دوال كثيرات الحدود - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

3-5 دوال كثيرات الحدود Polynomial Functions فيما سبق درست تحليل التمثيل البياني للدوال التربيعية (مهارة سابقة) لماذا؟ يمكن تمثيل حجم الهواء في رئتي الإنسان خلال دورة تنفس مدتها t ثانية بالدالة : t) = -0.037t3 + 0.1522 + 0.173t)، حيث الحجم باللترات الزمن بالثواني. وهذه الدالة مثال على والان دالة كثيرة حدود رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa أجد قيم دوال كثيرات الحدود. أتعرف الأشكال العامة للتمثيل البياني لدوال دوال كثيرات الحدود: كثيرة الحدود بمتغير واحد هي عبارة جبرية على الصورة: كثيرات الحدود، وأحدد a2x2 + ax + ao + ... + 1 - 13 - + 2 ، حيث 19 - 9 ,... , , أعداد حقيقية ، 0 a t ، عدد أصفارها الحقيقية. المفردات: كثيرة حدود بمتغير واحد polynomial in one variable المعامل الرئيس leading coefficient n عدد صحیح n anx² an n a0, a1, a2, غير سالب. وتكون كثيرة الحدود مكتوبة بالصيغة القياسية إذا كانت أسس المتغير في حدودها مرتبة ترتيباً تنازلياً، ودرجة كثيرة الحدود هي أس المتغير ذي أكبر أس فيها، ويُسمى معامل الحد الأول في كثيرة الحدود المكتوبة بالصيغة القياسية المعامل الرئيس. كثيرة الحدود الثابتة مثال الدرجة المعامل الرئيس دالة كثيرة الحدود الخطية دالة القوة polynomial function power function التربيعية التكعية سلوك طرفي التمثيل البياني الصيغة العامة end behavior صفر الدالة zero of a function 138 12 0 12 4 1 4x - 9 LO 2 5x²-6x-9 8 3 8x3 + 12x2 - 3x + 1 an n ax" + an - 1 xh 1 + ... + ax + ao مثال 1 درجة كثيرة الحدود ومعاملها الرئيس حدد الدرجة والمعامل الرئيس لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي، وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد، فاذكر السبب: 8x54x3 + 2x²-x-3 (a هذه كثيرة حدود بمتغير واحد ، وأكبر أس للمتغير فيها ،5 ، لذا درجتها 5 ، والمعامل الرئيس 8. 12x² - 3xy + 8x (b هذه ليست كثيرة حدود بمتغير واحد ؛ فهناك متغيران هما y x . 3x4 + 6x34x8 + 2x (c هذه كثيرة حدود بمتغير واحد، وأكبر أس للمتغير فيها ،8، لذا درجتها ،8، والمعامل الرئيس 4-. تحقق من فهمك 8x4 - 2x3 - x6 + 3 (1C 5x - 3x4 + 12x3 - 14 (1B 5x3 – 4x2 - 8x + 4 (1A X الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

دالة كثيرة الحدود هي دالة متصلة يمكن وصفها بمعادلة كثيرة حدود بمتغير واحد ، فمثلًا 6 + f(x) = 3x3 - 4x دالة كثيرة حدود تكعيبية. وتكتب أبسط دوال كثيرات الحدود على الصورة f(x) = axb ، حيث a عدد حقيقي، عدد صحيح غير سالب، وتُسمى عندئذٍ دوال القوة. b إذا علمت عنصرًا في مجال دالة كثيرة حدود، تستطيع معرفة القيمة المقابلة له في المدى. مثال 2 من واقع الحياة إيجاد قيمة دالة كثيرة حدود التنفس : ارجع إلى الفقرة في بداية الدرس، وأوجد حجم الهواء في الرئتين خلال دورة تنفس مدتها ثانيتان. بتعويض العدد 2 في الدالة نجد (2) ، وهو حجم الهواء