القيم القصوى ومتوسط معدل التغير - رياضيات1-3 - ثالث ثانوي

القيم القصوى ومتوسط معدل التغير رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa Extrema and Average Rates of Change 1-4 فيما سبق: درستُ كيفية إيجاد قيم الدوال (الدرس 1-1) والآن : لماذا ؟ يبين التمثيل البياني المجاور معدل كميات الأسماك التي اصطادها أحد الصيادين في المملكة خلال أشهر عام 1431هـ . يتضح من التمثيل أن المعدل أخذ في التزايد من شهر محرم وحتى جمادى - أستعمل التمثيل البياني الأولى، ثم تناقص حتى شعبان، وبقي ثابتاً تقريبًا حتى شوال، ثم تزايد مرة أخرى حتى ذي القعدة ، وأخيرًا تناقص قليلًا بين شهري ذي القعدة وذي لدالة؛ لأحدد الفترات التي تكون فيها الدالة: متزايدة ثابتة، متناقصة. وأحدد القيم العظمى والصغرى لها. الحجة. كما يتضح أن أعلى معدل للصيد بلغ 3.15 أطنان، وذلك في شهر جمادى الأولى، ويلاحظ من ميلي الخطين المنقطين بالأحمر والأزرق أن معدل أجد متوسط معدل التغير التغيّر في النصف الأول من عام 1431 هـ أكثر منه في النصف الثاني. للدالة. المفردات: المتزايدة increasing المتناقصة decreasing الثابتة constant النقطة الحرجة critical point العظمى maximum الصغرى minimum القصوى extrema - التزايد والتناقص خاصية من خصائص الدوال التي تساعد على دراسة الدالة، حيث تحدّد الفترات التي تتزايد أو تتناقص الدالة فيها أو تبقى ثابتة. ففي الشكل المجاور ، إذا تتبعت منحنى الدالة (f(x ، من اليسار إلى اليمين فإنك تلاحظ أن: (f(x متزايدة في الفترة (5) ثابتة في الفترة (5) متناقصة في الفترة (0) معدل كميات الأسماك 3.20 3.10 3.00 2.90 2.80 2.70 2.60 32.50 2.40 2.30 2.20 2.10 0 2 4 6 8 10 12 x (الشهر) متناقصة y ثابتة y = f(x) -5 متزايدة يمكن التعبير عن خصائص الدالة من حيث كونها متزايدة أو متناقصة أو ثابتة جبريًا على النحو الذي يلخصه المفهوم مفهوم أساسي الدوال المتزايدة المتناقصة ، الثابتة التعبير اللفظي: تكون الدالة f متزايدة على فترة ما إذا وفقط إذا النموذج : زادت قيم ( f ( x كلما زادت قيم x في الفترة. الرموز : متوسط معدل التغير لكل 1 و X2 في الفترة، فإن (f(x) < f(x عندما تكون X1 < X2 . x X1 X2 f(x2) f(x₁) كمية الأسماك (بالطن) الآتـ ... ... f(x₁) f(x₂). y X X1 X2 f(x2) = f(x₁) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 y X1 X2 التعبير اللفظي : تكون الدالة f متناقصة على فترة ما إذا وفقط إذا النموذج : تناقصت قيم (f(x) كلما زادت قيم x في الفترة . الرموز لكل 1 و X2 في الفترة، فإن (f(x) > f(x2 X النموذج : عندما تكون X1 < X2 . التعبير اللفظي: تكون الدالة / ثابتة على فترة ما إذا وفقط إذا لم تتغير قيم (f(x لأي قيم x في الفترة الرموز لكل 1 X و X2 في الفترة، فإن (f(x) = f(x2 . عندما تكون X2 > 1 . average rate of change القاطع secant line الفصل 1 تحليل الدوال 36

