البرمجة الخطية والحل الأمثل - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

1-6 رابط الدرس الرقمي البرمجة الخطية والحل الأمثل Optimization with Linear Programming www.ien.edu.sa فيما سبق: لماذا؟ يبين الجدول أدناه أكبر وأقل عدد للأثواب المنتجة في اليوم الواحد من المقاسين الكبير والصغير، وتكلفة إنتاج درست حل أنظمة متباينات كل ثوب منها في أحد المصانع الوطنية. خطية بيانيًا. (مهارة سابقة) والان أجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى لدالة ضمن منطقة الحل أستعمل البرمجة عدد الأثواب المنتجة في اليوم الواحد أقل أكبر تكلفة إنتاج المقاس عدد عدد الثوب 55 ريالا صغير 70 ريالا كبير 1500 600 1700 800 الخطية لإيجاد الحل إذا كان عدد الأثواب المطلوب إنتاجها من المقاسين في اليوم الواحد لا يقل عن 2000 ثوب، فكم ثوبًا من كل الأمثل لمسائل حياتية. مقاس يجب إنتاجه لتكون التكلفة أقل ما يمكن؟ المفردات: القيود constraints البرمجة الخطية linear programming محدودة bounded غير محدودة unbounded الحل الأمثل optimize هناك قيود إضافية على إنتاج المصنع ناجمة عن الطلب والشحن وكفاءة المصنع. وللتعبير عن هذه القيود يمكن استعمال أنظمة المتباينات الخطية. القيمة العظمى والقيمة الصغرى: تواجه المصانع في كثير من الأحيان أوضاعًا ضمن قيود مختلفة وتسعى للوصول إلى أقل تكلفة أو إلى أعلى ربح . مثل هذه الأوضاع يمكن التعامل معها عادة باستعمال البرمجة الخطية. هي البرمجة الخطية: طريقة لإيجاد القيمة العظمى أو الصغرى لدالة ما تحت قيود معينة كل منها عبارة عن متباينة خطية، وذلك بعد تمثيل نظام المتباينات بيانيا، وتقع القيمة العظمى أو الصغرى - إن وجدت – للدالة ذات الصلة دائمًا عند أحد رؤوس منطقة الحل. 44 الفصل 1 الدوال والمتباينات مفهوم أساسي منطقة الحل X رأس У منطقة الحل قيد رأس У O منطقة الحل أضف إلى مطويتك قيود إذا كانت منطقة الحل محدودة (مغلقة) أو محصورة بقيود كما في الشكل أعلاه، فإن القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة تظهر دائما عند رؤوس منطقة الحل. إذا كانت منطقة الحل مفتوحة وممتدة، فهي بذلك غير محدودة، ويمكن أن تحتوي على قيمة عظمى أو قيمة صغرى. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

قراءة الرياضيات رمز الدالة يستعمل الرمز (f(x,y للتعبير عن الدالة في المتغيرين . وتُقرأ أ ل ا و ا . مثال 1 منطقة الحل المحدودة مثل نظام المتباينات الآتي بيانيًا، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة المعطاة في هذه المنطقة: 3≤ y ≤6 y ≤ 3x + 12 y≤-2x+6 f(x, y) = 4x-2y У y=6 (-2, 6) (0, 6) (-3, 3) (1.5, 3) | y=3 | y = 3x + 12 y= -2x+6 الخطوة 1 : مثل المتباينات بيانيًا، وحدّد إحداثيات الرؤوس. الخطوة 2 جد قيمة الدالة عند كل رأس. (x, y) 4x - 2y f(x,y) (-3, 3) 4(-3) — 2(3) -18 (1.5, 3) (0,6) (-2,6) 4(1.5)-2(3) 4(0)-2(6) 4(-2)-2(6) 0 -12 - -20 - قيمة عظمى قيمة صغرى . القيمة العظمى للدالة تساوي 0 وتكون عند النقطة (1.53) ، والقيمة الصغرى للدالة تساوي 20 وتكون عند النقطة (26). تحقق من فهمك -6≤y≤-2 (1B y≤-x+2 y≤2x+2 f(x, y) = 6x + 4y -2≤x≤6 1≤ y = 5 y ≤ x + 3 (1A f(x, y) = -5x+2y إذا نتج عن التمثيل البياني لنظام متباينات منطقة مفتوحة وممتدة، فإنها تكون غير محدودة. مثال 2 منطقة الحل غير المحدودة تنبيه القيمة العظمى والصغرى لا تفترض عدم وجود قيم عظمى أو صغرى إذا كانت مثل نظام المتباينات الآتي بيانيًا ، ثم حدّد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى منطقة الحل غير محدودة، للدالة المعطاة في هذه المنطقة: بل اختبر قيمة الدالة عند كل رأس؛ لتحدد إذا كان هناك قيمة عظمى أو صغرى . - 2y + 3x −12, y ≤ 3x + 12, y ≥ 3x − 6, f(x, y) = 9x — 6y مثل المتباينات بيانيا، وأوجد قيمة الدالة عند كل رأس؛ لأن القيمة العظمى أو الصغرى - إن وجدت - تكون عند الرؤوس. У | y = 3x + 12 (-4, 0) O X = 3x - 6 | 2y + 3x = - 12 (0, -6) (x,y) (-4,0) (0, -6) 9x-6y 9(-4)-6(0) 9(0) - 6(-6) f(x, y) -36 36 القيمة العظمى للدالة تساوي 36 وتكون عند النقطة 6 (0)، ولا توجد قيمة صغرى للدالة؛ لأن هناك نقطة 8) أخرى في منطقة الحل وهي (0) وتُعطي القيمة 48 للدالة وهي أقل من 36. وزارة التعليم Ministry of Education y> x - 9 y < -4x + 16 y = -4x-4 f(x,y) = 10x + 7y الدرس 6-1 البرمجة الخطية والحل الأمثل 1 - 245 (28) تحقق من فهمك y≤8 y> - x + 4 y < x + 10 (2 f(x, y) = −6x + 8y

