الضرب الداخلي - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa ь Bb1b2) BA 0 a Aaya) الضرب الداخلي Dot Product 5-3 فيما سبق: درست عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات هندسيا وجبريا (الدرس (52) والان : أجد الضرب الداخلي لمتجهين، وأستعمله في إيجاد الزاوية بينهما. المفردات: الضرب الداخلي dot product المتجهان المتعامدان Orthogonal vectors الشغل لماذا ؟ تحمل كلمة الشغل معانٍ متعددة في الحياة اليومية، إلا أن لها معنى محددًا في الفيزياء، وهو مقدار القوة المؤثرة في جسم مضروبة في المسافة، التي يتحركها الجسم في اتجاه القوة. ومثال ذلك: الشغل المبذول لدفع سيارة مسافة محددة. ويمكن حساب هذا الشغل باستعمال عملية على المتجهات تسمى الضرب الداخلي. الضرب الداخلي تعلمت في الدرس 2-5 عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات. وفي هذا الدرس سوف تتعلم عملية ثالثة على المتجهات. إذا كان لديك المتجهان المتعامدان a, b في الوضع القياسي، وكان BA المتجه الواصل بين نقطتي نهاية المتجهين كما في الشكل المجاور. فإنك تعلم من نظرية فيثاغورس أن BA = a + b2] . وباستعمال مفهوم طول المتجه يمكنك إيجاد BA تعريف طول متجه ربع الطرفين فك الأقواس جمع الحدود المربعة |BA=√(a₁-b₁)2 + (a₂- b₂)² |BA2 = (a1b₁)² + (a2 - b₂)² BA = 412 - 241b1 + b12 + 122 - 24202 + 622 BA=(a+a22) + (b₁² + b₂²)-2(a₁b₁ + a₂b₂) = |a|2 + |b|22(a₁b₁ + a2b₂) lal = Va2 + 422 , lal2 = a + a22, |BA 2 |b = b2 + 622 ,02 = b2 + 622 work لاحظ أن العبارتين 2 + 2 ، 2ab + a2b2 - 2 + 2 | متكافئتان إذا وفقط إذا كان 0 = ab + a2b2 . قراءة الرياضيات . ويُسمى التعبير ab + a2b2 الضرب الداخلي للمتجهين ، ويُرمز له بالرمز ab، ويُقرأ الضرب الداخلي للمتجهين a, b ، أو يُقرأ اختصارًا a dot b . الضرب القياسي يسمى الضرب الداخلي في بعض الأحيان بالضرب القياسي. مفهوم أساسي الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي يُعرف الضرب الداخلي للمتجهين a = (ay, a b bb كالآتي : a. b = ab + a2b2 لاحظ أنه خلافًا لعمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات، فإن حاصل الضرب الداخلي لمتجهين يكون عددًا وليس متجهًا. ويتعامد متجهان غير صفريين، إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرًا. ويقال للمتجهين اللذين حاصل ضربهما الداخلي صفر متجهان متعامدان . مفهوم أساسي المتجهان المتعامدان يكون المتجهان غير الصفريين متعامدين إذا وفقط إذا كان 0 = a b . على الرغم من أن حاصل الضرب الداخلي للمتجه الصفري في أي متجه آخر يساوي الصفر، أي أن : 0 = 02 + 0a1 = (42 ,41) • (0 ,0) ، إلا أن المتجه الصفري لا يعامد أي متجه آخر ؛ لأنه ليس له طول أو اتجاه.. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 5 المتجهات 102

