حل المعادلات المثلثية - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa チョン حل المعادلات المثلثية Solving Trigonometric Equations 3-5 فيما سبق درست المتطابقات المثلثية. (الدروس من 2 إلى 4-3 والآن : أحل المعادلات المثلثية. أميز الحلول الدخيلة للمعادلات المثلثية المفردات: المعادلات المثلثية trigonometric equations إرشادات للدراسة. حل المعادلات المثلثية حل معادلة مثلثية يعني إيجاد قيم المتغير جميعها التي تحقق المعادلة لماذا؟ عند ركوبك عجلة دوارة قطرها ،40m، وتدور بمعدل 1.5 دورة كل دقيقة. فإنه يمكن تمثيل ارتفاع مقعدك فوق سطح الأرض، بالأمتار بعد ٤ دقيقة بالمعادلة : . h = 21 - 20 cos t بعد كم دقيقة من بدء حركة العجلة يكون مقعدك على ارتفاع 31m عن سطح الأرض للمرة الأولى؟ حل المعادلات المثلثية : درست نوعًا خاصا من المعادلات المثلثية هو المتطابقات. والمتطابقات المثلثية معادلات تكون صحيحة للقيم جميعها التي يكون عندها المتغير معرفًا. وفي هذا الدرس سوف تتعلم حل المعادلات المثلثية التي تكون صحيحة عند قيم محدّدة للمتغير. مثال 1 حل المعادلات على فترة معطاة حلّ كلًا من المعادلتين الآتيتين: sin 0 cos 0 - 1 cos 0 = 0 (a ، إذا كانت °180 ≥ 0 ≥ °0 . cos 0=0 0 =90° i 270° المعادلة الأصلية حلل بأخذ عامل مشترك - 6 sin خاصية الضرب الصفري sin cos 0- cos 6 = 0 cos : 0 (sin 0 -- 11) = 0 = 0 أو sin 0 = (30,0.433) 0.1 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الزاوية المرجعية للزاوية 150 هي 30 (90,0) 149 f1(x)-sin(x) cos(x) (150,-0.433) (270,0) raxi-0.5-coa(x) المعادلة الأصلية حلل 0 =30°, 150° الحلول هي 3090150 فقط؛ لأن °180 = 0 ≥ 0 التحقق = 1 cos 0 يمكنك التحقق من صحة الحل بالتمثيل البياني لكل من : = y = sin 0 cos 6, y على المستوى الإحداثي نفسه، ثم إيجاد نقط تقاطع التمثيلين البيانيين. بإمكانك أن تلاحظ أنه يوجد عدد لا نهائي من هذه النقط، ولكننا نهتم بالنقط الموجودة في الفترة بين °0 و °180 .فقط. ) 0 = 2 - 0 sin2 0 - 3 sin 2 ، إذا كان 27 = 0 ≥ 0 2 sin 2 0 - 3 sin 0 - 2 = 0 (sin 02)(2 sin 0 + 1) = 0 0 = 2 - 0 sin خاصية الضرب الصفري sin 0 = 2 2 = 0 sin ليس لها حل؛ لأن كل قيمة من قيم 0 sin يجب أن تقع في الفترة [1] أو 117 6' 2 sin 0 + 1 = 0 2 sin 0 = -1 sin 0 = 77 117 6' 6 لذلك يكون للمعادلة حلان هما : . الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 32 22

