ضرب المصفوفات - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

2-3 ضرب المصفوفات Multiplying Matrices فيما سبق: لماذا؟ يبين الجدول المجاور أنواع الأقلام وعددها التي درست ضرب المصفوفات في باعتها مكتبة في 4 أشهر متتالية. عدد ثابت (الدرس (2-2) والآن الشهر وعدد الأقلام رابط الدرس الرا www.ien.edu.sa ربيع 2 ربيع 1 صفر المحرم نوع القلم 153 217 197 249 12 6 7 8 82 146 102 158 رصاص حبر سائل بر جاف - أضرب المصفوفات. إذا علمت أن سعر بيع قلم الرصاص ريال واحد، أستعمل خصائص ضرب وقلم الحبر السائل 3 ريالات، وقلم الحبر الجاف ريالان، فإنه يمكنك تلخيص الجدول بمصفوفة عدد الأقلام B، كما يمكنك التعبير عن مصفوفة سعر بيع كل نوع من الأقلام بالمصفوفة P . المصفوفات. مصفوفة عدد الأقلام B مصفوفة الأسعار P الحبر الجاف الحبر السائل قلم الرصاص إرشادات للدراسة رمز المصفوفة أحيانًا تكتب Amxn لتعبر عن مصفوفة A رتبتها mxn 153 217 197 249 12 6 7 8 82 102 146 158 21 وباستعمال ضرب المصفوفات، تجد سعر بيع الأقلام في كل شهر. 3 [ 1 ضرب المصفوفات : يمكنك ضرب مصفوفتين إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية. وعند ضرب المصفوفة A ذات الرتبة mxr في المصفوفة B ذات الرتبة rxt ، فإن الناتج هو المصفوفة AB ذات الرتبة mxt. B = AB rxt mx t متساويان . A m x r مثال 1 رتبة مصفوفة ناتج الضرب رتبة AB هل يمكن إيجاد A. B في كل مما يأتي، وإن كانت كذلك، فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة: A3 × 4 • B4 x 2 (a × A . AB = B 3×4 4×2 3×2 بما أن عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد 6 صفوف المصفوفة ،B ، فإن مصفوفة حاصل الضرب A. B معرّفة، ورتبتها 3x2 . 45 × 3 • B5 × 4 (b A5 A . 5 × 3 B 5×4 تحقق من فهمك بما أن عدد أعمدة المصفوفة A لا يساوي عدد صفوف المصفوفة ،B ، فإن مصفوفة حاصل 6 الضرب A. B غير معرّفة. A3×2 B3×2 43 × 2 • B3 x 2 (18 A4×6 • B6 × 2 (1A وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 3-2 ضرب المصفوفات 1 - 275

يمكنك إيجاد ناتج ضرب مصفوفتين بضرب عناصر صفوف الأولى في عناصر أعمدة الثانية بالترتيب ثم جمع النواتج. مفهوم أساسي ضرب المصفوفات أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: العنصر في الصف m والعمود r من المصفوفة AB هو مجموع نواتج ضرب العناصر في الصف m من المصفوفة ،A ، بعناصر العمود r من المصفوفة B بالترتيب. A b . B = AB 2 1 4 e f h 6 = [3].[55] - [3x 7 8 [ ae+bg ce+dg af + bh cf + dh = 2x5+3x7 1x5+4x7 2x6+3x8 1x6+4x8 الرموز مثال: مثال 2 ضرب المصفوفات المربعة أوجد X Y إذا كانت } ] X = [1- -3 6 = ,Y -10 -2 -4 -5 3 XY = [ 16 xY [. 