u الشكل 5.3.1 مثال 1 استعمال الضرب الداخلي في التحقق من تعامد متجهين أوجد الضرب الداخلي للمتجهين ,u ، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين . u = (3, 6), v = (-4,2) (a u v 3(-4)+ 6(2) = 0 u = (2,5), v = (8,4) (b u v 2(8)+5(4) = 36 بما أن 0 = uv ، فإن uv متعامدان كما هو بما أن . فإن غير متعامدين كما هو موضح في الشكل 5.3.1 . تحقق من فهمك موضح في الشكل 5.3.2 . أوجد الضرب الداخلي للمتجهين ، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين . u (3,-2), v = (-5,1) (1A u = (-2,-3), v = (9,-6) (1B يحقق الضرب الداخلي الخصائص الآتية : الشكل 5.3.2 نظرية خصائص الضرب الداخلي إذا كانت متجهات وكان عددًا حقيقيًا، فإن الخصائص الآتية صحيحة: الخاصية الإبدالية خاصية التوزيع خاصية الضرب في عدد حقيقي خاصية الضرب الداخلي في المتجه الصفري العلاقة بين الضرب الداخلي وطول المتجه البرهان إثبات أن: 2 | | = uu افترض أن : ( 42 41 ) = u u v v u u • (v + w) =u.v + u.w k(u v) ku⚫v=u.kv 0⚫u=0 u . u = |u|2 مثال 2 الضرب الداخلي اكتب على صورة مربع جذر ( 1 + 1 ) u⚫u=u²+u² = ( + ) Vu + u = |a| = |u| ستبرهن الخصائص الثلاث الأولى في الأسئلة 37-35 استعمال الضرب الداخلي لإيجاد طول متجه استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول (512) = a . بما أن : lal2 = aa ، فإن : lal = Vana . a = (-5, 12) بسط -5, 12)=√(-5, 12) (-5, 12) =√√(-5)² + 12² = 13 تحقق من فهمك استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول كل من المتجهات الآتية : b = (12, 16) (2A c=(-1,-7) (2B الزاوية 6 بين أي متجهين غير صفريين هي الزاوية بين هذين المتجهين، عندما يكونان في وضع قياسي كما في الشكل المجاور، حيث إن : T = 0 0 ، أو 180 = 0 ≥ °0 ، ويمكن استعمال الضرب الداخلي؛ لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين. وزارة التعليم الدرس 3-5 الضرب الداخلي 103 2024-1446

b b-a 0 O إرشادات للدراسة المتجهات المتعامدة والمتجهات المتوازية يقال لمتجهين إنهما متعامدان، إذا كانت الزاوية بينهما 90. ويقال لمتجهين أنهما متوازيان إذا كانت الزاوية بينهما 0 أو 180 . الزاوية بين متجهين مفهوم أساسي إذا كانت 0 هي الزاوية بين متجهين غير صفريين a, b ، فإن : البرهان cos 0= a.b |a| |b| إذا كان: abb - a أضلاع مثلث كما في الشكل أعلاه ، فإن: قانون جيوب التمام u2 = uu خاصية التوزيع للضرب الداخلي u⚫u=|u|2 بطرح a + b2| من الطرفين بقسمة الطرفين على | | |a|2 |a|2 + |b2 - 2 |a| |b| cos 6 = |b - al |a2|b|22|a| |b| cos 0 = (ba). (ba) |a|2 + |b2 - 2 |a| |b| cos 0 = b b ba-ab+a.a |a2|b|22|a| |b| cos 0= |b|22a b+|a|2 -2 |a| |b| cos 0=-2a.b cos 0 = a.b |a| |b| -4,3, v 10 y مثال 3 إيجاد قياس الزاوية بين متجهين أوجد قياس الزاوية 0 بين المتجهين v في كل مما يأتي: u = (6, 2), v = (-4,3) (a (6,2) الزاوية بين متجهين Cos uv 125 || || u u (6, 2), v (-4,3) cos 0 = (6, 2) (-4,3) |(6, 2)||<-4,3)| الضرب الداخلي لمتجهين طول المتجه -24 +6 cos = √40 √25 بسط cos = -18 10710 (3, 1) 0 v وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 معكوس جيب التمام 0 = cos -1 -18 ≈125° 10/10 أي أن قياس الزاوية بين هو 2,125 تقريبا، كما في الشكل أعلاه. u = (3, 1), v (3,-3) (b الزاوية بين متجهين Cos uv |u| |v| u = (3, 1), v(3,-3) cos 0 = (3, 1) (3,-3) |(3, 1)||(3,-3)| الضرب الداخلي لمتجهين طول المتجه cos 0 = 9+ (-3) V10 V18 1 بسط cos 0 = معکوس جيب التمام 0 = cos -1 1 = 63° √5 أي أن قياس الزاوية بين , هو 63 تقريباً، كما في الشكل المجاور. الفصل 5 المتجهات 104

