المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما رابط الدرس الـ www.ien.edu.sa Sum and Difference of Angles Identities 3-3 فيما سبق: درست إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا. (مهارة سابقة) والآن : . أجد قيم الجيب وجيب التمام باستعمال المتطابقات المثلثية المجموع زاويتين والفرق بينهما. أثبت صحة المتطابقات المثلثية باستعمال متطابقات المجموع والفرق. الماذا؟ هل استعملت مزود الإنترنت اللاسلكي وفقدت الإشارة بينما كنت تستعمله؟ تُسبب الموجات التي تمر من المكان نفسه، وفي الوقت نفسه تداخلا. ويحدث التداخل عندما تتلاقى موجتان فينتج عن ذلك موجة سعتها قد تكون أكبر من سعة كل من الموجتين المكونتين لها أو أصغر منهما. (+) y = sin x y = sin x + y = 2sin (x - متطابقات المجموع والفرق لاحظ أن المعادلة الثانية الموضحة في الشكل أعلاه، تتضمن جمع الزاويتين x. وفي الغالب يكون من المفيد استعمال المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين أو الفرق بينهما في إيجاد القيم المثلثية لزوايا محدّدة. فمثلا يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لـ 15 sin من خلال إيجاد: 45 - °60) sin مفهوم أساسي متطابقات المجموع والفرق متطابقات المجموع متطابقات الفرق إرشادات للدراسة كون قائمة : كون قائمة بقياسات الزوايا الناتجة عن جمع أو طرح زاويتين من الزوايا الخاصة بين "360, 0 حيث تستطيع إيجاد النسب المثلثية لكثير منها باستعمال متطابقات 20 المجموع والفرق. استعمل هذه القائمة مرجعا لك. ⚫sin (A-B)=sin A cos B - cos A sin B cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B ⚫tan (AB)=tan A-tan B 1 + tan A tan B • sin (A + B ) = sin A cos B + cos A sin B cos (A+B) = cos A cos B - sin Asin B tan A + tan B ⚫tan (A+B)= 1 - tan A tan B مثال 1 إيجاد القيم المثلثية دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: sin 105° (a بما أن مجموع الزاويتين °45 و °60 يساوي °105، وكلا منهما زاوية خاصة معلومة قيم الدوال المثلثية لها، لذا يمكن استعمالهما لإيجاد قيمة sin105 ؛ وذلك باستعمال المتطابقة: sin (A + B = sin A cos B + cos A sin B 105 = 60° + 45° sin 105° = sin (60° + 459) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° √6 √√2 √6+√2 + = 4 cos (120) (b متطابقة المجموع عوض بسط اختر زاويتين من الزوايا الخاصة بحيث يكون الفرق بينهما 120 ، ثم استعمل المتطابقة: cos (AB)=cos A cos B + sin A sin B -120° 60° - 180° cos (-120°) = cos (60° - 180°) متطابقة الفرق عوض بسط cos (-15°) (1B = cos 60° cos 180° + sin 60° sin 180° =(-1)+.0 -글 1 تحقق من فهمك sin 15° (1A الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

40 50 A 20 -10 بإمكانك استعمال متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما ؛ لحل مسائل وتطبيقات من واقع الحياة. مثال 2 من واقع الحياة استعمال متطابقات المجموع والفرق كهرباء يمر تيار كهربائي متردد في إحدى الدوائر الكهربائية، وتُعطى شدة هذا التيار ، بالأمبير بعد t ثانية بالصيغة 165 c = 3 sin ، حيث قياس الزاوية بالدرجات أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين من الزاويا الخاصة. c = 3 sin 165°t 3 sin (120°t+45°t). الصيغة الأصلية 120°t + 45°t = 165°t الربط مع الحياة يسمى جهاز قياس شدة التيار الأميتر (Ammeter)، والأميتر كلمة مركبة من أمبير وهي وحدة قياس شدة التيار وميتر وهو المقياس. استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين ؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة. c3 sin (120°t + 45°t) = 3 sin (120° + 45°) المعادلة بحسب الفرع 2 t=1 = 3[sin 120° cos 45° + cos 120° sin 45] = 3(3))+(-))] إذن شدة التيار بعد ثانية واحدة يساوي تحقق من فهمك : = - = 3√6-3√2 4 أمبير. 