مقاييس النزعة المركزية - الإحصاء - ثالث ثانوي

مقاييس النزعة المركزية الدرس الثالث في هذا الدرس Measures of Central Tendency • أوجد مقاييس النزعة المركزية (المتوسط الحسابي، الوسيط، المنوال) لمجموعة من البيانات، وأفسرها لاتخاذ القرارات المناسبة. - ما أهمية مقاييس النزعة المركزية؟ سبق وأن درست في مادة الرياضيات مقاييس النزعة المركزية، إن هذه المقاييس تعد إحصائيات مختصرة، تهدف إلى الحصول على مواصفات أكثر دقة؛ لتحديد مركز البيانات. Year Plans successful مقاييس النزعة المركزية تعرف بأنها مجموعة من المقاييس التي تميل للتجمع حول قيمة مركزية محددة. ***** iner وفي الوقت الذي تفيد فيه الرسوم البيانية في تلخيص البيانات، وإعطاء صورة شاملة عنها، فإن مقاييس النزعة المركزية تمثل إحصائيات مختصرة تعبر عن البيانات بقيمة واحدة؛ بهدف الحصول على مواصفات أكثر دقة، وتحديد مركز البيانات، وتسهيل التواصل حولها. ويعد المتوسط الحسابي الوسيط (المنوال من مقاييس النزعة المركزية الشائعة. المتوسط الحسابي مقاييس النزعة المركزية الوسيط مقاييس النزعة المركزية المنوال 65 65 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

99 66 المتوسط الحسابي Mean) المتوسط الحسابي لمجموعة من البيانات هـو مركز البيانات، ويمكن حسابه للبيانات غير المبوبة بجمع البيانات وقسمتها على عددها. لاحظ: البيانات غير المبوبة البيانات الخام الأولية التي يتم جمعها خلال إجراء الدراسة، وتظهر على وللحصول عليه نفترض أن قيم البيانات هي: ، ...، n X شكل قيم عددية متفرقة. ثم لحساب المتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي والعينة البيانات المبوبة: البيانات التي يتم ترتيبها في مجموعة من الجداول التكرارية، وتحتوي هذه نستخدم الصيغ الآتية: المتوسط الحسابي للمجتمع: Σχ = الجداول على عمودين عمود الفئات، وعمود التكرارات. المتوسط الحسابي للعينة قراءة الرموز n x= Ex n يعبر عن المتوسط الحسابي للمجتمع بالحرف اليوناني الصغير ل ويُقرأ ميو). يعبر عن المتوسط الحسابي للعينة بالحرف X ويقرأ x بار). يرمز لعدد البيانات في المجتمع بالرمز ، تمييزا له عن عدد البيانات في العينة الذي يرمز له بالرمز n. مثال 1 تمثل البيانات الآتية الوقت الذي يقضيه مجموعة من طلاب الصف الأول الثانوي في الدراسة يوميًّا (بالدقائق). احسب المتوسط الحسابي للوقت الذي يقضيه الطلاب في المذاكرة. 60 30 100 120 180 70 50 300 80 40 10 الحل: = 94.5 (60+30+100+120+180+70+50+300+80+40+10) 11 Σχ n I☑ أي أن المتوسط الحسابي هو 94.5 دقيقة، وتعني أنه - في المتوسط - يقضي الطلاب 95 دقيقة يوميًا للمذاكرة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تحقق من فهمك 1 تمثل البيانات الآتية أطوال عينة مكونة من 10 لاعبين (من المنتخب السعودي لكرة القدم مشاركين في كأس العالم 2022م. أوجد المتوسط الحسابي لأطوال اللاعبين. 160, 166, 171, 158, 175, 162, 173, 169, 182, 165 ental خصائص المتوسط الحسابي 1. إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم X ...، يساوي x وتم إضافة قيمة مقدارها (C) لكل قيمة من n هذه القيم فإن المتوسط الحسابي لها بعد الإضافة يُصبح ( + ) . n 2. إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم ،، ...، يساوي ، وتم طرح قيمة مقدارها (C) من كل قيمة X من هذه القيم فإن المتوسط الحسابي لها بعد الطرح يُصبح (C - ) . 3. تؤثر القيم المتطرفة على حساب المتوسط الحسابي؛ ولذلك لا يفضل استخدام المتوسط الحسابي عند وجود قيم متطرفة في البيانات. مثال 2 بالعودة إلى مثال (1)، إذا قرر كل طالب إضافة 15 دقيقة يوميًّا للمذاكرة ، فكم يصبح المتوسط الحسابي الجديد؟ الحل 94.515 109.5 = إذن المتوسط الحسابي يساوي 109.5 67 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

