الدوال المثلثية العكسية - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

8-8 لیسا سبق بيانيا. الدرس (87) الدوال المثلثية العكسية Inverse Trigonometric Functions الماذا؟ لقد تعلمت كيف تستعمل الدوال المثلثية العكسية لإيجاد قياسات درست تمثيل الدوال المثلثية الزوايا الحادة. مثال: يتكئ رف الكتب في الشكل المجاور على حائط عمودي بحيث تبعد قاعدته عن الجدار بمقدار in 15 ويصل ارتفاعه إلى 75in . ولإيجاد قياس الزاوية ) ، استعمل دالة الظل. والان أجد قيم الدوال المثلثية العكسية. أحل معادلات باستعمال الدوال المثلثية العكسية. المفردات القيم الأساسية principal values دالة الجيب العكسية Arcsine function 15 =0.2 --0 tan 9 = ثم أوجد قياس الزاوية التي ظلّها 0.2 مستعملا الآلة الحاسبة العلمية. SHIFT tan 2 11.30993247 إذن قياس الزاوية 6 حوالي 11 . 75 in. معكوس الدالة المثلثية : إذا علمت قيمة الدالة المثلثية لزاوية ما، فإنك تستطيع استعمال معكوس الدالة لإيجاد قياس الزاوية. تذكر أن معكوس الدالة هو العلاقة التي تعكس فيها قيم المتغيرين .. فمعكوس : y = sin x ، هو x = sin y ، الممثل بيانيا في الشكل المجاور. دالة جيب التمام العكسية الاحظ أن معكوس الدالة ليس دالة لوجود عدد من قيم لا لكل قيمة من قيم 3. Arccosine function دالة الظل العكسية Arctangent function المعادلة المثلثية Trigonometric equation إرشادات للدراسة لكن إذا تم تحديد مجال الدالة بحيث يكون = x = - فإن المعكوس يكون دالة عكسية. تُسمّى القيم في هذا المجال المحدّد القيم الأساسية. فالدوال المثلثية ذات المجال المحدد تمثل بأحرف كبيرة، هكذا .y = Sin x إذا وفقط إذا كان sin x = 1 sxs y = .y = Cos x إذا وفقط إذا كانx = T ، y = cos x > 0 .y = Tan x إذا وفقط إذا كان tan x = << Tain. www.ien.edu.sa 37 2 x = sin y 2 37 2 2 يمكنك استعمال الدوال ذات المجالات المحددة لتعريف دوال عكسية: لكلِّ من دالة الجيب، ودالة جيب التمام ودالة الظل وهي دالة الجيب العكسية، ودالة جيب التمام العكسية، ودالة الظل العكسية كما يأتي: رموز الدوال العكسية ي مفهوم أساسي يُرمز للدوال العكسية أحيانًا ببعض الرموز الدالة العكسية الرموز y = Arcsin x دالة الجيب العكسية الأخرى مثل: دالة الجيب العكسية الدوال المثلثية العكسية المجال المدى -SYST نموذج أضف إلى بطويتك = Sin -1sxs1 y = Sin-1 x -90° ≤ y ≤ 90° -1 0 0sys 0° s y ≤ 180° -1sxs1 y = Cos-1x -<y< - 90° < y < 90° وزارة التعليم الدرس - الدوال المثلثية العكسية 0 107 2024-1446 مجموعة الأعداد الحقيقية y = Tan-1 x دالة جيب التمام العكسية دالة الظل العكسية دالة جيب التمام العكسية y = Arccos x دالة الظل العكسية y = Arc tan x

