حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa Solving Systems of Linear Inequalities by Graphing 1-5 فيما سبق: درست حل نظام من معادلتين خطيتين بيانيا. (مهارة سابقة) والآن أحل نظام متباينات خطية بيانيا. لماذا؟ تؤخذ الحالة الجوية بالاعتبار عند إطلاق المركبات الفضائية، فيجب أن تكون درجة الحرارة بين 35 و 100°F، وأن لا تزيد سرعة الرياح على 30 عقدة. ويمكن تمثيل هذه الشروط بنظام من المتباينات الخطية كما في الشكل المجاور. نظام المتباينات الخطية : حل نظام المتباينات الخطية يعني أحدد إحداثيات النقاط إيجاد أزواج مرتبة تحقق جميع المتباينات في النظام. التي تمثل رؤوس منطقة الحل. المفردات: نظام المتباينات الخطية system of linear inequalities مفهوم أساسي حل أنظمة المتباينات الخطية الخطوة 1 مثل كل متباينة في النظام بيانيا. У 50 45 40 + I 35 30 I + I 20 15 10 I + 52525252525 0 20 40 60 80 100 درجة الحرارة (F°) أضف إلى مطويتك الخطوة 2 حدد المنطقة المظللة المشتركة بين مناطق حل متباينات النظام والتي تمثل منطقة حل سرعة الرياح (عقدة) النظام. مثال 1 حل النظام الآتي بيانيا : مناطق الحل المتقاطعة y > 2x - 4 y≤−0.5x+3 بتمثيل المتباينتين بيانيا نجد أن حلُّ المتباينة 4 - y > 2x - المنطقتان: 113 - حل المتباينة 3 + y = -0.5x - المنطقتان: 23 المنطقة 3 هي منطقة مشتركة بين منطقتي حل المتباينتين . وعليه فتكون هي منطقة حل النظام. تحقق : y=2x-4 المنطقة 1 y 4 NO 2. 1 -2 -2 0 1 2 3 4 5 6 y=-0.5x+3 المنطقة 2 المنطقة 3 - لاحظ أن نقطة الأصل تنتمي إلى منطقة حل النظام، ويمكن استعمال نقطة الأصل نقطة اختبار. والتحقق من صحة الحل بتعويض (0) بدلا من x, y في كلتا المتباينتين. y ≤ -0.5x + 3 0 -0.5(0) + 3 00 +3 ✓ 0≤3 y > 2x-4 02(0)-4 030-4 ✓ 0> -4 تحقق من فهمك yx (1B y<x+5 y≤ -2x+5 (1A y > - 114x-6 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5-1 حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا 1 - 237

قراءة الرياضيات يمكن أن لا تتقاطع منطقتا حل متباينتين، وعليه فلا يوجد حل للنظام في هذه الحالة، وتكون مجموعة الحل هي المجموعة الخالية هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر، ويرمز إليها بأحد الرمزين 0 أو { }. المجموعة الخالية. مثال 2 حل النظام الآتي بيانيا : مناطق الحل غير المتقاطعة 8- | y = x + 5 -8 -4 O - 8x y=x-4 -8 y≥x+5 y<x-4 بتمثيل المتباينتين بيانيا، نجد أن منطقتي الحل لا تتقاطعان، وبالتالي لا توجد نقاط مشتركة بينهما ، ولذا فليس للنظام حل. ومجموعة الحل هي .$ y = |x| y<x−6 (2B تحقق من فهمك y-4x+8 (2A y < -4x+4 تستعمل أنظمة المتباينات الخطية في حل مسائل من واقع الحياة. مثال 3 من واقع الحياة كتابة نظام من المتباينات إدارة الوقت لدى فاطمة 25 ساعة على الأكثر للاستعداد لأداء 3 اختبارات في الرياضيات والفيزياء والتربية المهنية، فوضعت جدولًا زمنيًّا استعدادًا لذلك، فخصصت ساعتين لدراسة التربية المهنية، وخصصت من 7 إلى 14 ساعة لدراسة الرياضيات، أما الفيزياء فخصصت لدراستها من 8 إلى 12 ساعة. اكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف ومثله