الارتباط - الإحصاء - ثالث ثانوي

الدرس الأول الارتباط 114 Correlation رابط الدرس الـ www.ien.edu.sa في هذا الدرس . أتعرف الارتباط في البيانات الكمية والنوعية، وأميّز المتغيرات المستقلة والتابعة. ، أحسب معامل الارتباط بين متغيرين، وأستخدمه في تحديد نوع الارتباط وقوته، وأفسره لاتخاذ القرارات المناسبة. • كيف يمكن وصف العلاقة بين متغيرين؟ يريد باحث معرفة ما إذا كان هناك علاقة بين كمية الكهرباء المولدة (Y) عن مروحة هوائية وسرعة الرياح (X)، بمعنى هل التغير في سرعة الرياح يؤثر في كمية توليد الكهرباء؟ لتوليد الكهرباء باستخدام مروحة هوائية؛ إذا زادت سرعة الرياح، سيزداد ناتج التوليد وفقًا لذلك. وبالتالي، فإن السرعة المتغيرة X وكمية الكهرباء Y بينهما علاقة. - ما مفهوم الارتباط بين متغيرين؟ الارتباط (Correlation) وصف علاقة بين متغيرين من حيث قوتها، كل من المتغيرين يأخذ قيمًا ويمثلان مجموعة من البيانات عند عرضهما معًا بواسطة زوج من المتغيرات العشوائية (X,Y)، حيث X هو المتغير المستقل (independent variable) ولا متغير تابع لـ dependent variable X) ، يقوم الباحث بتحديد قيم المتغير المستقل X الذي تعتمد قيم المتغير التابع لا عليه. Y فإذا كان تغير أحد المتغيرين يعتمد كليًا على تغير الآخر نقول إن الارتباط بينهما تام، مثل: العلاقة بين مساحة الدائرة ونصف قطرها. أما إذا كان تغير أحدهما لا يعتمد على تغير الآخر فنقول إن الارتباط بينهما غير تام، مثل: العلاقة بين وزن الفرد وطوله، أو بين التحصيل وعدد ساعات الدراسة، أو بين الدخل والمصروفات. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

أنواع الارتباط: للارتباط نوعان ارتباط موجب (طردي)، وارتباط سالب (عكسي). أنواع الارتباط الارتباط الموجب الطردي: هو علاقة ارتباط بين متغيرين حيث إنهما يتغيران معا في الاتجاه نفسه. الارتباط السالب العكسي: هو علاقة ارتباط بين متغيرين حيث إنهما يتغيران معًا في الاتجاه المعاكس أنواع الارتباط عند النظر في الارتباط بين متغيرين يؤخذ بعين الاعتبار نوع البيانات التي يمثلانها ؛ فالارتباط في البيانات الكمية يختلف عنه في البيانات النوعية. الارتباط في البيانات الكمية يمكن التعبير عن الارتباط في البيانات الكمية ووصفه بيانيًا من خلال رسم شكل الانتشار، أو جبريًا بحساب معامل الارتباط. شكل الانتشار (Scatter Plot): وسيلة أولية يعرف الباحث من خلالها نوع الارتباطات بين المتغيرات الكمية طردي، عكسي)، ومستوى قوتها (قوي، ضعيف، لا يوجد ارتباط). Y يحدد شكل الانتشار طبيعة العلاقة بين المتغيرين ، حيث يمثل أحد المتغيرين X على المحور الأفقي والمتغير الآخر Y على المحور الرأسي، وتكون لكل قيمة للمتغير x قيمة مناظرة للمتغير Y في الرسم البياني، ويتم تحديد الأزواج المرتبة (X,Y) بنقاط تمثل شكل الانتشار. أي أن رسم شكل الانتشار وتحليله يساعد في الإجابة عن الأسئلة الآتية: هل هناك علاقة بين المتغيرين؟ وإن وجدت فما مدى قوتها واتجاهها ؟ 115 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