في العلاقة y = cos-1 x، إذا كانت = = x فإن 60,300 = y، كما أن كل زاوية تشترك مع هاتين الزاويتين مراجعة المفردات بضلع الانتهاء تُعدّ قيمة لـ لا أيضًا. أما في الدالة y = Cos-1 x، فإذا كانت } = x، فإن °60 = y فقط . الدوال العكسية 1-, كل منهما دالة مثال 1 إيجاد قيم الدوال المثلثية العكسية عكسية للأخرى تعني: أوجد قيمة كل مما يأتي بالدرجات وبالراديان: a) = b) إذا وفقط إذا كان f-1 (b) = a . Cos-¹ (-) (a المطلوب إيجاد الزاوية 0 ، حيث °180 ≥ 0 ≥ °0 والتي قيمة جيب التمام لها - - . الطريقة 1: استعمال دائرة الوحدة أوجد نقطة على دائرة الوحدة إحداثيها x هو - - . نلاحظ أن: - - = 6 cos ، عندما 120 = 6 27 = 3 1 x 120° 0 8 إرشادات للدراسة قياس الزاوية تذكر أنه عند حسابك قيمة معكوس الدالة المثلثية، فإن الناتج هو قياس زاوية. إذن 2 - 121 - = Cos-1 الطريقة 2 استعمال الزاوية المرجعية بما أن المطلوب (-) 1-Cos ، حيث °180 ≥ 0 ≥ °0 فإن 6 زاوية تقع في الربع الثاني. أوجد الزاوية الحادة (المرجعية (6) بما أن 1 = "8 cos، فإن } = °60 = 0 إذن 6 - °180 = 6 108 الفصل 8 حساب المثلثات = 180° - 60° = 120° الطريقة 3 استعمال الآلة الحاسبة المفاتيح: 120 إذن 2 = 120 = | Tan -11 (b SHIFT COS (-1÷2) Cos-1 زاوية تقع في الربع الثاني المطلوب إيجاد الزاوية 0 في الفترة 90 > > °90 والتي ظلها يساوي 1. المفاتيح: 45 = 1 SHIFT tan إذن 1 = "45 = 11-Tan. تحقق من فهمك أوجد قيمة كل مما يأتي بالدرجات وبالراديان: Cos 10 (1A Sin-1 *(-) (1 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

عند حساب قيمة معينة بوجود عدد من الدوال المثلثية، استعمل ترتيب العمليات الحسابية للحل. مثال 2 إيجاد قيمة مثلثية -1 أوجد قيمة ( 1 - tan (Cos مقربا إلى أقرب جزء من مئة. استعمل الآلة الحاسبة. المفاتيح: 1.732050808 = (2) + (1) tan SHIFT cos (C-1)=1.79 05 - 1 1 ) = 1- .tan Cost إذن 1.73 = تحقق : 1.73 = "60 Cos-1 = 60°, tan إذن الإجابة صحيحة. تحقق من فهمك أوجد قيمة كل مما يأتي مطرنا إلى أقرب جزء من مئة sin Tan ( cos (Cos--) 08 حَل المعادلات المثلثية باستعمال الدوال العكسية: المعادلة المثلثية هي معادلة تحتوي على دوال مثلثية بزوايا مجهولة القياس. وحَلَّ المعادلة المثلثية يعني إيجاد قياس الزوايا المجهولة، والتي دوالها المثلثية تجعل المعادلة المثلثية صحيحة، وذلك بإعادة كتابتها باستعمال الدوال المثلثية العكسية. امثال 3 على اختيار 20.5° D إرشادات للاختبار حذف البدائل إشارة 0 Sin تُحدد قياس الزاوية في الربع الأول أو الربع الرابع وبما أن 0.35 - قيمة سالبة، فابحث عن زاوية في الربع الرابع إذا كان 0.35 - = 0 Sin، فإن قياس الزاوية 6 بالدرجات تقريبا يساوي: - 20.5° A اقرأ فقرة الاختبار -0.6° B 0.6° C جيب الزاوية 6 هو 0.35 -. ويمكن كتابة هذا في الصورة: 6 = (0.35 - 1-Sin حل فقرة الاختبار استعمل الآلة الحاسبة. المفاتيح: 20.48731511 - = (0.35) SHIFT sin إذن 20.5 = 0 الإجابة الصحيحة هي A. تحقق من فهمك (3) إذا كان 1.8 = 6 Tan ، فإن قياس الزاوية 6 بالدرجات تقريبا يساوي: 0.03° A 29.1° B 60.9° C D لا يوجد حل وزارة التعليم الدرس - الدوال المثلثية العكسية 0 109 2024-1446