2 sin2 0 - 3 sin 0 - 2 = 0 2 sin 12 (11) - 3 sin ( -210 (1) - 2(4)-3(-)- 1 + 3 - 2 20 -20 0 = 0✓ 2 sin2 (2) - 3 sin 2 sin2 0 - 3 sin 0 - 2 = 0 ( (2) - -20 2 (11) -3(-1)-2 -20 1 + 3 - 2 20 0 = 0✓ التحقق تحقق من فهمك (1) حل المعادلة cos x sin x = 3cos x، إذا كانت 27 = x = 0 . 1B) حل المعادلة 0 = 6 4sin 2 0 + 4cos2 0 - 8 sin 6 cos إذا كانت } = 0 ≥ 0 تحل المعادلات المثلثية عادة، لقيم المتغيّر في الفترة [02] بالراديان أو °360 °0] بالدرجات. كما توجد حلول أخرى تقع خارج الفترات المحددة. لذلك، فالحلول تختلف باختلاف الفترات. مثال 2 معادلة مثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول حل المعادلة 0 = 1 + 0 cos لقيم 0 جميعها ، إذا كان قياس 6 بالراديان. AN cos 0 + 1 = 0 cos 6 = -1 إرشادات للدراسة . التعبير عن الحلول بوصفها مضاعفات العبارة 2 + T هي T مضافا لها مضاعفات 27 ولذلك، ليس من الضروري سرد جميع الحلول استعن بالتمثيل البياني لمنحنى 6 y = cos ؛ لإيجاد حلول المعادلة 1- = 0 cos. -3π 0 27 x 37 y=cose الحلول هي ...,,, ، وكذلك ... ,37,57، والحل الوحيد في الفترة من 0 إلى 27 هو . طول الدورة الدالة جيب التمام هو 27. لذلك، يمكن كتابة الحلول على الشكل 2 + ؛ حيث ( أي عدد صحيح. تحقق من فهمك 2 حل المعادلة 4sin x = 2sin x + V2 28) حل المعادلة 1- = 6 sin 2 لقيم 6 جميعها ، إذا كان قياس 6 بالراديان. يمكن استعمال المعادلات المثلثية في حل مسائل من واقع الحياة. مثال 3 من واقع الحياة حل معادلات مثلثية مدينة ألعاب: ارجع إلى فقرة "لماذا؟" في بداية هذا الدرس، بعد كم دقيقة من بدء دوران العجلة يكون مقعدك على ارتفاع 31m عن سطح الأرض للمرة الأولى؟ المعادلة الأصلية عوض 31 بدلا من اطرح 21 من كلا الطرفين اقسم كلا الطرفين على 20 خذ معكوس جيب التمام وزارة التعليم الدرس - حل المعادلات المثلثية 33 2024-1446 h = 21 - 20 cos 3 31 = 21 - 20 cos 3 10-20 cos 3πt 를 = cos 3T cos-1 (-1) = 3πt

أي عدد صحيح أكبر من أو يساوي الصفر. اقسم كلا الطرفين على 37 + 2k = 3 + = t 9 و من قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة نعلم أن: cos ، إذن أو () =cos =- 2 + 2πk = 3πt 3 + 3 = = t إن أقل قيمة لـ t نحصل عليها عندما تكون 0 = k في المساواة x = t + . لذلك، = t وهذا يعني أن ارتفاع مقعدك يكون 31 مترًا للمرة الأولى بعد 3 دقيقة. تحقق من فهمك (3) كم من الوقت تحتاج من بداية دوران العجلة، ليكون ارتفاع مقعدك 41 مترًا فوق سطح الأرض للمرة الأولى؟ الحلول الدخيلة بعض المعادلات المثلثية ليس لها حل. فعلى سبيل المثال، المعادلة 4 = 0 cos ليس لها حل؛ لأن قيم 0 cos جميعها تقع في الفترة [1] . كما أن بعض المعادلات المثلثية تعطي حلولا لا تحقق المعادلة الأصلية، وتسمى مثل هذه الحلول حلولا دخيلة. إذا لم تتمكن من حل معادلة بالتحليل إلى العوامل فحاول إعادة كتابة العبارات التي تتضمنها باستعمال المتطابقات المثلثية. وقد يقودنا استعمال المتطابقات وبعض العمليات الجبرية، كالتربيع مثلاً إلى حلول دخيلة. لذا، من الضروري التحقق من حلولك باستعمال المعادلات الأصلية. مثال 4 حل معادلات مثلثية مع وجود حلول دخيلة حل المعادلة 6 sin 0 = 1 + cos إذا كان °360 > 0 ≥ °0 المعادلة الأصلية ربع