القطوع الزائدة - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa القطوع الزائدة Hyperbolas 4-3 فيما سبق: درست تحليل القطوع الناقصة والدوائر وتمثيل منحنياتها بيانيا (الدرس (42) اليماذا؟ يدور مذنب هالي حول الشمس في مسار على شكل قطع ناقص؛ لذا فإنه يعاود الظهور في السماء، بينما توجد مذنبات أخرى لا تظهر إلا مرة واحدةً فقط؛ وذلك لاقترابها . الكواكب العملاقة كالمشتري مثلا، وهذا القرب يجعل هذه المذنبات إهليلجيا مفتوحًا من إحدى جهتيه، ويزيد سرعتها بشكل غير أحلل معادلات القطوع طبيعي، ويجعلها تنطلق في الفضاء ولا تعود ثانية، ومثل هذه المسارات تُسمى قطوعًا زائدة. والآن : الزائدة، وأمثلها بيانيا. أكتب معادلات القطوع الزائدة. المفردات: القطع الزائد تحليل القطع الزائد وتمثيله بيانيا : القطع الزائد هو المحل الهندسي لجميع النقاط الواقعة في المستوى والتي يكون الفرق المطلق (القيمة المطلقة للفرق بين بعديها عن نقطتين ثابتتين تسميان البؤرتين) يساوي مقدارًا ثابتا. |d - d2| = |d3 - d4| d₁ ** d₂ hyperbola البؤرتان foci المركز center الرأسان vertices المحور القاطع transverse axis المحور المرافق conjugate axis إرشادات للدراسة التمثيل البياني للقطع الزائد يتميز التمثيل البياني للقطع الزائد بارتباطه بمستطيل متناظر حول محوري تماثل القطع نفسه، وله ضلعان متواجهان طول كل منهما 26، ويمسان القطع عند رأسيه وضلعاه الآخران طول كل منهما 2a وطول كل من قطريه المحمولين على خطي التقارب 20 يتكون منحنى القطع الزائد من فرعين منفصلين يحاذيان خطي تقارب، ومركز القطع الزائد هو نقطة منتصف المسافة بين البؤرتين، ورأسا القطع الزائد هما نقطتا تقاطع القطعة المستقيمة الواصلة بين البؤرتين مع كل من فرعي المنحنى للقطع الزائد محورا تماثل هما المحور القاطع (وهو القطعة المستقيمة الواصلة بين الرأسين ويمر بالمركز، والمحور المرافق (وهو القطعة المستقيمة العمودية على المحور القاطع) ويمر بالمركز. المحور القاطع البؤرة $y المحور المرافق الرأسان لتكن الأطوال abc كما هو موضح في الشكل أدناه، وتختلف العلاقة بينها عما في القطع الناقص، ففي القطع الزائد c = a 2 + b2 ، والقيمة المطلقة للفرق بين بعدي أي نقطة على منحنى القطع الزائد عن البؤرتين تساوي 24. (a,b) وزارة التعليم 63 2024-1446 الدرس 3-4 القطوع الزائدة

F₁(h-c, k) (h-a, k), --- C(h, k) P(x, y) F₂(h+c, k) (h+a. صيغة المسافة خاصية التوزيع ثم التجميع اجمع ربع الطرفين، ثم أوجد مفكوك مربع مجموع (أو الفرق بين حدين بسط اقسم الطرفين على 4 . ربع الطرفين الخاصية التوزيعية بسط الخاصية التوزيعية a²-c²=-b2 اقسم الطرفين على (62) 22 . الصورة القياسية لمعادلة القطع الزائد: يمكن استعمال تعريف القطع الزائد لإيجاد معادلته كما في القطوع المخروطية الأخرى. افترض أن (x,y) نقطة على منحنى القطع الزائد الذي مركزه ، ومحوره القاطع أفقي. يوضح الشكل المجاور إحداثيات البؤرتين والرأسين. وبحسب تعريف القطع الزائد فإن الفرق المطلق بين بعدي أي