الربط مع الحياة جاوز عدد مصانع الألبسة الجاهزة بالمملكة 300 مصنع تغطي بإنتاجها المتميز نحو ثلث احتياجات السوق المحلية. إيجاد الحل الأمثل: يُسمّى البحث عن السعر أو الكمية الأفضل أو الأنسب لتقليل التكلفة أو زيادة الربح الحل الأمثل، ويمكنك الحصول على ذلك الحل باستعمال البرمجة الخطية. مفهوم أساسي استعمال البرمجة الخطية لإيجاد الحل الأمثل الخطوة 1 حدد المتغيرات. الخطوة 2 اكتب نظام متباينات خطية يمثل المسألة. الخطوة 3 مثل نظام المتباينات بيانيا. الخطوة 4 جد إحداثيات رؤوس منطقة الحل. الخطوة 5 اكتب الدالة الخطية التي تريد إيجاد قيمتها العظمى أو الصغرى. الخطوة 6 عوض إحداثيات الرؤوس في الدالة الخطوة 7 اختر القيمة العظمى أو الصغرى وفقًا لما هو مطلوب في المسألة. مثال 3 من واقع الحياة أضف إلى مطويتك استعمال البرمجة الخطية لإيجاد الحل الأمثل أعمال: عد إلى الموقف الوارد في بداية هذا الدرس ، واستعمل البرمجة الخطية لإيجاد عدد القطع التي يتطلب إنتاجها من المقاسين لتكون التكلفة أقل ما يمكن. الخطوة 1: افرض أن x هي عدد الأثواب المنتجة من المقاس الصغير. لا هو عدد الأثواب المنتجة من المقاس الكبير. الخطوة 2 : 1500 > x ≥ 600 800 ≤ y ≤ 1700 x + y > 2000 y 2000 (600, 1700) (1500, 1700) 1600 (600, 1400) 1200 الخطوتان 3 و 4 مثل نظام المتباينات بيانيًّا كما في الشكل المجاور، (800 1500) : ثم . حدد رؤوس منطقة الحل. الخطوة 5 الدالة التي تريد إيجاد قيمتها الصغرى هي: إرشادات للدراسة الخطوة 6: منطقية الحل اختبر منطقية حلك بالتأمل في سياق المسألة. .f(x,y) = 55x + 70y قيمة عظمى ← قيمة صغرى ← 800 (1200, 800) 400 X 0 400 800 1200 1600 2000 عدد الأثواب المنتجة من المقاس الصغير (x, y) 55x + 70y f(x, y) (600, 1700) (600, 1400) 55(600) 70(1700) 152000 55(600) 70(1400) 131000 (1500, 1700) 55(1500) + 70(1700) 201500 (1500, 800) 55(1500)+70(800) (1200, 800) 55(1200) 70(800) 138500 122000 عدد الأثواب المنتجة من المقاس الكبير الخطوة 7: يجب إنتاج 1200 ثوب من المقاس الصغير، و 800 ثوب من المقاس الكبير لتكون التكلفة أقل ما يمكن. تحقق من فهمك (3) مجوهرات تصوغ أسماء من 10 إلى 25 عقدًا، ومن 15 إلى 40 سوارًا شهريًا. فإذا كانت أجرة صياغة - العقد 50 ريالا. وأجرة صياغة السوار 30 ريالًا، وصاغت في أحد الأشهر 30 قطعة من العقود والأساور على الأقل، فكم قطعة من كلا النوعين عليها صياغتها لتحصل على أكبر أجر؟ وزارة التعليم 46 الفصل 1 الدوال والمتباينات Ministry of Education 2024-1446

تأكد مثل كل نظام مما يأتي بيانيًا، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى المثالان 12 , للدالة المعطاة في هذه المنطقة: (1 (4 y 2 - 3x + 2 9x + 3y = 24 y≥-4 (3 y < - 3x + 6 (2 f(x,y) = 2x + 14y y = 2x + 6 (6 y > 2x - 8 y 2 - 2x - 18 f(x,y) = 5x - 4y -y≤ x y≤3 f(x,y) = 8x + 4y -3≤ y ≤7 (5 4y > 4x - 8 6y + 3x = 24 f(x,y) = -12x + 9y y≤5 x≤4 y=-x f(x, y) = 5x - 2y -2≤y≤6 3y ≤ 4x + 26 y≤ -2x+2 f(x, y) = −3x — 6y - مثال 3 : 7) ثقافة مالية : يبلغ مجموع ساعات العمل اليومي لعمال قسم الإنتاج في مصنع للغسالات 200 ساعة على الأكثر، ولعمال قسم ضبط الجودة 90 ساعة على الأكثر، ويبين الجدول الآتي عدد الساعات التي يتطلبها إنتاج وضبط جودة نوعين من الغسالات. الزمن اللازم لتصنيع الغسالة قسم الإنتاج النوع الأول 5 ساعات النوع الثاني 4 ساعات قسم ضبط الجودة ساعتان ساعتان اكتب نظام متباينات يمثل هذا الموقف. ( مثل نظام المتباينات بيانيا، وحدّد منطقة الحل. d حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل. إذا كان ربح الغسالة من النوع الأول 80 ريالا، ومن النوع الثاني 50 ريالا، فاكتب دالة تمثل الربح الكلي لكلا النوعين. ما عدد الغسالات التي يجب تصنيعها من كل نوع للحصول على أكبر ربح ممكن؟ وما هو هذا الربح؟ تدرب وحل المسائل مثل كل نظام مما يأتي بيانيًا، ثم حدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، وأوجد القيمة العظمى والقيمة الصغرى المثالان 12 للدالة المعطاة في هذه المنطقة: x + 4y > 2 2x + 4y = 24 (10 -3≤x≤2 (9 y 2 - 2x - 6 -8≤ y ≤-2 y≤ x (8 2≤x≤6 4y = 2x + 32 f(x, y) = −4x — 9y y ≤ -3x + 10 f(x, y) = 5x + 14y f(x, y) = 6x + 7y yz | x - 2 | y>|x-2| (13 x > -8 (12 x > -6 (11 • y≤8° 8y + 5x < 49 3x + 6y = 36 2y + 12 = 3x f(x) ) = -5x - 15y التعليم f(x, y) = 10x −6y y + x ≤ -1 2x + 3y 2 - 9 f(x, y) = -10x - 12y Ministry of Education الدرس 6-1 البرمجة الخطية والحل الأمثل 1 - 247