sin2 0 = 1 - cos20 sin 0 = 1 + cos sin 2 0 = (1 + cos )2 1 - cos 2 0 = 1 + 2 cos 0 + cos 20 بطرح 1 من الطرفين، وإضافة 0 cos2 لكلا الطرفين حلل 0 = 20 خاصية الضرب الصفري sin 0 = 1 + cos sin 90° 2 1 + cos 90° 11+0 1=1✓ sin 0 = 1 + cos sin 270° 1+ cos 270° -11+0 -1 1 x cos 6 = 0 0 = 90°, 270° 02 cos 0+2 cos² 0 02 cos 0 (1 + cos 0) أو أو أو 1 + cos 0 = 0 cos 6 = -1 sin 0 = 1 + cos sin 180° 2 1 + cos 180° 0 = 1 + (-1) 0=0✓ 0 = 180° التحقق وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 إذن للمعادلة حلان هما °90180 إذن °270 حلا دخيلا 1 تحقق من فهمك Cos20 + 3 = 4 - sin2 0 (4 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 34

إرشادات حل المسألة البحث عن نمط مثال 5 حل المعادلات المثلثية باستعمال متطابقات حل المعادلة 1- = 0 sec 1 - tan4 2 لقيم 0 جميعها إذا كان قياس 6 بالدرجات. ابحث عن أنماط في حلولك. ابحث عن زوج من الحلول الفرق بينهما هو T تماما. واكتب حلولك بأبسط طريقة. 2 sec2 0 - tan4 0 = -1 2(1 + tan20) - tan4 0 = -1 2 + 2 tan20 - tan4 0 = -1 tan1 0 - 2 tan20 - 3 = 0 المعادلة الأصلية sec2 0 = 1 + tan20 خاصية التوزيع اجعل أحد الطرفين مساويا للصفر تنبيه دالة الظل تذكر أن طول الدورة الدالة الظل هو ، وهذا يبرر كتابة الحلول في الصورة 0 = 60° + 180°k 0 = 120 + 180k أولا: (tan20 - 3)(tan20 + 1 = 0 tan20 - 3 = 0 أو tan20 + 1 = 0 tan20 + 1 = 0 tan20 = - 1 لا يوجد لهذا الجزء حلول ؛ لأن tan20 لا يمكن أن يكون سالبا. ثانيا: tan2 0 - 3 = 0 tan 2 0 = 3 tan 0 = 13 حلل خاصية الضرب الصفري لذا، تكون حلول هذا الجزء هي : 180 + 1200 ,°180+ °60 = 0 ؛ حيث k هو أي عدد صحيح. وتكون حلول المعادلة الأصلية هي 180 + °120 ,°180 + °60 180° + 60° = 6؛ حيث k هو أي عدد صحيح التحقق 2 sec 20 - tan4 0 2 - 1 2 sec² (60° 180°k) - tan (60° + 180°k) = -1 8-9-1✓ 180° + 120° 2 ؛ حيث k هو أي عدد صحيح تحقق من فهمك 2 sec2 0 - tan4 0 2 -1 2 sec² (120° + 180°k) - tan (120° + 180°k) = -1 8-9-1✓ حل كل معادلة مما يأتي لقيم 9 جميعها ، إذا كان قياس 6 بالدرجات: sin cot cos² = 0 (5A cos 6 + 2 sin2 0 = 0 (5) cot وزارة التعليم الدرس - حل المعادلات المثلثية 35 2024-1446

تدرب وحل المسائل حل كل معادلة مما يأتي لقيم 0 جميعها الموضحة بجانب كل منها : ( مثال 1) (23) ناطحات سحاب يبلغ ارتفاع برج الفيصلية في الرياض 876ft . أوجد 0 إذا كان طول ظله في الشكل أدناه 685m؟ cos2 0 + 2 cos 0 + 1 = 0; 0° ≤ 0 5 360° (1 2 cos² + cos 0=1;0°<0≤360° (2 -2sin2 0 = 7 - 15 sin 0 : 0 ≤ 0 = 360° 3 √3 cos + =0;0° 0≤240° (4 الظل 876 ft. حل كل معادلة مما يأتي، لقيم 0 جميعها إذا كان قياس 6 بالراديان (مثال (2) 2 cos2 0 = 1 (6) 4 sin2 0 - 1 = 0 (5 2 cos20+4cos 0=-2 (8 sin -2 sin²=0 (7 [ (x - 4) ] (24) أنهار تمثل الدالة: 8 + 4 x) y = 3 sin ، عمق نهر خلال أحد الأيام ؛ حيث 0.24 = x ، 24 تدل على الساعة الثانية عشرة عند منتصف الليل 13 تدل على الساعة الواحدة بعد الظهر، وهكذا..... حل كل معادلة مما يأتي لقيم 0 جميعها إذا كان قياس 0 بالدرجات (مثال2) a ما أقصى عمق للنهر في ذلك اليوم؟ cos 0-2cos sin 00 (12 sin2 0 - sin 0 = 0 (10 cos 20 - sin20 + 2 = 0 (9 2 sin 2 0 - 1 = 0 (11 في أي وقت نحصل على أقصى عمق ؟ 13 الليل والنهار إذا كان عدد ساعات النهار في إحدى المدن هو d، حل كل معادلة مما يأتي لقيم 0 جميعها، إذا كان قياس 6 بالراديان: ويمكن تمثيلها بالمعادلة 12 + d = 3 sin ، حيث t عدد الأيام بعد 21 مارس، فأجب عما يأتي: (مثال (3) في أي يوم سيكون عدد ساعات النهار في المدينة h 10 تماما؟ باستعمال النتيجة في الفرع ، ما أيام السنة التي يكون فيها عدد ساعات النهار 10 ساعات على الأقل إذا علمت أن أطول نهار في السنة يحدث تقريبًا يوم 22 يونيو؟ فسّر إجابتك. حل كل معادلة مما يأتي: (المثالان (45) 14) 0 = 0 in 20 + cos2 لجميع قيم 0 إذا كان قياس 6 بالدرجات. 15) 0 = 0 sin 2 - cos لجميع قيم 0 إذا كان قياس 6 بالدرجات. 16) 1 = 0 tan لجميع قيم 0 إذا كان قياس 6 بالدرجات. cos 20 = 10° ; 0° ≤ 0 ≤ 360° (17 2 sin2 0 = 1; 90° < 0 < 270° (18) sin 2 - cos 0 = 0; 0 ≤ 0 ≤ 27 (19 4 sin2 0 - 1 = 0; 180° < 0 < 360° (20 21 0 = 0 tan 6 - sin لجميع قيم 0 إذا كان قياس 0 بالدرجات. (22) 1 - 0 4sin20 = 4 sin لجميع قيم 0 إذا كان قياس 0 بالدرجات. (cos 0)(sin 20) 2 sin 0+2=0 (25 (26) 2 sin 6 = sin 26 (27) 2 sin2 0 + (2 - 1) sin 0 = حل المعادلتين الآتيتين، لقيم 0 جميعها ، إذا كان قياس 6 بالدرجات: sin 20 + √3 2 .= V3 sin 0 + cos 0 28 1 - sin2 0 - cos 0 = 3 (29) 4 30 ألماس : حسب قانون سنیل (ny sini = ng sin r (snell's law ، حيث 11 معامل الانكسار للضوء في الوسط الذي يخرج منه الضوء، و 2 معامل الانكسار للوسط الذي يدخل فيه الضوء، و i قياس زاوية السقوط، و r قياس زاوية الانكسار. a إذا كان معامل الانكسار للماس ،2.42 ، ومعامل الانكسار للهواء 1، وقياس زاوية سقوط الضوء على حجر ألماس هو °35 ، فما قياس زاوية الانكسار ؟ اشرح كيف يستطيع بائع المجوهرات استعمال قانون سنيل؛ المعرفة إذا كان هذا ألماسًا حقيقيا ونقياً أم لا. 36 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا 31 اكتشف الخطأ : حلت كل من هلا وليلى المعادلة 0 sin 0 cos 0 = sin 2 ، 360° = 0 0°. أي منهما كانت إجابتها صحيحة ؟ برر إجابتك. (45) ألعاب نارية : إذا أطلق صاروخ من سطح الأرض، فإن أعلى ارتفاع يصل إليه يعطى بالصيغة 2 sin 20 2g = h، حيث 6 زاوية هلا 2 sin 9 cos 0 = sin ليلى 2 sin 6 cos 6 = sin -sin = -sin 0 2 sin cos 0 sin 0 sin sin 0 2 cos 0 = 0 2 cos 0=1 cos 0=0 cos 0 = 0 = 90°,270° 0 = 60°,300° (32) تحد: حل المتباينة x = 2 ، sin 2x < sin x ≥ 0 بدون استعمال الحاسبة (33) اكتب: حدّد أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين حل المعادلات المثلثية، والمعادلات الخطية والتربيعية. ما الطرق المتشابهة ؟ وما الطرق المختلفة ؟ وما عدد الحلول المتوقعة ؟ الانطلاق، و السرعة المتجهة الابتدائية للصاروخ، و 9 تسارع الجاذبية الأرضية وتساوي 9.8m/sec. a أثبت أن sin2 0 - 2 tan20 2 تمثل متطابقة . 2g sec 20 2 g إذا أطلق الصاروخ من سطح الأرض بزاوية 80 ، وسرعة ابتدائية مقدارها 110m/s ، فأوجد أقصى ارتفاع يصل إليه. (الدرس 2-3 ) (46) استعمل التمثيل البياني في الشكل المجاور؛ لتحدد مجال الدالة (x) ومداها. (مهارة سابقة ) (x) 10 34) تبرير اشرح سبب وجود عدد لانهائي من الحلول للمعادلات المثلثية. (35) مسألة مفتوحة : اكتب مثالًا على معادلة مثلثية لها حلان فقط ، بحيث تكون °360 = 0 ≥ °0 . تدريب على اختبار (47) أي مما يأتي ليس حلا للمعادلة 0 = 0 sin 0 + cos 0 tan2 ؟ 3π D 27 C 7T B 4 4 5T A (36) تحد : هل للمعادلتين 2 = 1 + cscx = V2, cotax الحلول نفسها في الربع الأول؟ برر إجابتك. 48) ماحل المعادلة 23 - : = csc x ، حيث °360 > x > 0°؟ 330°C أو 210 30°, 150° A 240°, 300° D 60°, 120° B مراجعة تراكمية أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: (الدرس 4-3 ) Cos (40) sin 7 (39 sin 22 (38 cos 165° (37) أثبت أن كل معادلة مما يأتي تمثل متطابقة (الدرس (3-3) cos (90° + (0) = -sin 6 (42 sin (270° - (0) = - cos 0 41 sin (90° - 0) = cos 6 (44 cos (90° - 0) = sin 6 (43 وزارة التعليم الدرس - حل المعادلات المثلثية 37 2024-1446

الفصل 3 38 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل المفاهيم الأساسية المتطابقات المثلثية الدروس 5-2-13-3 . تصف المتطابقات المثلثية العلاقة بين الدوال المثلثية المفردات المتطابقة (ص. 10) . يمكن استعمال المتطابقات المثلثية في تبسيط العبارات المثلثية، وحل المعادلات المثلثية. المتطابقة المثلثية (ص. 10) المتطابقات النسبية (ص. 10) متطابقات المقلوب (ص. 10) متطابقات فيثاغورس (ص. 10) متطابقات الزاويتين المتتامتين (ص. 10) متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية (ص. 10) المعادلات المثلثية (ص. 32) المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما اختبر مفرداتك . ( الدرس 3 - 3 ) لجميع قيم AB اكتب المفردة المناسبة لكل عبارة مما يأتي: 1) يمكن استعمال - في إيجاد جيب أو جيب تمام الزاوية cos (A+B) cos A cos B + sin A sin B sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B tan Atan B 1 ± tan A tan B tan (A + B) = (3 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها ( الدرس 4-3 ) . المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية sin 20 = 2 sin 0 cos 0 cos 20 cos20-sin² 0 cos 20 = 1 - 2 sin 20 cos 20 2 cos2 0-1 tan 20 = 2 tan 0 1- tan20 . المتطابقات المثلثية لنصف الزاوية 2 = + V sin = Cos =V 2 = 1 V 1- cos 0 1 + cos a' 1- cos 0 2 1+ cos 0 2 cos 0-1 tan الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية (2) المتطابقة 0 sin 75° إذا علم الجيب والجيب تمام لكل من الزاويتين °90 و 15 . 0 cot = cos هي مثال على . هي معادلة تحتوي على دوال مثلثية صحيحة للقيم جميعها التي تجعل كل طرف في المعادلة معرفًا. (4) يمكن استعمال الزاوية 30 . في إيجاد °60 sin باستعمال (5) تكون . صحيحة لقيم معينة للمتغيرات. (6) يمكن استعمال . . في إيجاد 22 s . COS (7) المتطابقتان . sin 0 , sec 0 cos e = 0 csc مثالان على (8) يمكن استعمال . في إيجاد كل من 120 sin 1,120, cos إذا عُلم الجيب ، والجيب تمام لكل من الزاويتين 90,30 . 9) 1 = 0 cos20 + sin2 هي مثال على . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مراجعة الدروس 3-1 المتطابقات المثلثية ( الصفحات (1410) أوجد القيمة الدقيقة لكل من النسب المثلثية الآتية: 270° << 360°.cos 0= 2 10 0 sin ، إذا كان 2 11) 06 sec ، إذا كان 2 مثال 1 9= أوجد 0 sin إذا كان } = 0 cos ، 90° > 4 > 0° . 1 = 0 Cos2 0 + sin2 متطابقة فيثاغورس 90° < 0 < 180 ،cot 0 = sin2 0 = 1 - cos20 sin2 0 = 1 - 12 0 tan ، إذا كان 2 0 co,90° > 4 > 0° 9 sin2 0 = 1 180° < 4 < 270،sin 6 = sin20 = 7 16 270° <<360° .cot 0=- 13 0 cos ، إذا كان 3 - : (14) 6 csc، إذا كان √7 sin 0 = ± 4 (15) كرة قدم : إذا كان بعدا ملعب كرة القدم هما 75m 10m كما في الشكل أدناه، فأوجد جيب الزاوية 0. بسط كل عبارة مما يأتي : 1 tan sin cos 0 (16 tan csc (17 sin 0 + cos 6 cot 6 (18 cos 6 (1 + tan20) (19 110 m 75 m اطرح 0 cos2 من كلا الطرفين. عوض في بدلا عن 0 cos ربع اطرح خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين الربع الأول، فإن 6 sin موجبة. أن 6 إذن ، √7 . sin 0 = مثال 2 بسط العبارة 0 cos 0 sec 6 cot cos sec cot = cos 0 cos 0 cos 0) . sin 6 = cot 0 وزارة التعليم الفصل 3 دليل الدراسة والمراجعة 39 2024-1446

دليل الدراسة والمراجعة الفصل 3 3-2 إثبات صحة المتطابقات المثلثية ( الصفحات (1915) مثال 3 أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: أثبت صحة المتطابقة 0 cot 0 + csc = . cos +1 sin 0 الطرف الأيسر = بسط cos +1 sin COS + sin e sin 0 0 cot 0 + csc = بسط الطرف الأيمن = √7 tan 6 cos 0 + cot 6 sin 6 = sin 6 + cos 6 20 cos @ sin + cot 6 tan 0 = sin 0 + cos 0 21 sec 2 0 - 1 = sin 2 (22 1 sin² 0 (23) هندسة المثلث المجاور قائم الزاوية. استعمل أطواله المعطاة لتتحقق من أن tan2 0 + 1 = sec 20 