نقطة على المنحنى عن البؤرتين هو مقدار ثابت. لذا فإن 24 = PF - PF2 . وهذا يعني إما 24 = 2 - 1 أو 24 = PF2 - PF1 . PF1 - PF2 = 24 [x-(h-c)]² + (y - k)² - √√[x - (h + c)]² + (y - k)² = 2a c − h) + c ]² + (y − k)² − √ [(x − h) − c]² + (y − k)² = 2a - √√ [(x − h) + c)² + (y - k)² = 2a + √√ [(x − h) - c]² + (y − k)² (x − h)² + 2c (x − h) + c² + (y − k)² = 4a² + 4a√√ [(x − h) - c]² + (y - k)² + (xh)22c(xh) + c² + (y - k)2 -4a√(xh) c]² + (y-k)² = 4a² - 4c(x - h) a√√(xh)-c]²+(y-k)² = −a² + c(x − h) a²[(xh)22c(xh) + c² + (y-k)²] = a - 2a²c(x − h) + c²(x − h)² a²(xh)² - 2a²c(x − h) + a²c² + a²(y −k)² = a - 2a²c(x − h) + c²(x − h)² a²(xh)2c2(xh)² + a²(y-k)² = a¹ — a²c² (a c²)(xh)2+ a²(y - k)² = a² (a² - c²) -b2(xh)²+ay - k)² = a²(-b²) (x-h)2 ( - 2 = 1 a² b2 المعادلة القياسية للقطع الزائد الذي مركزه هي 1 كما تكون في الصورة 1 = (x - h)² b2 (y-k)2 a² (x-h)2 2 (y-k)2 62 عندما يكون المحور القاطع أفقيا، عندما يكون المحور القاطع رأسيا . خصائص القطع الزائد مفهوم أساسي المعادلة في الصورة القياسية : المعادلة في الصورة القياسية : (y - 2 (x - 2 = 1 2 b2 19 المحور القاطع رأسي (h, k (h, k±a) (h, k tc) (x - 2 (y-k)² =1 42 * المحور القاطع أفقى (h, k (h ta, k (h t c k الاتجاه : المركز الرأسان : البؤرتان : الاتجاه : المركز: الرأسان : البؤرتان : y = k، وطوله 2 المحور القاطع : x = h، وطوله 2 المحور المرافق خطا التقارب : y - k = + (x - h x = h، وطوله 2 المحور القاطع : y = k، وطوله 2 المحور المرافق خطا التقارب : y - k = + f ( x - h العلاقة بين c = a + be a b c أو العلاقة بين c = a + be a b c أو c = Va2 + b2 Va2 + 62 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 طول البعد البؤري : 2C طول البعد البؤري : 2C الفصل 4 القطوع المخروطية 64

تنبيه عندما تمثل منحنى القطع الزائد بيانيا تذكر أن المنحنى سيقترب مثال 1 تحديد خصائص قطع زائد معادلته معطاة على الصورة القياسية حدد خصائص القطع الزائد الذي معادلته 1 = . من خطي التقارب بشكل ملحوظ المعادلة مكتوبة على الصورة القياسية، حيث كلما ابتعد عن الرأسين إرشادات للدراسة . اتجاه القطع الزائد إذا كانت معادلة القطع الزائد (x+1)2 (y+ 2)² 16 . ، ثم مثل منحناه بيانيًا. h = -1,k = - 2,a = V9 = 3, b = V16 = 4, c = V9 + 16 = 5 استعمل هذه القيم لتحديد خصائص القطع الزائد. (-1,-2) الاتجاه أفقي المركز على الصورة القياسية، وفيها الحد المطروح منه يحتوي x الرأسان : فإن اتجاه القطع أفقي، أما إذا كان الحد المطروح منه يحتوي ، فإن اتجاه القطع رأسي. البؤرتان خطا التقارب المطروح منه هو الحد الذي يحتوي x (h, k) (h tak) (h±c, k) (2,-2), (-4,-2) (4,-2), (-6,-2) y-k=±(x-hy +2 = 1½ (x + 1), y + 2 = -1/3 (x + 1) y = 3 x - 3 ,y=- ty (-6,-2) i TO (-1,-2) -2) (2, 2) (4,-2) عين المركز والرأسين والبؤرتين، ثم ارسم المستطيل