تنبيه فترات لا يمكن وصف دالة بأنها متناقصة أو متزايدة عند نقطة؛ لذلك يستعمل القوسين ( 1 ) عند تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة. مثال 1 تحديد التزايد والتناقص استعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين الآتيتين لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة، أو متناقصة، أو ثابتة مقربةً إلى أقرب 0.5 وحدة، ثم عزّز إجابتك عدديًّا. f(x) = -2x3 (a التحليل بيانيا : يبين التمثيل البياني أن قيم (f(x تتناقص كلما ازدادت قيم x ؛ لذا فإن الدالة متناقصة في الفترة (,). التعزيز عدديًا : كوّن جدولا يتضمن قيمًا للمتغير x في الفترة. X y | f(x)= −2x³| 0 x -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 f(x) 1024 432 128 16 0 -16 -432 -128 -1024 يوضّح الجدول أنه عندما تتزايد قيم x ، تتناقص قيم (f(x ؛ وهذا يعزّز ما توصلنا إليه من التمثيل البياني. 6 y g(x) = x³-3x A X إرشادات للدراسة الدوال المتزايدة المتناقصة ، الثابتة : إذا كانت الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة لكل قيم في مجالها تسمّى دالة x g(x) = x³-3x (b التحليل بيانيا : يبين التمثيل البياني أن 8 متزايدة في الفترة (1-) ، ومتناقصة في الفترة (1) ومتزايدة في الفترة (1) التعزيز عدديًا : متزايدة أو متناقصة أو ثابتة كوّن جدولًا يتضمن قيمًا للمتغير x في كل فترة من الفترات الثلاث السابقة. على الترتيب. فالدالة في المثال 1a متناقصة، بينما الدالة في المثال 16 لا يمكن تصنيفها على أنها متزايدة أو متناقصة؛ لأنها متزايدة على فترة ومتناقصة على أخرى. x -11 -9 -7 -5 -3 -1 g(x) :(−x, −1) -1298 -702 -322 -110 -18 2 x -1 -0.5 0 0.5 g(x) 2 CN 1.375 0 -1.375 1 -2 :(-1, 1) x 1 3 5 7 9 11 g(x) :(1,∞) -2 18 110 322 702 1298 توضح الجداول السابقة أنه عندما تزداد x إلى 1 ، فإن (x) تزداد، وعندما تزداد x من 1 إلى 1، فإن (x) 8 تتناقص، أما عندما تزداد x ابتداءً من 1 ، فإن ( 8 تزداد. وهذا يعزّز ما توصلنا إليه من التمثيل البياني. تحقق من فهمك (1B y h(x) | 3x+11, x < −3 2 x > -3 8 10 x | f(x)= 2x2 - 8x +5 (IA بينما يستعمل التمثيل البياني لإيجاد الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة ويمكن تعزيز ذلك عدديًا، إلا أننا نحتاج إلى حساب التفاضل لإثبات صحة هذه الخصائص. وزارة التعليم الدرس 4-1 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير M37 of 2024-1446

إرشادات للدراسة القيم القصوى : لاحظ أن النقاط التي تغير الدالة عندها سلوك تزايدها أو تناقصها تكوّن قمة أو قاعًا في منحنى الدالة وتُسمّى نقاطا حرجة. ويكون المماس المرسوم للمنحنى عند هذه النقاط إما أفقيًا أو عموديا ) أي أن ميله صفر أو غير معرف)، أو أنه لا يوجد عندها مماس، وقد يدل ليس من الضروري أن توجد ذلك على وجود قيمة عظمى أو صغرى للدالة. قيمة قصوى عند كل نقطة حرجة. إرشادات للدراسة القيم القصوى : الدالة عند النقطة الحرجة يمكن أن يكون للدالة أشكال مختلفة من القيم العظمى والقيم الصغرى القيم القصوى). مفهوم أساسي القيم القصوى المحلية والمطلقة النموذج : التعبير اللفظي : إذا وجدت قيمة للدالة وكانت أكبر من جميع القيم الأخرى | إذا كان ميل المماس لمنحنى في فترة من مجال الدالة سُمِّيَت قيمة عظمى محلية. تكون (f (a قيمة عظمى محلية للدالة f إذا وجدت فترة (12) تحتوي على أن يكون لكل قيم x في غير معرف كما في الشكل أدناه؛ فإنه لا توجد للدالة عند هذه النقطة قيمة عظمى أو صغرى. X إرشادات للدراسة قيمة قصوى محلية : يُستعمل مصطلح قيمة قصوى محلية بدلا من قيمة عظمى محلية أو صغرى محلية. الرموز الفترة ( 2 ) ، (f(a) > f(x . التعبير اللفظي : إذا وجدت قيمة عظمى محلية للدالة، وكانت أكبر