تأكد يمكنك استعمال الدوال المثلثية العكسية؛ لإيجاد قياسات زوايا مجهولة في مثلث قائم الزاوية بمعرفة طولي ضلعين فيه. مثال 4 من واقع الحياة استعمال الدوال المثلثية العكسية لعبة التزحلق لعبة تزحلق للأطفال ارتفاعها 2m ، وطولها 3m كما في الشكل المجاور. اكتب دالّة مثلثية عكسية يمكن استعمالها لإيجاد قياس الزاوية (0) التي تصنعها لعبة التزحلق مع الأرض. ثم أوجد قياس هذه الزاوية بالدرجات إلى أقرب جزء من عشرة. بما أن طول الضلع المقابل وطول الوتر معلومان، فيمكن استعمال دالة الجيب. 3m 2 m A Sin 0 = 3 0 = Sin 3 0 = 41.8° دالة الجيب دالة معكوس الجيب استعمل الآلة الحاسبة إذن قياس الزاوية يساوي 41.8 تقريبًا. تحقق باستعمال الآلة الحاسبة، 3 = 0.66653 = 41.8 sin. أي أن الإجابة صحيحة. تحقق من فهمك (4) تزلج يظهر الشكل المجاور منحدرا للتزلج. اكتب دالة مثلثية عكسية يمكن استعمالها لإيجاد قياس الزاوية (0) التي يصنعها المنحدر مع سطح الأرض. ثم أوجد قياس هذه الزاوية بالدرجات مقربا إلى أقرب جزء من عشرة. مثال 1 أوجد قيمة كل مما يأتي بالدرجات وبالراديان: Sin-11 (1 Tan (-√3) (2 Cos-1 (-1) (3 مثال 2 أوجد قيمة كلّ ممّا يأتي مقربًا الإجابة إلى أقرب جزء من مئة. cos (Sin-1 (4) tan (Cos -11) (5 sin in (Sin-1✓3) ( (6) 10 ft 6 ft مثال 3 (7) اختيار من متعدد: إذا كان 0.422 = Sin، فإن قياس الزاوية 4 بالدرجات تقريبا يساوي: 25° A 42° B 48° C 65° D وزارة التعليم 110 الفصل 8 حساب المثلثات Ministry of Education 2024-1446

59 m Q Tan 0 = 2.1 (10 190 m حل كلًا من المعادلات الآتية مقربًا الناتج إلى أقرب جزء من عشرة: Sin 0 = -0.46 (9) Cos 6 = 0.9 (8) مثال 4 11) قوارب يسير قارب في اتجاه الغرب؛ ليقطع نهرا عرضه m 190، فيصل إلى النقطة التي تبعد مسافة 59m. عن وجهته ته الأصلية ؛ بسبب التيار . اكتب دالّة مثلثية عكسية يمكن استعمالها لإيجاد قياس الزاوية (9) التي أزاح التيار القارب بها عن اتجاهه الأصلي، ثم أوجد قياس هذه الزاوية إلى أقرب جزء من عشرة. Cos -1 Tan-1√√3 (15 Tan-1 تدرب وحل المسائل مثال : أوجد قيمة كل مما يأتي بالدرجات وبالراديان: 1 √3 -1 Sin 15) (12 Sin-1 (1) (14 Cos(5)(16 مثال 2 أوجد قيمة كل مما يأتي مطربا الإجابة إلى اقرب جزء من منة: sin (Tan-13) (20 sin [Cos-1(2)] (22 tan [ sin - (-1)] (18 cos (Tan) (19 os (Sin−1 ½) (21 مثال 3 حُلّ كلا من المعادلات الآتية مقربًا الناتج إلى أقرب جزء من عشرة . Sin 0 = 0.9 (24) Cos 0 = -0.25 (26) Tan 0 = 3.8 (23) Sin 0 = 2.5 (25) Tan 6 = 0.2 (28) Cos 6 = 0.56 (27) وزارة التعليم الدرس - الدوال المثلثية العكسية 0 111 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 24ft 1.5ft مثال 4 (29) نخيل شجرة نخيل طولها ،24ft، تميل عن الاتجاه الرأسي بمقدار 1.5ft كما في الشكل المجاور، اكتب دالّة مثلثية عكسية يمكن استعمالها لإيجاد قياس الزاوية (9) التي تميل بها الشجرة ، ثم أوجد قياس هذه الزاوية بالدرجات إلى أقرب جزء من عشرة. حل كلا من المعادلات الآتية حيث 27 5 0 5 0 . الربط بالحياة فوائد شجرة نخلة التمر لا csc 0 = 1 (30 CSC = (33) (36 sec 6 = 1 (32 sec 6 = -1 (31 sec 0=2 (35 cot 0 = 1 (34 تمثيلات متعدّدة أجب عما يأتي، معتبرا y = Cos x . (a) بيانيا : مثل الدالة بيانيا. وأوجد المجال والمدى تعد ولا تحصى، منها قيمتها 6 عدديا : اختر قيمة للمتغير x بين 10 . ثم أوجد قيمة الدالة عندها إلى أقرب جزء من عشرة. الغذائية العالية، وتُعد مصدرا تحليليا : قارن بين التمثيل البياني للدالة y = cos x، والتمثيل البياني للدالة y = Cos-1 x. ممتازا للطاقة الحرارية لجسم الإنسان، إذ تحوي ما يقارب 80 من السكريات، وتحتوي الثمار مسائل مهارات التفكير العليا على الأملاح المعدنية والعناصر النادرة المفيدة لجسم الإنسان (37) اكتشف الخطأ قام كل من خليل وعبد الرحمن بحل المعادلة 0.3 = 60 cos حيث 180 > 8 > 90. كالبوتاسيوم والماغنسيوم والحديد أيهما كانت إجابته صحيحة ؟ برر إجابتك. وفيتامينات أ، ب، بي بي ، ويستفيد الناس من أجزاء النخيل كلها. خليل عبد الرحمن cos = 0.3 cos' 0.3 = 162.5° cos 0 = 0.3 cos' 0.3 = 72.5° الدالة - y = Sin x (38) تبرير، وضح كيف يرتبط مجال الدالة . y = Sin-1 x مع مدى | 39) اكتب فسّر لماذا تكون كل من 18-Cos-18, Sin غير معرفة، بينما 8 1-Tan معرفة. 8[f(x)] f(x)=2x²-3x, g(x)=4-2x 315 13) (41 g[f(x)] = 4 + 6x - 8x2 A g[f(x)] = 4 + 6x - 4x2 g[f(x)] = 20 - 26x + 8x2 g[f(x)] = 44 - 38x + 8x2 تدريب على اختبار 40) إجابة قصيرة أوجد معادلة الدائرة الممثلة في الشكل الآتي: 18 10x -4 6 -10 مراجعة تراكمية (42) أوجد السعة وطول الدورة للدالة y = 4 co2 ، ثم مثل هذه الدالة بيانيا. (الدرس 7-8) أوجد قيمة كل مما يأتي: (الدرين 3-18 sec E6 7π (46 sin 300° (45 tan 120° (44 cos 3π (43 112 الفصل 8 حساب المثلثات

الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل المفاهيم الأساسية الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية (الدرس 1-8) المقابل المجاور المجاور المقابل tan 6 = المجاور الوتر الوتر cos 0= ', sec 9 = المقابل الوتر الوتر المقابل sin 0 = csc = المفردات الأساسية حساب المثلثات ص 57 النسبة المثلثية ص 57 الدالة المثلثية ص 57 الجيب ص 57 جيب التمام ص 57 الظل ص 57 قاطع التمام ص 57 يُحدد قياس الزاوية المرسومة في الوضع القياسي بمقدار القاطع ص 57 الدوران واتجاهه من ضلع الابتداء إلى ضلع الانتهاء. ظل التمام ص 57 يمكنك إيجاد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية ، بمعلومية دوال المقلوب ص 58 إحداثيي النقطة (x,y) التي تقع على ضلع الانتهاء للزاوية. معكوس الجيب ص 60 معكوس جيب التمام ص 60 = 9 Cot - المجاور الزوايا وقياسها والدوال المثلثية للزوايا الدرسان 3-2-8) قانون الجيوب وقانون جيوب التمام (الدرسان 5-4-18 sin A sin B b sin C = C 2 = 2 + 22 - 2bc cos A . 2 = 2 + 2 - 2ac cos B . 2 = 2 + 2 - 2ab cos C . معكوس الظل ص 60 زاوية الارتفاع ص 61 زاوية الانخفاض ص 61 الوضع القياسي ص 66 ضلع الابتداء ص 66 الدوال الدائرية والدوال المثلثية العكسية (الدرسان 8-6-18 إذا قطع ضلع الانتهاء للزاوية 6 المرسومة في الوضع القياسي دائرة الوحدة في النقطة (x,y)، فإن .cos 6 = x, sin 6 = y • y = Sin x إذا وفقط إذا كان x = y = sin x = - y = Cos x إذا وفقط إذا كان S x s t y = Tan x إذا وفقط إذا كان y = tan x >> ضلع الانتهاء ص 66 68 الراديان ص اختبر مفرداتك الزاوية المركزية ص 69 طول القوس ص 69 الزاوية الربعية ص 73 الزاوية المرجعية ص 73 قانون الجيوب ص 79 حل المثلث ص 79 قانون جيوب التمام ص 87 دائرة الوحدة ص 93 الدالة الدائرية ص 93 الدالة الدورية ص 94 الدورة ص 94 طول الدورة ص 94 السعة ص 100 التردد ص 101 القيم