تحقق من فهمك أوجد قياس الزاوية 0 بين المتجهين uv في كل مما يأتي: u = (-5,-2), v = (4, 4) (3A u = (9,5), v = (-6,7) (3B من التطبيقات على الضرب الداخلي للمتجهات، حساب الشغل الناتج عن قوة، فإذا كانت F قوةً مؤثرة في جسم لتحريكه من النقطة A إلى B كما في الشكل أدناه، وكانت F موازية لـ AB ، فإن الشغل W الناتج عن F يساوي مقدار القوة F مضروبا في المسافة من A إلى B ، أو | W = |||AB . F A B ولحساب الشغل الناتج من قوة ثابتة F ، بأي اتجاه لتحريك جسم من النقطة A إلى B ، كما في الشكل المجاور، يمكنك استعمال الصيغة: W=F⚫AB Fsin F Fcos 0 A B أي أنه يمكن حساب هذا الشغل بإيجاد الضرب الداخلي بين القوة الثابتة F ، والمسافة المتجهة AB بعد كتابتهما في الصورة الإحداثية. مثال 4 من واقع الحياة حساب الشغل إرشادات للدراسة وحدات الشغل وحدة قياس الشغل في النظام الإنجليزي هي قدم رطل ، وفي النظام المتري نيوتن متر أو جول سيارة يدفع شخص سيارةً بقوةٍ ثابتة مقدارها 120 بزاوية 45 كما في الشكل المجاور، أوجد الشغل المبذول بالجول لتحريك السيارة 10m (بإهمال قوة الاحتكاك). استعمل قاعدة الضرب الداخلي للشغل. الصورة الإحداثية للقوة المتجهة F بدلالة مقدار القوة، وزاوية الاتجاه هي : 45% -45° F. W (مسقط F على AB ((45) sin 120 ,(450 (120) . الصورة الإحداثية لمتجه المسافة هي (100) . W = F.AB = (120 cos (-45°), 120 sin (-45°)) (10, 0) [120 cos (-45°)](10) = 848.5 أي أن الشخص يبذل [848.5 من الشغل؛ لدفع السيارة. تحقق من فهمك قاعدة الضرب الداخلي للشغل عوض الضرب الداخلي (4) تنظيف يدفع إبراهيم مكنسة كهربائيةً بقوة مقدارها 25N، إذا كان قياس الزاوية بين ذراع المكنسة وسطح الأرض 60 ، فأوجد الشغل بالجول الذي بذله إبراهيم عند تحريك المكنسة مسافة 6m؟ 25 N 60° وزارة التعليم الدرس 3-5 الضرب الداخلي 105 2024-1446

تدرب وحل المسائل أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين ، ثم تحقق مما إذا كانا أوجد متجها يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: متعامدين أم لا. (مثال (1) (-2,-8) (17 (3,5) (18) (7,-4) (19 (-1,6) (20 u = (3,-5), v = (6,2) (1 u = (9,-3), v = (1,3) (2 u = (4, 4), v = (7,5) (3 u = 11i + 7j, v = - 7i + 11j (4 u = (-4, 6), v = (-5,-2) (5 (6) زيت الزيتون يمثل المتجه (40697) = u أعداد علبتين مختلفتين من زيت الزيتون في متجر ، ويمثل المتجه (27.515) = v سعر العلبة من كلا النوعين على الترتيب (مثال (1) (a أوجد uv . فسر النتيجة التي حصلت عليها في الفرع a في سياق المسألة. استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى (مثال (2) m = (-3, 11) (7 v = (1,-18) (9 r=(-9,-4) (8 t = (23,-16) (10 أوجد قياس الزاوية بين المتجهين في كل مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة (مثال (3) 21) عجلة دوارة : يعامد المتجه r في العجلة الدوارة في الوضع القياسي متجه السرعة المماسية ٧ عند أي نقطة من نقاط الدائرة. منظر علوي منظر أمامي a إذا كان طول نصف قطر العجلة 20ft ، وسرعتها ثابتة ومقدارها 40fts ، فاكتب الصورة الإحداثية للمتجه r ، إذا كان يصنع زاوية قياسها 35 مع الأفقي، ثم اكتب الصورة الإحداثية لمتجه السرعة المماسية في هذه الحالة قرب الناتج إلى أقرب جزء من مئة. ما الطريقة التي يمكن استعمالها لإثبات تعامد المتجه ، ومتجه السرعة باستعمال الصورتين الإحداثيتين اللتين أو جدتهما في الفرع a؟ وأثبت أن المتجهين متعامدان. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 إذا علمت كلًا من ٧ v, u٠ ، فأوجد قيمة ممكنة للمتجه في كلّ مما يأتي: 100 N u =(0, -5), v = (1,-4) (11 u = (7, 10), v = (4,-4) (12 u = (-2, 4), v = (2,-10) (13 u = -2i+3j, v = -4i - 2j (14 15 مخيم كشفي : غادر يوسف ويحيى مخيمهما الكشفي للبحث عن حطب. إذا كان المتجه (5) (3) = u يُمثل الطريق الذي سلكه يوسف، والمتجه (76) = v يُمثل الطريق الذي سلكه يحيى، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين (مثال (3) v (3,-6), u v = 33 (22 v = (4, 6), u v = 38 (23 16) فيزياء: يدفع طارق برميلا على أرض مستوية مسافة 1.5m بقوة 24 مدرسة يسحب طالب حقيبته مقدارها 534N؛ بزاوية 25، أوجد مقدار الشغل بالجول الذي يبذله المدرسية بقوة مقدارها 100N، إذا بذل طارق، وقرب الناتج إلى أقرب عدد صحيح (مثال 4) الطالب شغلا مقداره [1747 ، لسحب حقيبته مسافة 31m، فما قياس الزاوية بين قوة السحب والأفقي (بإهمال قوة الاحتكاك)؟ 534 N الفصل 5 المتجهات 106

اختبر كل زوج من المتجهات في كل مما يأتي، من حيث كونها متعامدة، أو مراجعة تراكمية متوازية، أو غير ذلك. 1 = ( -—-—³ ³ ³ /(), v = u= v = (9,8) (25 u = (-1,-4), v = (3,6) (26 إذا علمت أن ( 9 ) = (528) = a = (101) b ، فأوجد كلا مما يأتي: (الدرس (2-5) أوجد قياس الزاوية بين كل متجهين في كل مما يأتي، قرب الناتج إلى أقرب 39 4 + b - a عشر. u = i + 5j, v = -2i+ 6j (27 u = 4i + 3j, v = -5i - 2j (28) c - 3a + b (40 2a 4b+c (41 29) النقاط : (23) تُمثل رؤوس مثلث، أوجد قياسات أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات الآتية مع الاتجاه الموجب لمحور x : زوایاه باستعمال المتجهات. إذا علمت كلًا من والزاوية ) بين المتجهين uv ، فأوجد قيمةً ممكنةً للمتجه v ، قرب الناتج إلى أقرب جزء من مئة. u = (4,-2), |v|= 10,0 = 45° (30 u (3, 4), |v|√√29, 0=121° (31 الدرس (52) -i3j (42 (-9,5) (43 (-7,7) (44 مسائل مهارات التفكير العليا (32) تبرير اختبر صحة أو خطأ العبارة الآتية: إذا كانت || dl el تُمثل ثلاثية فيثاغورس، وكانت الزاويتان بين de وبين ef حادتين، فإن الزاوية بين df يجب أن تكون قائمة. فسر تبريرك. 33) اكتشف الخطأ، يدرس كلّ من فهد وفيصل خصائص الضرب الداخلي للمتجهات، فقال فهد إن الضرب الداخلي للمتجهات عملية تجميعية؛ لأنها إبدالية؛ أي أن: (۰) ۰ = ، ولكن فيصل عارضه، فأيهما كان على صواب؟ وضح إجابتك. 34) اكتب: وضح كيف تجد الضرب الداخلي لمتجهين غير صفريين. تدريب على اختبار 45) ما قياس الزاوية بين المتجهين (11) (90) 0° A 45° B 90° C 135° D 46) إذا كان (2) = (43) = s ، فأي مما يأتي يمثل ٢ ، حيث 2 - r = t ؟ (14,8) A (-14,8) C (-14,-8) D (14,6) B برهان : إذا كان : (u = (uy, up, v = (V1, V2), w = (W1, w2 ، فأثبت خصائص الضرب الداخلي الآتية: u.v=v.u (35) u (vw) u v+u w (36 k(uv) = kuv = uv 37 38 برهان إذا كان قياس الزاوية بين المتجهين , يساوي 90 فأثبت أن 0 = uv باستعمال قاعدة الزاوية بين متجهين غير صفريين وزارة التعليم الدرس 3-5 الضرب الداخلي 1070 2024-1446