قيمة للدالة في مجالها، سُمِّيَت قيمة عظمى مطلقة. الرموز: M |y = f(x) f(b) f(a) WA a X b (f (a قيمة عظمى محلية للدالة f تكون (f (b قيمة عظمى مطلقة للدالة ( إذا كان لكل (f (b قيمة عظمى مطلقة للدالة f قيم x في مجالها، (f(b) f(x . التعبير اللفظي : إذا وجدت قيمة للدالة، وكانت أصغر من جميع القيم النموذج : الأخرى في فترة من مجال الدالة سُمِّيَت قيمة صغرى محلية. الرموز: تكون (f (a قيمة صغرى محلية للدالة fإذا وجدت فترة (12) تحتوي على أن يكون لكل قيم x في الفترة ( 2 ,f (a) = f(x) ، (x1 . y = f(x) x a b f(a)- f(b) التعبير اللفظي : إذا وجدت قيمة صغرى محلية للدالة وكانت أصغر قيمة للدالة في مجالها سُمِّيَت قيمة صغرى مطلقةً. (f (a قيمة صغرى محلية للدالة f (f(b قيمة صغرى مطلقة للدالة f 38 الفصل 1 تحليل الدوال الرموز تكون (f (b قيمة صغرى مطلقة للدالة / إذا كان لكل قيم x في مجالها (f(b) = f(x . مثال 2 تقدير القيم القصوى للدالة وتحديدها y A استعمل التمثيل البياني لتقدير قيم x التي يكون للدالة ( f ( x عندها قيم قصوى مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة، وأوجد قيم الدالة عندها، وبين نوع القيم القصوى، ثم عزّز إجابتك عدديًا. التحليل بيانيا - X f(x) = x3 - x2 - lim_f(x) = = يوضّح التمثيل البياني أن للدالة قيمة عظمى محلية عند 0.5 = x ، ومقدارها صفر تقريبا. كما يوجد للدالة قيمة صغرى محلية عند 1 = x ، ومقدارها 1 . لاحظ كذلك أن . و lim f(x) = o، وعليه لا يوجد قيم قصوى مطلقة للدالة. التعزيز عدديًا: xx == X11X اختر قيمًا للمتغير x على طرفي قيمة x المتوقع أن يكون عندها قيمة قصوى محلية، ثمّ اختر قيمتين إحداهما كبيرة جدا، والأخرى صغيرة جدا. x -100 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 100 f(x) -1.00 -1.0.106 0.13 0 -0.63 -1 -0.38 9.9.105 بما أن (1)f(0.5) > f و (0)f (0.5) > f، فيوجد للدالة قيمة عظمى محلية عند إحدى قيم x القريبة من 0.5 في الفترة (1) . وبما أن 0.13) (0.5) فإن تقدير القيمة العظمى المحلية بالقيمة 0 يعد معقولا. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

― بالطريقة نفسها، بما أن (1.5) (1)f(1) < f (0.5), f ، فتوجد قيمة صغرى محلية عند إحدى قيم x القريبة من العدد 1 الفترة (1.5 0.5) و بما أن 1 = (1) f ، فإن تقدير القيمة الصغرى بالقيمة 1 يعد معقولاً. في وبما أن (1) f(100) > f(-0.5), f (100) < f ، فهذا يعزز تخميننا بأنه لا توجد قيم قصوى مطلقة. تحقق من فهمك (2B y y (x) = x5 - 2x4 - 2x3 + 3x2 | f(x) = - x4 - x3 + 3x2 + 2x 10 x x (2A نحتاج إلى حساب التفاضل لاختبار تزايد الدالة وتناقصها، ونحتاج إليه أيضًا لتحديد القيم القصوى المحلية والمطلقة للدالة والذي ستتم دراستها في الفصل الثامن النهايات والاشتقاق). كما يمكن استعمال الحاسبة البيانية لتحديد مواقع القيم القصوى، وإيجاد قيمها. مثال 3 استعمال الحاسبة البيانية لتقدير القيم القصوى الحاسبة البيانية : استعمل الحاسبة البيانية لتجد القيم القصوى المحلية والمطلقة للدالة 4 - f(x) = - 43 - 8x2 + 9x مقربة إلى أقرب جزء من مئة، وحدد قيم x التي تكون عندها هذه القيم. مثل الدالة بيانيًّا، واختر التدريج المناسب بحسب الحاجة لتتمكن من رؤية خصائص الدالة. 