y > | x + 1 | - 2 (16) 0≤ y ≤6 -6≤x≤2 x + 3y < 14 f(x, y) =5x+4y -4≤x≤8 (15 y≤ x +4 (14 -8≤ y ≤6 y≥x-6 4y + 7x ≤ 31 yx-4 y < x + 10 y > -x - 10 f(x,y) = 12x + 8y f(x,y) = -10x + 9y بسعر مثال 3 17) صناعة : ينتج مصنع نوعين من وحدات الإنارة؛ يباع النوع الأول بسعر 25 ريالًا، أما النوع الثاني فيباع 35 ريالًا. فإذا كانت الطاقة الإنتاجية للمصنع لا تزيد على 450 وحدة إنارة يوميا، وكان على المصنع أن ينتج ما لا يقل عن 100 وحدة إنارة من النوع الأول وما لا يزيد على 200 وحدة إنارة من النوع الثاني، فما عدد وحدات الإنارة اللازم إنتاجها من كل نوع ليكون دخل المصنع اليومي أكبر ما يمكن؟ المملكة العربية السعودية اللجنة الوطنية لمكافحة المخدرات الأمانة العامة الربط مع الحياة صدر نظام مكافحة المخدرات في المملكة العربية السعودية عام 1426هـ. 18) طلاء إذا كان الوقت المتاح لمعاذ لطلاء 45 جدارًا وسقفًا متساوون في المساحة في أحد المباني هو 20 يومًا، ويستطيع معاذ طلاء 2.5 جدار ، أو سقفين في اليوم الواحد. (a) اكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف. ( مثل نظام المتباينات بيانيا ، وحدّد منطقة الحل وإحداثيات رؤوسها. إذا كان معاذ يتقاضى 26 ريالًا عن طلاء الجدار، و 30 ريالًا عن طلاء السقف، فاكتب دالة تمثل المبلغ الكلي الذي سيتقاضاه. ما عدد الجدران والأسقف التي عليه طلاؤها ليتقاضى أكبر مبلغ؟ وما هو هذا المبلغ ؟ (19) عقوبات اكتب العبارة التالية باستخدام المتباينات، ثم مثلها بيانيا، وحدد مجموعة من الحلول الممكنة وفسرها. يُعاقب بالسجن مدة لا تقل عن خمس سنوات ولا تزيد عن خمس عشرة سنة، وبغرامة من خمسین ألف ريال؛ كل من حاز مادة مخدرة أو باعها أو اشتراها أو نقلها». ألف ريال إلى (20) شحن يشحن مزارع منتجاته بالتعاون مع شركة شحن مختصة، وذلك في حاويات مبردة تبلغ حمولة الواحدة منها kg 4200 وحجم الحيّز الذي توضع فيه البضائع بداخلها 480، وتوضع المنتجات في إعادة تدوير أثناء الشحن في صناديق بمقاسين؛ صغيرة حجمها 33 وتزن 25kg ، وكبيرة حجمها ft3 5، وتزن 50kg، وأجرة شركة الشحن هي 5 ريالات عن كل صندوق من المقاس الصغير، و 8 ريالات عن كل صندوق من البلاستك الربط مع الحياة تدوير المواد يحمي الإنسان، ويقلل الاستهلاك، ويرشد الطاقة، ويقي البيئة من المخلفات والانبعاثات الضارة. المقاس الكبير. a جد عدد الصناديق المشحونة من كلا النوعين لتكون الأجرة أكبر ما يمكن. ما أكبر أجرة ممكنة لحاوية الشحن ؟ (21) إعادة التدوير : يقوم مصنع بإعادة تدوير ما لايزيد على 1200 طن من البلاستيك شهريا لصنع حاويات بمقاسين صغير وكبير ، وعلى المصنع أن يستعمل ما لايقل عن 300 طن في صنع الحاويات الصغيرة وما لايقل عن 450 طناً في صنع الحاويات الكبيرة. إذا كان المصنع يحقق ربحا قدره 175 ريالًا لكل طن . بلاستيك تم استعماله لصنع الحاويات الصغيرة ، و 200 ريال لكل طن تم استعماله لصنع الحاويات الكـ فما أكبر ربح يمكن تحقيقه ؟ وما عدد الأطنان المستعملة لكل نوع من الحاويات لتحقيق ذلك الربح ؟ 48 الفصل 1 الدوال والمتباينات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا (22) مسألة مفتوحة اكتب نظام متباينات خطية على أن تكون منطقة الحل محدودة وتقع في الربع الرابع : فقط ومساحتها 20 وحدة مربعة. (23) تحد جد مساحة المنطقة المحدودة بالمتباينات : || = y = x 1 - 3 y = - 1 x + 3, x . (24) حدد نظام المتباينات المختلف عن الأنظمة الثلاثة الأخرى فيما يأتي، وضّح إجابتك. (d У (c У O X O X O X (b У X (a (25 تبرير حدد إذا كانت الجملة الآتية صحيحة أحيانًا أو صحيحة دائمًا أو غير صحيحة أبدًا. وضّح إجابتك. " في المنطقة غير المحدودة لا يكون للدالة قيمة عظمى وقيمة صغرى في الوقت نفسه" تدريب على اختبار (26) حصل عامل على مبلغ 1950 ريالًا أجرة تبليط مساحة من الأرضيات والجدران في أحد البيوت، فإذا كانت أجرة تبليط المتر المربع من الأرضيات 12 ريالًا، وأجرة تبليط المتر المربع من الجدران 15 ريالًا وكان عدد أمتار بلاط الأرضيات يقل عن 3 أمثال عدد أمتار بلاط الجدران بـ 16m2، فأي أنظمة المعادلات الآتية تمثل هذا الموقف؟ 