У X У X الارتباط الطردي (الموجب) الارتباط العكسي ( السالب) У X لا يوجد ارتباط بين المتغيرين الارتباط وفق شكل الانتشار حالات شكل الانتشار 1. إذا وقعت جميع النقاط على خط مستقيم، فإن الارتباط يُعبر عنه بعلاقة خطية، تمثل أقوى نوع من الارتباط بين المتغيرين. وفي هذه الحالة؛ إذا كانت العلاقة طردية (كلما زادت قيمة المتغير X، زادت قيمة المتغير (Y)، يكون الارتباط طرديًا تامًا. وإذا كانت العلاقة عكسية كلما زادت قيمة المتغير X، انخفضت قيمة المتغير (Y يكون الارتباط عكسيًّا تاما، كما يوضح الشكل الآتي: وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 116

y X У ارتباط طردي تام أنواع الارتباط الخطي التام ارتباط عكسي تام 2. إذا كانت النقاط تتخذ شكل خط مستقيم، ولكن لا تقع جميعها على هذا الخط، فإن العلاقة خطية غير تامة طردية أو عكسية). كما يوضح الشكل الآتي: У X У X ارتباط خطي طردي أنواع الارتباط الخطي غير التام ارتباط خطي عكسي 3. إذا كانت النقاط مشتتة بدون نظام معين فهذا يدل على عدم وجود علاقة بين المتغيرين أو أن العلاقة بينهما ضعيفة جدًّا، كما يوضح الشكل الآتي: 117 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 У لا يوجد ارتباط

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 1 مثال تعرض البيانات الآتية عدد ساعات العمل الإضافية التي يقضيها أحد الموظفين أسبوعيا، ونسبة إنجازه. ارسم شكل الانتشار وهل يوجد هناك ارتباط بين المتغيرين؟ حدد نوع الارتباط. 5 15 14 20 2 10 6 03 13 3.1 1.8 3 3.7 2.2 2.5 2.4 3.9 4 3.6 У 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 2 4 X CO 6 8 10 12 14 16 18 20 عدد الساعات (X) نسبة الإنجاز (Y) الحل: في رسم شكل الانتشار يظهر عدم وجود ارتباط خطي بين المتغيرين، مما يعني أن عدد الساعات الإضافية التي يقضيها الموظف في الأسبوع قد لا تكون ذات علاقة بمعدل إنجاز العمل. كيف يستفيد صاحب العمل من هذا النوع من الدراسات؟ تفكير ناقد 118

مثال 2 يعرض شكل الانتشار نتائج اختبارين لفصل من 26 طالبًا، إذا حصل طالب على 84 في الاختبار الأول، فكم يمكن أن تكون نتيجته في الاختبار الثاني؟ الحل: 84 88 92 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 الاختبار الأول 92 88 84 80 76 72 44 NO JOU2 % 1 68 64 60 56 52 48 الاختبار الثاني 92 88 84 80 76 72 68 64 60 56 52 48 44 0 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 الاختبار الأول الاختبار الثاني من شكل الانتشار يتضح أنه عندما تكون درجة الطالب في الاختبار الأول ،84، فإن النتيجة في الاختبار الثاني يمكن أن تكون 85 تقريبًا. تحقق من فهمك 1 1. تعرض البيانات الآتية أطوال عدد من نباتات الظل ومعدلات الإصابة بالتبرقش لدى تلك النباتات. 68 64 72 65 70 72 78 75 62 70 65 88 85 85 93 98 90 الأطوال بالسنتيمتر (X) 68 معدل التبرقش (Y) ارسم شكل الانتشار لهذه البيانات وهل هناك ارتباط بين المتغيرين؟ حدد نوعه إن وجد. 2. يوضح شكل الانتشار الآتي العلاقة بين عدد الأيام التي خضع فيها عدد من الأطفال المصابين باضطراب فرط الحركة لتلقي العلاج ونسبة التركيز لديهم أثناء الحصة الدراسية، استخدم شكل الانتشار؛ لتحديد أفضل نسبة تركيز يمكن أن يحققها طفل تلقى العلاج على مدى 150 يوما. 119 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