1.1 -40-1 107 2 10 -30 f(x)=-4x³-8x+9-x-4 بالضغط على المفاتيح ، ثم اكتب الدالة on واضغط enter إرشاد تقني ضبط : عند البحث عن القيم العظمى والصغرى تأكد من اختيار التدريج المناسب، لتتمكن من رؤية منحنى الدالة كاملا. 6 يوضّح التمثيل البياني أن للدالة قيمة صغرى محليةٍ واحدة في الفترة (21) ، وقيمة عظمى محلية واحدة في الفترة (01) ، أما سلوك طرفي التمثيل البياني فيدل على عدم وجود قيم قصوى مطلقة للدالة. max اضغط على مفتاح menu) ، ، ثم على 6: تحليل الرسم البياني ، واختر منها 3: القيمة العظمى أو An 2 : القيمة الصغرى ، ثم مرر المؤشر أفقيًا على الشاشة من اليسار إلى اليمين فتظهر نقطة القيمة الصغرى المحلية تقدر بـ 22.81 وتكون عند 1.76 = x ، وتقدر القيمة العظمى المحلية بـ 1.93- وتكون عند 0.43 = x min -40-2 1.1 -18 01 0.5 (-1.76,-22.81) f(x)--4x³-8-x²+9-x-4 -28 g(x) = 2x34x²-x+5 (3B وزارة التعليم الدرس 4-1 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير of 39 2024-1446 -40-3 2.71y 1.1 f1(x)=-4x³-8 x²+9-x-4 0.5 -0.9 0.1 (0.426, -1.93) 7.3. 1.6 تحقق من فهمك h(x)=7-5x-6x² (3A

إن البحث عن الحل الأمثل هو أحد التطبيقات الحياتية على القيم القصوى في الرياضيات، حيث يتم التعبير عن المسائل الحياتية بدوال توضع عليها بعض الشروط الخاصة ثم تُحسب القيمة الأمثل. مثال 4 من واقع الحياة تطبيقات القيم القصوى زراعة : يتم قطف 400 حبة برتقال من كل شجرة في الموسم الواحد عندما يكون عدد أشجار البرتقال في الحقل 75 شجرة. فإذا علمت أنه عند زراعة كل شجرة جديدة ينقص إنتاج كل شجرة في البستان بمقدار حبتين. فكم شجرة إضافية يجب زراعتها للحصول على أكبر إنتاج ممكن؟ اكتب الدالة (f(x لتصف الإنتاج الكلي للبستان، بحيث تمثل x عدد أشجار البرتقال الجديدة التي سيتم زراعتها. الإنتاج الكلي للبستان = عدد الأشجار في البستان ✗ إنتاج الشجرة الواحدة من البرتقال 15 50000 2000 41 الربط مع الحياة تشير بعض الدراسات الحديثة إلى أن شرب عصير البرتقال يساعد في الوقاية من أمراض القلب. f(x) = (400 -2x) X (75+ x) A المطلوب هو إيجاد أكبر إنتاج ممكن للبستان أو القيمة العظمى للدالة (f(x. لذا مثل الدالة بيانيًا باستعمال الحاسبة البيانية، ثم اضغط على مفتاح (men) ، ثم 6: تحليل الرسم البياني ، واختر منها 3: القيمة العظمى ، ثم مرر المؤشر أفقيًا على الشاشة من اليسار إلى اليمين فتظهر نقطة القيمة العظمى، تقدر بـ 37812.5 وتكون عند 62.5 ~ x . لذا يكون إنتاج البستان أكبر ما يمكن عند زراعة 62 أو 63 شجرة جديدة، ويكون مقدار الإنتاج 37812 حبة برتقال تقريبًا. 1.1 f1(x)=(400-2x) (75+x) (62.5, 3.78E+4) -100 110 220 -10000 تحقق من فهمك (4) صناعة : يرغب صاحب مصنع زجاج في إنتاج كأس أسطوانية الشكل مفتوحة من أعلى مساحتها الكلية 2 in 10 . أوجد طول نصف قطر الكأس وارتفاعه اللذين يجعلان حجمها أكبر ما يمكن. متوسط معدل التغير تعلمت في دراستك السابقة أن الميل بين أي نقطتين واقعتين على دالة خطية يمثل مقدارًا ثابتًا. إلا أنه يتغير عند التعامل مع دوال غير خطية، إذ يختلف الميل باختلاف النقاط ؛ لذا فإننا نتحدث عن متوسط معدل تغير الدالة بين أي نقطتين. مفهوم أساسي متوسط معدل التغير التعبير اللفظي : متوسط معدل التغير بين أي نقطتين على منحنى الدالة أ هو ميل المستقيم هندسيا : الرموز المار بهاتين النقطتين. يُسمّى المستقيم المار بنقطتين على منحنى الدالة قاطعًا، ويرمز لميل القاطع بالرمز msec . متوسط معدل تغير الدالة (f(x في الفترة [x, x2] هو (x₂, f(x2)) | y = f(x) | Ay (x, f(x)) قاطع x 1 X2 ... وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 m sec f(x2) − f(x₁) x2-x1 الفصل 1 تحليل الدوال 40