12x+15y = 1950 B x + 16 = 3y x - y = 1950 12x + 15y = 3 x+y=1950 A 3x = y 2x+3y=15 C x + y = 12 27) هندسة : أي مما يأتي يُعد وصفًا مناسبًا للتمثيل البياني للمعادلتين 16 + y = 3x - 5,4y = 12x؟ مستقیمان لهما المقطع لا نفسه مستقیمان متعامدان مستقیمان لهما المقطع x نفسه مستقیمان متوازيان. وزارة التعليم Ministry of Education 3y ≤2x8 (30 > y = 3 x - 1 √3 (33 الدرس 6-1 - البرمجة الخطية والحل الأمثل 1 - 249 4x-3y<7 (29 2y-x-6 مراجعة تراكمية حل كل نظام مما يأتي بيانيا : (الدرس 5-1) 3x + 2y ≥ 6 4x - y ≥2 (28 حدّد مجموعة الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد فيما يأتي : ( الدرس (1-1) -1 (32 -7 (31

الفصل 1 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل مفاهيم أساسية خصائص الأعداد الحقيقية (الدرس 1-1) • . تُقسم مجموعة الأعداد الحقيقية إلى مجموعتين، هما: مجموعة الأعداد النسبية (Q)، ومجموعة الأعداد غير النسبية المفردات الأعداد الحقيقية (12) الأعداد النسبية (12) الأعداد غير النسبية (12) الأعداد الصحيحة (12) الأعداد الكلية (12) (I). أما مجموعة الأعداد النسبية فتحوي: مجموعة الأعداد الأعداد الطبيعية (12) الصحيحة (Z)، ، ومجموعة الأعداد الكلية (W)، ومجموعة الأعداد الطبيعية (N). العلاقات والدوال (الدرس (2-1) الدالة هي علاقة يرتبط فيها كل عنصر يرتبط فيها كل عنصر في المجال بعنصر واحد في المدى. فقط دوال خاصة (الدرس (3-1) الدالة المتعددة التعريف : هي الدالة التي تكتب باستعمال أكثر الدالة المتباينة (18) العلاقة المنفصلة (18) (18) العلاقة المتصلة اختبار الخط الرأسي (18) المتغير المستقل (21) المتغير التابع (21) رمز الدالة (21) الدالة المتعددة التعريف (25) الدالة المتعددة التعريف الخطية (26) الدالة الدرجية (26) دالة أكبر عدد صحيح (26) دالة القيمة المطلقة (26) المتباينة الخطية (32) منطقة الحل (32) الحد (32) نظام المتباينات الخطية (37) القيود (44) البرمجة الخطية (44) محدودة (44) غير محدودة (44) الحل الأمثل (46) من عبارة • تمثيل المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة بيانيا (الدرس 4-1) يمكنك تمثيل المتباينة باتباع الخطوات الآتية: • . اختبار المفردات حدد إذا كانت كل من العبارتين الآتيتين صحيحة أم خاطئة؟ 1 12 ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية. الخطوة :1 مثل المعادلة الخطية المرتبطة بها، وحدد إذا كان (2) تحتوي مجموعة الأعداد النسبية على الكسور العشرية المنتهية حد المتباينة متقطعًا أو متصلاً. الخطوة 2: اختر نقطة لا تقع على حد المتباينة واختبرها إن كانت تحقق المتباينة أم لا. والدورية. الخطوة 3: إذا كانت النقطة تحقق المتباينة، فظلّل المنطقة اختر المصطلح المناسب بين الأقواس لإكمال كل جملة فيما يأتي: التي تحتوي على النقطة. وإلّا فظلّل المنطقة الأخرى. حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا (الدرس 5-1) يمكن إيجاد حل نظام متباينات خطية عن طريق تمثيل • 50 (3) تكون الدالة (منفصلة متباينة) إذا كان كل عنصر في المجال مرتبطا بعنصر مختلف في المدى، على أن لا يكون لأكثر من عنصر في المجال الصورة نفسها. المتباينات بيانيا وإيجاد منطقة الحل، وهي المنطقة المشتركة (4) مجال، مدى العلاقة هو مجموعة إحداثيات x للأزواج المرتبة التي بين حلول متباينات النظام، وإذا لم يكن هناك منطقة مشتركة فإن مجموعة الحل هي ه. البرمجة الخطية والحل الأمثل (الدرس 6-1) إيجاد القيمة الصغرى أو العظمى لدالة في منطقة على المستوى تكوّن العلاقة. (5) تُسمى الدالة التي تكتب باستعمال تعبيرين أو أكثر دالة (خطية، متعددة التعريف). الإحداثي يحددها نظام متباينات يمثل قيودًا على الدالة. أكمل كل جملة فيما يأتي بالمصطلح المناسب: إيجاد الحل الأمثل يعني إيجاد السعر أو الكمية التي تجعل الربح أكبر ما يمكن، أو التكلفة أقل ما يمكن. لطويات منظم أفكار تأكد من أن المفاهيم الأساسية مدونة في مطويتك. الفصل 1 الدوال والمتباينات الدوال والمتباينات 1-1 1-2 1-3 (6 هي طريقة لإيجاد القيمة الصغرى أو العظمى لدالة