العلاقات والدوال - رياضيات2-1 - ثاني ثانوي

1-2 العلاقات والدوال Relations and Functions رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa فيما سبق درست تحديد كل من مجال ومدى علاقة معطاة. (مهارة سابقة) والآن : لماذا؟ يبين الجدول أدناه المعدل الشهري التقريبي لأعلى درجة حرارة وأدناها في مدينة الرياض، لاحظ أن معدل كلّ من درجتي الحرارة الدنيا والعليا لكل شهر يمكن تمثيله بزوج مرتب . فعلى سبيل المثال، يمكن تمثيل معدلي درجات الحرارة لشهر يناير بالزوج المرتب (920). معدل درجات الحرارة الشهرية (C°) في مدينة الرياض ▪ أحلّل العلاقات والدوال. أستعمل معادلات العلاقات والدوال المفردات الدالة المتباينة one-to-one function العلاقة المنفصلة discrete relation العلاقة المتصلة continuous relation الشهر يناير فبراير | مارس | إبريل مايو يونيو يوليو أغسطس سبتمبر أكتوبر نوفمبر ديسمبر الدنيا العليا 11 15 21 26 29 29 28 26 20 15 11 9 22 27 35 40 43 43 42 39 33 27 23 20 علاقة يرتبط فيها كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى. العلاقات والدوال تذكر أن الدالة هي مفهوم أساسي الدالة المتباينة اختبار الخط الرأسي vertical line test الدالة المتباينة : هي دالة يرتبط فيها كل عنصر من المجال بعنصر مختلف من المدى، وهذا يعني أنه لا يمكن أن يرتبط عنصران من المجال بالعنصر نفسه من المدى. المتغير المستقل independent variable المتغير التابع dependent variable رمز الدالة function notation أضف إلى مطويتك المدى المجال DBA 123 مثال 1 المجال والمدى حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها، وبين ما إذا كانت دالةً أم لا ، وإذا كانت كذلك فهل هي متباينة أم لا ؟ {(-6, -1), (5, -9), (-3, -7), (-1,7), (-6, -9)} (a إرشادات للدراسة العلاقة : تمثل العلاقة عادة على شكل أزواج مرتبة (x,y)، كما يمكن وصفها بعدة طرق أخرى منها المخطط السهمي، والجدول، والتمثيل البياني. المجال مجموعة إحداثيات X في الأزواج المرتبة الممثلة للعلاقة. المدى مجموعة إحداثيات / في الأزواج المرتبة الممثلة للعلاقة. (b المجال = {1- ,3- ,5 ,6-} المدى = {7 ,1- ,7- ,9-} هل هي دالة: لا، لأن العنصر 6 في المجال ارتبط بكل من العنصرين 19 في المدى. У 4 المجال = {3 ,2 ,1- ,2-} 3 X 2 -2-1 -1 -2 المدى = {4 ,0 ,1-,2-} هذه العلاقة دالة؛ لأن كل عنصر في المجال ارتبط بعنصر واحد فقط من المدى. وهي متباينة؛ لأن كل عنصر من المدى ارتبط بعنصر واحد فقط المجال. من وزارة التعليم 18 الفصل 1 الدوال والمتباينات Ministry of Education 2024-1446

الدالة المتباينة

المجال والمدى

أحلل العلاقات والدوال

يبين الجدول أدناه المعدل الشهري التقريبي لأعلى درجة حرارة وأدناها في مدينة الرياض

-3 0 -2 −1 0 8 1246 (1B تحقق من فهمك 4 У 2 432- 1 -4-3-2 O 1 2 3 4x -2- -3. -4- 34 (1A العلاقة التي يكون فيها المجال مجموعة من العناصر المنفردة، وتمثل بيانيًا بنقاط منفصلة، مثل العلاقة A أدناه تسمى علاقة منفصلة. لاحظ أن تمثيلها البياني يتكون من نقاط غير متصلة، والعلاقة التي يكون مجالها فترة جزئية من الأعداد الحقيقية وأمكن تمثيلها بيانيًا بمستقيم أو بمنحنى متصل مثل العلاقة B أدناه، فإنها تكون علاقة متصلة. العلاقة B У * علاقة متصلة x العلاقة A УА علاقة منفصلة x يمكنك استعمال اختبار الخط الرأسي مع كل من العلاقات المتصلة والمنفصلة لمعرفة إذا كانت العلاقة دالة أم لا. مفهوم أساسي اختبار الخط الرأسي التعبير اللفظي: إذا لم يقطع أي خط رأسي النموذج : التمثيل البياني للعلاقة بأكثر من نقطة، فالعلاقة دالة. أضف إلى مطويتك إذا قطع خط رأسي التمثيل البياني للعلاقة في أكثر من نقطة فالعلاقة ليست دالة. وزارة التعليم Ministry of Education x الدرس 2-1 العلاقات والدوال 1 - 219 X إرشادات للدراسة العلاقة المتصلة يمكنك تمثيل العلاقة المتصلة بيانيًا دون رفع القلم عن الورقة.