بيانيا. الرياضيات بافتراض أن عدد ساعات دراسة الرياضيات ، فإن هذا العدد لا يقل عن 7 ساعات ولا يزيد على 14 ساعة أي أن: 7 < x < 14 الفيزياء: بافتراض أن عدد ساعات دراسة الفيزياء ، فإن هذا العدد لا يقل عن 8 ساعات ولا يزيد على ساعات دراسة الفيزياء 24 24 20 20 2 x =7 / x = 14 16 y=12 12 | y = 8 8 8 = y = 12 12 ساعة أي أن: وبما أن إجمالي وقت الدراسة هو 25 ساعة ، ساعتان منها لدراسة مادة التربية المهنية، ويتبقى 23 ساعة على الأكثر لدراسة الرياضيات x + y = 23 والفيزياء فإن: مثل المتباينات بيانيا. أي زوج مرتب في منطقة حل النظام يمثل حلا للنظام؟ أحد الحلول الممكنة هو 10 ساعات لدراسة الفيزياء، و 11 ساعة لدراسة الرياضيات. تحقق من فهمك | x + y = 23 | 12 16 20 x 4 048 ساعات دراسة الرياضيات (3) سفر خرج مشاري وبدر في رحلة لزيارة بعض محافظات المملكة برًا فتناوبا قيادة السيارة. فإذا كانت فترات قيادة مشاري للسيارة على نحو متواصل في اليوم لا تقل عن 4 ساعات، ولا تزيد على 8 ساعات، وكانت فترات قيادة بدر للسيارة على نحو متواصل في اليوم لا تقل عن ساعتين ولا تزيد على 5 ساعات، وكان إجمالي زمن قيادة كليهما يوميًّا لا يزيد على 10 ساعات، فاكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف، ثم مثله بيانيًا. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 1 الدوال والمتباينات 38

7 81654321 У رأس 10 2 3 4 5 6 7 8 X У X + 6 8. (-4,7) 4. إيجاد رؤوس منطقة الحل : ينتج أحيانًا عن التمثيل البياني لنظام متباينات خطية منطقة مغلقة على شكل مضلع ، ويمكن إيجاد إحداثيات رؤوس تلك المنطقة بإيجاد إحداثيات نقاط تقاطع المستقيمات المحدّدة للمنطقة (الحدود). -8 -4 10 8 x | 4y = - 15x - 32 | y=2x-8 -8(0, -8) مثال 4 إيجاد رؤوس منطقة الحل أوجد إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني للنظام الآتي: y≥2x-8, y ≤ -1x+6,4y ≥ −15x - 32 = > الخطوة 1: مثل كل متباينة بيانيا. الخطوة 2 من التمثيل البياني يمكنك إيجاد إحداثيات رأسين من رؤوس المثلث وهما الزوجان المرتبان .(-4,7), (0, -8) الخطوة 3: أوجد إحداثيي الرأس الثالث بحل النظام المكون من المعادلتين الخطيتين: . y = 2x - 8 , y = - 1 x + 6 4 عوض عن لا بقيمتها في المعادلة الثانية. 8 - 2x عوض عن ل بـ 8 - 2x اجمع 8 لكلا الطرفين اجمع x لكلا الطرفين اضرب كلا الطرفين في العدد. عوّض عن x بالعدد 6 خاصية التوزيع بسط = ·x+6 4 2x = - x -x + 14 9 X fx = 14 56 x = = 6 جد قيمة . y = 2 (632/3) - = 12 - 8 1 / 14 = 41/1/14 8 (-4, (0, -8), إحداثيات رؤوس المثلث هي: (634) (8) (47) . تحقق : قارن بين الإحداثيين اللذين وجدتهما، وبين إحداثيي الرأس الثالث في التمثيل البياني، ولاحظ أن الإحداثي x للرأس الثالث محصور بين العددين 67، لذا فإن القيمة 6 معقولة، وكذلك الإحداثي y محصور بين العددين 45 ، ولذا فإن القيمة 4 معقولة أيضًا. 6 9 وزارة التعليم Ministry of Education 5y 2x+9 (4B oy - x + 6 تحقق من فهمك y≥ -3x-6 (4A 2y = x - 16 9y 2 - 2x + 5 11y + 7x < 12 الدرس 5-1 حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا 1 - 239

