حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح - الرياضيات 2 - ثالث متوسط

٥-٣ فيما سبق درست حل نظام من معادلتين بالتعويض والان حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح لماذا؟ يزيد عدد الأشهر (أ) التي ترتفع فيها درجة الحرارة العظمى في مدينة الرياض على ۳۰ س بمقدار شهرین على عدد الأشهر (ب) التي تنخفض فيها عن ٣٠ س. ويمثل النظام الآتي هذا الموقف أحل نظامًا من معادلتين أ + ب = ١٢ باستعمال طريقة الحذف أ - ب = ٢ بالجمع. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa الحذف باستعمال الجمع : إذا جمعت هاتين المعادلتين فسوف يتم حذف المتغير (ب)، وتُسمى طريقة أحل نظامًا من معادلتين الجمع أو الطرح في حل النظام الحذف. باستعمال طريقة الحذف بالطرح. المفردات الحذف مفهوم أساسي الحل بالحذف أضف إلى مطوبتك الخطوة 1 : اكتب النظام على أن يكون الحدان المتشابهان اللذان معامل أحدهما معكوس للآخر أو مساو له بعضهما فوق بعض. الخطوة ٢ : اجمع المعادلتين أو اطرحهما للتخلص من أحد المتغيرين، ثم حل المعادلة. الخطوة 3 : عوض القيمة الناتجة في الخطوة ٢ في إحدى المعادلتين وحلها لإيجاد المتغير الثاني، واكتب الحل كزوج مرتب. مثال ۱ الحذف باستعمال الجمع استعمل الحذف لحل النظام ٤ س + ٦ ص = ٣٢ ٣ س - ٦ص = ٣ الخطوة ٢ : اجمع ا الخطوة ١ كلا معاملي ٦ص، - للآخر المعادلتين. ٤ س + ٦ ص = ٣٢ حذف المتغير ص. س س ٣٥= ۳۵ V اقسم كلا الطرفين على ٧ . بسط. س الخطوة 3 : عوض عن س بـ ٥ في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة ص. ٤ س + ٦ ص = ٣٢ ٤ (٥) + ٦ص = ٣٢ ٢٠ + ٦ ص = ٣٢ ٢٠ + ٦ ص – ٢٠ = ٣٢ - ٢٠ ٦ص = ١٢ ۱۲ 7 ۲ = المعادلة الأولى عوض عن س بـ ٥ اضرب اطرح ٢٠ من كلا الطرفين سط اقسم كلا الطرفين على ٦ بسط إذن الحل هو (٢،٥). وزارة التعليم الدرس ٥-٣ حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح Ministry o٢٥ 2024-1446

تحقق من فهمك قراءة الرياضيات الحذف إذا أدى جمع أو طرح معادلتين إلى أن يكون ناتج معاملي أحد المتغيرين صفرا، يقال عندئذ إنه تم حذف هذا المتغير. 1 أ) - ٤ س + ٣ص = -٣ ٤ س - ٥ ص = ٥ اب) ٤ ص + ٣س = ٢٢ س - ٤ ص = ١٤ يمكنك استعمال طريقة الحذف لإيجاد عددين محددين يرتبطان معا بعلاقة. مثال ۲ كتابة نظام من معادلتين وحله عددان، سالب ثلاثة أمثال الأول مضافًا إليه خمسة أمثال الثاني يساوي - ١١، وثلاثة أمثال الأول مضافًا إليه سبعة أمثال الثاني يساوي - ١ . فما العددان؟ سالب ثلاثة أمثال العدد الأول زائد خمسة أمثال العدد الثاني يساوي ه ص س ثلاثة أمثال العدد الأول زائد سبعة أمثال العدد الثاني يساوي ۷ص س .11- 11- .1- 1- إرشادات للدراسة معاملات: عندما يتساوى معاملا متغير، يؤدي طرح الخطوتان ١، ٢ اكتب المعادلتين رأسيا، ثم اجمعهما. ۳ س + ٥ ص = - ۱۱ (+) ۳ س + ۷ ص ۱ ۱۲ ص = - ۱۲ حذف المتغير الأول س. ۱۲ ص ۱۲ ۱۲- = ۱۲ اقسم كلا الطرفين على ١٢ ص = -۱ بسط . الخطوة : عوض عن ص