التوزيع الطبيعي - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

7-5 فيما سبق درست التوزيعات الاحتمالية (الدرس 4-7) والان بيانات تبدو موزعة طبيعيا التوزيع الطبيعي The Normal Distribution لماذا ؟ مثل المعلم عبدالعزيز درجات طلاب مدرسته في مادة الرياضيات بيانيا كما هو مبين في الشكل المجاور. لاحظ أن هناك تجمعا لدرجات الطلاب في المنتصف، كما أن شكل التمثيل البياني لتوزيع الدرجات يشبه أحدد ما إذا كانت مجموعة الجرس تقريبا. إن مثل هذا التوزيع يسمى توزيعا طبيعياً. أو ملتوية . لأجد الاحتمالات. التوزيعات الطبيعية والملتوية في التوزيع الاحتمالي المتصل والذي . أستعمل القانون التجريبي هو توزيع احتمالي متغيره العشوائي متصل، يمكن للنواتج أن تأخذ أي قيمة المفردات التوزيع الاحتمالي المتصل continuous probability distribution التوزيع الطبيعي normal distribution التوزيع الملتوي 001-96 66-90 58-18 71-79 66-70 76-80 الدرجات 09-14 56-60 55-06 رابط الدرس www.icn.edu.sa 46-50 في فترة من الأعداد الحقيقية، ومثال ذلك أطوال أشخاص وأوزانهم، ومستوى الدهنيات عند الأشخاص البالغين. وأفضل مثال على التوزيعات الاحتمالية المتصلة هو التوزيع الطبيعي. مفهوم أساسي خصائص التوزيع الطبيعي 40 35 30 25 20 skewed distribution 66 التمثيل البياني له منحنى يشبه الجرس، ومتماثل حول المستقيم الرأسي المار بالمتوسط. • يتساوى فيه المتوسط والوسيط والمنوال المنحني متصل. يقترب المنحنى من المحور x في جزأيه الموجب والسالب، ولكنه لا يمسه. المتوسط=الوسيط=المنوال على الرغم من أن التوزيع الطبيعي متصل، فإن التوزيعات المنفصلة أيضًا يمكن أن يكون لها شكل التوزيع الطبيعي. ويمكن للتوزيعات أن تظهر بأشكال أخرى تُسمى توزيعات ملتوية. الفصل 7 الاحتمال والإحصاء التواء موجب (ملتو إلى اليمين) معظم البيانات تتركز في اليسار وقليل منها في اليمين. مثال 1 تصنيف بيانات التوزيع التواء سالب (ملتو إلى اليسار) معظم البيانات تتركز في اليمين وقليل منها في اليسار. حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري أدناه تظهر التواء موجبا، أو التواء سالبًا، أو موزّعة توزيعا طبيعيا : (a البيانات التكرار 21 18 19 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 4 3 5 8 1 1 1 4 6 استعمل الجدول التكراري أعلاه لتمثيل البيانات بالأعمدة. وبما أن التمثيل عال في الوسط، ويبدو كأنه إلى حد ما متماثل حول المتوسط، فإن البيانات تعتبر موزّعة توزيعا طبيعيا . 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 البيانات 10 8 6 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول التكراري أدناه تظهر التواء موجبًا، أو التواء سالبًا، أو موزّعة توزيعا طبيعيا : إرشادات للدراسة. منفصل مقابل متصل يأخذ التوزيع الاحتمالي المنفصل عددًا محدودا من القيم، وغالبا ما تكون أعدادا صحيحة. أما التوزيع الاحتمالي المتصل، فيأخذ عددًا غير محدد من القيم تنتمي إلى فترة متصلة. وفي حالة التوزيع الاحتمالي المتصل يكون احتمال أن يأخذ فقط مساويا للصفر . (b البيانات التكرار 35 33 34 31 32 28 29 30 2 1 1 2 2 1 2 24 25 26 27 4 6 6 5 4 استعمل الجدول التكراري أعلاه؛ لتمثيل البيانات بالأعمدة. وبما أن التمثيل عال في جهة اليسار ومنخفض في كل من الوسط وعلى اليمين، فإن التوزيع يبدو كأنه ملتو إلى اليمين (التواء موجب). تحقق من فهمك المتغير العشوائي قيمة واحدة 1) حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول المجاور تظهر التواء موجبا، أو التواء سالباً، أو موزّعة توزيعاً طبيعياً. 