اللوغاريتمات العشرية - رياضيات1-3 - ثالث ثانوي

2-6 اللوغاريتمات العشرية Common Logarithms رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa فيما سبق: درست تبسيط عبارات لوغاريتمية وحل معادلات لوغاريتمية باستعمال خصائص اللوغاريتمات. (الدروس من 2 إلى 25 لماذا؟ يستعمل علماء الهزات الأرضية مقياس ريختر لقياس قوة الهزات الأرضية أو شدتها ، ويتم تحديد قوة الهزة الأرضية بحساب لوغاريتم شدة الهزة المسجلة بجهاز السيز موجراف (seismographs). والآن : أحل معادلات ومتباينات أسية باستعمال اللوغاريتمات العشرية أجد قيمة عبارات لوغاريتمية باستعمال صيغة تغيير الأساس المفردات: اللوغاريتم العشري common logarithm صيغة تغيير الأساس Change of Base Formula درجة مقياس ريختر 1 الشدة التأثر في المناطق السكنية. 10 مايكرو لا يشعر بها، ولكن يتم تسجيلها. 2 3 6 5 7 8 106 قوية 107 قوية جدا 10 عظمى تدمير في منطقة قوة تدمير كبيرة تدمير كبير جدا 102 ضعيفة 103 ضعيفة 10 خفيفة 105 متوسطة عادة لا يشعر بها، يشعر بها، ولكن يشعر بها، وتحدث تدمير بسيط ولكن تتأرجح لا تحدث أضرارا أضرارًا بسيطة. للمباني في قد تصل مساحتها بعض المعلقات. أو قليلة الأضرار. منطقة محدودة. إلى .100 mi² في مناطق شاسعة جدا تصل في مناطق شاسعة. إلى مئات الأميال. يستعمل مقياس ريختر لوغاريتمات الأساس 10 لحساب قوة الهزة الأرضية، فمثلًا تُعطى قوة هزة أرضية سجلت 6.4 درجات على مقياس ريختر بالمعادلة 1010 + 1 = 6.4 ، حيث x شدة الهزة الأرضية. اللوغاريتمات العشرية لعلك لاحظت أن دالة لوغاريتم الأساس 10 على الصورة y = 10g 10 x" تستعمل في كثير من التطبيقات. وتُسمى لوغاريتمات الأساس 10 اللوغاريتمات العشرية ، وتُكتب دون كتابة الأساس 10. 10g10 x = log x, x > 0 قراءة الرياضيات اللوغارتيم العشري تحتوي معظم الحاسبات العلمية 10g x, كونه أمرًا أساسيا، ويستعمل المفتاح LOG لإيجاد قيمته. مثال 1 إيجاد قيمة اللوغاريتم العشري عند كتابة اللوغاريتم دون أساس، فإن ذلك يعني أن الأساس هو 10 أي أن logx تعني log10x. 116 استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: log 5 (a اضغط على المفاتيح: LOG ENTER تجد أن : log 5 = 0.6990 log 0.3 (b اضغط على المفاتيح LOG 0.3 ENTER تجد أن: log 0.3 ~ -0.5229 1 تحقق من فهمك log 7 (1A log 0.5 (1B الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

ترتبط اللوغاريتمات العشرية ارتباطًا وثيقًا بقوى العدد 10. تذكّر أن اللوغاريتم هو أس، فمثلًا في المعادلة y = log x ، ل هو الأس الذي يرفع إليه العدد 10 للحصول على قيمة x 10% = x 100 101 = 1 = 10 10m = 10m I I I I log x = y log 1 = 0 log 10 = 1 log 10" = m الربط مع الحياة الديسبل (dB) هو وحدة قياس ارتفاع الصوت، على سبيل المثال : 90-100dB تعادل ارتفاع صوت الرعد ، 140dB تعادل ارتفاع صوت إطلاق صاروخ إلى الفضاء. تستعمل اللوغاريتمات العشرية لقياس ارتفاع الصوت. m مثال 2 من واقع الحياة حل معادلات لوغاريتمية m شدة الصوت: يقاس ارتفاع الصوت L بالديسبل، ويُعطى بالقانون L = 1010g، حيث I شدة الصوت، أدنى حدا من شدة الصوت تسمعها أذن الإنسان. إذا سمع صوت ما ارتفاعه dB 66.6 تقريبًا. فكم مرة تساوي شدة هذا الصوت شدة أدنى صوت تسمعه أذن الإنسان إذا كانت 1 = m؟ المعادلة الأصلية L = 10 log m L = 66.6, m = 1 66.6 = 10 log | اقسم كل طرف على 10 ثم التبسيط الصورة الأسية استعمل الحاسبة 6.66 = : log I I = 106.66 I ≈ 4570882 إرشادات للدراسة وحدة الجول تذكر أن الجول هو وحدة قياس الطاقة، وكذلك الإيرج، حيث 1 إيرج = 7- 4 جول شدة هذا الصوت تساوي 4570000 مرة تقريبًا من شدة أدنى صوت تسمعه أذن الإنسان. تحقق من فهمك 2 هزات أرضية ترتبط كمية الطاقة E مقيسة بوحدة الإيرج التي تطلقها الأرض مع قوة الهزة الأرضية على مقياس ريختر M بالمعادلة 1.5 + 11.8 = log E. استعمل المعادلة لتجد كمية الطاقة التي تطلقها الأرض عند هزة أرضية بقوة 9 درجات على مقياس ريختر إذا كان من الصعب كتابة طرفي المعادلة الأسية بدلالة الأساس نفسه، فإنه يمكنك حلها بأخذ اللوغاريتم العشري لكلا الطرفين. مثال 3 حل معادلات أسية باستعمال اللوغاريتم العشري حل المعادلة 19 = x 4 وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف. 4x = 19 log 4% = log 19 x log 4 = log 19 : X = log 19 log 4 x ~ 2.1240 الحل هو 2.1240 تقريبًا . المعادلة الأصلية خاصية المساواة للدوال اللوغاريتمية خاصية لوغاريتم القوة اقسم كلا الطرفين على 4 10g استعمل الحاسبة وزارة التعليم الدرس - اللوغاريتمات العشرية Mi117of Edu 2024-1446

113 1.1 22fy (2.12, 19) 12(x)=19 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 f(x)=4x تحقق : يمكنك التحقق من الإجابة بيانيًا باستعمال ميزة نقاط التقاطع في الحاسبة البيانية TI-nspire. مثل المعادلة 4 = (f(x والمستقيم 19 = (f(x بيانياً على menu : الشاشة نفسها. ثم أوجد نقطة تقاطع التمثيلين البيانيين بالضغط على مفتاح ثم اختر 6 تحليل الرسم البياني واختر منها 4: نقاط التقاطع ، ثم اضغط في أي نقطة على الشاشة، وحرّك المؤشر مرورًا بنقطة التقاطع، سيظهر الزوج المرتب (212). الإحداثي x لنقطة التقاطع قريب من الإجابة التي تم إيجادها جبريًا. 1 تحقق من فهمك 6x=42 (3B : 3x=15 (3A يمكنك استعمال استراتيجيات حل المعادلات الأسية لحل متباينات أسية. مثال 4 حل متباينات أسية باستعمال اللوغاريتم العشري أوجد مجموعة حل المتباينة 2 - 7 - 35، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف. 35y <7y-2 log 35y < log 7y - 2 5y log 3 < (y – 2) log 7 5y log 3 < y log 7 - 210g 7 log المتباينة الأصلية خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية خاصية لوغاريتم القوة خاصية التوزيع اطرح 7 y 10g من كلا الطرفين خاصية التوزيع اقسم كلا الطرفين على 7 10g 3 - 10g 5 استعمل الحاسبة - 5y log 3 – y log 7 < -2 log 7 y(5 log 3 – log 7) < −2 log 7 y < -2 log 7 5 log 3 - log 7 {y | y < −1.0972, y € R} التحقق : اختبر -2 = 4 المتباينة الأصلية 35y <7y-2 y = -2 35(-2) 7(-2)- 2 بسط خاصية الأس السالب 3-1027-4 1 1 59049 2401 49 4y <52y+1 (4B تحقق من فهمك 32x = 6x + 1 (4) إرشادات للدراسة حل المتباينات تذكر أن تعكس اتجاه رمز التباين عند ضرب كلا طرفي المتباينة في عدد سالب أو قسمتهما عليه. وبما أن 5 log 3 - log 7>0 فلا يعكس اتجاه رمز التباين الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية 118