بـ - ١ في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة س. س + ۷ص = -۱ المعادلة الثانية س + (۱) = -۱ عوض عن ص بـ - 1 س + (۷) = -۱ بسط. س + + + + + + أضف ٧ إلى كلا الطرفين. س = ٦ بسط . اقسم كلا الطرفين على .. س = ۲ بسط. العددان هما ۲ - ۱ . تحقق س + ٥ ص = -١١ المعادلة الأولى المعادلتين إلى حذفه وعندما يكون أحد المعاملين معكوسا للآخر، يؤدي جمع المعادلتين إلى حذفه أيضًا. 11-(1-)0+ (Y)- عوض عن س بـ ٢، وعن ص ب -۱ -۱۱ = -۱۱ ۷ بسط س + ۷ص = -۱ المعادلة الثانية 1-(1-)V+(Y) عوض عن س بـ ٢، وعن ص بــ -۱ -1 = -۱ ۷ بسط تحقق من فهمك ٢) أوجد العددين اللذين مجموعهما يساوي - ۱۰ ، وسالب ثلاثة أمثال العدد الأول ناقص العدد الثاني يساوي ٢. ٢٦ الفصل 5 : أنظمة المعادلات الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الربط مع الحياة الحذف باستعمال الطرح: يمكنك أحيانًا حذف متغير بطرح معادلة من أخرى. مثال ٣ من اختبار حل النظام: ٥ ر + ٢ ت = ٦ ۹ ر + ۲ ت = ۲۲ الحذف باستعمال الطرح (10.V-) (i (£) (3 (V-E) (→ (v) (→ اقرأ الفقرة : بما أن كلتا المعادلتين تشتمل على ۲ ت، فيمكن حل النظام بالحذف باستعمال الطرح. حل الفقرة : الخطوة 1 : اطرح المعادلتين. در + ۲ ت = ٦ (-) ۹ ر + ۲ ت = ۲۲ ر ر 17-= 2 = اكتب نظام المعادلتين على أن تكون الحدود المتشابهة بعضها تحت بعض حذف المتغيرت بسط الخطوة : عوض عن ربـ ٤ في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة ت. ٥ ر + ۲ ت = ٦ ه (٤) + ٢ ت = ٦ ۲۰ + ۲ ت = ٦ ۲۰ + ۲ ت - ۲۰ = ٦ - ٢٠ ٢ ت = -١٤ ت = - فيكون الحل (٤) (۷)، والإجابة الصحيحة هي جـ. تحقق من فهمك ۳) حل النظام: ۸ ب + جـ = ۱۱ ب + جـ = ۷ (1-61,0) (i (1-1,V0) (→ ر المعادلة الأولى بسط اطرح ٢٠ من كلا الطرفين بسط بسط جـ) (۱,۷۵، ۱) (161,0) (3 اهتم الإسلام بالعمل اليدوي المهني والتقني، فمارسه مثال ٤ من واقع الحياة كتابة نظام من المعادلات وحله الرسول والصحابة وظائف يعمل كل من عبد العزيز وعبدالرحمن في متجر ، فيحصل عبد العزيز على ٥ ريالات في الساعة، والتابعون بوصفه وسيلة وعبدالرحمن على ٧,٥ ريالات في الساعة، وبلغ مجموع ما حصلا عليه خلال يومين ٢٩٩,٥ ريالا، وفي إنتاجية وقيمة مهمة تؤدي إلى اليومين التاليين ضاعف عبدالرحمن عدد ساعات عمله فحصلا على ٤١٢ ريالا، فما عدد الساعات التي تطور البلاد وبناء حياة الإنسان عملها كل منهما في اليومين الأولين؟ والمجتمع. افهم: أنت تعلم مقدار ما يحصل عليه كل منهما في الساعة ومجموع ما حصلا عليه معا. نريد معرفة عدد الساعات التي عملها كل منهما في اليومين الأولين. الدرس ٥-٣ حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح وزارة التعليم Ministry orV 2024-1446