الأساسية ص 107 دالة الجيب العكسية ص 107 دالة جيب التمام العكسية ص 107 دالة الظل العكسية ص 107 المعادلة المثلثية ص 109 y = cos x 0 اختر المفردة المناسبة من القائمة السابقة لإكمال كل جملة فيما يأتي: تمثيل الدوال المثلثية بيانيا (الدرس (87) للدوال المثلثية التي في إحدى الصورتين y = a sin be y = a cos bo ، سعة تساوي lal ، وطول دورة يساوي أو 27 360° 101 101 أما الدالة المثلثية y = a tan b0 فطول دورتها يساوي أو ، ولا يوجد لها سعة. 180° Ты 元 ты المطويات متظلم افكار تأكد من أن المفاهيم الأساسية مدوّنة في مطويتك. 4-1 (1 وطول ضلع فيه. يُستعمل لحل مثلث بمعلومية قياسي زاويتين (2) الدوال cot, csc sec تسمى (3) تسمى المسافة الأفقية في الدورة - (4) إذا وقع ضلع الانتهاء للزاوية المرسومة في الوضع القياسي على (5 (6 المحور x أو على المحور لا، فإن هذه الزاوية تُسمى - الأفقي عندما ينظر الشخص إلى أعلى. هي الزاوية المحصورة بين خط النظر والخط منحني دالة الجيب أو منحني د دالة جيب التمام تساوي نصف الفرق بين القيمة العظمى والقيمة الصغرى للدالة. وزارة التعليم الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 0 113 2024-1446

x 10 15 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 30° الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة مراجعة الدروس 8-1 الدوال المثلثية في المثلثات القائمة الزاوية ص 57-65 استعمل دالة مثالية لإيجاد قيمة ، مطرنا إلى أقرب جزء من عشرة. (7 15 54° أوجد قيمة و مقربا إلى اقرب جزء من عشرة. 23° 32 مثال 1 استعمل دالة مثلثية لإيجاد قيمة x. المقابل الوتر دالة الجيب sin 30" = 1 sin 0 = sin 30" = x 10 10 اضرب الطرفين في 10 16 10 = x 22 (10 15 36 11) شاحنة ترتفع مؤخرة شاحنة بمقدار 3ft عن سطح الأرض. ما طول سطح مائل يمكن وضعه على مؤخرة الشاحنة، بحيث تكون زاوية ارتفاعه عن سطح الأرض 20، مقربا إلى القرب جزء من عشرة ؟ 5=x مثال 2 بسط أوجد قيمة ، مطرنا إلى أقرب جزء من عشرة. tan 0 = 21 المقابل المجاور معكوس الظل استعمل الآلة الحاسبة tanx = 15 21 tan -1 15 =x 21 35.5° = x° 20 3ft الزوايا وقياساتها ص 66-71 8-2 حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، والمكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي: مثال 3 حول القياس 160 إلى قياس بالرديان. 160° = 160° Trad 180° 160π 180 8π rad = (13 2 -315° (15 215° (12 -3π (14 في كل مما يأتي، أوجد زاويتين إحداهما بقياس موجب، والأخرى مثال 4 بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل زاوية من الزوايا المعطاة: 265° (16 -65° (17 (18 19 دراجة هوائية إطار دراجة هوائية يدور 8 دورات في الدقيقة. إذا كان طول نصف قطر الإطار 15in، فأوجد قياس الزاوية 0 التي يدورها الإطار في ثانية واحدة بالراديان. 7π أوجد زاوية بقياس موجب جب، وأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع الزاوية 150. زاوية بقياس موجب 150°360° 510° زاوية بقياس سالب 360° = -210° 150° - أضف °360 اطرح 360 114 الفصل 8 حساب المثلثات