68 تحقق من فهمك 2 تمثل البيانات الآتية أعداد الموظفين في فروع الشركة العقارية في عدد من مناطق المملكة، احسب المتوسط الحسابي لعدد الموظفين. 60 0 | 110 40 0 4 10 80 30 70 0 30 90 60 3 30 65 5 45 80 45 300 65 60 100 40 45 ماذا يحدث إذا حذفنا القيمة 300 من البيانات؟ ناقش ذلك. الوسيط (Median) أحد مقاييس النزعة المركزية المستخدمة لدراسة البيانات، وهو العدد الذي يتوسط البيانات بعد ترتيبها تصاعديا أو تنازليًّا. يسمى مكان الوسيط في البيانات رتبة الوسيط. إذا كان حجم العينة n فرديًا، فالوسيط هو الرقم الموجود في منتصف البيانات ويمكن حساب رتبة الوسيط بالعلاقة (171). أما إذا كان حجم العينة n زوجيًّا، فالوسيط هو المتوسط الحسابي للعددين الأوسطين (ويمكن حساب رتبة الوسيط بحساب المتوسط الحسابي للقيمتين 1 و 1+1). 2 n 2 خصائص الوسيط 1. سهل الحساب والفهم. 2. لا يتأثر بالقيم المتطرفة. 3 محدد القيمة حيث يسبقه 50% من القيم ويليه 50% منها؛ ولذا فهو متوسط مكانيًّا وليس متوسطًا حسابيًّا. ويُفضل استخدامه عندما تحتوي مجموعة البيانات على بعض القيم المتطرفة. حيث يعطي الوسيط فكرة أدق عن قيم المجموعة مقارنة بالمتوسط الحسابي في هذه الحالة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال 3 بالعودة إلى مثال (1) ، احسب الوسيط للوقت الذي يقضيه الطلاب في المذاكرة. الحل: أولا: ترتيب القيم تصاعديا أو تنازليا) 300, 180, 120, 120, 100, 80, 70, 60, 40, 30, 10 ثانيًا: بما أن عدد البيانات فردي، فالوسيط هو الرقم الذي يتوسط البيانات. 300, 180, 120, 120, 100, (80, 70, 60, 40, 30, 10 إذن الوسيط = 80 ورتبة الوسيط 11+1 12 n+1 = = = 6 2 2 2 الدولة المساحة (بالكيلومتر المربع) مثال 4 توفالو يعرض الجدول المجاور مساحات ثمان دول تُصنف ناورو سان كيتس ونيفيس من أصغر دول العالم. أوجد الوسيط لمساحات تلك جزر المارشال الدول. الحل: مالطا المالديف ليختنشتاين :أولاً: ترتيب البيانات من الأصغر للأكبر سان مارينو 25.9 20 269 181 316 297 160 61.2 20, 25.9, 61.2, 160, 181, 269, 297, 316 ثانيًا: بما أن عدد البيانات زوجي فالوسيط هو المتوسط الحسابي للقيمتين اللتين تتوسطان البيانات. = 181+160 2 -= 170.5 الوسيط 69 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

70 70 تحقق من فهمك 3 هل يتغير الوسيط في المثال السابق إذا أضفنا دولة أخرى وكانت مساحتها 300 كيلومتر مربع؟ ناقش إجابتك. احسب المتوسط الحسابي للمثال السابق، ثم قارن بينه وبين الوسيط، وبرر سبب الاختلاف بينهما. المنوال (Mode) أحد مقاييس النزعة المركزية، ويشير إلى القيمة الأكثر شيوعًا (تكرارا) بين القيم. يمكن أن يكون للبيانات منوال واحد أو أكثر. فقد تكون البيانات ثنائية المنوال؛ وذلك عند وجود قيمتين بنفس التكرار الأكبر. وقد لا يكون لها منوال وذلك إذا لم تتكرر أي من القيم أو تكررت كل القيم بالعدد نفسه من المرات. يُفضل استخدام المنوال مع البيانات النوعية. مثال 5 تمثل البيانات الآتية الأسعار (بالريال) لبعض رحلات الطيران من جدة إلى الدمام في غير أوقات الذروة. ما منوال أسعار الرحلات؟ الحل: 872, 432, 397, 427, 388, 782, 397 يظهر السعر 397 مرتين، بينما تظهر الأسعار الأخرى مرة واحدة فقط؛ لذا فإن منوال أسعار الرحلات هو 397 ريالا. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال 6 تعرض البيانات الآتية الوقت الذي يقضيه 13 طالبًا من الصف الأول الثانوي في المذاكرة يوميا، أوجد المنوال الحل: 30, 300, 180, 120, 120, 100, 80, 70, 60, 50, 40, 30, 10 المنوال: 120 و 30 مثال 7 تمثل البيانات الآتية فصائل الدم لسبعة من طلاب الصف الأول في مدرسة ما أوجد المنوال. الحل: لا يوجد منوال. 2 تحقق من فهمك 4 A+, AB+, 0+, A¯, B¯, B+, O¯ إذا كانت البيانات الآتية تشير إلى نسبة الكفاءة الذاتية لدى موظفي الموارد البشرية في عدد من شركات القطاع الخاص: 83% 87% 84% 35% 65% 80% 87% 65% 67% 87% أوجد المنوال للبيانات السابقة. 71 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446