق من فهمك اجمع المصفوفات (4) أعمال: استعمل البيانات أعلاه لحساب معدل المبيعات والنفقات الشهري لجميع المعارض على فرض أن الشهر 30 يومًا. وزارة التعليم Ministry of Education. الدرس 2-2 العمليات على المصفوفات 1 - 271

[9 -8 4]+[12 2] (2 .6 -2 –18 [3 13- - 2 2 −11 8] " (4 مثال 1 أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكنا: [−8 26] + [11 -7 1] (1 6 7 15 4 -12] - [ 29 ] (3 4 -9 15 -9 2 3 -6 6 -11 14 -2 (6 4 -8 -10 27 c= [ -; -4 -6 B = 12 -7 [1] -8C+3A (8 3 مثال 2 أوجد الناتج في كل مما يأتي: 6 4 0 -2 14 -4 -6 7 6 -4 -5 (5 إذا كانت [ 3 - 3 ] = A مثال 3 إذا كانت فأوجد ناتج كل مما يلي: 4B-2A (7 9 درجات حرارة تبين المصفوفة المعدل الشهري لدرجات الحرارة الصغرى (بالفهرنهايت) في مدينة مثال 4 ما. وتبين المصفوفة H المعدل الشهري لدرجات الحرارة العظمى بالفهرنهايت) في تلك المدينة. 39.9 45.2 55.3 65.1 74.0 82.3 H= 85.9 84.6 78.1 66.9 54.5 44.3 L= 24.1 27.7 35.9 44.1 53.6 62.2 66.4 64.9 57.9 46.4 37.3 28.4 جد المصفوفة التي تمثل الفرق بين المعدل الشهري لدرجات الحرارة العظمى والمعدل الشهري لدرجات الحرارة الصغرى في تلك المدينة؟ 16 [ 25 ] + [12 3 4 0 -6 -3 7 2 -4 | (11 تأكد تدرب وحل المسائل أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكنا. مثال 1 [33]+[41] 12 -5 -3 -6 11 -7 2 (10 , , الأمثلة 34 (12) مشروبات يبين الجدول المجاور قائمة أسعار المشروبات في مطعم، إذا رفع المطعم أسعار جميع المشروبات بنسبة %50. a اكتب المصفوفة C التي تمثل الأسعار الحالية ما العدد الذي يمكن أن نضرب المصفوفة C فيه لإيجاد المصفوفة التي تمثل الأسعار الجديدة؟ جد المصفوفة . d جد المصفوفة N - C. ماذا تمثل هذه المصفوفة في هذه الحالة؟ كبير وسط صغير المشروب 3 4 5 2 3 4 2 3 4 4 5 6 غازي شاي قهوة LO عصير وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 72 الفصل 2 المصفوفات