تحت شروط معينة يُعبّر عنها بنظام من المتباينات. (7) إيجاد الأنسب باستعمال البرمجة الخطية. . يعني إيجاد السعر الأفضل أو التكلفة (8) تُسمى منطقة الحل المفتوحة وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مراجعة الدروس 1-1 خصائص الأعداد الحقيقية الصفحات: 17-12) حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها كل عدد ممّا يأتي : 1.3 (9 V4 (10 بسط كل عبارة مما يأتي : -(11 مثال 1 حدد مجموعات الأعداد التي ينتمي إليها العدد 50 52 = 50 مجموعة الأعداد غير النسبية (I)، ومجموعة الأعداد الحقيقية (R) 4x-3y+7x+5y (12 2(a3) 4a+8b (13 4(2m5n) 3(m-7n) (14 - (15) مال اشتری سعد 3 شطائر بسعر 3.5 ريالات للشطيرة الواحدة، و 3 علب عصير بسعر 2.5 ريال للعلبة الواحدة. استعمل خاصية التوزيع لتكتب عبارتين تمثل كل منهما المبلغ الذي دفعه سعد. ( أوجد المبلغ الذي دفعه سعد باستعمال خاصية التوزيع. مثال 2 بسط العبارة : 5 + 3 + 4 56 + (36) + (a + 3b) + 5b = 4(a)4- خاصية التوزيع = -4a - 12b + 5b = -4a - 7b اضرب بسط 1-2 العلاقات والدوال الصفحات: 23-18) حدد مجال كلّ علاقة مما يأتي ومداها وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك فهل هي متباينة أم لا؟ مثال 3 حدد محال العلاقة {(1,2), (3,4), (5,6), (7,8)} (16 {(-3,0), (0,2), (2, 4), (4, 5), (5, 2)} (17 {(-4, 1), (3, 3), (1, 1), (-2, 5), (3,-4)} (18 {(7,−4), (5, −2), (3, 0), (1, 2), (−1,4)} (19 إذا كانت 2 + f(x) = 3x، أوجد قيمة كل مما يأتي: f(4) (20 f(0) (22 f(-a) (24 f(-3) (21 f(y) (23 f(2w) (25 26) مناسبات تتقاضى مؤسسة لتجهيز المناسبات 100 ريال og {(−4, 3), (−1, 0), (−2, 4), (3, −1), (2, 6)} إن كانت تمثل دالة أم لا. وهل هي متباينة أم لا؟ المجال : 1,2,3 ,2 ,4-) المدى: {6 ,4 ,3 ,0 ,1-} كل عنصر في المجال مرتبط بعنصر واحد فقط في المدى، مما يعني أن العلاقة تمثل دالة العناصر المختلفة في المجال لها صور مختلفة في المدى، إذا الدالة متباينة. مثال 4 عن توصيل اللوازم لمكان المناسبة ، و 4 ريالات أجرة يومية إذا كانت 3 - f(x) = 4x ، فأوجد (2). عن كل كرسي. ويمكن تمثيل ما تتقاضاه هذه المؤسسة عند استئجار x كرسيًّا بالمعادلة : y = 100 + 4x. أوجد مجال هذه المعادلة ومداها ، ثم حدد ما إذا كانت المعادلة دالة أم لا، وهل هي متصلة أم منفصلة؟ f(−2) = 4(−2) - 3 =-8-3 = −11 عوض عن x بـ 2 اضرب بسط وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 1 دليل الدراسة والمراجعة 1 - 251

دليل الدراسة والمراجعة الفصل 1 1-3 دوال خاصة الصفحات: 30-25) مثل كل دالة فيما يأتي بيانيا، ثم حدد مجالها ومداها: مثال 5 اكتب الدالة المتعددة التعريف الممثلة بيانيا في الشكل أدناه: 2- -1 5432- (f(x) -4-3-2-10 12. -3 1 2 3 4 x -2x, x ≤ -1 f(x)= x + 1, −1 < x <3 (27 x, x≥3 -3, x < -1 f(x) = = 4x-3,-1≤ x ≤ 3 (28 x,x>3 (29) اكتب الدالة المتعددة التعريف الممثلة بيانيا في الشكل أدناه: f(x) 432 1 2 3 4 -4-3-2-10 1 2 3 4 x -2. -3- -4 دالة الجزء الأيسر من التمثيل البياني هي 3 = (f(x الدائرة غير المظللة عند النقطة (2) تعني أن الدالة الخطية معرّفة عندما 2 - > x دالة الجزء الأوسط من التمثيل البياني هي 1 - f(x) = x وتعني كل من الدائرة المظللة عند النقطة (23) والدائرة غير المظللة عند النقطة (21)، أن الدالة معرّفة عندما 2 > x 2 دالة الجزء الأيمن من التمثيل البياني هي f(x) = 2x. والدائرة مثل كل دالة فيما يأتي بيانيًا، ثم حدد كلًا من مجالها ومداها: المظللة عند النقطة . (2) تعني أن الدالة معرفة عندما 2 = x. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 3,x-2 f(x)=x-1,-2≤ x <2 2x, x≥2 f(x) = [x] +2 (30 f(x) = [x+3] (31 الفصل 1 الدوال والمتباينات 52