0 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 البيانات قياس الحذاء 38 39 40 41 42 43 44 45 التكرار 1 32 479 86 إرشادات للدراسة. التوزيع الطبيعي في الحالات جميعها يجب أن يكون عدد البيانات كبيرا ليكون التوزيع طبيعيا تقريبا. القانون التجريبي إن المساحة بين قيمتين من البيانات تمثل نسبة البيانات التي تقع بين هاتين القيمتين. ويمكن أن يستعمل القانون التجريبي لوصف المساحات تحت المنحنى الطبيعي، والتي تقع ضمن انحراف أو انحرافين أو ثلاثة انحرافات معيارية من المتوسط. مفهوم أساسي القانون التجريبي يتصف التوزيع الطبيعي الذي متوسطه وانحرافه المعياري بالخصائص الآتية: . يقع %68% تقريبا من البيانات ضمن الفترة وهذا يعني أن %68% من البيانات لا يتجاوز بعدها عن المتوسط قيمة الانحراف المعياري • يقع 95% تقريبا من البيانات ضمن الفترة +20) (μ-20, -0.5% يتساوى المتوسط والوسيط والمنوال يكون للمنحنى أكبر قيمة عند المتوسط 2% 34% 34% : 0.5%- 13.5% 13.5% +10 ±20 ±30 وهذا يعني أن الغالبية العظمى من البيانات (%95) لا يتجاوز بعدها عن المتوسط ضعف قيمة الانحراف المعياري. . يقع %99% تقريبا من البيانات ضمن الفترة . ( - 30, 1 + 30) وهذا يعني أن جميع البيانات تقريبًا (99) لا يتجاوز بعدها عن المتوسط ثلاثة أمثال الانحراف المعياري مثال 2 التوزيع الطبيعي المتوسط لتوزيع طبيعي ،34 وانحرافه المعياري 5 أوجد احتمال أن تزيد قيمة لـ X تم اختيارها عشوائيا في هذا التوزيع عن 24 أي أوجد (24 )X)). 1 = 34,0 = 5 الخطوة 11 أوجد القيم 2030 وهي المتوسط مضافًا إليه أو مطروحًا منه المضاعفات الثلاثة الأولى للانحراف المعياري). A t o = 34 + 5 = 29 39 At 20 = 34 ± 10 = 24,44 A ± 30 = 34 ± 15 = 19,49 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5- التوزيع الطبيعي 20676

68 الخطوة 2 ارسم منحنى التوزيع الطبيعي وحدد عليه المتوسط 34 = والقيم السابقة. الخطوة 3 ظلل المنطقة التي تمثل الاحتمال المطلوب. الخطوة 4 أحسب الاحتمال المطلوب !34% 34% 270 0.5%- 13.5% -0.5% 19 24 49 44 39 34 29 P(X24) (13.5+ 34 +34 + 13.5+ 2 + 0.5) % = 97.5% = إذن: %97.5 = 24 < )P(X تحقق من فهمك أوجد احتمال أن تكون قيمة تم اختيارها عشوائيا في التوزيع الوارد في المثال 2 أقل من 19 تمثل العربية التي يكون توزيعها توزيعا طبيعيًا يمتحنى طبيعي، وكأنها مجتمعاً. مثال 3 من واقع الحياة عينة موزعة توزيعا طبيعيا أطوال توزّع أطوال 1800 يافع توزيعا طبيعيا بمتوسط in 66 ، وانحراف معياري يساوي 2in. a ما العدد التقريبي ) ، لليافعين الذين تتراوح أطوالهم بين in 62 و in 70 ؟ ارسم منحنى التوزيع الطبيعي. تبعد كل من 20 عن المتوسط الحسابي انحرافين معياريين؛ لذا فإن %95% من البيانات واقعة بين الطولين .62,70 ولأن 1710 = 95 × 1800، لذا يوجد 1710 يافعين تقريبا تقع أطوالهم بين 62in و 70in. 2% 134% 34% 2% 0.5% 13.5% 13.5% 15% 62 68 66 64 70 ما احتمال أن يتم اختيار أحد اليافعين عشوائيا، بحيث يزيد طوله على 68in؟ من الشكل المجاور، القيمة الأكبر من 68 تبعد أكثر من انحراف معياري واحد عن المتوسط الحسابي، وتتوزع الأطوال على النحو الآتي: %13.5 بين انحراف معياري واحد و انحرافین معیاریین 2 بین انحرافين معياريين وثلاثة انحرافات معيارية 0.5% فوق 3 انحرافات معيارية. لذا فاحتمال اختيار يافع يكون طوله أكبر من (13.5+2+0.5) % = 16% إذن الاحتمال المطلوب يساوي 16% تقريبا 68 in -0.5% 7% 134% 34% 2% 0.5% 13.5% 62 13.5% 70 68 66 64 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء تحقق من فهمك درجات: إذا علمت أن كتل 100 موظف في شركة تتوزّع توزيعا طبيعيًا بمتوسط حسابي مقداره 70 كيلوجراما، وانحراف معياري 10 كيلوجرامات، فاعتمد على ذلك في الإجابة عن السؤالين الآتيين : ما العدد التقريبي للموظفين الذين تقع كتلهم بين 600 كيلو جراماً؟ 