الاحتمالات - الإحصاء - ثالث ثانوي

الاحتمالات الدرس الثاني Probability في هذا • أتعرف المفاهيم والمصطلحات الأساسية في الاحتمال. الدرس . أحسب الاحتمال في التجارب العشوائية. رابط الدرس الـ www.ien.edu.sa - لماذا نحتاج الاحتمالات في حياتنا اليومية؟ تعد الاحتمالات من العلوم المستخدمة في الحياة اليومية على نطاق واسع، حيث نتعرض للعديد من المواقف المحيّرة، والعديد من الخيارات التي نريد تحديد الخيار الأفضل منها، فعلى سبيل المثال؛ لو أرادت وزارة التعليم إنشاء عدد من المدارس في إحدى المدن، فلابد أن تأخذ في الاعتبار إمكانية استيعاب الزيادة في عدد الطلاب وعدد المعلمين. يُعتمد في عملية اتخاذ القرارات إلى حدٍ كبير، سواءً كانت قرارات فردية أم جماعية على الاحتمالات للظواهر التي من المتوقع حدوثها أو عدم حدوثها؛ ومن هنا يجدر بالذكر أن النظريات والطرق الإحصائية مرتبطة ارتباطًا قويًّا بالاحتمالات، لذا نجد علم الاحتمالات متداخلا بشكل كبير مع علم الإحصاء؛ فمثلًا يعتمد التنبؤ بالأحوال الجوية وباحتمال حدوثها على معلومات إحصائية سابقة عن الطقس وتتبع الجو لفترة زمنية ما. 1438 رنالان 2 TWO RIYALS 2016 يعد علم الاحتمالات أحد فروع الرياضيات التطبيقية؛ الذي يهتم بدراسة فرصة حدوث ظاهرة معينة، على سبيل المثال: عند إلقاء قطعة نقود معدنية يظهر لنا أحد الحدثين صورة أو كتابة، ولكن لا يمكن التأكيد ما هو الحدث الذي سيظهر منهما، فهنا يمكن القول بأن هناك فرصة لظهور الصورة بنسبة 50% أو أن فرصة ظهور الكتابة أيضًا %50. من هذا المثال يمكن التمييز بين لفظي "مؤكد" و "فرصة" فالأول يدل على شيء نعلم كل الظروف التي تؤدي إلى حدوثه، بينما الثاني يدل على شيء لا نعلم تمامًا كل الظروف التي تؤدي إلى حدوثه. لاحظ: إن لفظ (فرصة) يحمل المعنى نفسه للفظ (احتمال)، إلا أن (احتمال) هي الكلمة الأكثر شيوعًا في حياتنا اليومية والتي نستخدمها دائمًا عندما نعبر عن أي شيء من المتوقع حدوثه 155 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