إرشادات للدراسة طريقة أخرى: يمكنك ضرب إحدى المعادلتين في (١)، ثم جمع المعادلتين بدلًا من طرحهما. خطط افترض أن جـ = عدد ساعات عمل عبدالعزيز ، د = عدد ساعات عمل عبدالرحمن. أجرة عبد العزيز زائد + → 1,0 ٢٩٩,٥ أجرة عبد العزيز زائد ٨,٥ جــ أجرة عبد الرحمن ٧,٥د أجرة عبد الرحمن ٧,٥(۲) د تساوي ٢٩٩,٥ ريالا تساوي ٤١٢ ريالًا + ٤١٢ حل اطرح المعادلتين للتخلص من أحد المتغيرين، ثم حل المعادلة الناتجة في المتغير الآخر. ٢٩٩,٥ = ٨,٥ج + ٧,٥د ج + (۲) = ٤١٢ اكتب المعادلتين رأسيا ۲۸ تأكد ٨,٥ج ٧,٥٠ = ٢٩٩,٥ + + 1,0 (-) ۱۵د ٤١٢ = , ۷د = - ۱۱٢,٥ -٧,٥د ٧,٥- ١١٢,٥ ٧,٥- د = ١٥ بسط. اطرح لحذف المتغير جـ . اقسم كلا الطرفين على ٧,٥ بسط. والآن عوض عن د بـ ١٥ في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة جـ . , ج + ٧,٥٠د ۲۹۹,۵ Y99,0 (10) V, 0 + ^, o المعادلة الأولى عوض عن د بـ ١٥ , ج + ۱۱۲ = ٢٩٩,٥ ٨,٥ جـ = ۱۸۷ جـ = ۲۲ سط اطرح ١١٢٥ من كلا الطرفين اقسم كلا الطرفين على ٨,٥ تحقق عوض كلا المتغيرين في المعادلة الأخرى للتأكد من صحة الحل. إذا كان جـ = ۲۲ ، د = ١٥ ، فإن (۲۲)+ ١٥(۱٥) ٤١٢ وعليه ففي اليومين الأولين عمل عبد العزيز ۲۲ ساعة، وعبدالرحمن ١٥ ساعة . تحقق من فهمك حفلات أقام مسفر ومحمود حفلا بمناسبة نجاحهما، فإذا كان عدد الأصدقاء الذين دعاهم مسفر يقل بـ ٥ عن الذين دعاهم محمود ، وكان مجموع ا الأصدقاء المدعوين ٤٧ ، فكم شخصا دعا كل منهما ؟ المثالان ۱ ، ۳ حل كلًا من أنظمة المعادلات الآتية مستعملًا طريقة الحذف: ۱) ٥ م - ب = ۷ ۷ م – ب = ۱۱ ۲ ۸س + ٥ ص = ۳۸ ف + ٣ جـ = -٦ - ٨س + ٢ ص = ٤ ف - ۲ جـ = - ۳۱ مثال ۲ ) ما العددان اللذان مجموعهما ٢٤ ، وخمسة أمثال الأول ناقص الثاني يساوي ١٢؟ مثال ٤ (٥) طلاب يزيد عدد طلاب المرحلة الابتدائية في مدينة ما على عدد طلاب المرحلة المتوسطة بـ ١٨ ألف طالب. فإذا علمت أن عدد الطلاب في المرحلتين ٤٤ ألف طالب، فما عدد الطلاب في كل مرحلة ؟ الفصل ٥ : أنظمة المعادلات الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدرب وحل المسائل المثالان ۱، ۳ حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملا طريقة الحذف: (1) -ف + و = ۷ ٧ ص + ز = ٤ ص - ز = ۸ - ٤ س + ٥ ص = ١٧ ٤ س + ٦ ص = - ٦ ف + و = ۱ ٩ أ + ٤ ب = -٤ ۱۰) ۹ س + ٦ ص = ٧٨ ۱۱) ٦س - ٢ ص = ١ أ + ١٠ ب = -١٦ ٣س - ٦ ص = - ٣٠ ۱۰ س - ۲ ص = ٥ مثال ۲ ۱۲ ما العددان اللذان مجموعهما ۲۲ والفرق بينهما ١٢؟ ۱۳) ما العددان اللذان مجموعهما ۱۱ ، وثلاثة أمثال أحدهما ناقص الآخر يساوي -٣؟ مثال ٤ ١٤ شحن سيارات يمثل الجدول أدناه تكاليف شحن عدد من السيارات الصغيرة والكبيرة من مدينة إلى مدينة أخرى. أوجد أجرة شحن كل من السيارة الصغيرة والكبيرة. عدد السيارات الصغيرة عدد السيارات الكبيرة الأجرة الكلية (ريال) ٣٨٠٠ ٢٦٠٠ حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية مستعملا طريقة الحذف: (17 15) ٤س + ۲ ص) = ٨ ۱۹) پس + ص - ۲ ٤ س + ٤ ص = ١٢ لس - ص = 1 ١٧ ٤ س + ٣ ص = ٦ ۳ س + ۳ ص = ۷ ۱۸) فن العمارة: يبلغ مجموع ارتفاعي برجي المملكة والفيصلية معا ٥٦٧ مترا، ويزيد ارتفاع برج المملكة على برج الفيصلية بـ ٣٣ مترا. أ) ما ارتفاع برج المملكة؟ الربط مع الحياة کیوں افتتح مهرجان جازان الشتوي الأول الذي تنظمه لجنة التنشيط ب) ما ارتفاع برج الفيصلية؟ (۱۹) سباق الدرجات: شارك ۸۰ متسابقا في سباق الدراجات الهوائية ضمن ملتقى روائع جازان الرابع من الكبار والصغار. وكان عدد المشاركين من فئة الصغار أكثر من عدد المشاركين من فئة الكبار بـ ١٠ . فئتي السياحي بالمنطقة في عام ١٤٢٧ أ) افترض أن س يمثل عدد المشاركين في فئة الصغار، ص يمثل عدد المشاركين في فئة الكبار. هـ ، ويشتمل على ألعاب ترفيهية وعروض ومسابقات فنية ورياضية. ثم اكتب نظاما من معادلتين يمثل هذا الموقف. ب) استعمل الحذف لحل هذا النظام. جـ) فسر الحل في سياق هذا الموقف. د مثل هذا النظام بيانيا للتأكد من صحة الحل. وزارة التعليم الدرس ٥-٣ حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح Ministry o4 2024-1446

٢٠) تمثيلات متعددة: لديك ۹ قطع نقد، ۹ مشابك ورق، استعمل ۹ منها على الأكثر لإنشاء عدد معين من النقاط، وافترض أن كل مشبك قيمته نقطة واحدة وكل قطعة نقد قيمتها ۳ نقاط، وأن من تمثل قطعة نقد، م تمثل مشبك ورق. فمثلا: ۲ ن + ۳ م = + = 4 نقاط أ) حسيا : كيف يمكنك أن تحصل على ۱٥ نقطة مستعملا كلا النوعين؟ قارن النمط الذي حصلت عليه بما حصل عليه زملاؤك. ب) تحليليا، مستعملا ۹ قطع اكتب نظامًا من معادلتين وحله لإيجاد عدد مشابك الورق وقطع النقد اللازمة للحصول على ١٥ نقطة. جـ) جدوليًا: أنشئ جدولا يبين عدد مشابك الورق المستعملة والعدد الكلي للنقاط إذا كان عدد قطع النقد ١،٠، ٢، ٣، ٤، ٥ . د) لفظيًّا : هل تتطابق النتيجة في الجدول مع نتيجة الإجابة عن الفرع ب)؟ فسّر إجابتك. مسائل مهارات التفكير العليا ۲۱) مسألة مفتوحة : أنشئ نظامًا من معادلتين يمكن حله بحذف أحد متغيريه باستعمال الجمع، ثم اكتب قاعدة عامة لإنشاء مثل هذه الأنظمة. (۲۲) تبرير: إذا كانت النقطة (-٣ ، (۲) تمثل حل نظام معادلتين، وكانت إحدى معادلتيه هي س + ٤ ص = ٥ ، فأوجد المعادلة الثانية لهذا النظام، وفسر كيف توصلت إليها . ۲۳) تحد: إذا كان ناتج ضرب عدد في ٧ يساوي ،۱۸۲ ، ومجموع رقميه يساوي ،۸ ، فحدد المتغيرات، واكتب نظامًا من معادلتين يمكنك استعماله لإيجاد هذا العدد، ثم حل النظام وأوجد العدد. ٢٤) اكتب بين متى يكون من المفيد استعمال الحذف لحل نظام من معادلتين. تدريب على اختبار ٢٥) إذا استمر النمط الآتي، فما العدد الثامن؟ ۸۱ ۲۷ .... ،۳ ،۲ ٢٦ ما حل نظام المعادلتين الآتيتين؟ س + ٤ ص = ١ ۲ س - ۳ص = - ۹ ۲۱۸۷ ٦٤ (i ٢٢٤٥ ج) (+)) (i ۲۲۸۱ ٦٤ ٢٤٤٥ جـ) ليس له حل ب) ( -۳ ، ۱) د) يوجد عدد لانهائي من الحلول الفصل ٥ : أنظمة المعادلات الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مراجعة تراكمية حل كلًا من أنظمة المعادلات الآتية مستعملا التعويض وبين ما إذا كان للنظام حل واحد، أ عدد لا نهائي من الحلول، أم ليس له حل : ( الدرس ٥-٢) ٢٧ ص = ٦ س ٢ س + ٣ص = ٤٠ ۲۸) س = ۳ص ٢ س + ٣ ص = ٤٥ (۲۹) س = ٥ ص + ٦ س = ٥ ص – ۲ ٣٠) توفير يرغب كل من وائل ورياض في شراء دراجة، وقد وفّر وائل حتى الآن ٣٥ ريالا ويخطط لتوفير ١٠ ريالات كل أسبوع. أما رياض فلديه الآن ٢٦ ريالًا ويخطط لتوفير ١٣ ريالا في الأسبوع (الدرس ٥-١) (i بعد كم أسبوع يصبح مجموع ما وفره كل منهما متساويًا؟ ب) ما مقدار ما يوفره كل منهما حتى ذلك الوقت؟ ۳۱) هندسة بين ما إذا كان الشكل أب جـد متوازي أضلاع أم لا؟ وفسّر إجابتك. (مهارة سابقة) ص حل كل معادلة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحلّ: (مهارة سابقة) ٣٢) ٦ جـ = - ٤٨ استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : بسط كلا من العبارات الآتية: ٣٤ ٦ل - ٣ + ٧ب + ١ (٣٦) ۲۱۰) + ) + ر ٨ = (۳۳ ص -- س ٢٠ ٣٥ ٧ س٢ - ٩ س + ٤س ۲ ٣٧ ٥ ص - ٧ ص ٥ وزارة التعليم الدرس ٥-٣ حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح Ministry o 2024-1446

الفصل اختبار منتصف الفصل الدروس ٥-١ إلى ٥ - ٣ مستعملا التمثيل البياني أدناه، حدد خصائص كل نظام فيما يأتي من ۱۳) حديقة الحيوان الجدول الآتي يبين، تكلفة دخول عائلتين حيث كونه متسقا أم غير متسق ومستقلًا أم غير مستقل: (الدرس ٥-١) لحديقة الحيوان في إحدى المدن (الدرسان ٥-٢ ، ٥-٣) ص ۳ ص ٢ س - ص - -۲ س - ۳ ص ۲۰ س ۳۰ ۱) ص = ۲ س - ۱ ص = - ۲ س + ۳ ۲) ص = - ۲ س + ۳ ص = - ۲ س -۳ العائلة j المجموعة كبار وطفلان كبار و ٣ أطفال التكلفة الإجمالية ١٨٤ ريالا ۲۰۰ ریال أ) عرّف المتغيرات التي تمثل ثمن التذكرة للكبار وثمن التذكرة للأطفال. ب) اكتب نظاما من معادلتين لإيجاد ثمن كل من تذكرتي الكبار والأطفال. جـ) حل النظام، ووضح ماذا يعني الحل. د) ما تكلفة دخول مجموعة مكونة من ٣ كبار وه أطفال الحديقة الحيوان؟ مثل كل نظام فيما يأتي بيانيا، وأوجد عدد حلوله. وإن كان واحدًا :فاكتبه الدرس (١٥) ۳) ص = ۲ س - ۳ ص = س + ٤ ٤) س + ص = ٦ س - ص = 4 ١٤) اختيار من متعدد تريد أسماء شراء ۱۲ قطعة من الشوكولاتة والمصاص؛ إذا كان أسماء ١٦ ريالا، وكان ثمن قطعة مع الشوكولاتة ريالين، وثمن قطعة المصاص ريالا، فكم قطعة من كل نوع ستشتري ؟ (الدرسان ٥-٢ ، ٥-٣) أ) ٦ قطع شوكولاتة، ٦ قطع مصاص. ٥) س + ص = ۸ س + ٣ ص = ٢٤ (٦) س - ٤ ص = -٦ ص = -۱ ب) ٤ قطع شوكولاتة، ۸ قطع مصاص. جـ) ۷ قطع شوكولاتة، ٥ قطع مصاص. س + ۲ ص = ۱۲ ٨ ٢ س + ص = -٤ س + ٢ ص = ٦ ٥ س + ٣ ص = -٦ حُلَّ كلًّا من الأنظمة الآتية مستعملا التعويض: (الدرس ٥-٢) ٩) ص = س + ٤ ٢ س + ص = ١٦ ١١) س + ص = ٦ س - ص = ۸ 10) ص = - ۲ س - ۳ س + ص = ۹ ١٢) ص = - ٤ س ٦ س - ص = ٣٠ د) ٣ قطع شوكولاتة، ٩ قطع مصاص. حل كلًا من أنظمة المعادلات الآتية مستعملا طريقة الحذف: (الدرس ٥-٣) ١٥) س + ص = ۹ س - ص = -۳ (١٦) س + ٣ ص = ١١ س + ۷ ص = ۱۹ (۱۷) ۹ س - ٤ ص = - ٦ س + ٤ ص = ١٠ ۱۸) - ۵ س + ۲ ص = - ۱۱ ۳۲ الفصل 5 : أنظمة المعادلات الخطية ۵ س - ۷ ص = ۱ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446