38) ما احتمال أن يتم اختيار موظف بصورة عشوائية، وتكون كتلته أقل من 90 كيلو جراماً؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدرب وحل المسائل تقطعها باستعمال هذه البطارية وعلمت أن . عمر أحد أنواع بطاريات 1 درجات يوضح الجدول أدناه نتائج أحد الاختبارات (النهاية (9) بطاريات السيارة : إذا حُدِّد عمرُ بطارية السيارة بالمسافة التي العظمى للاختبار (40) حدد ما إذا كانت البيانات تظهر التواء موجبا، أو التواء سالبا، أو موزّعة توزيعا طبيعيا (مثال (1) فئات الدرجات عدد الطلاب 12 13-15 27 16-18 29 19-21 19 22-24 8 25-27 1 28-31 1 32-35 2) حدد ما إذا كانت البيانات في الجدول أدناه تظهر التواء موجبا، أو التواء ساليا، أو موزعة توزيعا طبيعيا عدد زوار المتنزهات عدد الزوار بالآلاف عدد المتنزهات 10 3-4 2 5-6 2 7-8 1 9-10 1 11-12 4 13 فأكثر (3) تتوزع مجموعة بيانات توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي 161 ، السيارات يتوزّع توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي km 100000، و انحراف معياري 10000km. وتنتج إحدى الشركات 20000 بطارية في الشهر، فأجب عما يأتي: ما العدد التقريبي للبطاريات التي يتراوح عمرها بين 90000km - 110000 km؟ ما العدد التقريبي للبطاريات التي يزيد عمرها على km 120000؟ ) ما العدد التقريبي للبطاريات التي يقل عمرها عن 90000km؟ ما احتمال أن تشتري بطارية عشوائيا، ويتراوح عمرها بين 80000km - 110000km؟ (10) صحة يتوزع من مستوى الدهنيات الكولسترول) في فئة الشباب الذكور في إحدى الدول توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي 158.3 و انحراف معياري 6.6 ما احتمال أن تقل نسبة الكولسترول عند الشباب الذكور عن $151.7 كم شخصا تقريبًا من بين 900 شخص شملتهم الدراسة يتراوح مستوى الكولسترول عندهم بين 171.5 - 145.1 11) طعام تتوزّع مدة صلاحية نوع معين من البطاطس توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي 180 يوما، وانحراف معياري 30 يوما. ما احتمال أن تقع مدة صلاحية المنتج بين 150 يوما، 210 أيام؟ وانحراف معياري ،12 أوجد أن يتم اختيار قيمة لـ X عشوائيا من هذا سلام ما احتمال أن نقع مدة صلاحية المنتج بين 180 يوما، 210 أيام؟ التوزيع، بحيث تكون أقل من 149، أي أوجد (149) > P (X. ( مثال (2) إذا توزّعت البيانات في الأسئلة 7-4 توزيعا طبيعيا، وكان المتوسط الحسابي والانحراف المعياري لكل منها كما هو موضح، فأوجد الاحتمال المطلوب. μ=74,σ 6, P(X >86) (4 μ=13, σ = 0.4, P(X < 12.6) (5 1 = 63, 0 = 4, P(59 < X < 71) (6) A = 91, 0 = 6, P(73 < X < 103) (7 8 مدارس: أعطى عمران اختبارًا قصيرًا لطلبته البالغ عددهم (50) طالبا، وكانت الدرجات موزّعة توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي 21 ، وانحراف معياري 2 (مثال (3) ما العدد التقريبي للطلاب الذين تقع درجاتهم بين 1923 ما احتمال أن تقع درجة أحد الطلاب بين 17 و 25 ؟ ما احتمال أن تقل مدة صلاحية المنتج عن 90 يوما؟ ما احتمال أن تزيد مدة صلاحية المنتج على 210 أيام؟ 12) طول: تتوزّع أطوال 880 طالبا في إحدى الجامعات توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي مقداره 67in ، وانحراف معياري مقداره 2.5in كم طالبا تقريبا يزيد طوله على 72in ؟ ما احتمال أن تقع أطوال الطلاب بين 59.5in و 69.5in؟ (13) صناعة : تُستعمل آلة لتعبئة عبوات بالمياه المعدنية، وتختلف كمية الماء اختلافًا ضئيلا بين العبوات. إذا كان حجم الماء في 120 عبوة يتبع توزيعاً طبيعياً بمتوسط حسابي 1.1L، وانحراف معياري 0021، تاجب عما يأتي: a كم عبوة تقريبًا يكون حجم ا الماء فيها أقل من 1.06؟ ما احتمال أن يكون حجم الماء في العبوات بين 1 21:08 و L 1.14؟ وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 5- التوزيع الطبيعي 20696