3-3 المتطابقات المثلثية لمجموع زاويتين والفرق بينهما الصفحات (20-23 مثال 4 دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: cos (-135°) (24 أوجد القيمة الدقيقة لـ °75 sin . دون استعمال الآلة الحاسبة، استعمل المتطابقة sin (AB) = sin A وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 sin 75° = sin (30° + 45° .cos B+ cos A sin B = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45° = (4) (12) + (√3³) (√2) √2 + √6 √2+√6 = cos 15° (25 sin 210° (26 sin 105° (27) tan 75° (28 cos 105° (29 أثبت صحة كل من المتطابقات الآتية: sin (0+90) cos 0 (30 sin - =-cos (31 tan (0 - T) = tan 032 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 40 40

3-4 المتطابقات المثلثية لضعف الزاوية ونصفها الصفحات 25-30) مثال 5 أوجد القيم الدقيقة لكل من : لـ sin 20, cos 20, sin 2, cos ، إذا علمت أن: = 0 cos، وتقع 6 في أوجد القيمة الدقيقة لـ 2 sin ، إذا كان - - : cos 0 = = 1 : 0° < 0 < 90° (33 sin 0 = - - 1 : 180° < 0 < 270° 34 cos 0= - 글: 플< 1 < 0 < 7 (35) الربع الثاني. sin 1/2 = ±1 - cos 0 2 2 متطابقة نصف الزاوية 1 cos 0= = ± (36) ملاعب ملعب على شكل مربع طول ضلعه ft 90. أوجد طول قطر الملعب. اكتب النسبة "45 sin باستعمال أطوال أضلاع الملعب. =± +2√5 بما أن 0 تقع في الربع الثاني، فإن 3-5 استعمل الصيغة - 1 - cos 0 2 1 + = 2 sin ؛ لبرهنة صحة النسبة التي كتبتها في الفرع (b) . حل المعادلات المثلثية الصفحات (3732 اطرح اقسم ، بسط ، وأنطق المقام 2√5 sin = مثال 6 حل كل معادلة مما يأتي ، لقيم 0 جميعها الموضحة بجانب كل منها: حل المعادلة 0 = 0 sin 20 - cos ، إذا كان 27 > 0 ≥ 0 . 2 cos 0 10; 0° < 0 < 360° (37 4 cos2 0 - 1 = 0; 0 = 0 < 2 (38) sin 20+ cos 0 = 0; 0° < 0 < 360° (39 sin2 0 = 2 sin 0 + 3 ; 0° ≤ 0 < 360° (40) 4 cos2 0 4 cos 0+1=0;0<<2π (41 المعادلة الأصلية متطابقة ضعف الزاوية حلل sin 20 cos 0 = 0 2 sin 0 cos 0 - cos 0 = 0 cos (2 sin 0-1) = 0 cos 0 = 0 أو أو 1 = 0 2 sin 0 - 1 = 0 sin 0 = أو = 0 وزارة التعليم الفصل 3 دليل الدراسة والمراجعة 41 2024-1446

الفصل 3 دليل الدراسة و المراجعة تطبيقات ومسائل (42) إنشاءات يبين الشكل أدناه ممرا مائلا لمنزل . (الدرس 1 - 3) (45) موجات يُسمى تداخل موجتين بناءً إذا كانت سعة الموجة الناتجة أكبر من سعة مجموع الموجتين المتداخلتين. هل يكون تداخل الموجتين الآتيتين معادلتاهما بناء؟ 