64 62 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 • . . 0 134 138 136 + + 140 142 + 152 154 150 148 146 144 156 158 160 اضطراب نقص الانتباه إثراء اضطراب نقص الانتباه وفرط الحركة هو مرض يصيب الأطفال قبل سن ،12، ويتسبب في خلق مشكلات لدى الأطفال في المنزل والمدرسة بشكل مستمر، مثل: مشاكل التعلُّم أو اللغة، الأمراض المزاجية: مثل الاكتئاب أو القلق واضطرابات النوم، ويخضع المصابون بالمرض لتقييم دقيق للحالة، مع تقديم أدوية متخصصة ومعالجات سلوكية متنوعة. قوة الارتباط يستخدم معامل الارتباط لحساب قوة الارتباط بين متغيرين معامل الارتباط (Correlation Coefficient): قيمة تحدد الارتباط بين متغيرين ويرمز له بالرمز r. معامل الارتباط r يسمى أيضًا معامل بيرسون Pearson. نسبة للإحصائي الإنجليزي كارل بيرسون (1857-1936). تتراوح قيمة معامل الارتباط من -1 إلى 1، أي أن قيمته لا يمكن أن تتجاوز هذا النطاق. تعني قيمة معامل الارتباط -1 أن هناك ارتباطًا عكسيًا تاما، بينما تعني قيمة معامل الارتباط +1+ أن هناك ارتباطًا طرديا تامًا، وعندما تكون قيمة معامل الارتباط 0 فتعني أنه لا توجد علاقة بين المتغيرين. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 120

121 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 ويوضح الجدول الآتي قوة الارتباط حسب قيمة معامله: قيمة معامل الارتباط +1 من 0.70 إلى 0.99 من 0.50 إلى 0.69 من 0.01 إلى 0.49 0 من 0.01- إلى 0.49- من 0.50- إلى 0.69- من 0.70- إلى 0.99 قوة الارتباط ارتباط طردي تام ارتباط طردي قوي ارتباط طردي متوسط ارتباط طردي ضعيف لا يوجد ارتباط ارتباط عكسي ضعيف ارتباط عكسي متوسط ارتباط عكسي قوي ارتباط عكسي تام .b y 13 32 12 11 10 9 8 7 60 62 64 66 68 70 72 x معامل الارتباط 0.81 = r -1 3 مثال حدد نوع الارتباط ودرجته في الأشكال الآتية: y 60 50 40 30 10 22 20 x 1 2 3 4 5 6 7 8 معامل الارتباط 1 = r .a a ارتباط طردي تام b. ارتباط طردي قوي. الحل:

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 تذكر y 100 90 80 70 60 50 تحقق من فهمك 2 حدد نوع الارتباط ودرجته في الشكل الآتي: 1 2 3 4 5 6 7 8 x معامل الارتباط 0.8 = r يمكن حساب قيمة معامل الارتباط لبيانات المتغيرين X,Y باستخدام الصيغة الآتية: nxx - (x)(Y) nLXY x - (x) VnY - (Y) 2 r = حيث n عدد ـدد أزواج البيانات، ويكون نطاق معامل الارتباط في الفترة الرمز الرياضي ( يعني (X) مربع مجموع القيم، ولا يعني مجموع مربعات القيم (CX)² = Σx² 4 مثال .[−1, 1] ول توضح البيانات الآتية درجات أربَعَةُ طُلاب في مادتي الرياضيات والفيزياء احسب معامل الارتباط بين درجات الطلاب في المادتين. ماذا تستنتج؟ الرياضيات (X) الفيزياء (Y) 4 4 7 8 5 5 4 3 122

