توسع أنظمة المعادلات والمتباينات غير الخطية - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa معمل الحاسبة البيانية : توسع أنظمة المعادلات والمتباينات غير الخطية Systems of Nonlinear Equations and Inequalities 4-4 الهدف معادلات القطوع المخروطية هي معادلات غير خطية، ولا تمثل دوال إلا في بعض الحالات. ويمكنك حل أنظمة استعمل الحاسبة البيانية المعادلات الخطية باستعمال الحاسبة البيانية Inspire من خلال تمثيل كل معادلة في النظام ثم إيجاد نقاط التقاطع . Tl-nspire لتقريب حلول أنظمة معادلات ومتباينات غير خطية. نشاط 1 حل نظام معادلات غير خطية بيانيا حلّ نظام المعادلات الآتي بيانيا : لم يتم الحفظ e1 xy+6-0 xy+0+0+(-13 202 5/27y x242+ (-13-0 x2 + y2 = 13 xy + 6 = 0 لحل المعادلتين بيانيًا باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire نقوم بالخطوات 3: إدخال/ تحرير الرسم البياني | التالية: الخطوة 1: مثل المعادلتين بيانيا. . اضغط على المفاتيح: esc (menu Go ثم اختيار 2: معادلة 6 : القطوع المخروطية ax²+b+x+y+cy²+d+x+ey+f-0:1 . اكتب المعادلة ثم اضغط Center سيظهر التمثيل البياني للمعادلة الأولى. . اضغط ( tab ) واكتب المعادلة الثانية ثم اضغط Center سيظهر التمثيل البياني للمعادلة الثانية. الخطوة 2: إيجاد نقاط التقاطع. . استعمل ميزة نقاط التقاطع لإيجاد الحلول بالضغط (menu اثم اختيار 6 تحليل الرسم البياني لي 4: نقاط التقاطع واضغط في أي نقطة على الشاشة وحرك x²+2+(-13)-0 المؤشر مرورًا بكل نقطة من نقاط التقاطع، ستظهر الأزواج (3.2) کار المرتبة الممثلة لنقاط التقاطع الأربع؛ 12,-3) 202 5/27 (-2,3 (-3,2) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 5.38 x = 2 + y (3 x2 + y2 = 100 (-3, 2), (-2, 3), (2,-3), (3,-2): i تمارين حلّ كل نظام معادلات فيما يأتي بيانيًا مقربا إلى أقرب جزء من عشرة: 49 = y2 + x2 (2 x = 1 y=-1-x (6 2 = 9 - 3x2 (5 4 + x = (y - 1)2 x2 = 10 - 22 المطبخ معيشة xy=2 (1 x2 - 12 = 3 25 - 4x2 = 12 (4) 2x + y + 1 = 0 7 تحد يحتوي جناح في منزل على غرفتين مربعتين؛ غرفة معيشة وغرفة نوم، والمساحة الكلية للغرفتين هي 468f2 ، ومساحة غرفة النوم أصغر من مساحة غرفة المعيشة بمقدار 1802 . اكتب نظاما من معادلات تربيعية يمثل معطيات هذا الموقف. مثل نظام المعادلات بيانيا، وقدر طول كل غرفة. الفصل 4 القطوع المخروطية 76

كذلك يمكنك حل أنظمة المتباينات غير الخطية باستعمال الحاسبة البيانية TInspire، وقد مرّ معك في صف سابق أنه يمكنك تمثيل المتباينات غير الخطية بيانيا، وذلك بكتابة كل متباينة بدلالة . 