في الرئتين خلال دورة تنفس مدتها ثانيتين. الربط مع الحياة تصل سعة الرئة لدى الشخص البالغ السليم إلى 6 لترات تقريبا. v(t) = −0.037t³ + 0.152ť² + 0.173t v(2) = -0.037(2)3 + 0.152(2)² + 0.173(2) = -0.296 +0.608 + 0.346 = 0.658 L تحقق من فهمك الدالة الأصلية عوّض 2 بدلا من t بسط اجمع (2) تنفس أوجد حجم الهواء في الرئتين خلال دورة تنفس مدتها 4 ثوان. يمكنك إيجاد قيم الدوال عند متغيرات وعبارات جبرية. مثال 3 قيمة دالة كثيرة الحدود عند متغير إذا كانت 3 - f(x) = x 2 + x ، فأوجد: (f (3 - 4 - 5fc . - لإيجاد قيمة 4 - 3 f، عوض 4 - 3 بدلًا من x في الدالة (f(x f(x) = x2 + 2x - 3 f(3c-4) = (3c - 4)² + 2(3c - 4) – 3 - = 902 - 240 + 16 + 6 - 8 - 3 24c+16+6c = 92 – 18 + 5 الدالة الأصلية عوض 4 - 3 بدلا من x اضرب بسط لإيجاد قيمة (5f(c، عوض ، بدلًا من x في الدالة (f(x، واضرب الناتج في العدد 5. f(x) = x2 + 2x - 3 5f(c) 5(c²+2c - 3) = = 5c2 + 100 - 15 والآن أوجد قيمة (f(3 - 4 - 5f(c . الدالة الأصلية عوض ، بدلا من x خاصية التوزيع ƒ(3c — 4) – 5f(c) = (9c² – 18c + 5) - (5c² + 10c – 15) خاصية التوزيع = 92 – 180 + 5 - 502 - 100 + 15 تحقق من فهمك = 402 - 28 + 20 g(x) = x² -5x+8 315 13! (3A بسط - g(5a 2) + 3g(2a) (3) إذا كانت 3 + x) = 2x 2 + x)، فأوجد (h( -4d + 3) - 0.5hd . - وزارة التعليم Ministry of Education الدرس - دوال كثيرات الحدود 4 213914

قراءة الرياضيات الرمزان 00,00 - نعبر عن التزايد غير المحدود لقيم المتغير x ، باستعمال الرمز too ويُقرأ ما لا نهاية ويُكتب X + + oo كما نعبر عن التناقص غير المحدود لقيم المتغير x باستعمال الرمز - ويُقرأ سالب ما لا نهاية ويكتب التمثيل البياني لدوال كثيرات الحدود: إن التمثيل البياني لدالة كثيرة حدود يظهر عدد المرات التي قد يقطع فيها هذا التمثيل المحور x ، وهذا العدد يمثل درجة كثيرة الحدود. X الدالة الثابتة الدرجة 0 (f(x) C X الدالة الخطية الدرجة 1 f(x)- الدالة التكعيبية الدرجة 3 دالة من الدرجة الرابعة الدرجة 4 Af(x) A الدالة التربيعية الدرجة 2 f(x) دالة من الدرجة الخامسة الدرجة 5 Af(x) 811Xx X 4f(x) W X O X مجال دالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية ويُحدد سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة (f(x عندما تقترب x من المالانهاية ) + ( x ) ، أو سالب المالانهاية (- x) ، أو سالب المالانهاية ( 0 ) + ( بكل من : درجة دالة كثيرة الحدود والمعامل الرئيس لها. →> →> مفهوم أساسي سلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود الدرجة : زوجية المعامل الرئيس: موجب y = x 2 Af(x) الدرجة : فردية المعامل الرئيس: موجب 3 4 = x x أضف إلى مطويتك f(x)4 إرشادات للدراسة سلوك طرفي التمثيل البياني المعامل الرئيس ودرجة كثيرة الحدود هما العاملان الوحيدان في تحديد سلوك طرفي التمثيل البياني. المجال: مجموعة الأعداد الحقيقية المدى : مجموعة الأعداد الحقيقية الأكبر من أو التي تساوي القيمة الصغرى . المجال مجموعة الأعداد الحقيقية المدى : مجموعة الأعداد الحقيقية سلوك طرفي التمثيل البياني : ( في الاتجاه نفسه) سلوك طرفي التمثيل البياني : ( في اتجاهين مختلفين) x → −∞ Louie f(x) · x → +∞ Louie f(x) → +∞ → +∞ f(x) الدرجة : زوجية المعامل الرئيس : + + X18 x → −∞ Louie f(x) x → +∞ Louie f(x) الدرجة : فردية المعامل الرئيس: Af(x) 140 سالب المجال : مجموعة الأعداد الحقيقية المدى : مجموعة x Ο y = -x الأعداد الحقيقية الأقل من أو التي تساوي القيمة العظمى سلوك طرفي التمثيل البياني : ( في الاتجاه نفسه) الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها →> (f(x عندما x → - oo (f(x عندما x → +oo سالب المجال مجموعة الأعداد الحقيقية المدى : مجموعة الأعداد الحقيقية x سلوك طرفي التمثيل البياني : ( في اتجاهين مختلفين) X18 + + x → −∞ Louie f(x) x → +∞ Louie f(x) وزارة التعليم Ministry of cation 2024-1446

إرشادات للدراسة الصفر المكرر عندما يمس التمثيل البياني المحور x ، يكون للدالة صفران متساويان (صفر مكرر). صفر الدالة هو الإحداثي x لنقطة تقاطع التمثيل البياني للدالة مع المحور x ، لذا فإنه يمكن تحديد عدد الأصفار المنتمية لمجموعة الأعداد الحقيقية لمعادلة كثيرة الحدود من التمثيل البياني لدالة كثيرة الحدود المرتبطة بها. تذكّر أن مقاطع x تحدد هذه الأصفار ؛ ولذا فإن عدد مرات تقاطع التمثيل البياني مع محور x يساوي عدد هذه الأصفار. مفهوم أساسي أصفار الدوال الفردية الدرجة والزوجية الدرجة أضف إلى مطويتك يكون للدوال الفردية الدرجة عدد فردي من الأصفار المنتمية لمجموعة الأعداد الحقيقية، ويكون للدوال الزوجية الدرجة عدد زوجي من الأصفار أو لا يكون لها أصفار تنتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. كثير تا حدود زوجيتا الدرجة كثير تا حدود فرديتا الدرجة +f(x) جا Af(x) f(x)4 NA th AV MA Af(x) ليس لها أصفار حقيقية لها 4 أصفار حقيقية لها 3 أصفار حقيقية لها صفر واحد حقيقي مثال 4 • وصف دالة كثيرة الحدود من تمثيلها البياني أجب عن الأسئلة الآتية لكل من التمثيلين البيانيين أدناه : صف سلوك طرفي التمثيل البياني . . حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية. • اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة. Af(x) (b WA Af(x) X (a →> →>>> (f(x عندما x → - oo (f(x عندما x → + oo → +∞ →>>> (f(x عندما x (f(x عندما x → +oo بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في الاتجاه نفسه، بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في اتجاهين فالدالة زوجية الدرجة، وبما أن التمثيل البياني للدالة مختلفين، فالدالة فردية الدرجة، وبما أن التمثيل يقطع المحور x في نقطتين؛ لذا فللدالة صفران البياني للدالة يقطع المحور x في 5 نقاط؛ لذا فللدالة 5 أصفار حقيقية. حقيقيان. تحقق من فهمك وزارة التعليم Ministry of Education (f(x) (4B الدرس - دوال كثيرات الحدود 214114 X ▲ f(x) O X (4A