123 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 Y X2 XY الفيزياء (Y) الرياضيات (X) 16 16 16 4 4 49 64 56 7 8 25 25 25 5 5 16 9 12 4 3 Σ Y² = 106 Σε Tx = 114 LXY = 109 LY = 20 Ex = 20 r = الحل: بالتعويض عن هذه المجاميع، وعن 4=n ، في قانون معامل الارتباط: EXY - (x) (Y) 2 Vn2x - (2x) Vn2Y-(2Y) 4(109) 4(114) – (20)2 (20) (20) 4(106) – (20)2 = 36 √56√24 = 0.98 2 إذن يوجد ارتباط طردي قوي بين درجات الطلاب في مادتي الرياضيات والفيزياء تحقق من فهمك 3 توضح البيانات الآتية دخل بعض الأسر "X "، وإنفاقها الشهري بمئات الريالات "Y ". 58 48 39 50 68 65 X 52 39 35 51 68 67 Y احسب معامل الارتباط لهذه البيانات، ماذا تستنتج؟

124 الارتباط في البيانات النوعية بفرض أن الظاهرة قيد الدراسة تحتوي على متغيرين نوعيين ترتيبيين، على سبيل المثال: قياس العلاقة بين تقديرات الطلاب في مادتين، أو قياس العلاقة بين درجة تفضيل المستهلك لسلعة معينة ومستوى دخله. في هذا النوع من البيانات يستخدم معامل سبيرمان (Spearman) لقياس مستوى الارتباط بين المتغيرين X و Y . معامل ارتباط سبيرمان (Spearman Correlation Coefficient): مقياس لمستوى الارتباط بين متغيرين نوعيين ترتيبيين، بناءً على رتب البيانات المرصودة. يعتمد حساب معامل سبيرمان على استبدال البيانات بترتيبها داخل العينة، فبفرض أن العينة مكونة من n زوج X Y مرتب وفق متغيرين X و Y . وأن المتغير x له رتبة ، والمتغير Y له رتبة R، و cd تعني الفرق بين الرتبتين، أي أن: d = R ، فإن معامل سبيرمان لارتباط الرتبة ويرمز له بالرمز R يعطى بالصيغة الآتية: - RY X Y R = 1 - 6Σd² n(n² - 1) ويأخذ معامل سبيرمان قيمة من -1 إلى 1 تعبر عن قوة ارتباط المتغيرين. مثال LO 5 ول لدراسة العلاقة بين تقديرات الطلاب في مادة الإحصاء وتقديراتهم في مادة الرياضيات، اختير طلاب وكانت تقديراتهم على النحو الآتي: الإحصاء (X) الرياضيات (Y) ضعيف مقبول ممتاز جيد جيد جيد جدا مقبول ضعيف جيد جدًا ممتاز هل هناك ارتباط بين المتغيرين X Y ما نوعه؟ وما مدى قوته؟ خَمْسَةٌ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الحل: أولًا: حساب رتب التقديرات في المتغيرين، نفرض أن التقدير ضعيف تناظره رتبة منخفضة تساوي 1، يليها تقدير مقبول وتناظره الرتبة 2 ثم تقدير جيد وتناظره الرتبة 3 وهكذا. ثانيًا : حساب قيمة معامل سبيرمان كالآتي: X Y ضعيف مقبول ممتاز جيد جيد جيد جدًا مقبول ضعيف جيد جدًا ممتاز d2 d R R y X 1 −1 2 1 4 2 3 5 1 −1 4 3 1 1 1 2 1 -1 5 4 Id = 8 Σα Id = 0 R = 1 - 6Σd² n(n2 - 1) =1 6(8) 5(25 - 1) = 0.6 أي أن هناك علاقة ارتباط طردية متوسطة بين تقديرات الطلاب في الإحصاء وتقديراتهم في الرياضيات. تحقق من فهمك 4 فيما يأتي تقديرات عشرة طلاب في اختبارين، أحدهما للغة الإنجليزية والآخر للغة العربية: اللغة الإنجليزية ضعيف اللغة العربية مقبول جيد جيد مقبول جدا جيد جدا مقبول مقبول جيد جيد جيد جدا جيد جيد ممتاز ضعيف جيد جيد جدًا جيد ممتاز ضعيف هل هناك ارتباط بين المتغيرين ؟ ما نوعه؟ وما مدى قوته؟ 125 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446