120x 3 15√36-2 F10 المسودة العمليات الحسابية الرسم البياني الحالي 5 الاعدادات √36-x -6.67 6.62 √36-x Q 10x- 1.2 1.1 A نشاط 2 حل نظام متباينات غير خطية حلّ نظام المتباينات الآتي بيانيا : x2 + y2 = 36 y-x²>0 إرشاد تقني تدريج المحاور يمتد تدريج الحاسبة التلقائي على محور لا (-6.67, 6.67) الخطوة 1: اكتب كل متباينة بدلالة y . y > x, y = V36 - x2 y 2 - 36 - 12 الخطوة 2: افتح الحاسبة بالضغط على on اختر من الشاشة الظاهرة 1 مستند جديد ثم اختر من الشاشة الظاهرة 2 الإضافة تطبيق الرسوم البيانية الخطوة 3: اكتب المتباينة الأولى y x2، وذلك بالضغط على مفتاح ا، ثم اختر رمز التباين < مستعملا الأسهم، فتظهر < لا ، أكمل كتابة المتباينة، ثم اضغط enter ولكي يتضمن التمثيل البياني للمعادلة (2x) القيمة 7 = (x)2، قم بالضغط على مفتاح ومنها اختيار 4 تكبير / تصغير النافذة ثم اختيار 1 : إعدادات النافذة وليمتد تدريج المتغير لا ليتضمن العدد 7 ، يمكن اختيار قيمة القيمة العظمى ل ل : 10 الخطوة 4: اكتب المتباينة الثانية y = 36 - x2 بالضغط على المفتاح tab اثم المفتاح ، ثم اختر رمز التباين ك مستعملا الأسهم، ستظهر = y ، أكمل كتابة المتباينة ثم اضغط ) ثم اضغط على المفتاح ) وتمثيل المتباينة enter y = -36 - x2 ، ستكون منطقة الحل هي . منطقة التظليل المشترك. أي قم بالضغط على المفاتيح إرشاد تقني لون التظليل يمكن تغيير لون التظليل الذي يمثل منطقة حل المتباينة بالضغط على enter tab del s ctrl enter 36-x2 tab ctrl 36 - x enter لاحظ نمط التظليل فوق 2 y = x ، وتحت y = V36 - x2 . إن منطقة الحل هي المنطقة الناتجة عن تقاطع أنماط التظليل، وهي المنطقة التي تحوي النقاط التي تحقق النظام جميعها. x2 + y2 = 36 y-x²>0 ctrl)، ثم اختيار B: اللون ومنها 1: لون السطر 2 : لون التعبئة أو كلاهما، وذلك حتى يكون تمارين لون منطقة الحل مميزا عن حل كل نظام متباينات فيما يأتي بيانيا : لون تظليل كل متباينة من x2 + 42 5 32 (10 4x2 + 12 5 32 y + 5 = x2 (9 92 = 36 + x2 وزارة التعليم توسع 4-4 معمل الحاسبة البيانية: أنظمة المعادلات والمتباينات غير الخطية 77 2024-1446 2y2 ≤32-2x2 (8 x + 4 2 y نظام المتباينات.

الفصل 4 دليل الدراسة و المراجعة ملخص الفصل المفاهيم الأساسية القطوع المكافئة (الدرس 1-4) المعادلة في الصورة القياسية المحل الهندسي ص 46 القطع المكافئ ص 46 الاتجاه الرأس البؤرة (y-k)²=4c(x - h) (x-h)² = 4c(y-k) أفقي رأسي (h + c, k (h, k) (h, k + c) (h, k) . تحدد قيمة p موقع البؤرة . البؤرة ص 46 الدليل ص 46 محور التماثل ص 46 الرأس ص 46 الوتر البؤري ص 46 القطع الناقص ص 54 القطوع الناقصة والدوائر (الدرس 2-4 ) المعادلة في الصورة القياسية البؤرتان ص 54 المحور الأكبر ص 54 المفردات القطع المخروطي ص 46 المركز ص 54 المحور الأصغر ص 54 الرأسان ص 54 الرأسان المرافقان ص 54 الاختلاف المركزي ص 54 القطع الزائد ص 57 البؤرتان ص 63 المركز ص 63 الرأسان ص 63 المحور القاطع ص 63 المحور المرافق ص 63 الاتجاه الرأسان | البؤرتان اختبر مفرداتك (x - 2 ( - 2 = 1 2 12 (y-k)² + (x - 12 62 1 المحور الأكبر أفقي المحور الأكبر رأسي (htc, k (h±a, k) (1 (h, k tc) (h, k±a) اختر المفردة المناسبة من القائمة أعلاه لإكمال كل جملة فيما يأتي: هو الشكل الناتج عن قطع مستوى لمخروطين دائريين قائمين متقابلين بالرأس كليهما أو أحدهما ، بحيث لا يمر المستوى بالرأس. صيغة الاختلاف