y > 2x + 10 (3 y < -3x + 4 (2) y = - 3x - 3 y > 2x - 1 تأكد حل كل نظام مما يأتي بيانيا: المثالان 12 , y≤6 (1 y > -3 + x (4) مشتريات خصصت ليلى مبلغا لايتجاوز 350 ريالًا لشراء نوعين من الأقلام، يباع الأول في رزم تضم مثال 3 الواحدة منها 10 أقلام وثمنها 35 ريالًا، ويباع الثاني في رزم تضم الواحدة منها 8 أقلام وثمنها 25 ريالًا. فإذا أرادت ليلى شراء 40 قلما على الأقل من كلا النوعين. فاكتب نظام متباينات خطية يمثل هذا الموقف، ومثله بيانيا أوجد إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني لكل نظام مما يأتي: مثال 4 y-2x-4 (6 6y < x + 28 y > 13x - 34 y≥2x+1(5 y≤ 8 4x + 3y 2 8 تدرب وحل المسائل حل كل نظام مما يأتي بيانيا: المثالان 12 4 < -3x + 4 (9) 3y + x > - 6 -8x-2y-1 (12 -4y=2x-5 ― y3x 5 (8 y≤4 6x - 2y 2 12 (11 3x + 4y > 12 x<3 (7 y ≥ -4 y≥0 (10 y<x y> -3x+2 (15 5 5y-2x-15 3y - 2x = -24 (14 yz - x - 1 5y < 2x + 10 (13 y - 4x > 8 (16 عمل جزئي : يعمل سعيد عملين جزئيين ويتقاضى على كل منهما أجرًا؛ فيتقاضى 20 ريالًا عن كل ساعة مثال 3 في العمل الأول، و 24 ريالًا عن كل ساعة في العمل الثاني، فإذا علمت أنه يعمل مدة لا تزيد على 25 ساعة في كلا العملين أسبوعيًا. فاكتب نظامًا من متباينتين يبين عدد الساعات التي يعملها في كل من العملين؛ ليجمع مبلغًا لايقل عن 1850 ريالا في 8 أسابيع، ثم مثله بيانيا. أوجد إحداثيات رؤوس المثلث الناتج عن التمثيل البياني لكل نظام مما يأتي: مثال 4 x < 4 y > -3x+12 y≤9 (19 y > 3x - 7 (18 y≤8 x + y > 1 x > 0 (17 y≥0 x + 2y < 4 6y-24x-168 (22 8y + 7x > 10 8y - 19x < 74 (21 -3x + 4y = 15 (20) 38y + 26x < 119 2y + 5x > -12 20y - 2x ≤64 54y-12x-198 10y + 60 > 27x وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 40 الفصل 1 الدوال والمتباينات

(23) اتصالات يجري فهد مكالمات هاتفية من هاتفه المحمول مدتها لا تزيد على 800 دقيقة، بشرط أن لا يقل عدد دقائق الاتصال نهارًا عن ضعف عددها ليلًا، ولا يقل عدد دقائق الاتصال ليلًا عن 200 دقيقة. اكتب نظام متباينات يمثل الموقف، ومثله بيانيا. (24 أشجار: تصنف الأشجار في الغابات تبعًا للارتفاع ومحيط الساق إلى أربع مجموعات، ويبين الجدول الآتي ارتفاع ومحيط ساق أشجار كل مجموعة من هذه المجموعات في إحدى الغابات: الأشجار شبه الأشجار المتوسطة الأشجار غير المجموعة الأشجار المسيطرة المسيطرة السيطرة الارتفاع (ft) محيط الساق (in) أكثر من 72 أكثر من 60 40-55 56-72 34-48 48-60 المسيطرة أقل من 39 أقل من 33 الربط مع الحياة تصنف الأشجار في الغابات وفقا لوصول الضوء إلى أوراقها إلى أربعة أصناف: المسيطرة: أشجار يصل ضوء الشمس إلى أوراقها من أعلى فقط. شبه المسيطرة: أشجار يصل ضوء الشمس إلى أوراقها من أعلى ومن الجوانب. المتوسطة السيطرة أشجار ارتفاعها بسيط ويصل ضوء الشمس إلى أوراقها من أعلى فقط. غير المسيطرة أشجار تنمو أسفل مستوى الأشجار الأخرى، وتكون تحت ظل الأشجار الأخرى. اكتب نظام متباينات خطية يمثل مدى كل من : الارتفاع و محيط الساق، للأشجار شبه المسيطرة ومثله بيانيا. ) ما المجموعة التي تنتمي إليها شجرة زيزفون ارتفاعها 48ft ؟ وما المدى الذي يقع فيه محيط ساقها؟ حل كل نظام مما يأتي بيانيا : y = | 2x + 4 - 2 (25) 3y + x ≤ 15 |y|≥x (27 y 2 | 6 - x | (26 y<2x |y|≤4 1xy (30 6y + 2x ≤ 9 (29 y > - 3x + 1 (28 y≤6 2y + 18 > 5x 4y = x - 8 y = -2 y > -4x-9 3x-5y < 20 y > | x - 2 + 4 (33) y≤ [x] − 3 - 8x + 4y < 10 (32) y > | 2x - 1 | 2x + 3y > 6 (31 y < | x - 6 | جد إحداثيات رؤوس الشكل الناتج عن التمثيل البياني لكل نظام مما يأتي: y > 2x - 12 (34 y < -4x + 20 y-x-8 (35 2y-x-20 (36 y 2 - 3x - 6 2y = 3x - 20 4y + x < 24 4y - x = 8 y < 4x + 22 y 2 - 3x + 2 y≤ -2x+2 y < 2x + 14 لاعبي (37) رياضة : يريد معلم التربية البدنية أن يختار من 10 إلى 15 لاعبًا ليشكل فريق كرة سلة على أن يكون اللاعبون من طلاب الصفين الثاني والثالث، ويكون عدد اللاعبين من الصف الثالث أكثر من الثاني. اكتب نظام متباينات يمثل ذلك الموقف، ومثله بيانيا. الصف وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5-1 حل أنظمة المتباينات الخطية بيانيا 1 - 241

12 10 4 6 10 4 6 10-46 10 4 (38) إدارة الوقت يستثمر رامي وقت فراغه في تلاوة القرآن الكريم وممارسة الرياضة. فإذا كان مجمل وقت فراغه لا يتجاوز 20 ساعة أسبوعياً، ويقضي من 4 إلى 10 ساعات منها في ممارسة الرياضة ، ولا يقل زمن تلاوته للقرآن الكريم عن 10 ساعات ولا يزيد على 14 ساعة. فاكتب نظام متباينات خطية يمثل ذلك الموقف، ومثله بيانيا. مسائل مهارات التفكير العليا الربط مع الحياة (39) مسألة مفتوحة : اكتب نظامًا من متباينتين على أن يكون الحل : (a) في الربع الثالث فقط . حث الإسلام على استثمار الوقت والحرص عليه قال صلى الله عليه وسلم: لا تزول قدما عبد يومَ القيامة حتَّى يُسأل عن عمره فيما أفناه، وعن علمه فيم فعل، وعن ماله من أينَ اكتسبَهُ وفِيمَ أنفقَهُ، وعن جسمه فيمَ أبلاه". [ رواه الترمذي]. تدريب على اختبار غیر موجود واقعا على مستقيم. d) نقطة واحدة فقط. (40) تحد في الشكل المجاور ، اكتب نظام المتباينات التي تمثل المنطقة المظللة حلا له. (41) تبرير هل الجملة الآتية صحيحة أم غير صحيحة، وإذا كانت غير صحيحة فأعط مثالا مضادًا. X 8 bo -8 -40 4 "النظام المكون من متباينتين خطيتين إما أن يكون ليس له حل أو أن يكون له عدد لا نهائي من الحلول". (42) اكتب وضّح بخطوات مكتوبة طريقة تحديد منطقة التظليل عند حل نظام متباينات خطية بيانيا. (43) يبين الجدول المجاور العلاقة بين x و y . فأيُّ المعادلات الآتية تمثل هذه العلاقة؟ y = 3x - 2 A y = 3x + 2 B y = 4x + 1 X Y 1 5 2 8 3 11 4 14 50 17 6 20 44) إجابة قصيرة : إذا كانت 62 = 3x = 2y 5y، فما قيمة x بدلالة z؟ y = 4x - 1 D مراجعة تراكمية مثل كل متباينة مما يأتي بيانيا : ( الدرس (4-1) x + y = 6 (45) 5x+7y-20 (47 4 x 3 y < 10 (46) مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا، وحدد كلا من مجالها ومداها : ( الدرس (3-1) f(x) = | x 3 | (48) - h(x) = [x]-5 (49 إذا كان 4 - f(x) = 2 + x = 3x ، فأوجد قيمة كل مما يأتي : ( الدرس (2-1) g(-2) (50 f(-0.25) (51 g(-0.75) (52 42 الفصل 1 الدوال والمتباينات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446