1-4 تمثيل المتباينات الخطية ومتباينات القيمة المطلقة بيانيا (الصفحات: 36-32) مثل كل متباينة فيما يأتي بيانيا: مثال 6 مثل المتباينة 6 - 2 - x بيانيا . بما أن المتباينة تحتوي على إشارة < ، فإن حد المتباينة يكون متقطعًا، مثل بيانيا المعادلة المرتبطة 6 = x - 2y. اختبر النقطة (0) التي لا تقع على حد المتباينة 0 y x - 2y > 6 0 - 2(0) 6 ☑ 0>6 ظلّل المنطقة التي لا تحوي (0) y > 2x + 1 (33) y-3x-5 (35 y 2 | 2x - 2 | (37) 2y ≤ | x - 3 | (39) x - 3y < 6 (32) 2x+4y≤12 (34 y>|2x| (36 y+3<|x+1| (38 (40) شراء : وفّر بندر 46 ريالًا لشراء مجموعة من الدفاتر، والأقراص المدمجة، فإذا كان سعر الدفتر الواحد 4 ريالات، وسعر القرص المدمج 3 ريالات، اكتب متباينة تمثل عدد الدفاتر والأقراص المدمجة التي يمكن شراؤها، ثم مثلها بيانيا. 1-5 حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا (الصفحات : 42-37 ) حل كل نظام مما يأتي بيانيًا مثال 7 حل نظام المتباينات الآتي بيانيا : y > 3 x - 3 |y|>2 (42 x > 3 2 y<4-2x y<2x-3 (41 y≥4 y > x + 1 (44) x < -2 y 2 x + 3 (43) 2y = x - 5 (45) مجوهرات أمضى صائغ مجوهرات ما لا يزيد على 3 ساعات في صياغة الخواتم فإذا كان الزمن الذي يتطلبه تجهيز المعدات 15 دقيقة والزمن الذي تتطلبه صياغة الخاتم الواحد 25 دقيقة، فاكتب نظام متباينات يصف الموقف، ومثله بيانيا. منطقة الحل هي المنطقة التي كل نقطة من نقاطها تحقق كلتا المتباينتين، وهي المنطقة المظللة في الشكل أدناه. x y وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 1 دليل الدراسة والمراجعة 1 - 253

الفصل 1 دليل الدراسة والمراجعة 1-6 البرمجة الخطية والحل الأمثل (الصفحات: 49-44) (46) تنسيق أزهار يعمل جميل منسقا للأزهار، ويقوم بتنسيق نوعين من باقات الأزهار. يحتاج النوع الأول منها إلى مثال 8 زراعة يزرع فيصل ما لا يزيد على 300 شتلة من نوعين من الأشجار في مزرعته التي مساحتها m2 5184، حيث تحتاج 18 دقيقة، والنوع الثاني إلى 10 دقائق. ولا يزيد عدد الباقات الشجرة الواحدة من النوع (A) إلى مساحة 6m2، ومن النوع (B) التي ينتجها أسبوعيًا من النوع الثاني عن ضعف عدد باقات إلى m2 24، وذلك لتوفير مسافة كافية بين الأشجار. إذا كان سعر النوع الأول. فإذا كان جميل يعمل مدة لا تزيد على 40 الشتلة الواحدة من النوع (A) 8 ريالات، وسعر الشتلة الواحدة من ساعة أسبوعياً وكان ربحه في تنسيق الباقة من النوع الأول النوع (B) 12 ريالا. فما عدد الشتلات من كل نوع الذي يجعل 10 ريالات، ومن النوع الثاني 25 ريالا. فحدد عدد الباقات التي يجب عليه تنسيقها من كل نوع أسبوعيًا ليحصل على أكبر ربح. التكلفة أكبر ما يمكن؟ افرض أن X هي عدد الشتلات من النوع (A)، و y هي عدد الشتلات من النوع (B). x ≥ 0, y > 0 6x + 24y ≤ 5184 x + y = 300 (47) صناعة : ينتج مصنع نوعين من الأحذية على مرحلتين، ويحتاج الحذاء من النوع الأول إلى ساعتين في المرحلة مثل المتباينات بيانيا، ولاحظ أن النقاط (188 ,112) ,(216 ,0) ,(0 ,300) ,0 ,0) تمثل رؤوس منطقة الأولى وساعة واحدة في المرحلة الثانية، ويحقق ربحًا قدره 20 ريالا. أما الحذاء من النوع الثاني فيحتاج إلى ساعة الحل . واحدة في المرحلة الأولى و 3 ساعات في المرحلة الثانية ويحقق ربحًا قدره 15 ريالًا . فإذا كان مجموع ساعات العمل دالة التكلفة هي f(x, y) = 8x + 12y: هي القيمة العظمى للتكلفة وتحصل عند اليومي لموظفي المرحلة الأولى لا يزيد على 40 ساعة ولا القيمة 3152 ريالًا يزيد على 60 ساعة لموظفي المرحلة الثانية، فما أكبر ربح النقطة (1128). ولذلك إذا زرع فيصل 112 شتلة من النوع يمكن أن تحققه الشركة يومياً ؟ وما عدد الأحذية من كل نوع (A)، و 188 شتلة من النوع (B) فإن التكلفة تكون أكبر ما يمكن. 54 الذي يحقق هذا الربح ؟ الفصل 1 الدوال والمتباينات y 450 400 350 300 250 (0, 216) 200 (112, 188) 150 100 50 (300, 0) x ΟΙ 200 400 600 800 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

حلّ كل نظام مما يأتي بيانيا : 2x + 3y > 12 (13 3x - y < 21 x + y ≤4 (12 y=x 2 – 5x<6 (15 4x + y < -4 x - y > 0 (14 4+ y ≤2x الفصل 1 اختبار الفصل .−4(3a + b ) −2 (a - 5b): ö, hell bin (1) 2 اختيار من متعدد : إذا كان 23 = 5 + 3 ، فما قيمة 9 C 6 D 3 - 2m؟ 105 A 47 B منزله، فأحاط كلا منها بسياج. 5 ft (3) بستنة يريد عبد الله تصميم 3 أحواض للورود في حديقة (16 اختيار من متعدد استأجر خالد سيارة ليوم واحد من إحدى الشركات، فدفع 100 ريال أجرة يومية وريالًا واحدًا عن كل كيلومتر تقطعه السيارة بعد قطعها مسافة 200 كيلومتر، أما سعيد فاستأجر سيارة من شركة أخرى، ليوم واحد أيضًا فدفع 50 ريالًا أجرة يومية وريالين عن كل كيلومتر تقطعه السيارة بعد قطعها مسافة 200 كيلومتر. فما عدد الكيلومترات التي تجعل قيمة الاستئجار من الشركتين متساوية؟ فإذا كانت الأحواض الثلاثة متطابقة ولها الشكل المجاور، فكم قدمًا من السياج يحتاج إليه لإحاطة الأحواض الثلاثة؟ \7 ft 12 ft 7 ft 304 C 275 D 292 A 250 B (17) نجارة تصنع ورشة نجارة طاولات ومقاعد ثم تقوم بطلائها. ويبين الجدول الآتي الزمن الذي تتطلبه صناعة وطلاء كل من الطاولة والمقعد : المنتج زمن الصناعة بالساعات زمن الطلاء بالساعات مقعد 3 2 0.5 3(x+y) 4xy2 4) إذا كان 2 – = y , 2 3 = x فأوجد قيمة (5) حدد مجال العلاقة المبينة في الجدول الآتي ومداها، ثم حدد إذا كانت تمثل دالة أم لا، وهل هي متباينة أم لا؟ X -2 3 4 -1 3 2 6 3 إذا كانت 3 + f(x) = 2x، فأوجد قيمة كل مما يأتي: f(-4) (6 f(3y) (7 اختيار من متعدد : إذا كانت تكلفة إنتاج x فطيرة جبن في أحد المخابز يُعبر عنها بالدالة C(x) = 6 + 0.75x، فأوجد تكلفة إنتاج 20 فطيرة. A 13.5 ريالاً 28.61 ريالاً C 21 ريالاً D 38.4 ريالاً (9) مثل الدالة (f(x بيانيًّا . < (-x,x<-2 f(x)=x+2,-2 ≤ x ≤2 5,x 2 مثل كل متباينة فيما يأتي بيانيا : y > 4x – 1 (10 طاولة 1 إذا كان مجموع مجموع ساعات عمل فنيي صناعة المنتجات 108 ساعات يوميا، ومجموع ساعات عمل فنيي دهان المنتجات 20 ساعة يوميًا، وكان ربح الورشة من الطاولة الواحدة 35 ريالًا، ومن المقعد الواحد 25 ريالًا فكم طاولة ومقعدًا يجب صنعهما يوميًا ليكون الربح أكبر ما يمكن؟ بفرض أن عدد الطاولات ، وعدد الكراسي C ، اكتب نظام متباينات يمثل الموقف. ) مثل منطقة الحل بيانيا. ( جد عدد الطاولات وعدد المقاعد التي يجب صنعها ليكون الربح أكبر ما يمكن. وما أكبر ربح؟ مثل نظام المتباينات الآتي بيانيًا، وحدد إحداثيات رؤوس منطقة الحل، ثم أوجد القيمة العظمى والصغرى للدالة المعطاة في منطقة الحل: -3≤y≤5,4x + y ≤5, -2x + y ≤5 (18 f(x, y) = 4x - 3y 2x + 6y < -12 (11 وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 1 اختبار الفصل 1 - 255

الفصل 1 الإعداد للاختبارات المعيارية الأسئلة ذات الإجابات القصيرة تتطلب منك الأسئلة ذات الإجابات القصيرة أن تقدم لها حلا متضمنا الطريقة والتبريرات والتفسيرات التي استعملتها. وفي العادة يتم تصحيح هذه الأسئلة وتُحدد درجاتها باستعمال سلالم التقدير. وهذا مثال على تصحيح هذا النوع من الأسئلة . سلالم التقدير المعايير الدرجة الإجابة صحيحة مدعمة بتفسيرات كاملة توضح كل درجة كاملة 2 خطوة. • درجة جزئية . الإجابة صحيحة، لكن التفسيرات ليست كاملة . الإجابة غير صحيحة، لكن التفسيرات صحيحة. لا يستحق درجة لم يُقدم أي إجابة، أو أن الإجابة ليس لها معنى. 1 1 0 -- استراتيجيات حل الأسئلة ذات الإجابة القصيرة خطوة 1 اقرأ المسألة جيدًا؛ كي تفهم الشيء الذي تحاول حله. حدد الحقائق ذات العلاقة. . ابحث عن الكلمات المفتاحية والمصطلحات الرياضية. خطوة 2 ضع خطة وحل المسألة. فسر تبريرك أو اعرض الطريقة التي ستتبعها لحل المسألة. اكتب الحل كاملا مبينا الخطوات جميعها. . تحقق من إجابتك إذا سمح الوقت بذلك. مثال x+4= x+4- X = 5 9-4 اقرأ المسألة الآتية جيدًا، وحدد المطلوب. ثم استعمل المعلومات الواردة في حل السؤال، واكتب خطوات الحل. قدمت شركتا اتصالات عروضًا للجمهور على النحو التالي: قيمة الاشتراك الشهري للشركة A 14.5 ريالًا مضافًا إليه 0.05 ريال عن كل دقيقة اتصال وقيمة الاشتراك الشهري للشركة B هو 20.00 ريالًا مضافًا إليه 0.04 ريال عن كل دقيقة اتصال. أوجد عدد الدقائق التي يمكن أن يستخدمها المشترك، بحيث يدفع المبلغ نفسه شهريًا لكلا الشركتين. هي وزارة التعليم 56 الفصل 1 الدوال والمتباينات Ministry of Education 2024-1446

اقرأ السؤال بعناية؛ لديك معلومات عن شركتين مختلفتين للاتصالات والعروض للاشتراكات الشهرية المقدمة من كل منها. حيث إن قيمة الفاتورة تعتمد على قيمة ثابتة للاشتراك الشهري، بالإضافة إلى مبلغ متغير يعتمد على عدد دقائق الاتصال، والمطلوب منك تحديد عدد الدقائق التي يمكن استخدامها من قبل المشترك لكل من الشركتين بحيث يدفع المبلغ نفسه، ويمكنك تكوين نظام معادلتين آنيتين وحله. إجابة تستحق الدرجة الكاملة (2). كون نظامًا من معادلتين، وحُلّه. قيمة الفاتورة الشهرية = قيمة الاشتراك الشهري + تكلفة الدقيقة × عدد الدقائق. افترض أن y = قيمة الفاتورة الشهرية ، و x = عدد الدقائق المستعملة شهريًا. قيمة الفاتورة (بالريال) 50 40 80 688888888 90 70 60 (550, 42) 30 20 10 0 