تحقق من فهمك حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها

علاقة منفصلة - علاقة متصلة

اختبار الخط الرأسي

العلاقة المتصلة

الربط مع الحياة هل تعلم أن لكل 8 حوادث مرورية في المملكة العربية مثال 2 من واقع الحياة تمييز العلاقة حوادث المرور يبين التمثيل البياني المجاور أعداد الوفيات في إحدى مدن المملكة نتيجة الحوادث المرورية من عام 1433 هـ إلى عام 1437 هـ ، ، هل العلاقة التي يمثلها منفصلة أم متصلة؟ وهل تمثل دالة؟ بما أن التمثيل البياني مكون من نقاط منفصلة، فالعلاقة منفصلة. وباستعمال اختبار الخط الرأسي نلاحظ أنه لا يمكن رسم أي خط رأسي يمر بأكثر من التمثيل، إذن فالعلاقة تمثل دالة. تحقق من فهمك نقطة من نقاط . أعداد الوفيات في الحوادث المرورية 500 450 400 350 1300 250 200 150 100 50 0 1433 1434 1435 1436 1437 العام عدد الوفيات السعودية يحدث 6 إصابات، (2) عمال إذا كان عدد العاملين في إحدى المؤسسات في الأعوام من 1433هـ إلى 1438هـ على الترتيب بينما النسبة العالمية إصابة هو : 38373 مثل هذه البيانات بيانيا، وهل العلاقة التي تمثلها هذه البيانات منفصلة أم واحدة لكل 8 حوادث ؟ ! إرشادات للدراسة تمثيل الدالة بيانيًا لتمثل دالة ما بيانيا، أولا يجب أن تحدد مجالها ( جميع قيم التي تكون 34, متصلة. وهل تمثل دالة؟ معادلات العلاقات والدوال يمكنك تمثيل العلاقات والدوال بمعادلات، وقيم المتغيرين x, y في المعادلة هي مجموعة الأزواج المرتبة (x) التي تحقق المعادلة. ومن السهل في أغلب الأحيان تحديد إذا كانت المعادلة تمثل دالة من خلال تمثيلها البياني. مثال 3 تمثيل العلاقة بيانيا عندها الدالة معرفة أي قيم X التي تكون عندها f(x) R، وهذا يمكنك مثل المعادلة 3 - y = x بيانيا، ثم حدد مجالها ومداها، وحدد ما إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كانت 3 كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ ثم حدد ما إذا كانت منفصلة أم متصلة. من معرفة بعض الأزواج كون جدولا لبعض القيم التي تحقق المعادلة، ثم مثل المعادلة بيانيًا. المرتبة التي تسهل عليك تمثيل الدالة بيانيا. ثم تحدد مداها (جميع قيم 4 مجال هذه العلاقة ومداها هو مجموعة الأعداد الحقيقية، لأن أي عدد حقيقي يمكن أن يكون الإحداثي x لنقطة ما على التي تقابل قيم )x) ويكون المستقيم، كما أن أي عدد حقيقي أيضًا يمكن أن يكون من السهل إيجاد المدى من التمثيل البياني، ومن الإحداثي لا لنقطة ما على المستقيم. الجدير بالذكر أن المجال التمثيل البياني للعلاقة يحقق اختبار الخط الرأسي؛ لذا فإن المعادلة تمثل دالة؛ لأن كل قيمة لـ x ترتبط بقيمة واحدة والمدى لجميع الدوال الخطية هو مجموعة الأعداد الحقيقية فقط لـ y، У X Y -4 -5 X -2 -4 (4,-1) 0 -3 2 -2 (2,-2) (-2, −4) (0, -3). 4 −1 وحيث إن كل قيمة لـ لا مرتبطة بقيمة واحدة فقط لـ x، لذا فالدالة متباينة. وبما أن التمثيل البياني عبارة عن مستقيم متصل دون انقطاع، فالدالة متصلة. 10 (-4, -5) 20 الفصل 1 الدوال والمتباينات تحقق من فهمك y = x2 + 1 (3 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تمييز العلاقة

