المتغيرات العشوائية - الإحصاء - ثالث ثانوي

المتغيرات العشوائية الدرس الأول 150 Random Variables رابط الدرس الـ www.ien.edu.sa في هذا • أتعرف المتغيرات العشوائية المنفصلة ،والمتصلة وأميّزها، وأوجد قيمها في لدرس تجارب عشوائية. ما الرقم الذي يمكن أن يظهر على الوجه العلوي لحجر نرد عند رميه؟ في تجربة رمي حجر النرد يظهر على الوجه العلوي رقم من مجموعة الأرقام 1. تعد هذه التجربة تجربةً عشوائية، وتمثل تلك ', الأرقام قيم المتغير العشوائي. - ما التجربة العشوائية؟ التجربة العشوائية (Random Experiments): عملية يتم من خلالها الحصول على نتائج سواء كانت أرقامًا أم قياسات أم استجابات، بحيث تكون النتائج الممكنة لهذه العملية معلومة مسبقًا، ولا يمكن تحديد أيها سيتحقق فعلا قبل إجراء التجربة. المتغير العشوائي (Random Variable): هو متغير في تجربة أو حدث معين، يأخذ مجموعة من القيم لكل منها احتمال محدد. وقد يكون المتغير العشوائي كميًّا أو نوعيًّا، مثلا عدد خريجي كلية العلوم متغير كمي، ومن سيفوز في سباق الجري متغير نوعي. ومن الممكن دائمًا التعبير عن البيانات النوعية باستخدام البيانات الكمية؛ عن طريق تخصيص رقم لكل قيمة نوعية وفقًا لنظام محدد مسبقًا. على سبيل المثال: يتم تسجيل الرقم (1) إذا فاز أحمد بالسباق والرقم (0) إذا لم يفز أحمد بالسباق. إذا كان عدد الخريجين يرمز له بالرمز X وكانت نتيجة أحمد في سباق الجري يرمز لها بـ Y، فإنه في نهاية كل سنة يمكن الحصول على قيمة للمتغير x ، وفي ختام كل سباق يشارك فيه أحمد، يمكن الحصول على قيمة للمتغير Y. من الطبيعي أن يقال عن متغير مثل X أو Y إنه متغير عشوائي؛ لأن القيم التي يتخذها مرتبطة بتجارب عشوائية. تسمى مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية فضاء العينة ويرمز لها بالرمز S. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الحادثة :(Event) مجموعة جزئية من فضاء العينة، وقد تساويه. مثل: فضاء العينة في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة: 5 ,4 ,3 ,2 ,1} = S وتتضمن هذه التجربة عددًا من الحوادث مثل: {}{}{4} ,{3} ,{2} ,{1} كما أن ظهور عدد زوجي = 26 يمثل حادثة أيضًا، وحيث إن عدد النتائج الممكنة لهذه الحادثة هو ثلاث نتائج، فإن هذا يعني أن المتغير العشوائي X = 3 مثال 1 في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة عيّن الحادثة A التي تمثل ظهور عدد أكبر من أو يساوي 2، وحدد عدد نتائجها. الحل: الحادثة A هي 6} 2,3,4,5,6)، وعدد نتائجها = 5. مثال 2 اكتب فضاء العينة لتجربة رمي قطعة نقود مرة واحدة. الحل: نفرض أن H يعني ظهور الصورة و T يعني ظهور الكتابة فيكون: فضاء العينة لرمي قطعة نقود مرة واحدة: = في تجربة رمي قطعة النقود مرة واحدة، تسمى المجموعات وكذلك حوادثا. 151 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