100 200 300 400 500 600 x y = 14.5 + 0.05x y = 20 + 0.04x (الشركة (A) (الشركة B) حل النظام بيانيًا. عدد الدقائق حل النظام هو (5502) ، أي أن المشترك سيدفع 42 ريالًا إذا اتصل 550 دقيقة شهريًا، سواء أكان مشتركًا في الشركة A أو B . خطوات الحل والحسابات والتبريرات واضحة، وتوصل الطالب إلى الإجابة الصحيحة، إذن تستحق هذه الإجابة درجتين. تمارين ومسائل اقرأ كل سؤال فيما يأتي، وحدد المطلوب، ثم استعمل المعلومات الواردة في السؤال، واكتب خطوات الحل: مشروعهم التجاري لقص الحشائش في الحدائق، فإذا كانوا يتقاضون مبلغ 245 ريالًا أجرة من كل زبون لقص حشائش من (1) اقترض علي ومحمود مبلغ 11000 ريال لشراء آلة زراعية لبدء 2 يرغب خالد في شراء بعض الأدوات المدرسية بحيث لا يدفع أكثر 50 ريالًا، فإذا كان ثمن المسطرة الواحدة 4.75 ريالات، وثمن القلم الواحد 6.5 ريالات، وأراد شراء قطعتين من كل نوع على الأقل، اكتب نظام المتباينات، ومثل منطقة الحل على المستوى الإحداثي. ثم أعط ثلاثة حلول مختلفة . الحديقة الواحدة، ويدفعون 20.5 ريالًا بدل صيانة وثمناً للمحروقات، فبعد كم حديقة سيبدؤون في تحقيق الربح. وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 1 الإعداد للاختبارات المعيارية 1 - 257

الفصل 1 اختبار تراكمي أسئلة الاختيار من متعدد اختر رمز الإجابة الصحيحة فيما يأتي: 1 2 4 إذا كانت f(x) = 3 x + x ، فما قيمة (3)f ؟ 5 ميل المستقيم الممثل بيانيًّا على المستوى الإحداثي الآتي هو : I IV III وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 O X 122 C 1 2 D - 2 - 2 A B II X 6 على الشكل أدناه منطقة حل النظام: 1 y≤ -2x-2 2 -6 C 4D - 7 A -1 B (2) يمكن حساب حجم المخروط الدائري القائم الذي ارتفاعه وطول نصف قطر قاعدته r بضرب ثلث T في الارتفاع في مربع نصف قطر القاعدة فأي المعادلات الآتية تمثل حجم المخروط المجاور؟ V = 13h C V = 13 πr²h A V = 1 nrh2 D - 3 = V-3πr h B (3) أي مجموعات الأعداد الآتية لا ينتمي إليها العدد 25- ؟ A الأعداد الصحيحة الأعداد النسبية الأعداد الحقيقية D الأعداد الكلية -3x-1 A المنطقة I B المنطقة II y≤- C المنطقة III D المنطقة IV (7) النقطة التي لا تمثل رأسًا لمنطقة حل النظام: • x ≥0, y ≥0, y ≤ -2x + 6 X y (0,6) C (0,0) A -3 4 1 -1 (3,0) D (0,3) B 2 6 -3 03 (4 مجال العلاقة الموضحة في الجدول الآتي هو : {0, 1, 2, 4, 6} A {-3, -1, 0, 4} B {-3, 1, 2, 6} C {-3, -1} D الفصل 1 الدوال والمتباينات 58

أسئلة ذات إجابات قصيرة أجب عن كل مما يأتي: 8 بسط العبارة أدناه: -4(3a - b)+3(-2a + 5b) (9) اكتب معادلة الدالة المتعددة التعريف الممثلة بيانيا في الشكل أدناه: АУ 86 42 |-8-6-4-22 2 4 6 8 x -4 -6 -8 (13) تُعد فاطمة نوعين من أطباق الحلوى؛ ويحتاج النوع الأول إلى 5 أكواب من الدقيق، وكوبين من السكر، أما النوع الثاني فيحتاج إلى 5 أكواب من الدقيق، وكوب واحد من السكر. فإذا كان لديها 40 كوبًا من الدقيق، و 15 كوبًا من السكر، وتكلفة إعداد طبق من النوع الأول 12 ريالا، وطبق من النوع الثاني 8 ريالات. اكتب نظام متباينات خطية يمثل عدد الأطباق التي يمكن لفاطمة إعدادها باستعمال الكميات المتوافرة. ( مثل نظام المتباينات الخطية الذي حصلت عليه في (a) بيانيا، واكتب إحداثيات نقاط رؤوس منطقة الحل . (10) جد قيمة الدالة المتعددة التعريف في التمرين (9) عند 3- = x. أسئلة ذات إجابات مطولة أجب عن كل مما يأتي موضحًا خطوات الحل: (11 مثل المتباينة 2 - | y | x بيانيا. (12) قدر مدير مخبز الربح في كل قطعة كعك يبيعها بـ 0.45 ريال، ولكل فطيرة 0.5 ريال. يأمل مدير المخبز أن يحصل على ربح لا يقل عن 150 ريالًا من الكعك بيع الكعك والفطائر يوميًا. افترض أن x عدد عدد قطع المبيعة و لا عدد الفطائر المبيعة، اكتب متباينة تمثل هذا الموقف. مثل المتباينة بيانيا. ( إذا باع المخبز 180 قطعة كعك و 160 فطيرة في يوم ما، فهل سيحصل على الربح المطلوب؟ فسر إجابتك. هل تحتاج إلى مساعدة إضافية؟ إذا لم تستطع حل سؤال ... فعد إلى . 00 3 2 1 4 1-2 1-1 1-2 1-2 ( اكتب دالة تمثل التكلفة ما عدد الأطباق من كل نوع الذي يجعل التكلفة أكبر ما يمكن؟ وما التكلفة في هذه الحالة؟ 13 12 11 10 8 7 65 . 1-4 1-3 1-3 1-1 1-6 1-5 مهارة سابقة 1-616| Ministry of Education الفصل 1 اختبار تراكمي 1 - 259