10 أوجد 0 sin 6, cos إذا كان . . tan 0 = 41 = 20 sin (3t + 225) ، y2 = 20 sin (3t + (45) (الدرس (3-3) 46) هندسة: استعمل المثلث LMN أدناه لإثبات أن 2 = sin 2N. m² الدرس (34) L Io CSC20 (43) ضوء: تعطى شدة الضوء الخارج من عدستين متتاليتين بالصيغة - 1 = 1 ؛ حيث I شدة الضوء الخارج من العدسة الأولى، الزاوية بين محوري العدستين . اكتب الصيغة السابقة بحيث لا تظهر فيها نسب مثلثية سوى 6 tan الدرس 1 -3 m M l N n أثبت أن كلا من المعادلتين الآتيتين تمثل متطابقة (الدرس 4-3) 44 خرائط: يستعمل إسقاط الستير وجرافيك Stereographic) (Projection لتحويل مسار ثلاثي الأبعاد على الكرة الأرضية إلى sin20 2sin 20 = cot (47 1+ cos 20 2 1+tan20 (48 مسار في المستوى على الخريطة) ، بحيث ترتبط النقاط على الكرة (49) مقذوفات إذا قُذفت كرة بسرعة متجهة مقدارها تا وزاوية قياسها 6 ، الأرضية بالنقاط المقابلة لها على الخريطة بالمعادلة أثبت أن 1 + cos a sin a = الدرس (32) r= sin a cos a فقطعت مسافة أفقية مقدارها ، ويعطى زمن تحليقها ) بالصيغة d vcos B =t ، فأوجد الزاوية التي قذفت بها الكرة ، إذا علمت أن 50ft/s = ، وكانت المسافة الأفقية 100ft ، وزمن التحليق 4 ثوان. 42 A 8 B C (الدرس 5 -3) الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الفصل 3 اختبار الفصل (1) اختيار من متعدد أي من العبارات الآتية تكافئ sin 0 + cos cot ؟ cot 0 A tan B sec C csc D 14 تاريخ يُرجّح بعض المؤرخين أن الذين بنوا أهرامات مصر ربما حاولوا أن يبنوا الواجهة على شكل مثلث متطابق الأضلاع، ثم غيروها إلى أنواع مختلفة من المثلثات. افترض أنه تم بناء هرم بواجهة على شكل مثلث متطابق الأضلاع، طول ضلعه 18ft 18 ft أثبت أن كلا من المعادلتين الآتيتين تمثل متطابقة: .cos (30°-0) = sin (60° + 0) (2 .cos (0 π) = cos 0 (3 (4) اختيار من متعدد ما القيمة الدقيقة لـ 0 sin، إذا كان . = 6 cos ، °180 > 0 > °90؟ A √34 B 8 D دون استعمال الآلة الحاسبة، أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: cot ، إذا كان 1 = 270° < 0 < 360 ، sec 0 6) 6 tan ، إذا كان 1 - = 6 cos ، 180° > 8 > 90° 07 sec ، إذا كان 2 - 0 csc ، 270° > 0 > 180° أوجد ارتفاع المثلث المتطابق الأضلاع. استعمل الصيغة 6 sin 20 = 2 sin cos ، وطول ضلع المثلث وارتفاعه لتبيّن أن 60 sin 2(30) = sin ، ثم أوجد القيمة الدقيقة للنسبة المثلثية °60 sin أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: cos (-225°) (15 sin 480° (16 cos 75° (17 sin 165° (18 حل كلا من المعادلتين الآتيتين لقيم 0 جميعها، إذاكان قياس 6 بالراديان: 2 cos² 3 cos 0-2=0 (19 2 sin 30 - 1 = 0 (20 0° < 0 < 90° ، sin 0 ، إذا كان 1 = sec (8 أثبت أن كل معادلة مما يأتي تمثل متطابقة: sin 0 (cot 0 + tan 0) = sec 16 (9 cos² = cos 1 - sin 0 sec 6 - tan 0 (10 (tan 6 + cot 02 = csc2 0 sec2 0 (11) 1 + sec 0 sec 0 = sin 20 (12 1- cos 0 (13) اختيار من متعدد : ما قيمة } tan؟ حل المعادلتين الآتيتين، حيث °360 ≥ 0 ≥ °0: 1-2 2-√√3 2 A cos 20+ cos 0=2 (21 sin 9 cos 6 - - 1 sin 0 = 0 (22 √2-√3 D √2-1 B وزارة التعليم الفصل 3 اختبار الفصل 43 2024-1446