معادلات العلاقات والدوال

تمثيل العلاقة بيانياً

إذا كان عدد العاملين في إحدى المؤسسات في الأعوام من 1433 هـ إلى 1438هـ هل العلاقة التي تمثلها هذه البيانات منفصلة أم متصلة . وهل تمثل دالة؟

تحقق من فهمك مثل المعادلة بيانيا ، ثم حدد مجالها ومداها: y=x2+1

إذا كانت المعادلة تمثل دالة، فإن المتغير من المجال غالبًا ما يكون (x) ، يسمى المتغير المستقل. والمتغير الثاني غالبًا ما يكون y)، يسمى المتغير التابع لأن قيمه تعتمد على قيم المتغير x . المعادلات التي تمثل دوال تكتب عادة باستعمال رمز الدالة. فالمعادلة 1 - y = 5x يمكن كتابتها على الصورة قراءة الرياضيات 1 - f(x) = 5x . وإذا أردنا إيجاد قيمة في المدى ترتبط بالعنصر 6 في مجال الدالة ، فإن هذه القيمة هي (6)f ويمكن إيجادها بالتعويض عن كل x في المعادلة بالعدد 6 ؛ لذا فإن 31 = 1 - (6)5 = (6)f . رمز الدالة يستعمل الرمز (f(x f(2y) (b الدالة الأصلية عوض (2y)2 = 22y2 بسط f(x) = 2x2 - 8 f(2y) = 2(2y)² – 8 = 2(4y²) - 8 = 8y2 - 8 f(x) = 2x2 - 8 f(6) = 2(6)2 - 8 للدوال بدلا من ل ، ويُقرأ أ ل x ؛ حيث f مثال 4 إيجاد قيمة الدالة - هو اسم الدالة وليس متغيرًا مضروبا في x لتكن 8 – f(x) = 2x2، أوجد قيمة كل مما يأتي: الدالة الأصلية عوض f(6) (a 6² = 36 = 2(36) - 8 بسط = 72 - 8 = 64 تأكد تحقق من فهمك g(x) = 0.5x2 - 5x + 3.5 g(2.8) (4A g(4a) (4B مثال 1 حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها ، وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ X y (3 У (2 (1 3 5 -2 -4 (1, 5) (-2, 3) 1 6 1 -4 -8 -2 4 -2 (1, 2) 8 6 O (4, -1) مثال 2 (4) كرة قدم : يبين الجدول المجاور متوسط عدد الأهداف التي أحرزها فريق كرة قدم في مبارياته خلال 4 مواسم ومتوسط أعمار الفريق في كل موسم. a مثل البيانات الواردة في الجدول بيانيا، على أن يمثل المحور الأفقي متوسط أعمار الفريق، والمحور الرأسي متوسط عدد الأهداف في كل مباراة. ( حدّد كلا من المجال والمدى هل العلاقة التي تمثل البيانات منفصلة أم متصلة؟ هل تمثل العلاقة دالة أم لا؟ وضّح إجابتك. الموسم متوسط أعمار الفريق متوسط عدد الأهداف في الموسم الواحد 16.2 22 24.1 23 1434-1435 1435-1436 27.2 24 1436-1437 23.5 25 1437-1438 مثال 3 مثل كلَّ معادلة فيما يأتي بيانيًا، ثم حدد مجالها، ومداها، وحدد ما إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ ثم حدد إذا كانت منفصلة أم متصلة. y = 5x + 4 (5 مثال 4 أوجد قيمة كل مما يأتي: y = -4x - 2 (6) x = 7 (8 y = 3x² (7 9) (3) إذا كانت 8 - f(x) = -4x 10) (5) إذا كانت 1 + 4x - 522 (8 عليم Ministry of Education الدرس 2-1 العلاقات والدوال 1 - 221

المتغير المستقل - المتغير التابع - رمز الدالة

إيجاد قيمة الدالة

تأكد حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها، وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك فهل هي متباينة أم لا؟

يبين الجدول المجاور متوسط عدد الأهداف التي آحرزها فريق كرة القدم في مبارياته خلال 4 مواسم ومتوسط أعمار فريق في كل موسم حدد كلا من المجال والمدى

مثل كل معادلة في ما يأتي بيانياً، ثم حدد مجالها ومداها، وحدد ما إذا كانت تمثل دالة أم لا