1 تحقق من فهمك 1. في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة عين الحادثة B التي تمثل ظهور عدد أصغر من أو يساوي 4، وحدد عدد نتائجها. 2. في التجربة السابقة ؛ هل يُعد ظهور الأعداد الأكبر من 7 حادثة؟ فسّر إجابتك. تنقسم المتغيرات العشوائية إلى نوعين: المتغير العشوائي المنفصل (Discrete Random Variable): هو المتغير الذي يأخذ قيمًا تنتمي إلى مجموعة منتهية أو غير منتهية، ولكنها قابلة للعد؛ أي أنه يأخذ قيمًا منفصلة عن بعضها. مثلا أسرة لديها ثلاثة أبناء، وليكن X المتغير العشوائي الذي يدل على عدد الذكور في هذه الأسرة. وحتى نتمكن من إيجاد قيم المتغير العشوائي X، نوجد أولا فضاء العينة لحادثة وجود ثلاثة أبناء في الأسرة. نفرض أن G يرمز للذكور ، وB يرمز للإناث؛ فتكون مجموعة النتائج الممكنة لفضاء العينة ممثله في الرسم B B G B B G G B B G G الشجري الآتي: G B G BBB BBG BGB BGG GBB GBG GGB GGG S = {GGG, GGB, GBG, GBB, BGG, BGB, BBG, BBB وبالعودة للمتغير العشوائي الذي يمثل عدد الذكور في الأسرة، فإن: X(GGG)=3, X(GGB)=2, X(GBG)=2, X(GBB)=1, X(BGG)=2, X(BGB)=1, X(BBG)=1, X(BBB)=0 0, 1, 2, 3: هي X من الواضح أن القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير يلاحظ أن هذا المتغير x يأخذ قيمًا منتهية وقابلة للعد فهو متغير عشوائي منفصل. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 152

المتغير العشوائي المتصل (Continuous Random Variable): يأخذ قيما تنتمي إلى مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد؛ بمعنى أن المتغير يأخذ جميع القيم التي تقع في نطاق تغيُّره. مثلاً تجربة اختيار نقطة من دائرة مركزها نقطة الأصل (0) ونصف قطرها .. وليكن X المتغير الذي يدل على المسافة بين النقطة المختارة ومركز الدائرة. فتكون مجموعة القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها المتغير تفكير ناقد X هي: 0 :X وهي مجموعة غير منتهية وغير قابلة للعد. أوجد نوع المتغير في تجربة اختيار نقطة على دائرة مركزها نقطة الأصل (0). ونصف قطرها r، حيث يشير X إلى المسافة بين النقطة المختارة ومركز الدائرة. مثال 3 في تجربة رمي قطعة نقود مرتين على التوالي، لنفترض أن المتغير العشوائي X هو عدد مرات ظهور الصورة H في الرميتين، ما قيم المتغير العشوائي X؟ حدد ما إذا كان X منفصلًا أو متصلاً. الحل: في تجربة رمي قطعة النقود مرتين تكون مجموعة النتائج الممكنة لفضاء العينة ممثلة في الرسم الشجري الآتي: يكون فضاء العينة كالآتي: H T T H T H TT TH HT HH S = {HH, HT, TH, TT} 153 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

154 المتغير العشوائي X هو عدد مرات ظهور الصورة في الرميتين، وبالتالي الناتج HH يعطي قيمة للمتغير العشوائي X =2. الناتج HT يعطي قيمة للمتغير العشوائي X =1. الناتج TH يعطي قيمة للمتغير العشوائي X =1. الناتج TT يعطي قيمة للمتغير العشوائي X =0 2 من الواضح أن القيم التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير هي 10 يلاحظ أن المتغير يأخذ قيمًا منتهية وقابلة للعد فهو متغير عشوائي منفصل. مثال 4 إذا كان المتغير العشوائي X يمثل أوزان الطلاب في مدرستك، فهل X متغير منفصل أم متصل؟ الحل: يمكن أن تتراوح أوزان الطلاب في المدرسة بين 40 كيلوجرام إلى 90 كيلوجرام. من الواضح أن هناك أعدادًا غير منتهية وغير قابلة للعد من القيم الممكنة التي يمكن أن يأخذها هذا المتغير العشوائي، إذن X متغير عشوائي متصل. تحقق من فهمك 2 1. هل الجملة صحيحة أم غير صحيحة فيما يأتي؟ a. المتغير الذي يمثل أسعار الأسهم في البورصات العالمية، يعد متغيرًا عشوائيا منفصلا. b. المتغير الذي يمثل عدد المصابين بمرض السكري في المملكة العربية السعودية، يعد متغيرا عشوائيا متصلًا. 2. أعط أمثلة لمتغيرات عشوائية منفصلة، وأخرى ،متصلة، ثم قدّم مقترحات حول استعمالات كل منها في مسارك التخصصي. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446