الانحدار الخطي البسيط - الإحصاء - ثالث ثانوي

الانحدار الخطي البسيط الدرس الثاني رابط الدرس الـ 126 Simple Linear Regression في هذا الدرس • www.ien.edu.sa أكتب معادلة الانحدار الخطي البسيط، وأستخدمها في تمييز العلاقات الخطية بين المتغيرات والتنبؤ بقيمها. فكر كيف يمكن الاستفادة من شكل الانتشار في مجالات الحياة مختلفة؟ يوظف العلماء شكل الانتشار في التنبؤ في العديد من dinear Regression المجالات، وذلك باستخدام نموذج رياضي يُعرف بـ"خط الانحدار"، فعلى سبيل المثال: يستخدم علماء الأحياء والعلوم ? السلوكية خط الانحدار للتنبؤ بسلوك الكائنات والبشر، ويستخدمه علماء التقنيات الرقمية وعلم البيانات والذكاء الاصطناعي في حل مشكلات حاسوبية معقدة. وهو عبارة عن ارتباط خطي بين متغيرين، حيث يمثل المتغير المستقل X متغير التنبؤ، فيما يمثل المتغير y الاستجابة أو التوقع الناتج عن هذا التنبؤ ومن المهم الإشارة إلى أن خط الانحدار يمثل معادلة خطية من الدرجة الأولى. ما الغرض من استخدام الانحدار الخطي البسيط؟ يستخدم الانحدار الخطي البسيط لدراسة تأثير متغير كمي (المتغير المستقل) على متغير كمي آخر المتغير التابع، على سبيل المثال: ، دراسة تأثير الإنتاج على التكلفة. . دراسة تأثير كمية السماد على إنتاجية المزرعة. . دراسة تأثير كمية البروتين التي يتناولها الشخص على وزنه. الانحدار الخطي البسيط (Simple Linear Regression) هو معادلة خطية من الدرجة الأولى، تعبر عن المتغير التابع كدالة في المتغير المستقل. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

CO 6 15 У y = 2x + 1 4 2 3 1 2 2 = 2/3 = 2 m 1 b = 2(0) + 1 = 1 1 2 3 5 4 6 CO معادلة الخط المستقيم Straight-line Equation): يمكن كتابة معادلة الخط المستقيم بمعلومية ميله m والمقطع b على المحور Y، بالصيغة الآتية: Y = mx + b حيث يمثل ميل الخط المستقيم m نسبة تغيره الرأسي إلى الأفقي ويقطع المستقيم المحور Y عند القيمة .b. ووفقًا للتمثيل المجاور فإن: m = 2 1 = b 2, =1 وبالتالي فإن معادلة هذا المستقيم هي 1 + Y = 2x ويمكن إيجاد عدد لانهائي من النقاط على هذ المستقيم، فعلى سبيل المثال تكون قيمة 5 = Y عندما 2 = x. معادلة خط الانحدار البسيط (Simple Regression Line Equation) : معادلة خط الانحدار البسيط للمتغير المستقل X والمتغير لاحظ: في الرياضيات تتحدد معادلة الخط المستقيم بنقطتين عليه. وفي الإحصاء تستخدم كل نقطة في البيانات لتحديد معادلـة خـــط الانحدار التابع y هي: f= mx + b حيث لا هي القيمة المتوقعة لـ y عند قيمة معينة لـ x. البسيط. ويحسب ميل خط الانحدار البسيط m من المعادلة التالية: m = nry - (x)(y) 2 nΣx² - (Σx)² حيث n عدد البيانات. ويعتمد نوع الارتباط بين المتغيرين على قيمة ميل خط الانحدار m، حيث تكون المتغيرات مرتبطة ارتباطًا طرديا إذا كانت قيمة الميل موجبة، ومرتبطة عكسيًّا إذا كانت قيمة الميل سالبة. وتعطى نقطة التقاطع b مع المحور Y من المعادلة: b = y - mx حيث آ هو المتوسط الحسابي لقيم المتغير ، و هو المتوسط الحسابي لقيم المتغير x . ويمر خط الانحدار 127 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 البسيط دائما بالنقطة ( )