156 إثراء تاريخ علم الاحتمالات تاريخ نشوء علم الاحتمالات قديم منذ قدم البشرية، حيث ظهرت إشارات دالة على ذلك لدى اليونانيين والرومان، كما قدم المسلمون إسهامات مميزة في ذلك، ثم تلاحقت أعمال العالم باسكال Pascal، وتبعه جيمس برنولي James Bernoulli بنظريته الشهيرة. وقد قدمت التقنية خدمات جليلة لتطوير هذا العلم؛ من حيث توفير الوقت والجهد لإجراء حسابات الاحتمال المعقدة والدقيقة. سبق دراسة التجربة العشوائية التي وصفت بأنها أي عملية يتم من خلالها الحصول على نتائج سواء كانت أرقامًا أم قياسات أم استجابات بحيث إن النتائج الممكنة لهذه العملية معلومة مسبقًا. وتسمى مجموعة جميع النتائج الممكنة لتجربة عشوائية فضاء العينة ويرمز لها بالرمز .. والآن ستحسب احتمال كل نتيجة (حادثة) في هذه التجربة. الاحتمال (Probability): هو قياس إمكانية ظهور حادثة ما في تجربة عشوائية. ويرمز له عادة بالرمز (A)، حيث يقاس احتمال ظهورها باستخدام الصيغة الآتية: عدد عناصر الحادثة A عدد عناصر فضاء العينة S مسلمات الاحتمال (Probability Axioms): • P(A) = n(A) n(S) = تتراوح قيمة الاحتمال لأي حادثة بين الصفر والواحد ويُعبر عن ذلك بـ: 1 = (A) ≥ 0، حيث يشير الصفر إلى حادثة مستحيلة ويشير الواحد إلى حادثة مؤكدة. . كلما زادت قيمة احتمال الحادثة، زاد احتمال وقوع تلك الحادثة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال 1 في تجربة رمي حجر النرد مرة واحدة، احسب احتمال ظهور الحوادث الآتية: a. ظهور عدد فردي. b. ظهور عدد يقبل القسمة على 2. ظهور عدد أقل من ستة. d. ظهور العدد ستة. الحل: . ظهور العدد سبعة. .f ظهور عدد أقل من سبعة. بما أن عدد عناصر فضاء العينة هو : 6 = (S) فإن احتمالات ظهور الحوادث هي: الاحتمال عدد العناصر الحادثة الفقرة a A = {1, 3, 5} n(A) = 3 P(A) = n(A)/n(S) = 3 /6 = 1 = 0. 0.5 b B = {2, 4, 6} n(B) = 3 P(B) = n(B)/n(S) = 3 /6 = = = 0.5 1 C C = {1, 2, 3, 4, 5} n(C) = 5 P(C) = n(C)/n(S) = 5/6 ≈ 0.83 d D = {6} n(D) = 1 P(D) = n(D)/n(S) = 1/6 ≈ 0.2 e E = { } = Ø n(E) = 0 P(E) = n(E)/n(S) = 0/6 = 0 f S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 P(S) = n(S)/n(S) = 6/6 = 1 تحقق من فهمك 1 في تجربة رمي حجر النرد مرتين وتسجيل الرقم الظاهر على الوجه العلوي في الرميتين؛ أوجد احتمال ظهور عددين زوجيين 157 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

نظرية بيز Bayes's Theorem: تعدّ نظرية بيز من أشهر النظريات في علم الاحتمال، وتبنى عليها العديد من العمليات الإحصائية. توماس جوشوا بيز عالم رياضيات حيث تهتم نظرية بيز بحساب احتمال وقوع حدث وإحصائي وفيلسوف ووزير إنجليزي. استنادًا إلى معرفة الأسباب والظروف المؤدية لوقوعه. من أشهر أعماله نظرية بيز في الاحتمالات. ولم ينشر بيز نظريته فعلى سبيل المثال عندما نعلم أن من أسباب سقوط وإنما عدلت ونشرت بعد وفاته، وقد الطائرات وجود خلل في المحرك، فإن حساب احتمال نتج عنها ما يُعرف بالاستدلال البيزي الذي يعد أحد أسس سقوط طائرة بعينها يصبح أكثر دقة إذا حسبنا احتمال بناء خوارزميات الذكاء الاصطناعي وعلم الآلة. أن يكون خلل المحرك هو المتسبب في سقوطها. لابد من التعرف على قانون الاحتمال الكلي قبل دراسة قانون بيز؛ الذي يُعنى بحساب وقوع الحادثة دون النظر إلى مسبباتها. A 9 n لتكن ...,,, حوادث اتحادها يشكل المجموعة الشاملة، ومتنافية مثنى مثنى (متنافية تبادليًّا؛ يوجد تقاطع بين أي اثنتين منها ومعرفة على فضاء العينة S، أي أن: يعني لا وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 n i=1 A = A, UA, U... UA = S إذا كانت الحادثة B هي أي حادثة معرفة على فضاء العينة S نفسه، فإن: أولًا: قانون الاحتمال الكلي (Law of Total Probability): P(B) = P(A,) P(B|A₁) + P(A) P(B|A) + = P(A)P(BA) k=1 . . . + P(A) P(BA) ويمكن عرض قانون الاحتمال الكلي بواسطة الرسم الشجري الآتي للحالة 3 =n على سبيل المثال): 158