مثال 5 إيجاد متوسط معدل التغير أوجد متوسط معدل التغير للدالة f(x) = x3 + 3x الممثلة في الشكل (1.4.1) في كلّ من الفترتين الآتيتين: [-2, -1] (a | f(x) = x3 + 3x 21 استعمل قاعدة حساب متوسط معدل التغير للدالة في الفترة [1 2] . عوض 1 مكان x2 ، 2 مكان 1 عوض (1) f(2) ،f بسط f(x2)-f(x1) X2 - X1 = fƒ(−1) − f(−2) -1-(-2) [−(−1)³ + 3(−1)] − [−(−2)³ + 3(-2)] -1 - (-2) = -2-2 -1-(-2) = −4 أي أن متوسط معدل التغير للدالة f في الفترة [21] هو 4- عوض 1 مكان x2 ، 0 مكان X1 عوض (1) f(0) ،f وبسط f(x2) - f(x(1) [0,1] (b f(1) - f(0) = x 2 - X1 1-0 2-0 = - 0 = 2 أي أن متوسط معدل التغير للدالة في الفترة [0] هو 2 تحقق من فهمك f(x) = x²-6x² + 4x, [-5, -3] (5B x4 f(x) = x3 - 2x2 - 3x + 2, [2,3] (5 -10 1 2x الشكل 1.4.1 الربط مع الحياة إن الأجسام الساقطة تصل أخيرًا إلى سرعة ثابتة تُسمّى السرعة الحدية. ويصل المظلي إلى السرعة الحدية (150mi/h - 120 عندما تكون مظلته مغلقة. يُستعمل متوسط معدل التغير في تطبيقات حياتية كثيرة، ومنها السرعة المتوسطة الجسم يقطع مسافة d في زمن مقداره t. r مثال 6 من واقع الحياة إيجاد السرعة المتوسطة فيزياء : إذا كانت المسافة التي يقطعها جسم ساقط من مكان مرتفع تعطى بالدالة 162 = (d(t، حيث t الزمن بالثواني بعد سقوط الجسم، (d (t المسافة المقطوعة بالأقدام. إذا أهملت مقاومة الهواء، فأوجد السرعة المتوسطة في كل من الفترتين الآتيتين. (a a من 0 إلى 2 ثانية 32 d(2) – d(0) 2-0 0 64 - = 2 d(t2) - d(t₁) t2 - t1 = = عوض 2 مكان t2 ، 0 مكان t1 عض (2) ، (0) ، وبسط متوسط تغير الدالة في الفترة المعطاة يساوي 32ft/s . وهذا يعني أن سرعة الجسم المتوسطة في أول ثانيتين تنبيه السرعة المتوسطة : يوجد فرق بين مفهومي السرعة المتوسطة والسرعة المتوسطة المتجهة؛ فالسرعة من السقوط هو 32ft/s. من 2 إلى 4 ثوان d(t₂) - d(t₁) t2- t1 d(4) - d(2) = == 4-2 256 - 64 2 = 96 ft/sec عوض 4 مكان t2 ، 2 مكان t1 عوض (4) ، (2) ، وبسط المتوسطة تعني المقدار فقط (كمية قياسية)، بينما السرعة متوسط معدل تغير الدالة في الفترة المعطاة يساوي 96ft/s ، وهذا يعني الثانيتين التاليتين هو 96ft/s . 6 أن سرعة الجسم المتوسطة في المتوسطة المتجهة تعني المقدار والاتجاه (كمية متجهة). تحقق من فهمك 6 فيزياء : قُذِفَ جسم إلى أعلى من ارتفاع ft 4 عن سطح الأرض، فإذا كان ارتفاعه عن سطح الأرض يُعطى بالدالة 4 + 20 + 2 16t = ) ، حيث الزمن بالثواني بعد قذفه و (d(t) المسافة التي يقطعها، إذا أهملت مقاومة الهواء، فأوجد السرعة المتوسطة للجسم في الفترة من 0.5 إلى 1 ثانية. وزارة التعليم الدرس 4-1 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير yor Mi41y 2024-1446