0'-60° 0 = 120° 3- الدوال المثلثية للزوايا ص 72-77 أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: cos 135° (20 sin 27 (22) tan 150° (21 COS ³ (23 مثال 5 أوجد القيمة الدقيقة لـ 120 sin بما أن ضلع الانتهاء للزاوية 120 يقع في الربع الثاني، فإن قياس الزاوية إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية ) المرسومة في الوضع القياسي يمر المرجعية 6 هو 60 = بنقطة من النقاط الآتية في كل مرة، فأوجد قيم الدوال المثلثية .180° - 120° دالة الجيب موجبة في الربع الثاني، إذن: .sin 120° = sin 60° (16,-12) (26 (5,12) (25 الست للزاوية ) . (-4,3) (24 مثال 6 (27) كرة قذفت كرة من حافة سطح بناية بزاوية قياسها 70، إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 0 المرسومة في الوضع القياسي يمر وبسرعة ابتدائية مقدارها .5m. المعادلة التي تمثل المسافة الأفقية التي تقطعها الكرة هي: 1 (0 x = o (cos حيث : 70 هي السرعة الابتدائية، و6 هي قياس الزاوية التي قذفت فيها الكرة، وا هو الزمن ((بالثواني). ما المسافة الأفقية التقريبية التي تقطعها الكرة بعد مرور 10 ثوان. بالنقطة (65) . فأوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية 0. r = 62 + 5 = VI sin 0 = -5√√61 = cos 0= 6√61 = r 61 r 61 y tan 6 = sec = x x = = csc = √61 = 6 y 5 cot 0 = = 6 y 6 5 A 8 60° 70° B قانون الجيوب ص 78-84 8-4 حدد ما إذا كان للمثلث في كل مما يأتي حل واحد، أم حلان، أم مثال 7 اليس له حل أوجد الحلول مقربا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء حل ABC الموضح في الشكل المجاور مقربة أطوال الأضلاع إلى القرب جزء من عشرة من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. C=118°, c = 10, a = 4 (28 A = 25°, a = 15, c = 18 (29 A = 70°, a = 5, c = 16 (30 أولا أوجد قياس الزاوية الثالثة. 60° + 70° + A = 180°, A = 50 استعمل الآن قانون الجيوب لإيجاد (31) قوارب يقف علي وأحمد على جانبي نهر . كم يبعد علي قيمتي ,a عن القارب ؟ قرب الاجابة إلى أقرب جزء من عشرة. قارب sin B b sin A a sin B b sin C C sin 60° 8 sin 50° a sin 60° 8 sin 70° 8 sin 50° a = 7.1 c = sin 60° 8 sin 70° sin 60° 8.7 إذن 7.1 = 8.7 = A = 50°, c . وزارة التعليم الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 115 2024-1446 Edu أحمد 85° 90 ft 30

الفصل دليل الدراسة والمراجعة 8 8-5 قانون جيوب التمام ص 87-92 مثال 8 حدد أنسب طريقة يجب البدء بها (قانون الجيوب أم قانون جيوب التمام) في حل كل من المنثكنات الآنية، لم هل كل مثلث حل ABC الذي فيه 18 = C = 55", b = 11, a . منها مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات أعطي في السؤال طولا ضلعين وقياس الزاوية الزوايا إلى أقرب درجة: B (32 15 (33 15 16 B 80° A 21 C A 12 C المحصورة بينهما. ابدأ بر برسم المثلث واستعمل قانون جيوب التمام لإيجاد قيمة .. 2 = 2 + 2 - 2ab cos C 2 = 182 + 112 - 2(18) (11) cos 55 18 B 55° A 11 C cos! c2 = 217.9 c = 14.8 C=75°, a 5, b=7 (34 A 42°, a 9,b=13 (35 b=8.2, c = 15.4, A = 35° (36 ثم استعمل قانون جيوب التمام مرّة أخرى لإيجاد قياس الزاوية B. 112 = 182 + (14.8 )2 - 2(18)(14.8) cos B 11 2 18 2 (14.8) 2 -2(1 - 8)(14.8) = cos B (37) زراعة يريد مزارع وضع سياج لقطعة أرض مثلثة الشكل. طولا ضلعيها 25 120ft، وقياس الزاوية قياس الزاوية الثالثة A المحصورة بينهما 70. فما طول السياج الذي يحتاج إليه ؟ 