128 مثال 1 في الجدول أدناه بيانات عن كمية البروتين اليومية بالجرام التي يحتاجها العجل الرضيع، ومقدار الزيادة في وزن العجل بالكيلوجرام لعينة من n عجل رضيع. كمية البروتين X زيادة الوزن y 10 11 14 15 20 25 46 50 59 70 10 10 12 12 13 13 19 15 16 20 اكتب معادلة خط الانحدار البسيط. الحل: من الجدول عدد العجول الرضيعة: 10 = n x² xy زيادة الوزن y كمية البروتين X 4900 1400 20 70 3481 944 16 59 2500 750 15 50 2116 874 19 46 625 325 13 25 400 260 13 20 225 180 12 15 196 168 12 14 121 110 10 11 100 100 10 10 Σχ2 = 14664 Σxy = 5111 x = Ex _ 320 n = 10 2y=140 = 32 y = 2x=320 ΣΥ y = 140 = 14 10 بالتعويض في معادلة ميل خط الانحدار البسيط m = = nΣxy - (Σx)(Σy) n)x2 - (Σx)2 10(5111) 320(140) 10(14664) - (320) 2 = 0.14 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

b = y - mx = 14 0.14 (32) - = 9.4 Y بالتعويض في معادلة التقاطع مع محور بالتعويض عن قيمتي m و b في معادلة خط الانحدار البسيط تكون معادلة خط الانحدار البسيط لكمية البروتين (x) على زيادة الوزن (y) Λ = 0.14x + 9.4 بما أن قيمة الميل 0.14 = m موجبة فإن الارتباط بين المتغيرين ارتباط طردي، أي أن وزن العجل الرضيع يرتبط طرديا مع كمية البروتين. تحقق من فهمك 1 إذا كانت "x" هي أسعار استيراد كمية الزجاج المسطح بالطن المقابلة لـ "y" التي تعبر عن مقدار التكلفة بالريالات. كمية الزجاج المسطح بالطن X التكلفة بالريالات y 6 7 15 4 8 14 18 29 11 18 اكتب معادلة خط الانحدار البسيط لهذه البيانات، وفسّر العلاقة بين المتغيرين. يمكن استخدام معادلة الانحدار البسيط في التنبؤ بقيم المتغير التابع y . التنبؤ (Prediction): هو معرفة القيمة المستقبلية لمتغير كمي تابع y بناءً على دراسة وتحليل متغير كمي مستقل x، والعلاقة الخطية التي تربط بينهما. على سبيل المثال: يمكن لمدير شركة أن يتوقع زيادة في الطلب المحلي على منتج معين؛ على أساس مبيعات الناتج المحلي الإجمالي، فبعد إيجاد معادلة خط الانحدار البسيط يمكن استخدام هذه المعادلة للتنبؤ بقيم y، باستبدال قيمة x المعطاة في معادلة خط الانحدار البسيط، ثم حساب ) (قيمة y المتوقعة). 129 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

130 مثال 2 إذا كانت معادلة خط الانحدار البسيط لكمية الإنتاج (x) بتكلفة (y) بآلاف الريالات هي y= 0.134 x + 9.44 استخدم هذه المعادلة للتنبؤ بمقدار التكلفة المتوقعة في الحالات الآتية، وفسر تأثير قيمة الميل في المعادلة: الحل: a. عدم وجود إنتاج. b. كمية الإنتاج 50 = x . a. عدم وجود إنتاج يعني أن 0 = x فتكون التكلفة 9.44 ألف ريال. b. إذا كانت كمية الإنتاج 50 = x وحدة فإن: Λ y = 0.134 (50) + 9.44 = = 16.59 وهذا يعني أنه عندما تصل كمية الإنتاج إلى 50 وحدة فإن التكلفة تبلغ نحو 16.59 ألف ريال. وتدل قيمة الميل 0.134 = m على أنه كلما زادت كمية الإنتاج وحدة واحدة حدثت زيادة في التكلفة بمقدار = 134 ريالا. تحقق من فهمك 2 إذا كانت معادلة خط الانحدار البسيط لإنتاج مادة الإسفلت (بملايين البراميل X والاستهلاك المحلي لها y هي: y= 0.36 x + 3.26 استخدم هذه المعادلة للتنبؤ بقيمة الاستهلاك المحلي عندما يصل الإنتاج إلى 16 مليون برميل. الفرق بين الارتباط والانحدار الارتباط الانحدار يشير إلى طبيعة ومدى العلاقة الخطية بين المتغيرين. يدرس تأثير المتغير المستقل على المتغير التابع. ترتبط المتغيرات ارتباطًا طردياً أو عكسيًا إذا كان معامل الانحدار الموجب يعني أنه لكل زيادة وحدة في x هناك زيادة مقابلة في y. لمعامل الارتباط قيمة موجبة أو سالبة على التوالي. معامل الانحدار السالب يعني أنه لكل زيادة وحدة في x هناك انخفاض مقابل في y. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446