تاريخ الرياضيات الخوارزمي هو أبو عبدالله محمد بن موسى الخوارزمي (848م-780م) لقب بأبي الجبر، وهو عالم عربي، أسس علم الجبر ووضع أسسه حساب اللوغاريتمات. وابتكر صيغة تغيير الأساس : يمكنك استعمال صيغة تغيير الأساس لكتابة عبارات لوغاريتمية مكافئة لأخرى بأساس مختلف. مفهوم أساسي صيغة تغيير الأساس الرموز: لأي أعداد موجبة ab n حيث 1 a و 1 # b ، مثال : لوغارتيم العدد الأصلي للأساس b لوغارتيم الأساس القديم للأساس b log3 11 = 1085 11 1085 3 لإثبات صيغة تغيير الأساس، افرض أن 10g n = x . logan ax = n تعريف اللوغاريتم logb n log n = log₁, a خاصية المساواة للدوال اللوغاريتمية logb a* = logo n خاصية لوغاريتم القوة x logh a = : logb n logb n اقسم كلا الطرفين على 10ga x = logy a logh n x = logan loga n = logb a يمكنك استعمال صيغة تغيير الأساس لإيجاد قيمة عبارة لوغاريتمية تحتوي لوغاريتمات مختلفة الأساس، وذلك بتحويل جميع اللوغاريتمات إلى لوغاريتمات عشرية. مثال 5 استعمال صيغة تغيير الأساس اكتب 20 1083 بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف. 1083 20 = log10 20 10810 3 ≈ 2.7268 تحقق من فهمك صيغة تغيير الاساس استعمل الحاسبة اكتب 8 108 بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف. وزارة التعليم الدرس - اللوغاريتمات العشرية Ed : 119 2024-1446

تدرب وحل المسائل مثال 6 استعمال صيغة تغيير الأساس حواسيب : البرامج الحاسوبية عبارة عن مجموعة من التعليمات تسمى خوارزميات، ولتنفيذ مهمة في برنامج حاسوبي يجب تحليل ترميز الخوارزمية، ويعطى الزمن اللازم بالثواني R لتحليل خوارزمية مكونة من " خطوة بالصيغة 1 2 R = 10g . مستعملا صيغة تغيير الأساس حدد الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 240 خطوة. R = log 2 n المعادلة الأصلية n = 240 = log 2 240 صيغة تغيير الأساس = log 240 log 2 ≈ 7.9 بسط الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 240 خطوة يساوي 7.9 ثوان تقريبًا. ٧ تحقق من فهمك (6) حدد الزمن اللازم لتحليل خوارزمية مكونة من 160 خطوة. استعمل الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف (مثال (1) log 0.4 (3 log 21 (2 log 5 (1 log 3.2 (6 log 11 (5 log 3 (4 log 0.04 (9 log 0.9 (8 log 8.2 (7 فكم مرّة من شدة أدنى صوت تسمعه أذن الإنسان تساوي شدة الصوت قبل إغلاق نوافذ السيارة إذا كانت 1 = m؟ ( كم مرةً من شدة أدنى صوت تسمعه أذن الإنسان تساوي شدة الصوت بعد إغلاق نوافذ السيارة ؟ أوجد نسبة انخفاض شدة الصوت بعد إغلاق النوافذ. حلّ كل معادلة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: ( مثال 3) (10) علوم ترتبط كمية الطاقة E المقيسة بوحدة الإيرج التي تطلقها الأرض مع قوة الهزة على مقياس ريختر M بالمعادلة log = 11.8 + 1.5M . استعمل المعادلة لإيجاد كمية الطاقة التي تطلقها الأرض عند هزة أرضية بقوة 8.5 درجات على مقياس ریختر (مثال (2) 11 صوت: أغلق حسن نوافذ سيارته فانخفض ارتفاع الصوت من 85dB إلى 73dB ، إذا علمت أن ارتفاع الصوت L بالديسبل يُعطى 6 بالعلاقة L = 1010g حيث I شدة الصوت، m أدنى حد من شدة الصوت تسمعها أذن الإنسان مثال (2) 120 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية = 6* = 40 (12 2.1+2 8.25 (13 7x2 = 20.42 (14 116 – 3 = 56 (15 8% = 40 (16 gb-1-7b (17 15110 (18 29 = V 39 – 1 (19 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

حل كلًا مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف: ( مثال 4) 54 > 33 (20 39-1 = 49 (22 24* <20 (24 6P-1 ≤ 4P (21 5P-22P (23 63n36 (25 اكتب كلًا مما يأتي بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة آلاف (مثال (5) log 3 7 (26 log49 (28 log 5 (2.7)² (30 log 2 16 (27 log 3 21 (29 log7 √5 (31 (32) شحن: اشترت إحدى شركات خدمة الشحن سيارة شحن جديدة بسعر 168000 ريال. افترض أن (1 - 1081 = t ، حيث t عدد السنوات التي مرت منذ الشراء، P سعر الشراء،V السعر الحالي، r المعدل السنوي لانخفاض السعر. (مثال 6) a إذا كان السعر الحالي للشاحنة 120000 ريال، وانخفض سعرها بمعدل 15% سنويًّا، فما عدد السنوات التي مرت منذ شرائها لأقرب سنة؟ إذا كان السعر الحالي للشاحنة 102000 ريال، وانخفض سعرها بمعدل 10% سنويًا، فما عدد السنوات التي مرت منذ شرائها لأقرب سنة؟ (33) علوم البيئة : يقوم مهندس بيئي بفحص مياه الشرب في أحد الآبار الجوفية؛ للتأكد من عدم تلوثها بمادة الزرنيخ، والتي يقدر معدلها (34 هزات أرضية: يمكن تحديد قوة الهزة الأرضية على مقياس ریختر M باستعمال المعادلة M = } log، حيث E كمية E 104.4 الطاقة الزلزالية التي تطلقها الأرض عند حدوث الهزة الأرضية مقيسة بوحدة الجول. استعمل خصائص اللوغاريتمات لتكتب المعادلة بالصورة المطولة. ( أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها 1011 × 7.94 جول عند حدوث هزة أرضية. كم قوة الهزة الأرضية على مقياس ريختر ؟ أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها 1012 × 4.47 جول عند حدوث زلزال ألوم روك في كاليفورنيا عام 2007 م. كما أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها 1018 × 1.58 جول عند حدوث زلزال انكورج في ألاسكا عام 1964. كم مرة تفوق قوة زلزال أنكورج قوة زلزال ألوم روك على مقياس ريختر ؟ بصورة عامة ، لا يمكن الشعور بالهزة الأرضية إلا إذا بلغت قوتها 3 درجات على مقياس ريختر أو أكثر. ما الطاقة الزلزالية بالجول التي تطلقها الأرض عند حدوث هزة أرضية لها هذه القوة على مقياس ريختر ؟ (35) تمثيلات متعددة : ستحل في هذه المسألة المعادلة الأسية .4x = 13 الطبيعي في ماء الشرب بـ ppm .0.025 ( حيث ppm تعني جزءًا من a جدوليًا : أدخل الدالة × 4 = y في الحاسبة البيانية وأنشئ المليون) ، كما أن الرقم الهيدروجيني pH لمادة الزرنيخ يجب أن يقل عن 9.5 ، حتى يكون الماء صالحًا للشرب. a إذا كان تركيز أيون الهيدروجين في الماء 11-10 × 1.25، فهل يعني ذلك ارتفاع الرقم الهيدروجيني لمادة الزرنيخ علما بأن جدول قيم للدالة، وذلك بتغيير قيم x بمقدار 0.1 في كل مرة. وابحث عن قيمتين تقع بينهما قيمة x المقابلة للقيمة 13 = y في الجدول. قانون تركيز أيون الهيدروجين هو [pH = log [H ؟ ط بيانيا : مثل بيانيًّا المعادلة y = 4 x والمستقيم 13 = y على إذا وجد المهندس 1mg من الزرنيخ في عينة حجمها 3L من ماء بئر، فهل هذا الماء صالح للشرب ؟ (إرشاد : 1kg من الماء يعادل 1 تقريبًا . 1ppm = 1 mg/kg) ما تركيز أيون الهيدروجين الذي يقابل الرقم الهيدروجيني 9.5 = pH والذي يجعل الماء غير صالح للشرب ؟ الشاشة نفسها، واستعمل أمر intersect لإيجاد نقطة تقاط تقاطع التمثيلين البيانيين. عدديًا : حُلّ المعادلة جبريًا . هل طريقتا الحل تعطيان النتيجة نفسها؟ فسّر إجابتك. وزارة التعليم الدرس 6 - اللوغاريتمات العشرية M121 Eau 2024-1446

حُلّ كل متباينة مما يأتي، وتحقق من صحة حلك (الدرس 5-2 ) - logg (3y — 1) < log¸ (y+5) (44 log, (9x+4) ≤ log, (11x-12) (45 مسائل مهارات التفكير العليا (36) اكتشف الخطأ : حَلَّ كل من بلال وخالد المعادلة الأسية 10 = 43p . أيهما كانت إجابته صحيحة؟ فسّر إجابتك. بلال خالد 43P = 10 log 4³p = log 10 45 = 10 430 log 4³p = log 10 (46) افترض أن هناك 3500 طائر من نوع مهدد بالانقراض في العالم، وأن عددها يتناقص بنسبة 5% في السنة. p 3500 تستعمل المعادلة اللوغاريتمية 1080.95 = t لتقدير عدد السنوات ليصبح عدد هذا النوع من الطيور p طائرًا. بعد كم سنة عدد الطيور من هذا النوع 3000 طائر ؟ (الدرس 5-2 ) يصبح سنتان plog 4 = log 10 3p log 4 = log 10 A 10 وها log 10 P = log4 P = 3log4 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 $27 35 (37) تحد : حل المعادلة 10g 3 = 10g x لتجد قيمة x . وفسّر كل خطوة. a √a B 5 سنوات C 3 سنوات 8 سنوات 38 اكتب منحنى x) = log x) هو في حقيقة الأمر تحويل هندسي لمنحنى f(x) = log x استعمل صيغة تغيير الأساس لتجد التحويل تدريب على اختبار الهندسي الذي يربط بين هذين المنحنيين. ثم اشرح تأثير اختلاف قیم b على منحنى اللوغاريتم العشري . (47) أي العبارات الآتية تمثل [(f [(x إذا كان 5 - f(x) = x2 + 4x + 3, g(x) = x؟ x+1 x2 + 4x - 2 A . x2 - 6x + 8 B x²-6x+8 x2 - 9x + 23 C (39) برهان أوجد قيمة كل من 108327 و 3 10g27 . واكتب تخمينا a حول العلاقة بين logo ، وبرهن تخمينك. a (40) اكتب فسِّر العلاقة بين الأسس واللوغاريتمات، وضمن تفسيرك : أمثلة شبيهة بتلك التي توضح كيفية حل معادلات لوغاريتمية باستعمال الأسس ، وحل معادلات أسية باستعمال اللوغاريتمات. x2 – 14x + 6 D 48 أي مما يأتي يمثل حلا للمعادلة 125 = -4 A -2 B 2 C 4 D مراجعة تراكمية حُلّ كل معادلة مما يأتي، وتحقق من صحة حلك (الدرس 5-2 ) log5 7 + ½ log5 4 = log5x (41 2 log2 x - log2 (x + 3) = 2 (42 log48 - log6 16 5 + log65 = log65x (43 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية 122