المركزي للقطع الناقص هي اها : = e ، حيث : . a² = b² = c² • الصورة القياسية لمعادلة الدائرة التي مركزها ( ونصف قطرها r هي 2 = x - h2 + (y - k2 ) . القطوع الزائدة (الدرس 3-4) (2) الدائرة هي . نفسها عن نقطة معطاة. للنقاط في المستوى التي تبعد المسافة (3) يكون . القطع المكافئ عموديا على محور تماثله. المعادلة في الصورة الاتجاه الرأسان | البؤرتان القياسية (4) يقع الرأسان المرافقان في . يقع الرأسان على محوره الأكبر. على محوره الأصغر، بينما (x-h) (y-k)² = 1 02 62 (y - 102 12 (x-h)² 62 =1 المحور القاطع أفقي المحور القاطع رأسي (h tk) (h ta, k (h, k±c) (h, k ta) (6 (5 مجموع بعدي نقطة واقعة على منحنى القطع الناقص عن . يساوي مقدارًا ثابتا . .a² + b² = c² (7 • صيغة الاختلاف المركزي للقطع الزائد هي = e ، حيث : تحديد أنواع القطوع المخروطية (الدرس 4-4) . يمكن تحديد أنواع القطوع المخروطية بكتابة معادلاتها العامة بالصورة القياسية إن أمكن، أو باستعمال المميز. 8 كما يوجد للقطع الناقص رأسان وبؤرتان فإن ل. نفسه، لكن له خطي تقارب، ومنحناه مكون من جزئين. وزارة التعليم - للقطع الناقص هو نسبة تحدد ما إذا كان شكل منحناه متسعًا أو دائريا، ويمكن إيجاده باستعمال النسبة 4. . الدائرة هو نقطة تبعد عنها جميع نقاط الدائرة بعدا ثابتا . 78 الفصل 4 القطوع المخروطية Ministry of Education 2024-1446

مثال 1 مراجعة الدروس القطوع المكافئة الصفحات 5346) 4-1 حدد خصائص القطع المكافئ المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانيا. (x+3)2 12(y+2) (9 (x-2)²=-4(y+1) (10 -3)2 (11 (x-5)= اكتب معادلة القطع المكافئ المعطاة إحداثيات رأسه وبؤرته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانيا. اكتب معادلة القطع المكافئ الذي بؤرته (2) ورأسه (23) ، ثم مثل منحناه بيانيا. بما أن البؤرة والرأس يشتركان في الإحداثي x، فإن المنحنى رأسي. البؤرة هي ) ، لذلك فإن قيمة هي 4 = (3) - 1 . وبما أن قيمة موجبة، فإن المنحنى مفتوح إلى أعلى. اكتب معادلة القطع المكافئ على الصورة القياسية باستعمال القيم 10 y F(2, 1) V(2,-3) الصورة القياسية .h, p, k 4p(y k) = (xh)² p=4, k=3, h=24(4)(y+3)=(x-2)² 16(y+3)=(x-2)² F(1, 1), V(1, 5) (12 F(-3, 6), V(7, 6) (13 F(-2,-3), V(-2,1) (14 F(3,-4), V(3,-2) (15 بسط اكتب معادلة القطع المكافئ الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما الصورة القياسية للمعادلة هي: يأتي، ثم مثل منحناه بيانيا. (3 + x - 22 = 16y) . مثل بيانيا كلا 16) (44) والمنحنى المفتوح إلى اليسار ويمر بالنقطة (70) من الرأس والبؤرة والوتر البؤري، ثم ارسم منحنى يمر بالرأس، ويمتد مارا بكلا طرفي (17) (14)F والمنحنى المفتوح إلى أسفل ويمر بالنقطة (72) 18) (36) والمنحنى المفتوح إلى أعلى ويمر بالنقطة (92) الوتر البؤري. القطوع الناقصة والدوائر الصفحات (6154) 4-2 مثال 2 حدد خصائص القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانيا. = 1 (19 (x-3)2 (y+6)2 x2 y² + = 