الذي مركزه (1-2) وأحد بعديه 6 = 2 ، والبعد الآخر 8 = 20، وطول كل من قطريه المحمولين على خطي التقارب 2010. ثم مثل القطع الزائد بيانيا بحيث يمس جانبي المستطيل عند رأسيه ويكون محصورا بین امتداد قطریه (y+4)2(x+1)² 64 = 1 (1B 81 تحقق من فهمك -2 y2 = 1 (1A 4 إرشادات للدراسة . الصورة القياسية تذكر دائما عند التحويل من الصورة العامة إلى الصورة القياسية بأن الفرق بين الحدين الجبريين يجب أن يكون 1 . يمكنك تمثيل القطع الزائد عند معرفة الصورة القياسية لمعادلته، وذلك باستعمال خصائصه. وإذا أُعطيت المعادلة في صورة أخرى فعليك إعادة كتابة المعادلة على الصورة القياسية لتحديد خصائص القطع. مثال 2 كتابة معادلة قطع زائد على الصورة القياسية اكتب معادلة القطع الزائد 444 = 25y2 - 16x2 + 100 + 96x على الصورة القياسية، ثم حدد خصائصه ومثل منحناه بيانيا. اكتب المعادلة على الصورة القياسية أولاً. 25y2 - 16x2 + 100y + 96x = 444 (25y+100y)+(-16x² + 96x) = 444 25(y²+4y) 16(x²-6x) = 444 المعادلة الأصلية جمع الحدود المتشابهة حلل (9)16 - (4)25 + 444 = 9+ 4y + 4 - 16 x 2 - 6x + 252 أكمل المربع حلل وبسط اقسم كلا الطرفين على 400 25(y+2)2 16(x-3)2 = 400 (y + 2)² 16 (x-3)2 25 = 1 المعادلة مكتوبة على الصورة القياسية، حيث: .h = 3,k = 2, a = V16 = 4, b = V25 = 5, c = V16 + 25 = 6.4 وزارة التعليم الدرس 3-4 القطوع الزائدة 65 2024-1446 استعمل هذه القيم لتحديد خصائص القطع الزائد.

المطروح منه هو الحد الذي يحتوي y . (h, k) (3,-2) (h, k±a) (h, k±c) y - k = = 1 (x - ) y-(-2)= y = 3 x - , (3,2), (3, -6) (3, 4.4), (3, -8.4) =(x-3), y-(-2)=- الاتجاه رأسي المركز: الرأسان: البؤرتان: خطا التقارب : (3 - x) - y = x + الربط مع تاريخ الرياضيات هايباتيا (415) - 350) كانت هايباتيا عالمة في الرياضيات والعلوم، وفيلسوفة من الإسكندرية في مصر. وقامت بتحرير كتاب (أبولوينوس) في القطوع المخروطية وأضافت إليه مسائل، وأمثلة توضيحية، وقد طور هذا الكتاب مفاهيم كل من: القطع المكافئ، والقطع الناقص والقطع الزائد. عين المركز والرأسين والبؤرتين، ثم ارسم المستطيل الذي مركزه (32) وأحد بعديه 8 = 20 ، والبعد الآخر 10 = 20، وطول كل من قطريه المحمولين على خطي التقارب 12.8 = 2 ثم مثل القطع الزائد بيانيا، بحيث يمس جانبي المستطيل عند رأسيه، ويكون محصورًا بين امتداد قطريه التحقق تمثيل القطع الزائد بيانياً وتحديد خصائصه، باستعمال الحاسبة البيانية TI-nspire ، القطع الزائد بالضغط على المفاتيح (on esc) (mond ثم اختيار 3 : إدخال / تحرير الرسم البياني 2 : معادلة 6: القطوع المخروطية a.x²+b+x+y+cy²+d+x+ey+f-0:1 لم يتم الحفظ 66 99 الفصل 4 القطوع المخروطية . اكتب المعادلة ثم ا اضغط لمنحنى القطع الزائد. enter سيظهر التمثيل البياني للمعادلة . حدد خصائص القطع الزائد بالضغط على (men)، ثم اختيار 6 تحليل الرسم البياني ومنها 0 7 : تحليل القطوع المخروطية ثم اضغط على مفتاح كل خاصية من خصائص القطع