أوجد قيمة كل مما يأتي: g(4a)

أوجد قيمة مما يأتي: f(-3)

عدد المراجعين تدرب وحل المسائل مثال 1 حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ {(3, −4), (−1, 0), (3,0), (5, 3)} (13 (12 X |y (11 2 -0.3 -6 4 -4 0.4 -3 14 -8 1.2 -1 المنطقة الإدارية | عدد الذكور عدد الإناث المدينة المنورة حائل تبوك الجوف 938251 1194428 313564 386210 398617 511413 219061 289414 42092.50 37781.50- 33470.50 29159.50 24848.50 20537.50- أعداد مراجعي أحد مستشفيات الإدمان • 1955 مثال 2 14 سكان يبين الجدول المجاور عدد الذكور وعدد الإناث في 4 مناطق إدارية مختلفة في المملكة لعام 1438هـ . a مثل البيانات الواردة في الجدول بيانيا على يمثل المحور الأفقي عدد الذكور والمحور الرأسي عدد المركز الوطني، لاستشارات الادمان الربط مع الحياة الإناث. ( حدد كلا من المجال والمدى. ) هل العلاقة التي تمثل البيانات منفصلة أم متصلة؟ هل تمثل العلاقة دالة أم لا؟ وضّح إجابتك. أطلقت الأمانة العامة للجنة (15 علاج يبين التمثيل البياني المجاور أعداد مراجعي أحد مستشفيات الإدمان هل العلاقة التي يمثلها اللون 16226.50 1419 1421 1423 1425 1427 1429 1431 العام الأزرق منفصلة أم متصلة ؟ وهل تمثل دالة؟ الوطنية لمكافحة المخدرات؛ رقم مركز استشارات الإدمان (1955)، ضمن برامج المشروع الوطني للوقاية من المخدرات نبراس مثال 3 مثل كل معادلة فيما يأتي بيانيا، ثم حدد مجالها ومداها، وحدد إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل لا؟ ثم حدد إن كانت منفصلة أم متصلة. هي متباينة أم لا؟ y = -5x2 (16 مثال 4 أوجد قيمة كل مما يأتي: y = 4x2 - 8 (17 19) (2.5)f إذا كانت f(x) = 16x2 100 4 80 60 40 3.4 2.8 200 1 1.6 2.2 18) (8) إذا كانت 1 + f(x) = 5x3 الضغط 20) غوص: يبين الجدول المجاور مقدار الضغط الواقع العمق (ft) على الغواص عند أعماق معينة تحت سطح الماء: a) مثل العلاقة بيانيا. (b) حدد كلا من مجال العلاقة ومداها وهل هي منفصلة أم متصلة؟ هل هذه العلاقة دالة أم لا؟ وضّح إجابتك. مما يأتي: las 15 äaš da gås i f(x) = 3x+2, g(x) = −2x², h(x) = −4x² — 2x + 5 315 13Į - h(8) (23 h (3) (26) h(3) (22 8(33) (25 g(-6) (21 (3) (24 الربط مع الحياة الضغط الواقع على الغواص عندما يكون على عمق 10 أمتار تحت الماء يعادل ضعف الضغط الجوي على السطح تقريبا. (27) تمثيلات متعددة : ستكتشف في هذا السؤال الدوال المتباينة. a بيانيا : مثل كل دالة مما يأتي بيانيا : j(x) = x2 + 2 h(x) = x² g(x) = 2x f(x) = x2 (6) جدوليا : استعمل التمثيلات البيانية في الفرع a لعمل جدول يبين عدد المرات الممكن أن يقطع فيها أي خط أفقي التمثيل البياني لكل دالة مما سبق. تحليليا حتى تكون الدالة متباينة يجب ألا يقطع أي خط أفقي تمثيلها البياني في أكثر من نقطة واحدة. أي الدوال السابقة تحقق هذا الشرط وأيها لا تحققه؟ d جدوليًا كوّن جدولًا، وصنّف فيه الدوال السابقة إلى متباينة أو غير متباينة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 1 الدوال والمتباينات 22

تدرب مثال4 أوجد قيمة كل مما يأتي: F(-8)

حدد مجال كل علاقة فيما يأتي ومداها، وبين ما إذا كانت دالة أم لا، وإذا كانت كذلك فهل هي متباينة أم لا؟

يبين الجدول المجاور عدد الذكور وعدد الإناث في 4 مناطق إدارية مختلفة في المملكة لعام 1438هـ