تأكد حدد الدرجة والمعامل الرئيس لكلّ كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي، وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد مثال 1 فاذكر السبب: -10x7 - 5x3 + 4x - 22 2 8x5 - 3x2 + 4xy - 5 (4 (x) = 2x4 - 5x3 + 3x2 - 2x + 8 (6) يأتي: 11x6 5x5 + 4x² (1 - 14x4 - 9x3 + 3x - 4y (3 أوجد (4) ,(5) لكل من الدالتين الآتيتين: مثال 2 (x) = -2x3 + 3x - 12 (5) إذا كانت 10 - x) = 43 - 5x2 + 2, d( x ) = 3x2 + 6x)، فأوجد كلًا مما مثال 3 -4[d(3z)] (8 -3c(2b)+6d(4b-3) (10 c(y³) (7 6c(4a) +2d(3a-5) (9 أجب عن الفروع - لكل من التمثيلين البيانيين أدناه : a - C ( صف سلوك طرفي التمثيل البياني. ) حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية. اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة. 4f(x) (12 f(x) X (11 مثال 4 تمارين ومسائل مثال1 حدد الدرجة والمعامل الرئيس لكلّ كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي، وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب: 3 3a74a4+ (14 a -128x²+5x-21x7 (16 (5 - 2y)(4+ 3y) (18 7x4+3x72x8 +7 (20 -6x6 - 4x5 + 13xy (13 8x5 12x614x39 (15 13b39b3b5-18 (17 6x5 – 5x4 + 2x - 3x2 (19 p(x) = x4 - 4x3 + 3x2 - 5x + 24 (22) p(x) = 2x4 + x3 - 4x2 (24 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 أوجد (3), (6) لكل دالة مما يأتي: مثال 2 p(x) = x4 - 2x2 + 3 (21 p(x) = −x³ + 3x² - 5 (23 إذا كانت 1 + c(x) = 2x2 - 4x + 3, d( x ) = -23 + x، فأوجد كلًا مما مثال 3 يأتي: c(b²) (27 c(y² – 1) (30 5d(2a) (26 d(4y - 3) (29 c(3a) (25 d(4a²) (28 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها 142

مثال 4 أجب عن الفروع من a-c لكل التمثيلات البيانية الآتية: a صف سلوك طرفي التمثيل البياني. حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية. اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة. f(x) (33 +f(x) (32 X O X (f(x) X (31 (34) فيزياء : تعطى الطاقة الحركية KE بالجول لجسم متحرك كتلته mkg بالدالة KE() = 0.5mo2، حيث تمثل 7 سرعة الجسم بالأمتار لكل ثانية. أوجد الطاقة الحركية لعربة كتلتها 171kg تسير بسرعة 11m/s . أوجد (8) ,(2) لكل دالة مما يأتي: f(x) = { x4 - 3 x x3 - +12x 18 (36 3 f(x)=x³-x²+x+ 10 (38 2 f(x) = 1½ x² + 1½ x³- 4x² (35 4 f(x) = 3/4x4 - 1 x² + 6x (37 حدّد التمثيل البياني المناسب لكل دالة في الأسئلة (392) مستعملا درجة كثيرة الحدود وسلوك طرفي التمثيل البياني لها. SAUDIA : الربط مع الحياة فن صناعة تصميم الملابس يعتمد على العلم والجمال، ويقوم على عدة عناصر تتكامل X B Vo f(x) = x³ + 3x² - 4x (39 f(x) = x4 - 3x2 + 6x (41 f(x) 4 D f(x) C Af(x) X f(x) = −2x² + 8x+5 (40 f(x) = -4x3 - 4x2 + 8 (42) من حيث الخط والشكل إذا كانت 8 + c(x) = 3 - 2x , d x ) = 4x2 - 6x، فأوجد كلًا مما يأتي: واللون والنسيج وتتناسق من حيث التصميم والابتكار ليحصل الفرد في النهاية على زي يُشعره بالتناسق ويراعى