1 (20 25 + 9 4 16 اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: (6,-3), (4,3), (7,-3), (3,-3) J (21 (22) البؤرتان (12) ، وطول المحور الأصغر يساوي 6 وحدات. اكتب معادلة القطع الناقص الذي إحداثيات نهايتي محوره الأكبر (114), (94) و إحداثيات نهايتي محوره الأصغر (14), (112) . استعمل نهايات المحورين الأكبر والأصغر لتحديد a, b . نصف طول المحور الأكبر نصف طول المحور الأصغر b = 12-(-4) 2 11 (-9) = 8 a = = 10 2 (23) إحداثيات نهايتي المحور الأكبر (46) و إحداثيات مركز القطع الناقص هو نقطة منتصف المحور الأكبر. نهايتي المحور الأصغر (17) (11) أوجد معادلة كل دائرة من الدوائر في الحالات الآتية: (24) المركز (6 (1-) ، وطول نصف القطر 3 وحدات. 25) إحداثيات نهايتي القطر عند النقطتين (0 ,0 ,(25) . 26 إحداثيات نهايتي القطر عند النقطتين (26), (42) (11+ (-9) 12+ (-4) (h, k) = (-4)) 2 = (1,4) قانون نقطة المنتصف بسط الإحداثيان ل لنقطتي نهايتي المحور الأكبر متساويان؛ لذلك فإن المحور الأكبر أفقي، وقيمة مرتبطة بالمتغير x لذا فإن معادلة القطع الناقص هي: (x-1)2 (y-4)² + = 1 100 64 وزارة التعليم الفصل 4 دليل الدراسة والمراجعة 79 2024-1446

80 الفصل 4 دليل الدراسة و المراجعة 4-3 القطوع الزائدة (الصفحات (63-71) حدد خصائص القطع الزائد المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل منحناه بيانيا. (y+3)2 (x-6)2 = 1 (27 30 8 (x+7)2 (y-6)2 = 1 (28 18 36 (y-1)2 (x+1)21 (29 4 x2 - y2 - 2x + 4y - 7 = 0 30 مثال 3 مثل معادلة القطع الزائد الذي معادلته 1 = - في هذه المعادلة: (y + 3) 2 ( x + 1)2 16 4 h = - 1,k = -3, a = 16 = 4, b = V4 = 2, c = V16 + 4 = 25 حدد خصائص القطع الزائد. الاتجاه راسي المركز : الرأسان البؤرتان (h, k) (-1,-3) (h, ka) (-1, 1), (-1, -7) (h, k±c) (-1,-3+2√√5) (-1,-3-2√√5) y-k= ±(x-h) y + 3 = 2(x + 1) اكتب معادلة القطع الزائد الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: (31) الرأسان (70) (70) ، طول المحور المرافق 8. (32) البؤرتان (5 (0) (05) ، والرأسان (3-0) (3). (33) البؤرتان 5 (1) (15) ، وطول المحور القاطع 16. 34) الرأسان (20) (20) ، وخطا التقارب y = = x . خطا التقارب و ( 1 + y + 3 = -2(x عين المركز والرأسين والبؤرتين وخطي التقارب، ثم ارسم المستطيل الذي قطراه محمولان على خطي التقارب، ثم مثل القطع الزائد بيانيا بحيث يمس جانبي المستطيل عند رأسيه ويكون محصورا بين امتداد قطريه. 4-4 تحديد أنواع القطوع المخروطية (الصفحات (72-75) حدد نوع القطع المخروطي الذي تـ على الصورة القياسية: تمثله كل معادلة مما يأتي دون كتابتها مثال 4 8x بيانيا. - F tilo اكتب المعادلة 0 = 39 + 3x2 + 32 - 12x + 30y على الصورة القياسية، ثم حدد نوع القطع المخروطي الذي تمثله. 