أوجد الناتج في كل مما يأتي إن أمكن، وإذا تعذر ذلك فاكتب "لا يمكن" مع ذكر السبب: 19 -5 -2 (13 4 1 7 0 4 -3 3 -3 -8 12 -8 12 1 −11 -5 3 (14 0 −1 5 -1 22 -9 7 -9 4 -6 31 9 2 4 -6 12 3 ] - [ 3 62 -9 8 -3 - (16 -37 +34 76 -13] (15 14 0 -4 5 [3] - [ - -2 3 + (18 + 2 -3 8 -9 [3] - [1 16 - [1] (17 (19) كتب تحتوي المكتبة A على 10000 كتاب علمي، و 5000 كتاب تاريخي و 5000 كتاب أدبي. وتحتوي المكتبة B على 15000 كتاب علمي، و 10000 كتاب تاريخي و 2500 كتاب أدبي. وتحتوي المكتبة C على 4000 كتاب علمي، و700 كتاب تاريخي، و800 كتاب أدبي. رتب أعداد الكتب في كل مكتبة في مصفوفات، وارمز إليها بالرموز A, B, C . أوجد العدد الكلي للكتب من كل نوع في المكتبات الثلاث، وعبر عن ذلك بمصفوفة. كم يزيد عدد الكتب من كل نوع في المكتبة A على التي في المكتبة C؟ أوجد المصفوفة A+B . هل لهذه المصفوفة معنى في هذه الحالة ؟ فسّر إجابتك. أوجد الناتج في كل مما يأتي إن أمكن، وإذا تعذر ذلك فاكتب "لا يمكن" مع ذكر السبب: الربط مع الحياة وصل عدد مقتنيات مكتبات جامعة الملك سعود 874971 عنوانًا تقع في 2065863 مجلدا ومادة من مختلف أوعية المعلومات، وبلغت المساحة الإجمالية للمكتبات 62634m2، -7 -8 -4 4 +3 3x - -3 -9 4 -6 18 -8 (21 12 -3 -3-5 (20 12 0 3x -y Зу 6 -5 -6 4 -8 4x + 1 + -2 -7 8 (23 8 -9 -5([33] + [43]) (22 -3 -9 xy 2x x+2 أجر العمليات على المصفوفات الآتية إن أمكن، وإذا تعذر ذلك فاكتب "لا يمكن" مع ذكر السبب: مجهزة بكل تقنيات المكتبات الحديثة وتدير خدماتها آليًا. 2 -16 12 3 4 15 8 ] 18 21 + 3 -6 -4 ] (25 5.6 -4.3 -2[-92 -84] 4 [41-22] ― 7.2 -2.9 -8.2 (24 مسائل مهارات التفكير العليا (26) برهان برهن على أن عملية جمع المصفوفات من النوع 2 × 2 تبديلية (27) برهان برهن على أن عملية جمع المصفوفات من النوع 22 تجميعية . (28) تحد: إذا كانت = 3A - 4B + 6 [1322 1 فأوجد عناصر المصفوفة . -3 -4 8 6 ], A = [33 −4]B= [54], 3A -1 .B -4 2 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 2-2 العمليات على المصفوفات 1 - 273

(29) تبرير حدد إذا كانت كل جملة مما يأتي صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا، أو غير صحيحة أبدًا للمصفوفتين A, B ، ثم فسّر إجابتك. إذا كانت A + B معرّفة ، فإن A - B معرّفة. إذا كان عددًا حقيقيًّا ، فإن A و kB معرّفتان. إذا كانت A - B غير معرّفة ، فإن B - A غير معرّفة. d) إذا كانت A و B لهما عدد العناصر نفسه ، فإن A + B معرّفة. إذا كانت A و B ،معرفتين، فإن KA + KB معرّفة. (30) مسألة مفتوحة : أعط مثالا على مصفوفتين A و B ، على أن تكون [1_ ] = 34 - 5 −1 31 اكتب اشرح كيف تجد 3 - 4D لأي مصفوفتين C, D لهما الرتبة نفسها. -6 -2 .4B - 34 (33) رتبة المصفوفة : إذا كانت A B مصفوفتين من الرتبة ' 3 × 5 ، فإن رتبة المصفوفة A - B هي: 3 × 2 C 3 x 3 D تدريب على اختبار (32) حل النظام الآتي: 0.06p + 4q = 0.88 3×5 A 5×3 B (-2, 0.25) C p - 9 = -2.25 (-0.912, -1.338) A (-2, -4.25) D (0.912, -3.162) B 5 = A ، فحدّد كل عنصر مما يأتي: الدرس (1-2) b23 (36 مراجعة تراكمية -3 6 16 4 X B = C -2 9 8 4y у = [2 9 3 -5 2 إذا كانت 0 -6 8 1 C13 (35 a32 (34 حل بيانيًّا النظام أدناه: (الدرس 5-1) 4x + 2y > 8 (37 4y - 3x = 12 (38) سكان في إحصائية عام 1435هـ لأكبر 20 مدينة سعودية من حيث عدد السكان بلغ عدد سكان مدينة الدمام 903597 نسمة، بما يزيد 333800 على عدد سكان مدينة تبوك. اكتب معادلة لإيجاد عدد سكان مدينة تبوك، ثم حلها. (مهارة سابقة) بسط كل عبارة مما يأتي: الدرس (1-1) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 4(2x-3y) + 2(5x – 6y) (39 - -3(2a - 5b) — 4(4b+a) (40 - - −7(x − y) + 5(y — x) (41 الفصل 2 المصفوفات 74