مراحل ترتيب قياسية d(x) 4x² 3c(a - 4) + 3d(a+5) (43 5c(a2) 8d(63a) (45 -2d(2a+3)-4c(a²+1) (44 −7d(a³) + 6c(a² + 1) (46 في مراحل إنتاج الملابس (47) ملابس تُمثل أرباح مصنع للملابس بدالة كثيرة الحدود 144 - x) = x4 + 40x2)، حيث x عدد الجاهزة. وتنتج الملابس من الألياف الصناعية بجانب قطع الملابس المبيعة بالألوف ، و (x) 20 ربح المصنع بألوف الريالات. الألياف الطبيعية والمخلوطة a أنشئ جدولًا لتمثيل الدالة بيانيًا، ثم مثلها استعمل قيم x التالية : 1,467 ,0 ,2 ,3 ,4 ,6 ,7-). ذات الطبيعة الخاصة. (b) أوجد أصفار الدالة. بين أي قيمتين يجب أن يبيع المصنع من قطع الملابس ليحقق ربحًا. d) وضح لماذا أُخذ صفران فقط بعين الاعتبار في الفرع c. " .(—7, 2, وزارة التعليم Ministry of Education الدرس - دوال كثيرات الحدود 214314

(548 : تمثيلات متعددة افترض أن ( g(x) = (x - 2) ( x + 1 ) ( x . 2)(x 1)(x − 3)(x + 4) (a) تحليليا حدد د المقطع والمقطع لا والجذور، ودرجة الدالة (x) ، وصف سلوك طرفي تمثيلها البياني. : ( جبريًا اكتب الدالة بالصيغة القياسية. جدوليًا : أنشئ جدولًا لتمثيل الدالة بيانيا، ثم مثلها. d :بيانيا مثل الدالة بيانيًا بتعيين نقاط ، والتوصيل بينها بمنحنى : صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة فيما يأتي: h(x) = -4x7 + 8x6 - 4x (51 g(x)= = 2x5 + 6x4 (50 f(x) f(x) = -5x4 + 3x2 (49) مسائل مهارات التفكير العليا (52) اكتشف الخطأ: حدّد كل من ماجد وبدر عدد أصفار التمثيل البياني المجاور. فأيهما إجابته صحيحة ؟ فسّر إجابتك. ماجد يوجد 8 أصفار؛ لأن التمثيل البياني يقطع المحور x 7 مرات، وأحد الجذور مكرر مرتين. بدر يوجد 7 أصفار؛ لأن التمثيل البياني يقطع المحور X سبع مرات. تدريب على اختبار (53) تحد : إذا كانت (x) من عوامل (f(x ، وكانت درجة (f(x تساوي5، ومعاملها الرئيس موجبًا، وكانت درجة f(x) g(x) (x) تساوي 3 ومعاملها الرئيس موجبًا، فصف سلوك طرفي التمثيل البياني للدالة . ، وفسّر إجابتك. (54) مسألة مفتوحة مثل بيانيًّا كثيرة حدود زوجية الدرجة عدد جذورها 8، وأحدها مكرر مرتين. (55) اكتب صف المقصود بسلوك طرفي التمثيل البياني لدالة كثيرة حدود، وكيف يتم تحديده؟ (56) ما باقي قسمة : 5 x3 – 7x على 3 + x ؟ إذا كان 1 = i ، فإن (7)5i يساوي : وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 -35 C -70 D 70 A 35 B 18c5d2 – 3c2d2 + 12a5c3d4 3c²d² (60 18ab4c5 – 30a4b3c2 + 12a5bc3 6abc² (59 3x4 + 2x2 - x -1 (63) -1 C 11 D -11 A 1 B مراجعة تراكمية بسط كل عبارة مما يأتي : الدرس (4-3) 16x4y3 + 32x6y5z2 8x2y (58 حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي كثيرة حدود أم لا، وإن كانت كذلك فاذکر درجتها : (الدرس (3-3) 8x2 + 5x4 – 6x + 4 (61 9x4 + 12x6 — 16 (62 - حل كلَّا من المعادلات الآتية مستعملا القانون العام لحل المعادلة التربيعية (الدرس (2-3) x2 -13x + 12 = 0 (66 x + x2 + 1 = 0 (65) x2 - x -3 = 0 (64 الفصل 3 كثيرات الحدود ودوالها 144