مثّل كل معادلة فيما يأتي بيانيًّا، ثم حدِّد مجالها ومداها، وحدِّد إذا كانت تمثل دالة أم لا، وإذا كانت كذلك، فهل هي متباينة أم لا؟ ثم حدِّد إن كانت منفصلة أم متصلة: Y=-5X2

مثل كل دالة مما يأتي بيانياً: =X2+2J(X)

يبين الجدول المجاور مقدار الضغط الواقع على الغواص عند أعماق معينة تحت سطح الماء مثل العلاقة بيانيا

إذا كانت -4X2-2X+5 فأوجد قيمة كل مما يأتي

(28) يملك فهد 800 ريال، فإذا قرر أن يضيف إلى هذا المبلغ 200 ريال شهريا، فإن الدالة p(t) = 800 + 200t ؛ تمثل مقدار ما معه من نقود (t) بعد شهرًا . فكم يكون معه بعد 8 أشهر؟ مسائل مهارات التفكير العليا 29 اكتشف الخطأ أوجد كل من أحمد وخالد قيمة (f (3d حيث 1 + f(x) = 4x2 - 2x. فأي منهما حله صحيح؟ وضّح إجابتك. أحمد خالد f(3d)=4(3d)-2(3d) +1 = 12d2 - 6d + 1 f(3d) = −4(3d)² - 2(3d) + 1 = -4(9d²) - 6d + 1 = - 36d2 - 6d + 1 تدريب على اختبار (30) مسألة مفتوحة مثل كلا من العلاقات الآتية بيانيا : a) سرعة سيارة متجهة نحو نقطة معينة وزمنها إذا علمت أنها توقفت عند إشارتين ضوئيتين. طول شخص وعمره في الفترة من 5 سنوات إلى 60 سنة. درجة الحرارة في أحد الأيام خلال الفترة من الساعة 6 صباحًا إلى الساعة 11 مساءً. (31) تحد: إذا كانت ( f ( x ) ( x دالتين بحيث 51 = ), 31 = (f(a) = 19 ,(a) = 33 , f(b . وكانت 8 = a = 5, b فأوجد دالتين (f(x) ,(x تحققان المعطيات السابقة. (32) اكتب وضّح كيف يحدد اختبار الخط الرأسي إذا كانت العلاقة دالة أم لا. (33) تحتوي بركة سباحة على 19500 جالون من الماء إذا تم تفريغها (34) إذا كان x) = x2)، فأي عبارة مما يأتي تساوي (1 + gx بمعدل 6 جالونات لكل دقيقة. فأي المعادلات الآتية تمثل عدد جالونات الماء 8 المتبقية في البركة بعد 1 دقيقة؟ 1 A x2 + 1 B 19500 x2 + 2x + 1 C g = C g = $19500 - 6m A 6m x2 - x D 6m = g 19500 D g = $19500+ 6m B مراجعة تراكمية بسط كل عبارة فيما يأتي: الدرس (1-1) 6(3a2b)+3(5a+4b) (35 -7(2c4d) +8(3c+d) (37 -4(5x-3y) + 2(y+3x) (36 حل كل معادلة فيما يأتي، ثم تحقق من صحة الحل الدرس (1-1) 4(2y-3)+5(3y+1)=-99 (38 10y – 5 – 3y = 4(2y + 3) - 20 (40 8d - 4 + 3d = 2d - 100 - 7d (39 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 2-1 العلاقات والدوال 1 - 223

أوجد كل من أحمد وخالد قيمة F(3d) أي منهما حله صحيح ؟ وضح إجابتك

أي المعادلات الآتية تمثل عدد جالونات الماء g المتبقية في البركة بعد m دقيقة ؟

بسط كل عبارة فيما يأتي: (5a+4b)3

يملك فهد 800 ريال، فإذا قرر أن يضيف إلى هذا المبلغ 200 ريال شهريًّا، فكم يكون معه بعد 8 أشهر ؟

مثل كلا من العلاقات الآتية بياينا سرعة سيارة متجهة نحو نقطة معينة وزمنها إذا علمت أنها توقفت عند إشارتين ضوئيتين.

إذا كانت g(x) , f(x) دالتين أوجد دالتين تحققان المعطيات السابقة

وضح كيف يحدد اختبار الخط الرأسي إذا كانت العلاقة دالة أم لا

أي عبارة مما يأتي تساوي g(x+1)

حل كل معادلة فيما يأتي ثم تحقق من صحة الحل: 8d-4+3d=2d-100-7d