3 -3 -5 -4 ] · [34] -2 -10 تنبيه المحافظة على التركيز من السهل أن تفقد التركيز عند ضرب المصفوفات، وربما تساعدك تغطية الصفوف الخطوة 1 اضرب عناصر الصف الأول في المصفوفة X في عناصر العمود الأول في المصفوفة بالترتيب، ثم اجمع نواتج الضرب، وضع النتيجة في الصف الأول، العمود الأول من أو الأعمدة التي لا تقوم بضربها عند إيجاد عناصر مصفوفة الضرب. المصفوفة XY . -10 [ 16 - 31] • [ - 5 6(-5)+(-3)(3) = 3 3 ] الخطوة 2 : اتبع الخطوات نفسها مع عناصر الصف الأول والعمود الثاني، واكتب النتيجة في الصف الأول [-10 -3 -2 -5 -4 3 3 = 6(-5)+(-3)(3) والعمود الثاني. 6(-4)+(-3)(3) الخطوة 3 : اتبع الخطوات نفسها مع عناصر الصف الثاني والعمود الأول ، واكتب النتيجة في الصف الثاني، وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 6 -3 -5 -4 = -10 -2 3 3 6(-5)+(-3)(3) -10(-5)+(-2)(3) العمود الأول. 6(-4)+(-3)(3) 3) (3) ] الخطوة 4: اتبع الخطوات السابقة نفسها مع عناصر الصف الثاني والعمود الثاني. [ 16 323 ] • [ -53 -3 -4 -2 3 ³] = [ 6(-5)+(-3)(3) -10(-5)+(-2)(3) 6(-5)+(-3)(3) -10(-5)+(-2)(3) 6(-4)+(-3)(3) -10(-4)+(-2)(3)] الخطوة 5 بسّط المصفوفة الناتجة. 6(-4)+(-3)(3)]-[-39-33] = -10(-4)+(-2)(3) 】 44 تحقق من فهمك (2) إذا كانت 2 6 5 9 = V نا كانت [ 3 ] - [2- 3- ]- | = 1، فأوجد UV يمكنك استعمال ضرب المصفوفات في عدة مواقف حياتية. الفصل 2 المصفوفات 76

الربط مع الحياة تدل البحوث الصحية والرياضية أن ممارسة السباحة نصف ساعة يوميًا تخفض ضغط الدم وتقوي القلب وتقلل معدل الكولسترول في الدم وتزيد كفاءة الدورة الدموية وتحرق 500 : 250 سعرة حرارية؛ لذا تعد من أفضل الرياضات لتخفيض الوزن. مثال 3 من واقع الحياة ضرب المصفوفات سباحة في مسابقة للسباحة بين أربع فرق سجلت 7 نقاط لمن يحل في المركز الأول، و 4 نقاط لمن يحل في المركز الثاني، ونقطتان لمن يحل في المركز الثالث استعمل الجدول المجاور الذي يبين نتائج مسابقة السباحة لكل فريق لتحديد الفريق الفائز في المسابقة. افهم المعطيات المركز المركز المركز الفريق الثالث الثاني الأول A 4 7 3 B 8 9 1 C 10 5 D 3 3 3 6 جدول يبين عدد مرات حصول 4 فرق على المراكز الثلاثة الأولى في مسابقة للسباحة. • عدد النقاط التي تحتسب للفريق في كل مركز. المطلوب : . تحديد الفريق الفائز. خطط يمكن إيجاد النقاط النهائية التي أحرزها كل فريق بضرب مصفوفة النتائج للفريق في مصفوفة عدد النقاط التي تحتسب لكلِّ من المراكز الأول والثاني والثالث). حل اكتب كلا من النتائج والنقاط التي تم الحصول عليها في مصفوفتين، ورتب المصفوفتين على أن يكون عدد الصفوف في مصفوفة النقاط يساوي عدد الأعمدة في مصفوفة النتائج. النقاط النتائج 4 7 3 7 R = 8 9 1 P = 4 10 5 3 2 3 3 6 4 7 3 7 8 9 1 RP = 4 = 10 5 3 2 3 3 6 اضرب المصفوفتين. RP 