y (11 Ay (10 16 ||f(x)= == - x5 + 4x4 - 4x3 80 A Ο -8- O 2 4 6x | f(x)= - 0.5x 4 + 2.5x3 + x2 - 6.5x تدرب وحل المسائل استعمل التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة، أو متناقصة، أو ثابتة مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة. ثم عزّز إجابتك عدديًّا (مثال (1) X | f(x) = x 4 - 3x 3 - x + 1 (2 الحاسبة البيانية: أوجد القيم القصوى المحلية والمطلقة مقربة إلى أقرب جزء من مئة لكل دالة فيما يأتي، وحدد قيم x التي تكون عندها هذه القيم: (مثال (3) -4-20 2 4x -2 -4- -6 g(x) = -2x3+7x-5 (12 -9- f(x) = x4 - 2x2 + 5x (13 f(x) = x5 + 3x2 + x - 1 (14 CC -4- له O 2 4X -2 + | f(x) = x3 - x2 - 2x + 3 (1 (4 y (3 X 2 |f(x)= X g(x) = x² - 4x4 +x (15 x6 -4 4 8 x -8 f(x) = = 0.008x5 -0.05x4 -0.2x3 + 1.2x² -0.7x (16 -40 -4 4 8x f(x) = 0.025x5 – 0.1x4 + 0.57x3 + 1.2x2 - 3.5x - 2 (17 |f(x) : √√x x > 0 = x < 0 -8; (5 كرة سلة يعطى ارتفاع كرة سلة (f (t عن سطح الأرض في الرمية الحرة بالدالة 5 + f(t) = 64.4t2 + 48.3t، حيث t الزمن بالثواني، و (f (t الارتفاع بالأقدام (مثال (2) مثل الدالة بيانيا. b) أوجد قيمة تقريبية لأعلى ارتفاع تصل إليه الكرة. ثم عزز إجابتك عدديًا. قدر قيم x التي يكون لكلّ من الدوال الآتية عندها قيم قصوى مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة، وأوجد قيم الدالة عندها، وبيّن نوع القيم القصوى، ثم عزز إجابتك عدديًا. مثال (2) 18) هندسة : أوجد كلًا من . طول نصف قطر الأسطوانة وارتفاعها في الشكل المجاور؛ ليكون حجمها أكبر ما يمكن قرب إلى أقرب جزء من عشرة) . (مثال (4) h المساحة الجانبية + مساحة القاعدة تساوي 20.5 بوصة مربعة أوجد متوسط معدل التغير لكل دالة فيما يأتي في الفترة المعطاة ( مثال (5) (7 g(x) = 3x² - 8x +2, [4,8] (19 f(x) = 3x4 - 2x2 + 6x - 1, [5, 9] (20 f(x) = - 2x4 - 5x3 + 4x - 6, [15] (21 h(x) = -x55x²+6x-9, [3,6] (22 f(x) = x=³, [5,12] (23 - 3 X f(x) = √√x + 8, [-4,4] (24 ty | f(x) = - x4 + 4x2 - 1 4 -8-4 10 4 8x -4 -8- y -8 | f(x) = x 5 - 3x 4 + 2x2 (6 -4-2 2 4X -4- 8. y (9 (8 1600 80 800- -40 10 -800- R 4x -4 -20 -40- 2 4X (a | f(x) = x 6 - 20x 4 + 3x3 | f(x) = - x 5 + 10x 3 | 25) طقس: إذا كان متوسط درجات الحرارة السيليزية لكل شهر في المدينة المنورة في سنة ما معطى بالدالة: 21.45+ f(x) = -0.5455x2 + 7.09x ، حيث x تمثل رقم الشهر، فمثلا 1 = x تمثل شهر محرم، فأوجد متوسط معدل التغير في كل من الفترتين الآتيتين وبرر إجابتك. (مثال (6) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 من ربيع الثاني إلى جمادي الأول . ( من رجب إلى شوال . الفصل 1 تحليل الدوال 42

(26) استعمل التمثيل البياني أدناه للإجابة عما يأتي: مثل بيانيا الدالة (f(x في كل حالة مما يأتي: سرعة جسم 30) (f(x متصلة ومتزايدة. 5 10 15 20 25 30 35 40 45 الزمن (ث) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 أوجد متوسط معدل التغير في كل من الفترات .[5, 15], [15, 20], [25, 45] السرعة (م/ث) قارن بين سرعات الجسم في هذه الفترات الزمنية. 31) (f(x متصلة ومتناقصة. 32) ( f ( x متصلة ومتزايدة 0 < (f(x لجميع قيم x . 33) ( f ( x متصلة ومتناقصة ، 0 < (f(x لجميع قيم x . 