الزائد: 0 1 : المركز 6 : الخطوط المقاربة 2: الرؤوس 3: البؤرة . قارن بين الناتج وتمثيلك السابق، وذلك باختبار النقاط وخطي التقارب. تحقق من فهمك (-16)x+252 +96 x+100 y+(-444)-0 لم يتم الحفظ • (3,-2) -10.5 لم يتم الحلي (3.4.40312) (3.2) • (3,-2) (3,-6) 10.5 (3,-8.40312) 2x2 - 3y2 - 12x - 36 = 0 (2 4y² 9x2-8y-36 x = 68 (2A وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الشكل 4.3.1 يمكنك كتابة معادلة القطع الزائد إذا علمت بعض خصائصه التي توفر معلومات كافية. مثال 3 كتابة معادلة قطع زائد إذا علم بعض خصائصه اكتب معادلة القطع الزائد الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: (-3, -6), (-3, 2) J (a (-3, -7), (3, 3) بما أن إحداثيي x متساويان للرأسين، فإن المحور القاطع رأسي. أوجد المركز وقيم abc . (-3-3, -6+2)=(-3, −2) :;5 yall نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين الرأسين 4 = 2 (2) - 6) + 2 (3) - (3) = a المسافة بين أي من الرأسين والمركز = √(−3 − (−3))² + (3 − (−2))² = 5 b = 3 المسافة بين أي من البؤرتين والمركز c² = a² + b² بما أن المحور القاطع رأسي، فإن 2 ترتبط بالحد 2 ؛ لذا فمعادلة القطع الزائد هي: (y+ 2)² (x+3)² = 1 9 16 انظر الشكل 4.3.1 . الرأسان (9) (3) ، وخطا التقارب 12 + y = 2x - 12, y = 2x . بما أن إحداثيي y للرأسين متساويان، فإن المحور القاطع أفقي. (-3-90+0)=( المركز : (60) = a = 3 نقطة المنتصف للقطعة الواصلة بين الرأسين المسافة بين أي من الرأسين والمركز ميلا خطي التقارب : . استعمل الميل الموجب لتجد 6 . الميل الموجب لخط التقارب 1 = 2 ' a=3 = 2 12 8. 10 x b= 6 بسط الشكل 4.3.2 بما أن المحور القاطع أفقي، فإنّ 2 ترتبط بالحد x2 . لذا معادلة القطع الزائد هي . انظر الشكل 4.3.2 . تحقق من فهمك (x+6)² y2 6 = 1 9 36 الرأسان (3) (3) ، وطول المحور المرافق 10 وحدات 13 4 3) البؤرتان (122) (22) ، وخطا التقارب 3 + y = 3 x - , y = - x . ويمكن استعمال قيمة الاختلاف المركزي لوصف القطع الزائد فصيغة الاختلاف المركزي هي نفسها = e لكلّ من القطعين الناقص والزائد تذكر أن قيمة الاختلاف المركزي للقطع الناقص تقع بين 0 و 1، لكن قيمة الاختلاف المركزي للقطع الزائد أكبر من 1 دائما، وكلما زادت قيمته زاد اتساع المنحنى. وزارة التعليم الدرس 3-4 القطوع الزائدة 67 2024-1446

مثال 4 الاختلاف المركزي للقطع الزائد حدد الاختلاف المركزي للقطع الزائد الذي معادلته 1 = . حدد أولا قيمة ، ثم الاختلاف المركزي. 62 + 2 = c2 العلاقة بين ,ab (y-4)2(x+5)² 48 36 e = a²=48, b² = 36 c² = 48 +36 c = √√84 بسط الاختلاف المركزي يساوي 1.32 تقريبا. 