الفصل اختبار منتصف الفصل 5 الدروس من 1 إلى 5 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية مستعملا قاعدة المثلث، أوجد الصورة الإحداثية، وطول المتجه المُعطاة نقطتا بدايته ونهايته أو متوازي الأضلاع، وقرّب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من على الترتيب في كل مما يأتي ، قرب الناتج إلى أقرب جزء من السنتمتر، ثم حدد اتجاهها بالنسبة للأفقي ، مستعملا المسطرة والمنقلة . عشرة (الدرس (52) (الدرس 1-5 ) (1 g (2 Q(1,-5),R(-7,8) (12 A(-4, 2),B(3,6) (11 أوجد قياس الزاوية 0 بين المتجهين u, v، وقرب الناتج إلى أقرب درجة: ( الدرس 3-5 ) (3) التزلج يسحب شخص مزلجة على الجليد بقوة مقدارها 50N بزاوية 35 مع الأفقي، أوجد مقدار كل من المركبة الأفقية، والعمودية للقوة ، وقرّب إلى أقرب جزء من مئة (الدرس 1-5 ) (4) ارسم شكلا يُمثل المتجه 3d - الدرس (1-5) اكتب BC المُعطاة نقطتا بدايته ونهايته، في كلّ ممَّا يأتي بدلالة متجهي الوحدة 1 الدرس (52) u=(9,-4), v=(-1,-2) (13 u=(8, 4), v=(-2, 4) (14 u=(2,-2), v=(3,8) (15 (16) اختيار من متعدد : إذا كان : (85) = v = ( - 1,4), w ,(23) = ، فما ناتج (5-3) (u⚫v)+(w v) -2 A -18 B 15 C 38 D أوجد الضرب الداخلي للمتجهين في كل مما يأتي، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا: (الدرس (3-5) (2,-5) (4,2) (17 B(10,-6), C(-8,2) (6 B(4, 10), C(14, 10) (8 B(3,-1), C(4,-7) (5 B(1,12), C(-2,-9) (7 9) اختيار من متعدد أي مما يأتي يُمثل الصورة الإحداثية لـ AB ، حيث (5) A نقطة بدايته، و (21) نقطة نهايته ؟ الدرس (52) (4, 1) A (7,-4) B (-4,7) C (-6,4) D (1, 6) (5,8) (19 (4,3) (7,4) (18 (3,-6) (10, 5) (20 (21) عربة: يسحب أحمد عربةً بقوة مقدارها 250 ، وبزاوية 30 مع الأفقي كما في الشكل أدناه. (الدرس 3-5 ) 10 كرة سلة ركض راشد في اتجاه السلة في أثناء مباراة بسرعة m/s 2.5 ، ومن منتصف الملعب صوّب كرة بسرعة m/s 8 بزاوية قياسها 36 مع الأفقي (الدرس (2-5) 108 25 N. 30° 8 m/s 36° 2.5 m/s اكتب الصورة الإحداثية للمتجهين اللذين يُمثلان سرعة راشد ، وسرعة الكرة ، قرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. ما السرعة المحصلة، واتجاه حركة الكرة؟ قرب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة، وقياس الزاوية إلى أقرب درجة. ما مقدار الشغل الذي يبذله أحمد عندما يسحب العربة 150m، قرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. إذا كانت الزاوية بين ذراع العربة والأفقي 400 ، وسحب أحمد العربة المسافة نفسها، وبالقوة نفسها، فهل يبذل شغلًا أكبر أم أقل؟ فسّر إجابتك. الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446