4(7) + 7(4)+3(2) [62 8(7)+9(4) + 1(2) 94 = 10(7)+5(4)+3(2) 96 3(7)+3(4)+6(2) [45] تبين مصفوفة حاصل الضرب عدد النقاط التي أحرزها كل من الفرق A,B,C,D على الترتيب؛ لذا فالفريق C هو الفائز في المسابقة؛ لأنه حصل على أكبر مجموع من 96 نقطة. النقاط وهو تحقق المصفوفة R من الرتبة 3 × 4 ، والمصفوفة P من الرتبة 31 ؛ لذا فإن حاصل الضرب سيكون مصفوفة من الرتبة 1 × 4. تحقق من فهمك (3) مبيعات: ارجع إلى فقرة "لماذا؟ بداية الدرس، واستعمل ضرب المصفوفات لتحديد سعر بيع الأقلام في كل شهر . خصائص ضرب المصفوفات: تذكر أن خصائص جمع الأعداد الحقيقية تبقى صحيحة أيضًا عند جمع المصفوفات، إلا أن بعض خصائص ضرب الأعداد الحقيقية لا تكون صحيحة دائمًا عند ضرب المصفوفات. مثال 4 اختبار الخاصية الإبدالية = G ، فأوجد ناتج كل مما يأتي: 2 3 3 . -2 -8 = 0 1 7 GH H = [1 2 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 3-2 ضرب المصفوفات 1 - 277 ,H = [ ] 1 3 -5 4 0 -2 2 3 -2 -8 إذا كانت 7 GH (a -9 -56 = 12 28 [ 2-6-5 8 +4 +0 3-24-35 12 + 16 +0

HG (b 2 3 2+12 6-6-10 +0 −10+0 14 0 -10 1 3-5 HG=-2 -8 = -2-32 -6 + 16 10+ 0 = -34 10 10 4-2 0 1 7 1+28 3- 14 -5+0 29-11 -5 لاحظ أن GHHG . تحقق من فهمك (4) إذا كانت 4 -1 3. 6 JA = [1 −1] B = [1 % ] = SAB BAA = 5 -2 , -4 5 اتضح في المثال 4 أن الخاصية الإبدالية لا تتحقق في ضرب المصفوفات. لذا فإن الترتيب يُعدّ في غاية الأهمية عند ضرب المصفوفات. إرشادات للدراسة مثال 5 اختبار خاصية التوزيع البرهان والأمثلة المضادة لإثبات صحة خاصية في جميع يجب الحالات، إثبات صحتها في الحالة العامة. ولبيان أن خاصية ما ليست صحيحة يكفي إعطاء مثال مضاد لها. إذا كانت 2 J ، فجد ناتج كل مما يأتي: has 4 -5 -2 ],K=[ 3 2 -1 3 19]=[_}{} _{} ], K = [ { } ] = [1 −1 ] -4 - ,L= 0 عوض اجمع المصفوفتين اضرب المصفوفتين 2 3 J (K+L) (a 4 -[34] ([3]+[3]) 2 J(K + L) = -5 2 -2 2 -1 1 = [(143) 4] · (1) } ] -5 -2 = [ -2² +± 8 2 + -2+8 5-4 2 2 3 6 12 ] - [ 1 14 ] = JK +JL = [{ } _4] · [ { } ] + [(34) · (11) | -5 -2 3 2 -1 3 -5 -2 -4 . 3 JK+JL (b 2(3)+4(-1) 2(2)+4(3) | -5(3) + (-2)(-1) -5(2) + (−2)(3) 2 - 2)(3)] + [ 2(-4)+4(3) -5(-4)+(-2)(3) -5(-1) + (-2)(0) 2(-1)+4(0) (2)(0)] 2 - -1 = [−13 −16 ] + [ 14 ¯} ] = [ { - -2 5 6 14 1 −11 · J(K + L) = JK + J L ji by = R ، فحدد ما إذا كانت المعادلة 2 -1 1 3 ] ,S $=[. 4 6 -2 5 تحقق من فهمك T: = :-[ -3 7 -4 8 ] (5) إذا كانت płö TR = SR + TR ( صحيحة للمصفوفات المعطاة أم لا. المثال السابق كانت خاصية توزيع الضرب على الجمع صحيحة، ويمكنك إثبات أن هذه الخاصية صحيحة في دائمًا إذا كانت عمليتا الضرب والجمع معرفتين. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 2 المصفوفات 78