8-6 الدوال الدائرية ص 93-99 أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: cos (-210°) (38 7π sin - (40 4 (cos 45°)(cos 210°) (39 (cos)(sin) (41 0.7921 = cos B 38° = B mLA = 180° - (55° + 380 = 870 إذن 14.8 = 38 = A = 87°, B امثال و أوجد القيمة الدقيقة لـ 510 sin sin 510° sin (360° + 150°) = sin 150° (42) أوجد طول الدورة للدالة الممثلة بيانيا في الشكل أدناه: AVAYA 1234567891011 2 * مثال 10 أوجد طول الدورة للدالة الممثلة بيانيا في الشكل أدناه: WWW (43) إطارات: طول قطر إطار دائري 18in، ويدور 4 دورات في الدقيقة الواحدة. ما طول دورة الدالة التي تمثل ارتفاع نقطة تقع على الحافة الخارجية للإطار كدالة في الزمن ؟ يبدأ النمط بالتكرار عند ، وهكذا... ولذلك طول الدورة هو . 116 الفصل 8 حساب المثلثات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

106-100 ص تمثيل الدوال المثلثية بيانيا 8-7 أوجد السعة، (إن كانت معرفة)، وطول الدورة للدوال الآتية، ثم مثل كلا منها بيانيا: y = cos 10 (45) y = 4 sin 26 (44) y = 3 sec 01 (47 y = 2 csc y = 3 csc 10 (46 (49 y = tan 20 (48 مثال 11 أوجد السعة وطول الدورة للدقة 40 200 . ثم مثل هذه الدالة بيانيا. السعة : 2 = 121 = 1a1 . لذلك فالتمثيل البياني للدالة تكون له قيمة عظمى هي 2، وقيمة صغرى هي -2 وطول الدورة: (50) رياضة : قفز لاعب على جهاز الاهتزاز، فاهتز الجهاز بتردد قدره 10 هيرتز. إذا كانت السعة تساوي 5ft، فاكتب دالة جيب تمثل الارتفاع لا في اهتراز الجهاز كدالة في الزمن .. 8-8 الدوال المثلثية العكسية ص 107-112 الوجد قيمة كل مما يأتي بالدرجات وبالراديان Sin-1 (1) (51 -1 √3 2 Tan-11 (55 Tan - (0) (52 Cos-1 (54 Cos-10 (56 57 منحدرات منحدر ارتفاعه 5 أقدام، وطوله 10 أقدام كما يظهر في الشكل أدناه. اكتب دالة مثلثية عكسية، يمكن 360° 4 =90° 360° = Ты امثال 12 AAAAA أوجد قيمة 1 - Cos . واكتبه بالدرجات وبالراديان. أوجد الزاوية 6 حيث "180 = 0 ≥ °0، بحيث يكون جيب تمامها . استعمل دائرة الوحدة. أوجد نقطة على دائرة الوحدة، بحيث يكون الإحداثي x لها بما استعمالها لإيجاد قياس الزاوية 0 التي يصنعها المنحدر مع أن: 1 = 0 Cos عندما 60 = 0 الأرض الأفقية، ثم أوجد قياس هذه الزاوية. ·Cos-1-60-4 60° 3 1 x مثال 13 10 ft 5ft أوجد قيمة (sin (tan مقربا الجواب إلى أقرب جزء من مئة. أوجد قيمة كل مما يأتي مقربا الإجابة إلى أقرب جزء من مئة إذا استعمل الآلة الحاسبة. لوم ذالك tan (Cos-11) (58 sin (Tan-10) (59 ÷ 2 = 0.4472135955 إذن 0.45 = ( 1-sin (Tan. مثال 14 sin SHIFT (TAN 1 حل كلا من المعادلات الآتية مطربا الناتج إلى أقرب جزء من إذا كان 0.72 = 0 Cos، فأوجد 0 عشرة إذا لزم ذلك . استعمل الآلة الحاسبة. SHIFT COS 0.72 وزارة التعليم FEdu الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 117 2024-1446 43.9455195623 إذن 43.9 = 0 . Tan 6 = -1.43 (60) Sin 0 = 0.8 (61 Cos 6 = 0.41 (62)