34) (f(x متصلة، ومتزايدة لجميع قيم 2 x ، و متناقصة لجميع قيم .x > −2 35) (f(x متصلة، ومتناقصة لجميع قيم 0 > x ، و متزايدة لجميع قيم .x > 0 الحاسبة البيانية : حدّد إحداثيي النقطة التي يكون عندها لكل دالة مما (27) تكنولوجيا تبين لفريق بحث في إحدى شركات الحاسوب أن يأتي قيمة قصوى مطلقة إن وجدت، وبين نوعها: الربح الذي تكسبه الشركة من بيع منتج جديد من الشرائح الإلكترونية يعطى بالدالة x) = x3 + 5x2 + 8x) ، حيث x ثمن بيع الشريحة الواحدة بمئات الريالات، 6 = x > 0. a) مثل الدالة بيانيا. أوجد أفضل سعر للشريحة الواحدة والذي يعطي أكبر ربح. أوجد ربح الشريحة الواحدة عند بيعها بالسعر الأفضل. 28 دخل افترض أن الدخل السنوي بالريال) لشخص منذ عام 1430هـ وحتى عام 1440 هـ يعطى بالدالة: f(x) = 2(x-3)² +5 (36 f(x) = -0.5(x+5)² - 1 (37 f(x) = −4|x − 22| +65 (38 - f(x) = (36 - x20.5 (39) f(x) = x3 + x (40 I(x) = -1.465x5 + 35.51x4 - 277.99x³ + 741.06x2 + 847.8x + 25362, 0 ≤ x < 10 حيث x رقم السنة. (a) مثل الدالة بيانيًا. أوجد متوسط معدل تغير الدخل من عام 1433 إلى عام 1440هـ . وماذا تعني قيمة متوسط معدل التغير في هذه الفترة؟ حدّد السنوات الأربع التي يكون فيها متوسط معدل التغير أكبر ما يمكن، والسنوات الأربع التي يكون فيها أقل ما يمكن. 29 صندوق يرغب سالم في عمل صندوق مغلق من الكرتون حجمه 3024 قدما مكعبة. إذا كانت قاعدة الصندوق مربعة الشكل، فأوجد أبعاده التي تجعل مساحة سطحه أقل ما يمكن. وضّح إجابتك. 41) سفر: قام عبد الله بتسجيل المسافة الكلية التي قطعها في إحدى الرحلات ومثلها بيانيا . أعط أسبابًا توضح اختلاف متوسط معدل التغير، ولماذا يكون ثابتا في فترتين؟ المسافة الكلية المقطوعة 600 2400 200 المسافة بالأميال h l 0 2 4 68 10 الزمن بالساعات وزارة التعليم الدرس 4-1 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير of 43 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا مسألة مفتوحة : مثل بيانيًّا الدالة (f(x في كل من السؤالين الآتيين. (42) متصلة متزايدة على (04) ثابتة على [48] متناقصة على (8) f(5) = 3 (43 لها نقطة عدم اتصال لانهائي عند 2 = x أوجد مجال كل دالة مما يأتي: (الدرس 1-1) f(x) : = x2 3x (55 - 5 g(x) = √x² - 9 (56 x + 2 h(x): = / x2 - 7 (57 صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة مما يأتي: (الدرس (3-1) متزايدة على (002) - متزايدة على (2) f(-6) = −6 (44) تبرير f دالة متصلة لها قيمة صغرى محلية عند x = C ومتزايدة عندما x > c . صف سلوك الدالة عندما تزداد x لتقترب من c . وضح إجابتك. •g(b) (45) تحدّ : إذا كانت g دالة متصلة، وكان 8 = (a) و 4 - = (b) ، فأعط وصفًا لقيمة (c) حيث a c b. وبرر إجابتك . f(x) = x 10 - x 9 + 5x8 (58 g(x) = x2 + 5 7 -2x2 (59 h(x) = | (x − 3)² – 1| (60 - تدريب على اختبار (46) تحد: استعمل الحاسبة البيانية لتمثيل الدالة f(x) = sin x بيانيا 61 في الشكل أدناه، إذا كان q n ، فأوجد ميل القطعة المستقيمة CD. ثم صف القيم القصوى المحلية للدالة. (47) تبرير أوجد ميل القاطع المار بالنقطتين ((b, f(b)) ,((a) إذا كانت (f(x ثابتة في الفترة (a). وضح إجابتك. 