3x2 + 3y2 - 12x + 30y + 39 = 0 3(x²-4x+)+3(y²+10y+)=-39+ 3()+3() 3(x²-4x+4)+3(y²+10y+25)=-39+3(4)+3(25) 3(x-2)²+3(y+5)² = 48 (x-2)²+(y+5)² = 16 x2 - 42 - 6x - 16 - 11 = 0 (35 4y²-x-40y+107 = 0 (36 9x2 + 4y2 + 162x + 8y + 732 = 0 (37 الفصل 4 القطوع المخروطية بما أن المعادلة على الصورة 2 = 2 - ) + ( - ) فإنها معادلة دائرة مركزها (25). وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تطبيقات ومسائل 38 أقواس يوضح الشكل المجاور قوسًا على شكل قطع مكافئ مقاما (40) طاقة تكون أبراج تبريد محطات توليد الطاقة على شكل مجسم عند بوابة متنزه (الدرس 1-4) 25 ft -90 ft ) اكتب معادلة القطع المكافئ التي يمكن أن يمثلها هذا القوس بصورة تقريبية. أوجد موقع بؤرة هذا القطع المكافئ. (39) حركة الماء: أحدث سقوط حجر في بركة ماء تموجات على شكل دوائر متسعة متحدة المركز افترض أن أنصاف أقطار هذه الدوائر تزداد بمعدل 3 بوصات في الثانية (الدرس 2-4 ) ناشئ عن دوران قطع زائد، والمقطع العرضي لهذا المجسّم هو قطع زائد الدرس 3-4) اكتب معادلة المقطع العرضي لبرج ارتفاعه 50ft ، وعرضه عند أضيق نقطة ft 30. إذا زادت نسبة ارتفاع البرج إلى عرضه عند أضيق نقطة، فكيف تتأثر معادلة المقطع العرضي له؟ (41) ضوء: ينعكس ضوء مصباح على حائط مشكلا قطعا مخروطيًّا. افترض أن معادلة القطع هي 0 = 8 - 4x2 + 2x - 21 - 32. حدد نوع القطع (الدرس 4-4) اكتب معادلة الدائرة المتشكلة بعد 10 ثوان من سقوط الحجر في البركة، مفترضًا أن نقطة سقوط الحجر هي نقطة الأصل. معادلة إحدى الدوائر الموجية هي 225 = x2 + y2 بعد كم ثانية من سقوط الحجر في البركة تكونت هذه الدائرة؟ وزارة التعليم الفصل 4 دليل الدراسة والمراجعة 81 2024-1446

الفصل اختبار الفصل اكتب معادلة القطع الناقص الذي يحقق الخصائص المعطاة في السؤالين مثل بيانيًا منحنى القطع الزائد المعطاة معادلته في السؤالين 7 و 8: الآتيين 1) الرأسان (34) 4- (7) ، والبؤرتان 24 (64) (2) البؤرتان ) (2) (2) ، وطول المحور الأكبر 12. x2 64 (y-4)2 25 = 1 (7 (y+3)2 4 (x+6)2 36 = 1 (8 (3) اختيار من متعدد ما قيمة التي تجعل منحنى المعادلة 0 = 18 - 4x2 + cy2 + 2x - 2y دائرة؟ 9) اختيار من متعدد أي قطع ناقص مما يأتي له أكبر اختلاف مركزي؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 -8 0 A B y 14 0 4 8x 82 C D -8 A -4 B 4 C 8D (4) جسور يمثل الشكل أدناه جسرًا معلقا ، تظهر أسلاكه على شكل قطوع مكافئة . 400m 80m افترض أن أدنى نقطة لحزمة الأسلاك تقع على ارتفاع 5m عن سطح الطريق، وأن البؤرة ترتفع عن الرأس مسافة 373m تقريبا . اكتب معادلة القطع المكافئ. اكتب معادلة القطع الزائد الذي يحقق الخصائص المعطاة في السؤالين الآتيين الرأسان (30) (3) ، وخطا التقارب y = + x. (6) البؤرتان (88), (80) ، والرأسان (86) (82) الفصل 4 القطوع المخروطية 82 82

مستعملا البؤرة F والرأس ، اكتب معادلة كل من القطعين المكافئين الآتيين، ثم مثل منحنييهما بيانيا. F(2, 8), V(2, 10) (10 F(2,5), V(-1, 5) (11 مثل منحنى القطع الناقص المعطاة معادلته في كل من السؤالين الآتيين: (x-5)² 49 (y+3)2 + = 1 (12 9 (x+3)² + (y+6)2 81 = 1 (13 وزارة التعليم الفصل 4 اختبار الفصل 83 2024-1446