1 تحقق من فهمك √84 √48 1.32 حدد الاختلاف المركزي للقطع الزائد المعطاة معادلته في كل مما يأتي: (x+8)² 64 (y-4)² = 1 (4A 80 صيغة الاختلاف المركزي a = √√48.c=√√84 بسط (y-2)² (x+9)2 . = 1 (4B 15 75 الربط مع الحياة تضرب الصواعق أمكنة على سطح يمكن لنظام كشف الصواعق تحديد موقع صاعقة باستعمال مجسين موضوعين عند بؤرتي قطع زائد. مثال 5 من واقع الحياة تطبيقات على القطع الزائد أرصاد: يحتوي نظام كشف الصواعق على مجسين يحولان الأمواج الضوئية للصاعقة إلى صيغة رقمية تسجل تفاصيل تلك الصاعقة، فإذا وُضع مجسّان للكشف عن الصواعق يبعد أحدهما عن الآخر بمقدار km 6 ، بحيث كان المجس A شمال المجس B. ومض برق صاعقة شرق كل من المجسّين وكان بعده عن المجس A يزيد بمقدار km 1.5 على بعده عن المجس B . a اكتب معادلة القطع الزائد الذي تقع الصاعقة على منحناه. حدد موقع المجسّين على مستوى إحداثي على أن تكون نقطة الأصل هي منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بينهما. وبما أن موقع الصاعقة إلى الشرق من كلا المجسين، وأقرب إلى المجس ،B ، فإن موقعها في الربع الرابع. الأرض بما يقارب 100 مرة في الثانية المجسان موضوعان عند بؤرتي القطع الزائد، لذا 3 = c. تذكر أن الفرق المطلق بين بعدي أي نقطة على المنحنى عن البؤرتين هو 20 ، وبما أن بعد الصاعقة عن المجس A يزيد بمقدار 1.5km على بعدها عن المجس B ، فإن 1.5 = 2 ، أي أن 0.75 = a . استعمل قيمتي a و c لتجد b . c² = a² + b² العلاقة بين abc المحسن - y 10 موقع الصاعقة المجس -B 68 99 الفصل 4 القطوع المخروطية c = 3, a = 0.75 3² = 0.75² + b² بسط 8.4375 = b² المحور القاطع رأسي ومركز القطع الزائد عند نقطة الأصل. لذا فالمعادلة هي y² x² =1 b2 a² =1 8.4375 2,2 تصبح المعادلة . وعند تعويض قيمتي . y2 0.5625 . أي أن موقع الصاعقة يمثل نقطة على منحنى القطع الزائد الذي معادلته 1 = . y2 12 0.5625 8.4375 x المجس A موقع الصاعقة المجس .B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدرب وحل المسائل b) أوجد إحداثيي موقع الصاعقة إذا حدثت على بعد km 2.5 شرق المجسين. بما أن الصاعقة حدثت على بعد km 2.5 شرق المجسين فإنّ 2.5 = x ، وموقع الصاعقة أقرب إلى المجس B منه إلى المجس A ، لذا فإن موقعها في الجزء الأسفل من المستوى الإحداثي. عوّض قيمة x في المعادلة، وأوجد y . y² المعادلة الأصلية = 1 0.5625 8.4375 v2 2.52 x = 2.5 = 1 0.5625 8.4375 y = ± 0.99 حل بالنسبة لـ لا وحيث إن موقع الصاعقة في الربع الرابع، لذا فإن قيمة لا هي 0.99 تقريبا، وذلك يعني أن موقع الصاعقة هو .(2.5,-0.99) تحقق من فهمك 5 ملاحة بحرية : تعطلت سفينة عند نقطة في عرض البحر، بحيث كان الفرق بين بعدي السفينة عن أقرب محطتين إليها 80 ميلا بحرياً . 5 إذا كان موقعا المحطتين يمثلان بؤرتي قطع زائد تقع السفينة عليه، فاكتب معادلة القطع الزائد عندما تقع المحطتان عند النقطتين (1000) (1000) 5) أوجد إحداثيي موقع السفينة إذا كانت تقع على المستقيم الواصل بين البؤرتين، وكانت أقرب إلى المحطة التي إحداثياها (1000). مثال (3) 13) البؤرتان (17) (19) ، وطول المحور المرافق 14 وحدة. حدد خصائص القطع الزائد المعطاة معادلته في كل مما يأتي، ثم مثل اكتب معادلة القطع الزائد الذي يحقق الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: منحناه بيانيا (مثال (1) 22 = 1 (2 49 30 (y+4)² (x 4)2 (x-1)² 4 17 (y-5)2 = 1 (1 = 1 (4 = 1 (3 49 64 9 36 (11, 5), (-9, 5), (7,5), (-5,5)JI (14 3y² - 5x² = 15 (6 3x²-2y2 = 12 (5 y = + x + .y = 15) الرأسان (13) (1) ، وخطا التقارب + (7) إضاءة: يمكن تمثيل الضوء المنعكس من مصباح طاولة على جدار بقطع زائد 12 y2 معادلته 1 = 81 - 225 - مثل منحنى القطع الزائد بيانيا (مثال (1) 104 . y = x + (16) البؤرتان (177) (97) ، وخطا التقارب 2 اكتب معادلة كل قطع زائد مما يأتي على الصورة القياسية، ثم حدد 17) المركز (72) ، وأحد خطي التقارب 39 + y = x ، والمحور خصائصه، ومثل منحناه بيانيا (مثال (2) x2 - 42 - 6x - 8y = 27 (8 x2 + 32 - 4x + 6y = 28 (9 -5x2 + 2y2 - 70x - 8y = 287 (10 92 - 42 - 54 + 32x - 19 = 0 (11 16x2 - 92 + 128x + 36y + 76 = 0 (12 القاطع أفقياً وطوله 10 وحدات. 18) الرأسان (22) (210) ، وطول المحور المرافق 16 وحدة. 19) الاختلاف المركزي 7 والبؤرتان عند (132) (12) . وزارة التعليم الدرس 3-4 القطوع الزائدة 69 2024-1446

(20) هندسة معمارية : يبين الشكل المجاور مخطط أرضية مكتب. اكتب معادلة تمثل فرعي المنحنى في الشكل. إذا كانت كل وحدة في المستوى الإحداثي تمثل ft 15، فما أقصر عرض اكتب معادلة القطع الزائد الممثل بيانيا في كل مما يأتي: y (29 (0, 8) (10, 8) (5,7) لأرضية المكتب؟ ( مثال 3 (100) (5, 1) O0,0 ,0) حدد الاختلاف المركزي للقطع الزائد المعطاة معادلته في كل مما يأتي: (مثال (4) (x+4)2 (y + 1)2 24 = 1 (22 15 (y-1)2 10 (x-6)2 13 = 1 (21 (y + 2)² (x+5)2 = 1 (24 (y-2)² (x-3)2 32 = 1 (23 25 38 5 3x2 - 2y2 + 12x - 12y = 42 (25 x2 + 7y2 + 24x + 70y = 24 (26 (27) طيران يقع المطاران AB على بعد km 72 كل منهما عن الآخر، بحيث يقع المطار B جنوب .A . وعند لحظة ما كان بعد طائرة عن المطار B يزيد بمقدار 18km عن بعدها عن المطار A. (مثال (5) اكتب معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل، ويقع المطاران عند بؤرتيه، وتقع الطائرة على منحناه عند تلك اللحظة. مثل منحنى القطع الزائد بيانيًا مع توضيح فرع القطع الذي تقع عليه الطائرة عند تلك اللحظة. إذا كانت الطائرة في تلك اللحظة على بعد 40km شرق كلا المطارين، فأوجد إحداثيي موقع الطائرة. (28) هندسة معمارية : يأخذ برج "كوب بورت في اليابان شكل مجسم ناتج عن 70 دوران قطع زائد حول محوره المرافق. افترض أن قيمة الاختلاف المركزي للقطع الزائد الذي نتج عن دوران البرج تساوي 19 a إذا كان أقصر عرض للبرج هو 8m ، فما معادلة القطع الزائد؟ إذا كان ارتفاع قمة البرج عن مركز القطع الزائد هو 32m ، وانخفاض القاعدة عن المركز هو 76m ، فأوجد نصف قطر القمة ونصف قطر القاعدة. الفصل 4 القطوع المخروطية (30 [ (10,33) (-5.0)-(5.0)7 (-3, V10) -8 24 0 8 4 -12-8 (1 4 1-40 -2√5) x + (-3,-√10) 31) طقس: يقف محمد وعلي في مكانين البعد بينهما ft 4000 . إذا علمت أن الفرق الزمني بين سماع محمد لصوت رعد وسماع علي هو 3sec ، وأن سرعة الصوت 1100ft / sec، فأوجد معادلة القطع الزائد الأفقي الذي يقع عليه مصدر البرق. (32) يتشكل القطع الزائد المتطابق الساقين عندما يكون خطا تقاربه متعامدين و a = b عند كتابة معادلته على الصورة القياسية. اكتب معادلة القطع الزائد المتطابق الساقين في الشكل المجاور. FF (11, 0) 16x y 16 16 F(-11,0) -16 (33) تمثيلات متعددة ستستكشف في هذه المسألة نوعا خاصا من القطوع الزائدة يسمّى القطع الزائد المرافق. ويظهر هذا القطع عندما يكون المحور المرافق لقطع زائد هو المحور القاطع لقطع زائد آخر. بيانيا : مثل منحنى القطع 1 - - ومنحنى 2 y2 64 36 القطع 1 = - 64 = 36 على المستوى الإحداثي نفسه . تحليليا قارن بين المنحنيين من حيث: البؤرتان، الرأسان، خطا التقارب. تحليليا اكتب معادلة القطع الزائد المرافق للقطع الذي معادلته y² x2 1 16 9 d) بيانيا : مثل منحنيي القطعين في الفرع ... e لفظيا : كوّن تخمينا حول تشابه القطعين الزائدين المترافقين. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا 34) مسألة مفتوحة : اكتب معادلةً لقطع زائد يكون فيه طول المحور القاطع يساوي نصف المسافة بين البؤرتين. (35) تبرير افترض أن x2 = sy - t حيث r s t أعداد ثابتة. صف نوع القطع المخروطي الناتج في كل حالة. واشرح تبريرك. rs = 0 (a rs > 0 (b r =s (c rs <0 (d (43) مقذوفات: قُذفت كرة رأسيًّا إلى أعلى بسرعة ابتدائية مقدارها ft/s 80 ، بحيث يكون ارتفاعها عن سطح الأرض بعد ٤ ثانية هو 5 + 80 + 162 = قدم (الدرس 1-4) ما أقصى ارتفاع عن سطح الأرض تبلغه الكرة؟ ) كم تستغرق الكرة من الوقت؛ لتعود مرة أخرى إلى المستوى الذي انطلقت منه ؟ حلّ كل معادلة مما يأتي لجميع قيم . (الدرس 5-3 ) tan 6 = sec 01 (44 sin 0 + cos 0 = 0 45 36) تبرير افترض أنك أُعطيت اثنتين من خصائص القطع الزائد الآتية: رأسين بؤرتين المحور القاطع، المحور المرافق، خطي تقارب. هل يمكنك كتابة معادلة هذا القطع: دائما أو أحيانًا أو غير ممكن أبدًا ؟ (37) تحد: قطع زائد بؤرتاه (209) ، ويمر بالنقطة . يزيد بعد P عن F1 بمقدار 6 وحدات على بعد P عن F2 . اكتب معادلة القطع الزائد بالصيغة القياسية. (38) برهان : يتشكل القطع الزائد المتطابق الساقين عندما a = b عند كتابة المعادلة على الصورة القياسية برهن أن الاختلاف المركزي لكل قطع زائد متطابق الساقين هو V2. 39 اكتب صف خطوات إيجاد معادلة قطع زائد عندما تعطى بؤرتاه csc 6 - cot 0 = 0 46 تدريب على اختبار (47) مراجعة : يمثل منحنى 1 = ) - () قطعا زائدا. ما معادلتا خطي تقارب هذا المنحنى ؟ y = x,y=-x A V= y = x, y = - x B y = 1x,y=-1x c y= وطول محوره القاطع. y= 1x D مراجعة تراكمية مثل منحنى القطع الناقص المعطاة معادلته في كل مما يأتي: (48) سؤال ذو إجابة قصيرة : أوجد معادلتي خطي التقارب للقطع الزائد الذي معادلته 1 = (x + 1)2 (y-1)² 4 1 (الدرس (2-4) (x-8)² + (y-2)² = 1 (40 81 2 (y+5)2 + = 1 (41 64 49 (x-2)² (y+5)² + 16 36 = 1 (42 وزارة التعليم الدرس 3-4 القطوع الزائدة 71 2024-1446