48 اكتب صف متوسط معدل تغير الدالة إذا كانت متزايدة أو متناقصة أو ثابتة في فترة معينة. (9,9²) (n, n²) مراجعة تراكمية حدد ما إذا كانت كل دالة مما يأتي متصلة عند قيمة أو قيم x المعطاة معتمدًا على اختبار الاتصال. وإذا كانت الدالة غير متصلة، فبين نوع عدم الاتصال: لانهائي، قفزي، قابل للإزالة (الدرس (3-1) q+n A x 92 + q n2. n C 1 D q+n 9 - n B f(x) = x2 - 2, x = -3 (49) f(x) = Vx + 1, x = 3 (50 x2 - 25 x + 5 ; x = - 5,x = 5 (51 -5,x=5 h(x) = مثل كل دالة مما يأتي بيانيًا مستعملا الحاسبة البيانية، ثم حدد ما إذا كانت الدالة زوجية أم فردية أم غير ذلك. وتحقق من إجابتك جبريا، و إذا كانت الدالة زوجية أو فردية فصف تماثل منحنى الدالة (الدرس (2-1) f(x) = |x5| (52 f(x) = g(x) x+8 (53 4 x- x2 = (54 x + 3 (62 يوجد للدالة 6 - y = x3 + 2x2 - 4x قيمة عظمى محلية ، وقيمة صغرى محلية. أوجد قيم x التي تكون عندها هذه القيم. عظمى محلية عند 0.7 ~ x صغری محلية عند 2 ~ x B عظمى محلية عند 0.7 ~ x صغرى محلية عند -2- ~ x عظمى محلية عند 2 ~ x صغری محلية عند 0.7 ~ x عظمی محلية عند 2 ~ x صغری محلية عند 0.7 ~ x 44 الفصل 1 تحليل الدوال وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

اختبار منتصف الفصل الدروس من 1-1 إلى 4-1 الفصل 1 كل علاقة مما يأتي، حدد ما إذا كانت لا تمثل دالة في x : (الدرس 1-1) حدد ما إذا كانت كل من الدالتين الآتيتين متصلة عند 5 = x . وبرّر إجابتك 3x + 7y = 21 (1 باستعمال اختبار الاتصال. (الدرس 3-1) -2 f(x) = Vx2 - 36 (13) X (2 Y -1 f(x) = x2 -1 (14 x +5 1 3 صف سلوك طرفي كل من التمثيلين البيانيين الآتيين. ثم عزّز إجابتك عدديًّا (الدرس (3-1) 3 7 LO 5 11 (16 | f(x) = + 5 6 y (15 7 15 x y (4 (3 8 4 + -4- 2 4 X y=-10x3+11x2-0.25x-7 -8 -4 O 4 -8 الله 4 8x -8 -4 O 4 8x -4- 8 (5) إذا كانت 12 x , x<2 x> 2 17) اختيار من متعدد ما نوع نقطة عدم الاتصال للدالة الممثلة في } = (f(x ، فأوجد (2). (الدرس 1-1) الشكل أدناه عند 1.5 = x (الدرس (3-1) (6 كرة قدم يعطى ارتفاع كرة قدم عن سطح الأرض عند ضربها من قبل حارس مرمى بالدالة 5 +50+ 82 = (t)، حيث ارتفاع الكرة بالأقدام و ٤ الزمن بالثواني (الدرس 1-1) أوجد ارتفاع الكرة بعد 3 ثوان. ما مجال هذه الدالة؟ برّر إجابتك. استعمل التمثيل البياني للدالة / أدناه لإيجاد مجالها ومداها في كلّ مما يأتي: (الدرس (2-1) (7 y h(x) (8 h(x) x A غير معرف لانهائي y O x+1.5 x22.25 x-1.5' 1.5, x = 1.5 C قفزي f(x) D قابل للإزالة استعمل التمثيل البياني لكل دالة أدناه لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة. وعزّز إجابتك عدديًا. الدرس (4-1) y (18 (19 y 2 A |f(x) = x³— 3x| 1- له 2x -8 -4 -40 8x | f(x) = x - 6x + 5 -8 X x أوجد المقطع y والأصفار لكلٌّ من الدالتين الآتيتين: (الدرس (2-1) f(x) = x3 – 16x (9 f(x) = 5-√√√x (10 اختبر تماثل كلَّ من المعادلتين الآتيتين حول المحور x ، والمحور ، و نقطة الأصل (الدرس (2-1) x2 + y2 = 9 (11 xy = 4 (12 (20) استعمل التمثيل البياني للدالة في السؤال 18 أعلاه، وقدّر قيمة التي يكون للدالة عندها قيمة قصوى مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة، وأوجد قيمة الدالة عندها، وبين نوعها، ثم عزّز إجابتك عدديًّا (الدرس 4-1) (21) فيزياء : إذا كانت المسافة التي يقطعها جسم ساقط من مكان مرتفع = تعطى بالدالة 162 حيث الزمن بالثواني، (t) المسافة المقطوعة بالأقدام. إذا أهملت مقاومة الهواء فأوجد متوسط السرعة في الفترة الدرس 4-1) الفصل 1 اختبار منتصف الفصل of 45 وزارة التعليم 2024-1446