P(A) P(B|A₂) A₁ B | A ⇒ P(A) P(B|A₁) P(A) P(BA) A₂ B|A₂ ⇒ P(A) P(B|A₂) P(A) P(BA) A B|A3 ⇒ P(A) P(B|A₂) مثال P(A)P(BA) 2 P(B) = k=1 = المجموع أحد المصانع يتم إنتاج المصابيح الكهربائية في بواسطة ثلاث آلات، حيث تنتج الآلة الأولى 20% وتنتج الآلة الثانية 30% وتنتج الآلة الثالثة %50 من الإنتاج A₁ A A, GA Α1 GA2 GA3 A3 B. A3 الكلي للمصنع، ومعلوم مسبقًا أن نسبة الإنتاج التالف للآلة الأولى 1% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثانية %4 ونسبة (A) تعني إنتاج الآلة i الإنتاج التالف للآلة الثالثة %7. إذا كانت التجربة هي اختيار مصباح واحد من إنتاج هذا المصنع بشكل عشوائي؛ فما احتمال أن يكون هذا المصباح تالفا؟ B. B A3 (BA) تعني الإنتاج التالف من الآلة 1 Ai (G) تعني الإنتاج غير التالف من الآلة 1 الحل: نعرف الحوادث الآتية: B: الحادثة B وتعني إنتاج المصباح التالف الحادثة A وتعني إنتاج الآلة الأولى للمصابيح. الحادثة A وتعني إنتاج الآلة الثانية للمصابيح. الحادثة A وتعني إنتاج الآلة الثالثة للمصابيح. ويكون حساب الاحتمال لكل حادثة كما يأتي: غير تالف (G) تالف (B) 159 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

160 20 1 P(A) = = 0.2: 100 P(B|A) = = 0.01 100 P(A) = 30 100 = 0.3; P(B|A₂) = 100 4 = 0.04 50 P(A) = 100 = 0.5; P(B|A₂) = 100 7 = 0.07 المطلوب إيجاد احتمال أن يكون المصباح تالفا، أي (B) = 3 P(B) ŽP(A) P(BA) = k=1 P(A) P(B|A)+P(A) P(B|A₂)+P(A) P(B|A) = 0.2 × 0.0 1+ 0.3 × 0.04 +0.5 × 0.07 = 0.049 عرض الحل بالرسم الشجري تفكير ناقد 0.2 0.01 AL B | A 0.002 0.3 0.04 . A A₁₂ B | A 0.012 0.5 0.07 A3 B | A 0.035 0.049 = (P(B = المجموع A ذكر في قانون الاحتمال الكلي الشرط "الحوادث .... A A حوادث شاملة ومتنافية n مثنى مثنى". ما أهمية هذا الشرط في تطبيق القانون؟ أعط أمثلة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

161 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 تحقق من فهمك 2 1 في مثال (2) السابق؛ ما احتمال أن يكون المصباح غير تالف؟ .2 يتم إنتاج قمصان رياضية في أحد المصانع بواسطة أربع آلات، حيث تنتج الآلة الأولى %20 وتنتج الآلة الثانية %30 وتنتج الآلة الثالثة %35% وتنتج الآلة الرابعة %15، من الإنتاج الكلي للمصنع، ومعلوم مسبقًا أن نسبة الإنتاج التالف للآلة الأولى 2% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثانية 6% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الثالثة 9% ونسبة الإنتاج التالف للآلة الرابعة 5 ؛ إذا كانت التجربة هي اختيار قميص واحد من إنتاج هذا المصنع بشكل عشوائي؛ فما احتمال أن يكون هذا القميص تالفا؟ ثانيًا: قانون بيز P(AB) = k=1 (A) (BA) ΣP(A)P(BIA) (A) (BA) zi = 1, 2, ..., n P(B) 3 مثال بالرجوع إلى مثال (2) وبفرض أن المصباح الذي تم اختياره تالف، فما احتمال الحل: a. أن يكون أنتج بواسطة الآلة الأولى؟ b. أن يكون أنتج بواسطة الآلة الثانية؟ من حل المثال (1) P(B) = 0.49 P(A₁) P(B|A₁) = 0.002 P(A₂) P(B|A) = 0.012

162 .a (A) (BA) 0.002 P(AB) : = ≈ 0.04 P(B) 0.049 .b P(A) P(BA) 0.012 P(AB) = = ≈ 0.245 P(B) 0.049 نستنتج أنَّ الاحتمال الأكبر أن يكون المصباح التالف من إنتاج الآلة الثانية. تحقق من فهمك 3 1. بالرجوع إلى مثال (2) وبفرض أن المصباح الذي تم اختياره تالف، فما احتمال أن يكون أنتج بواسطة الآلة الثالثة؟ قارن النتيجة التي توصلت إليها بالنتيجة في المثال (2). 2 قرر أي آلة سيكون احتمال إنتاجها للمصباح التالف الأكبر ؟ وأي آلة سيكون احتمال إنتاجها للمصباح التالف الأقل؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446