تأكد مفهوم أساسي خصائص ضرب المصفوفات k تُعد الخصائص الآتية صحيحة لأي ثلاث مصفوفات A, B, C ولأي عدد ، على أن تكون عمليتا ضرب أو جمع أي منها معرفتين الخاصية التجميعية لضرب المصفوفات الخاصية التجميعية لضرب المصفوفات في عدد خاصية التوزيع من اليسار للمصفوفات خاصية التوزيع من اليمين للمصفوفات (AB)C A(BC) = k(AB) = (kA)B = A(KB) C(A+B)=CA + CB (A+B)C AC + BC = أضف إلى مطويتك مثال 1 حدد إذا كانت عملية الضرب معرفة في كل مما يأتي أم لا، وإن كانت معرّفة فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة: 42 × 4 • B4 x 3 (1 A2 4• C5 x 4 • D5 x 4 (2) مثال 2 أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكنًا: × • E6 × Esx 6. Fox 10 (3) 1 -2 10 [[193] [34] -7 . -2 5 (5 1 2 -6 [17 } ] [24] < -5 -2 3 -4 21.[4] -9 -2 [-1 -10 1] (7 [9 6 -7 6 (4) (6 6 -8 7 4 6 10 (9 • -5 -3 8 8 4 :] (8 23 [119] . [9] 6 -3 2 1 6 2 5 -1 3 -7 1 -4 3 2 (11 8 4 (10 -3 1 8 -3 2 -1 -5 4 5 3 -2 0 مثال 3 (12) لياقة بدنية : يبين الجدول المجاور عدد المشتركين عدد المشتركين في دورات اللياقة البدنية المثالان 45 , في دورات اللياقة البدنية في المستويين الأول والثاني لدى أحد مراكز اللياقة البدنية في مدينة الرياض إذا كانت رسوم الاشتراك الأسبوعي 110 ريالات، ورسوم الاشتراك الشهري 165 ريالا، ورسوم الاشتراك السنوي 439 ريالًا. المستوى المستوى الثاني الأول 35 28 32 17 18 12 الاشتراك الأسبوعي الشهري السنوي a اكتب مصفوفة تمثل عدد الأشخاص المسجلين في المستويات كلها، ومصفوفة تمثل رسوم الاشتراك فيها. ما المبلغ الكلي الذي يحصل عليه المركز من اشتراكات المستويين الأول والثاني. -3 = , Y : -10 إذا كانت [31] -2- [ ] -x = [13] x ، فحد ما إذا كانت المعادلات الآتية -4 -5 -8 ,Z= -5 6 -1 9 صحيحة للمصفوفات المعطاة أم لا: XY = YX (13) -8 2 X X(YZ) = (XY)Z (14 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 3-2 ضرب المصفوفات 1 - 279

تدرب وحل المسائل مثال 1 حدد إذا كانت عملية الضرب معرّفة في كل مما يأتي أم لا، وإن كانت معرّفة فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة: ' M3 x 1 • N2 × 3 (17 45 × 5 • B5 × 5 (16 P2 • Q3 × 2 x 3 - 23 x 4 (15 . S5×2 T2×4 (20 J2 • 12x1 K2×1 (19 x X2 ✗2×6Y6×3 (18 -1 6 [ 3 ].[2 - [27] (22 (24 -3 6 [3].[ 200 5 0 2 7 -2 مثال 2 أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكنا: [1 6]. 