مسائل مهارات التفكير العليا (14) اكتشف الخطأ: تتوزّع أطوال أقطار نو بار نوع من الأشجار توزيعا (21) مسابقات ببين الجدول أدناه أعداد الطلاب الذين شاركوا في المسابقات الثقافية، والذين لم يشاركوا من الصفوف: الأول والثاني والثالث الثانوي في مدرسة ما. إذا اختير أحد الطلاب عشوائيا، طبيعيًا بمتوسط مقداره 11.5cm ، وانحراف معياري مقداره 2.5cm فأوجد احتمال أن يكون قد شارك في المسابقات الثقافية علما بأنه ومدى من 3.6cm إلى 19.8cm ، وقد حاولت كل من مريم وأمينة إيجاد مدى %68 من البيانات التي تقع في وسط التوزيع. أيهما كانت إجابتها صحيحة؟ فسّر إجابتك. من الصف الثالث الثانوي؟ (الدرس (73) الأول الثانوي | الثاني الثانوي | الثالث الثانوي | 6 9 7 22 20 23 المشاركون غير المشاركين مريم أمينة (22) جسور: جسر لعبور المشاة فوق مسطح مائي على شكل قطع تمتد النسبة %68 من مدى البيانات 16.2cm ، مكافئ فتحته إلى أسفل أوجد معادلة الجسر، مفترضًا أن نقطة الأصل على سطح الماء تحت رأس القطع (مهارة سابقة) to 1 إلى 0 - 1 أي أن 68% من المدى يساوي تقريبًا 11cm، ويتوزع هذا مدى %68 سيكون من المدى بالتساوي حول cm 9 إلى cm 14 325 ft 1675 ft المتوسط 11.5cm، أي أن مدى %8 سيكون . من 17 cm 16cm. 15) تحد في مستودع للأدوات الكهربائية عدد من المسجلات التي تعمل على البطارية. إذا كانت أعمار البطاريات تتوزع توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي 8.0 ، وانحراف معياري 0.7 ، فما العدد التقريبي للمسجلات في المستودع إذا علمت أن هناك 8 مسجلات تدريب على اختبار يزيد عمر بطارياتها على 10.1 ؟ 16 اكتب اشرح الفرق بين التوزيعات الموجبة الالتواء، والتوزيعات السالبة الالتواء، والتوزيعات الطبيعية لمجموعة بيانات أعط مثالا على كل منها. (17) تبرير بحسب القانون التجريبي، فإن معظم البيانات في التوزيع الطبيعي تقع ضمن الفترة 0 - ) . هل هذا صحيح أم خاطئ؟ برر إجابتك. 18) مسألة مفتوحة : أوجد بيانات واقعية تبدو كأنها تتوزع توزيعا طبيعياً، أعط خصائص هذا التوزيع فيما يتعلق بالمتوسط الحسابي، والانحراف المعياري. ومثل البيانات بيانيا. (19) مسألة مفتوحة: أعط مثالا على توزيع احتمالي منفصل، وآخر متصل، وصف الفرق بينهما. مراجعة تراكمية (23) يتوزّع عمر 10000 مصباح كهربائي توزيعا طبيعيا بمتوسط حسابي يوم، وانحراف معياري 40 يومًا كم مصباحًا يقع عمره بين ) 300 يوما ،340 يوما؟ 2500 A 3400 B 5000 C 6800 D 24) ما الوصف الأفضل لمنحنى التوزيع الاحتمالي الممثل أدناه؟ h ما توزيع سالب الالتواء توزیع متماثل توزيع طبيعي توزيع موجب الالتواء 260 (20) طلاب رُشّح 3 طلاب من الصف الأول الثانوي ، و11 طالبًا (25) صناعة : تتوزّع قياسات أقطار مجموعة من الأقراص المدمجة من الصف الثاني الثانوي لتوزيع بعض الطرود على الفقراء. إذا اختير من بينهم 4 طلاب عشوائيا، فما احتمال أن تتضمن العينة طالبين من الصف الأول الثانوي، وطالبين من الصف الثاني الثانوي؟ (الدرس 4-7) التي تصنعها إحدى الشركات توزيعاً طبيعياً بانحراف معياري مقداره 1mm، وبمتوسط حسابي -120mm ما احتمال أن يزيد طول قطر قرص اختير عشوائيا على 120mm؟ إذا كانت الشركة تصنع 1000 قرص في الساعة، فما العدد التقريبي للأقراص المصنوعة في الساعة الواحدة، والتي يتراوح قطر كل منها بين mm, 122mm 119 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء 70