3√√6-3√2 4 متطابقة المجموع عوض مستعملا الزاوية المرجعية (60 = 0) اضرب بسط إذا كانت شدة التيار ، تُعطى بالصيغة 285 c =2 sin ، فأجب عما يأتي: 2 أعد كتابة الصيغة، باستعمال الفرق بين زاويتين. 2B) استعمل المتطابقة المثلثية للفرق بين زاويتين ؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة. إثبات صحة المتطابقات المثلثية : تستعمل المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما أيضًا في إثبات صحة المتطابقات. مثال 3 إثبات صحة المتطابقات المثلثية أثبت صحة كلُّ من المتطابقتين الآتيتين: cos (90° - 0) = sin 0 (a cos (90°) = cos 90° cos 6 + sin 90° sin 0 = 0 . cos 0 + 1 • sin 0 = sin 0 الطرف الأيمن = الطرف الأيسر متطابقة الفرق عوض بسط وزارة التعليم الدرس - المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما 21 2024-1446

الطرف الأيسر متطابقة المجموع tan (1/17 + 0) = 1 + tan 0 1 - tan 0 (3B عوض بسط sin (0 + ) sin (0+2) = cos 0 (b = sin 6 cos + cos 0 sin = sin 6.0 + cos 0 0 1 = cos ✓ الطرف الأيمن = تحقق من فهمك sin (90° - (0) = cos 0 3 تدرب وحل المسائل 16) إلكترونيات: ارجع إلى فقرة " لماذا ؟ "؛ في بداية الدرس. عندما تتلاقی موجتان وتنتج موجة سعتها أكبر من سعة كل من الموجتين دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (مثال (1) cos 165° 1 cos 105° 2 يكون التداخل بناء، وبعكس ذلك يكون هداما. تداخل بناء تداخل هدام COS S√ √ (4 cos 75° (3 sin (-210°) (6 sin 135° (5 tan 195° 8 cos 135° 7 9) كهرباء يمر تيار كهربائي متردّد في دائرة كهربائية، وتعطى شدة هذا (مثال (2) التيار بالأمبير بعد ا ثانية بالصيغة (120)c = 2sin . أعد كتابة الصيغة، باستعمال مجموع زاويتين. استعمل المتطابقة المثلثية لمجموع زاويتين من الزاويا الخاصة؛ لإيجاد القيمة الدقيقة لشدة التيار بعد ثانية واحدة. أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (مثال (3) إذا علمت أن كلا من الدالتين : y₁ = 10 sin (2t+ 210°), y2 = 10 sin (2t + 30°) تمثل موجة، فأوجد مجموع الدالتين، وفسر معناه بالنسبة للموجتين. دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: tan 165° (17) sec 1275° (18 tan (20 sin 735° (19 cot 1137 12 (22 CSC (21 (23) بين أنه يمكن كتابة المقدار sin A+ tan cos A cos A - tan 8 sin A على الصورة (0) + ) tan ، حيث زاویتان حادتان . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 sin (90° + 0 = cos 0 10 COS = -sin 0 (11 tan (0+2) = -cot 0 (12 sin (0 + T) = sin 0 13 COS = (1/2 + 0) = sin 0 14 1 + tan 0 tan (0+ 45°) = (15 1 - tan 0 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 22 22

(32) اكتب: استعمل المعلومات المعطاة في فقرة " لماذا؟" في بداية (24 و تمثيلات متعددة في هذه المسألة، سوف تثبت عدم صحة الدرس وفي السؤال 16؛ لتشرح كيف تُستعمل المتطابقات المثلثية الفرضية sin (A + B = sin A + sin B . a) جدوليا: أكمل الجدول. A B sin A sin B sin (A+B) |sin A + sin B 30° 90° لمجموع زاويتين والفرق بينهما؛ لوصف التداخل في الأمواج اللاسلكية في شبكة الإنترنت. موضحًا الفرق بين التداخل البناء، والتداخل الهدّام. (33) مسألة مفتوحة في النظرية الآتية: إذا كانت ABC زوايا في مثلث، فإن tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C 45° 60° اختر قيمًا لكلِّ من A,B,C وتحقق من صحة المساواة لكل القيم 90° 30° التي تختارها. مراجعة تراكمية بيانيا : افترض أن B أقل من A بـ 150 دائما، واستعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من : (15) - y = sin (x + x ، (15 - y = sin x + sin (x على الشاشة نفسها . تحليليا : حدد ما إذا كانت sin (A + B = sin A + sin B متطابقة أم لا. فسّر إجابتك. أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: بسط كلا من العبارتين الآتيتين: (الدرس 1-3 ) sincsc-cos² (34 cos2 0 sec 6 csc 0 35 sin (A + B) tan A + tan B (25 sec A sec B cos (A+B)= 1 - tan A tan B (26 sec A sec B sec A sec B sec (AB)= (27 1 + tan A tan B sin (A+B) sin (AB) = sin² A sin² B (28 أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس 1-3) (36) 10 sec ، إذا كان 1 37 0 cos ، إذا كان - 38 0 csc ، إذا كان 7 0°<<90° tan 0 = 180°<0<270°. sin 0 = 90° <0<180 ، cot 0 = 39 0 sin ، إذا كان 3 = 0 cos ، 360 > > "270 (40) 6 tan ، إذا كان 0 = 5 - 6 cos 8 ، << 1 ،8 أثبت صحة كل من المتطابقتين الآتيتين (الدرس (32) مسائل مهارات التفكير العليا (29) تبرير بسط العبارة الآتية، دون إيجاد مفكوك المجموع أو الفرق. sin COS (3-0) Cos (17+ 0). - COS - sin (+0) COS + sin = cos 0 + sin 6 (41 tan 0 cot sec (sec - cos 0) = tan² 0 (42 تدريب على اختبار (30) تحد : اشتق المتطابقة cot A B بدلالة cot A, cot B . 31 برهان الشكل أدناه، يُبيّن الزاويتين AB في الوضع القياسي في دائرة الوحدة استعمل قانون المسافة ؛ لإيجاد قيمة d ، حيث (43) ما القيمة الدقيقة للعبارة: 0 sin (60° + 6) cos 6 - cos (60° + (0) sin ؟ (x,y) = (cos B, sin B), (x2, y2) = (cos A, sin A 0 4y (cos A, sin A) d A-B (cos B, sin B) B 1x A B 2 C √3 √3 D (44) سؤال ذو إجابة قصيرة : إذا كان 0 = 0.3 + 6 cos ، حيث . > >T ، فأوجد القيمة الدقيقة لـ 6 cot . وزارة التعليم الدرس - المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما 23 2024-1446

اختبار منتصف الفصل الدروس من 31 إلى 33 (14) حاسوب: تُصنف شاشات الحاسوب عادة وفقًا لطول قطرها. استعمل الشكل أدناه للإجابة عما يأتي: (الدرس 1-3) a) أوجد قيمة h . h Cot 0 = Cos sin 12 in 15 in (b) بيّن أن . أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (الدرس (2-3) sin 6. sec 9 = (sec 6 + (1) cot 6 (15 sec 6 - 1 sin20. tan20 = tan20 - sin20 (16 الفصل 3 بسط كل عبارة مما يأتي: (الدرس 1-3) cot 0 sec (1 1 - cos2 0 _ sin20 (2 1 cos e sin 20 (3 cos 0 COS (1) - (0) csc 0 (4 أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس 1 - 3) 5 0 sin ، إذا كان 3 = 0 cos ، 90° > 0 > 0° 6) 0 csc ، إذا كان 1 - ! ، tan 0 7 ا ، إذا كان = 270° < 0 < 360 ، cot 0 =- 0° < 0 < 90° ، sec 0 = (8) اختيار من متعدد: أي مما يأتي يكافئ العبارة: ؟ (الدرس 1-3) tan C sec D cos e 1 - sin2 0 cos A CSC B (9) مدينة ألعاب ركب سلمان لعبة الأحصنة الدوّارة في مدينة الألعاب. إذا كان طول قطر دائرة هذه اللعبة 16m، وظل زاوية ميل 02 gR cot (1 cos 0) cos 6. sin 0 1+ cos 0 (17 دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: tan ، حيث R نصف قطر المسار سلمان تُعطى بالعلاقة الدائري، السرعة بالمتر لكل ثانية وتسارع الجاذبية الأرضية (الدرس (32) ويساوي 9.8m/s2 . (الدرس (3-3) cos 105° (18 sin (-135°) (19 tan 15° (20 إذا كان جيب زاوية ميل سلمان يساوي ، فأوجد زاوية ميله. ) أوجد سرعة دوران اللعبة؟ أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: (الدرس (2-3) (10 cot2 0 + 1 = cot cos 0 . sin 0 cot 75° (21 (22) اختيار من متعدد : ما قيمة cos (الدرس (3-3) √6-√2 C 4 √6+√2 D 4 VA √6+√2 B 2 (23) أثبت صحة المتطابقة الآتية: الدرس (32) . Cos 30° cos 6 + sin 30° sin 0 = sin 60° cos 6 + cos 60° sin 0 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 sin tan 0 1 - cos cos csc 0 cot = 1 (11 = (1 + cos ) sec 6 (12 tan 6 (1 - sin 0) = cos sin 1 + sin 0 (13 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 24