61. [-10] (21 6 -3 -2 -3 [ (23 2 4 8 [][- ; ;-] -1 0 6 5 -7 (26 (25 -4 -10 4 -2 8 [1]-1-3- 4 2 2 9 -3 -1] (28 7 -6 (27 4 −1 -2 1 مثال 3 (29) أجنحة فندقية لدى مؤسسة للأجنحة الفندقية 3 مبانٍ للإيجار، ويبين الجدول المجاور عدد الغرف في كل مبنى. فإذا كانت الأجرة اليومية للغرفة التي تحوي سريرًا واحدًا 220 ريالًا، وللغرفة التي تحوي سريرين 250 ريالًا، وللغرفة التي تحوي ثلاثة أسرة 360 ريالا. عدد الغرف غرفة غرفة بثلاث أسرة | بسريرين غرفة المبنى بسرير واحد 1 3 2 2 2 2 3 1 3 4 3 0 a اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف، ثم اكتب مصفوفة أسعار الغرف. . اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي للمؤسسة، على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها. ما مقدار الدخل اليومي الكلي، على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها. 6 6 4 ] ,R [ = [ -1 4 المثالان 4,5 إذا كانت 2 = k, | 4 ] - [ 3 : ] - [11] = P ، فحدد ما إذا كانت المعادلات 4 -6 الآتية صحيحة للمصفوفات المعطاة أم لا: - 2 = PQR=RQP (31 R(P+Q) = PR + QR (33 k(PQ) = P(kQ) (30 PR+QR = (P+Q)R (32 الربط مع الحياة (34) تنسيق زهور اشتری محل تنسيق زهور 200 زهرة جوري ، و 150 زهرة نرجس ، و 100 زهرة زنبق ، وسعر شراء الزهرة 3.00 ريالات 0.50 ريال من كل نوع مبين في الجدول المجاور، وكذلك سعر بيع الزهرة بعد تغليفها وتنسيقها في باقة . سعر البيع سعر الشراء الزهور 6 ريالات 7 ريالات 1.5 ريال 2 ريال جوري نرجس زنبق الزنبق يضم حوالي 110 أنواع أهمها الزنبق الأبيض. وتنمو الأزهار من بصيلات محرشفة وتأخذ شكل الأبواق ولها ست بتلات. a استعمل ضرب المصفوفات؛ لإيجاد المبلغ الكلي لشراء الزهور. استعمل ضرب المصفوفات لإيجاد المبلغ الكلي الذي حصل عليه صاحب المحل من بيع الزهـ الزهور أوجد مقدار ربح المحل من بيع الزهور. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 2 المصفوفات 80

استعمل المصفوفات [ 3 + x y §],Y=[3 -5 -1.5 x+2 y ,Z= 13 1.2 الضرب في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكنا: [ 3 ] = x ، لإيجاد ناتج 2 3y -6 -4.5 YZ (38 (XX)Z (42 ZY (37 X(ZZ) (41 YX (36 (XZ)X (40 XY (35 (YX)Z (39 مسائل مهارات التفكير العليا (43) تبرير: إذا كانت رتبة المصفوفة AB هي 58 ، ورتبة المصفوفة A هي 8×5 ، ورتبة المصفوفة 4 هي 5x6 ، فما رتبة المصفوفة B؟ (44) برهان بين أن الخصائص الآتية صحيحة للمصفوفات من النوع 2×2 . خاصية التوزيع للضرب في عدد. خاصية التوزيع للضرب على الجمع. الخاصية التجميعية للضرب. d الخاصية التجميعية للضرب في عدد. (45) مسألة مفتوحة : اكتب مصفوفتين A و B على أن تكون AB = BA . (46) تحد جد قيم a b c d التي تجعل العبارة , 10 11 29 4 5 = 2 20] - [23][2] صحيحة. a b C d تدريب على اختبار (47) اكتب: ارجع إلى فقرة "لماذا؟“ بداية الدرس، واستعمل البيانات المعطاة لشرح كيفية استعمال المصفوفات في إحصاءات المبيعات للمكتبة. (48) في مشغل ثلاث آلات حياكة، فإذا كان إنتاج كل آلة في 3 أشهر كما في الجدول أدناه ، وسعر بيع القطعة الواحدة من إنتاج كل آلة معطى أيضًا، فما المبلغ الذي سيحصل عليه المشغل من مبيعات الأشهر الثلاثة؟ (49) رتبة المصفوفة : ما رتبة المصفوفة الناتجة عن عملية الضرب الآتية ؟ a b C 7 d e f سعر بيع القطعة الشهر 3 | الشهر 2 | الشهر 1 26 19 36 28 48 27 16 19 36 11 18 31 الآلة 1 الآلة 2 الآلة 3 6012 ريالا C 1221 ريالا 5400 ريال 2320 ريالا مراجعة تراكمية أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكنا : (الدرس (2-2) (50 1×4 A 3 x 3 B 4 x 1 C 4×3 D g h i j k 1 [33] -28-3] -1 (52 52 6 (2[ = -2 -2 -1 6 4 (51 3 -3-3- 8 4 -3 -4 3 -1 - - 2 3 5 4 -2 6 ] وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 3-2 ضرب المصفوفات 1 - 281

اختبار منتصف الفصل الدروس -1-12 إلى 2-3-2 أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكنا: -2 [ 7 3 ] - [3 1 6 | -1 5 -6 4] 0 (10 073 10 -6 18 0 PE -4 0 -1 -1 0 (11 0 1 8 0 4 A، فحدد: -2 4 -2 -7 5 (12 -7 5 2 11 9 7 4 3 -5 1 -3 7 b22 (4) 4 (2 = || 3 5 3 الفصل 2 حدد رتبة كل مصفوفة فيما يأتي: [34567] (1 [ 1 -9 2 إذا كانت 0 10 4 a21 (3 5 مبيعات : يبين الجدول الآتي مبيعات محلي ألبسة أطفال في أسبوعين مختلفين: الملابس المبيعة الأسبوع المحل بنطال قبعة بلوزة قميص (13) اختيار من متعدد : إذا كانت المصفوفة XY من النوع 2 × 3 والمصفوفة x من النوع 34 ، فما رتبة المصفوفة ؟ 2 × 3A 3 x 4 C 4×2D 1 25 14 18 LO 5 3×2 B A 2 32 26 15 4 1 44 10 13 8 B 2 18 38 17 2 (14 مبيعات يبين الجدول الآتي موجودات محل ألبسة رياضية من القمصان والبناطيل بالدستة، وقد قرر صاحب المحل مضاعفة عدد القمصان والبناطيل قبيل فصل الصيف. كبير وسط صغير النوع 10 10 15 25 35 45 قميص بنطال a اكتب مصفوفة A تمثل عدد القمصان والبناطيل في المحل قبل مضاعفة العدد. ( ما العدد الذي يمكن أن نضرب فيه المصفوفة 4 لإيجاد المصفوفة M التي تمثل عدد القمصان والبناطيل بعد مضاعفته؟ حد M . ماذا تمثل المصفوفة M - A في هذه الحالة؟ (15) اختيار من متعدد ناتج الضرب : 888 2 -1 4 ] يساوي: 0 -2] -3 0 4 +08 -8 C [8 -12] A 8 B عملية الضرب غير معرفة التعليم Ministry of Education 2024-1446 -12 اكتب مصفوفة تمثل مبيعات كل أسبوع. (b) جد مجموع مبيعات الأسبوعين باستعمال جمع المصفوفات. أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكنا: 0 15 8 0 (6 -6 -10 -3 5 3 5 12 -3 0 -1 9 6 -5 35 (7 -1 -3x x-2 2 5 +4 2 -3 3 (8 -6 x 1 (9) اختيار من متعدد أوجد ناتج : -1 2 35 +4 2 3 [ ] 42 6 72 -4 12 A 12 4 -4 3 27 -5 [ ] -12 0 ] C 21 D -2 [ 2 ] 36 B 82 الفصل 2 المصفوفات