الفصل 8 اختبار الفصل حل AABC في كل مما يأتي باستعمال القياسات الواردة، مقربا أطوال 16) اختيار من متعدد أي من الزوايا الآتية يكون الجيب والظل الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة: لها سالبين؟ 65° A 310° B 120° C 265° D أوجد السعة وطول الدورة لكل من الدالتين الآتيتين، ثم مثل الدالتين بيانيا: y= 글 cos 20 (18 y = 2 sin 30 (17) 19) اختيار من متعدد طول دورة الدالة 0 cot 3 = لا يساوي: 120° A 180° B 360° C 1080° D b A a B A = 36°, c = 9 (1 a = 12, A = 58 (2) a = 9, c = 12 (3 حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، والمكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي : -175° (5 5 (7 325° (4 9 (6 4 حدد ما إذا كان للمثلث ABC الذي فيه 21 = 16,5 = A = 110,a حل واحد أم سلان أم ليس له حل ثم أوجد المحلول (إن أمكن) (20) حدد أنسب طريقة نبدأ بها لحلّ AXYZ (قانون الجيوب أو مقربا طول الضلع إلى أقرب جزء من عشرة وقياسات الزوايا إلى قانون جيوب التمام)، الذي فيه : 105 = y = 115 = 9 x ، ثم حل المثلث مقربًا طول الضلع إلى أقرب جزء من عشرة وقياسات أقرب درجة. أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي (في السؤال 34، اكتب الزاوية بالدرجات) cos (-90°) (9 sin 585° (10 sec(-) (12 Cos-13 (14 tan cot 4 (11 (Cos-1 ) (13 (15) إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 0 في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة عند النقطة (3) فأوجد كلًا من: 0 cos 6, sin. √3 2 الزوايا إلى أقرب درجة. (21) سواق عجلة ساقية طول قطرها ft 20 تكمل دورة كاملة في 45 ثانية. افترض أن ارتفاع أعلى العجلة يُمثل الارتفاع عند الزمن 0. اكتب دالة مثلثية تمثل ارتفاع النقطة في الشكل أدناه كدالة في الزمن .. ثم مثل الدالة بيانيا. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 118 الفصل 8 حساب المثلثات

502 EXP Ans الفصل 8 الإعداد للاختبارات المعيارية (+)- b. (beths), a.coutby) + barte ads-bb-bh, ab tab + bas the -Cachobbs, abs+ha, + gibs+hay Ch, a thre) + (abby abs + has (a) (cups) + (aub) carps) استعمال الآلة الحاسبة العلمية تعد الآلات الحاسبة العلمية والآلات الحاسبة البيانية من الأدوات المهمة والفاعلة في حل المسائل. كما لاحظت سابقا فإن بعض أسئلة الاختبارات تتضمن خطوات أو حسابات تحتاج فيها إلى استعمال الآلة الحاسبة العلمية. استراتيجية استعمال الآلة الحاسبة العلمية الخطوة 1 تعرف الدوال المختلفة في الآلة الحاسبة العلمية جيدًا ، ومتى تستعمل كلا منها. . الصيغة العلمية للحسابات المتعلقة بالأعداد الكبيرة. . . الدوال الأسية : مسائل النمو والاضمحلال والربح المركب. الدوال المثلثية : مسائل تتضمن زوايا، ومسائل ترتبط بحل المثلث، ومسائل في القياس غير المباشر. الجذور التربيعية والنونية: مسائل ترتبط بالبعد في المستوى الإحداثي، ومسائل ترتبط بنظرية فيثاغورس. الخطوة 2 استعمل الآلة الحاسبة العلمية لحل المسائل. • تذكر أن تعمل بالصورة الأكثر فاعلية، فبعض الخطوات يمكن القيام بها ذهنيا أو يدويا، وفي بعضها الآخر يلزم استعمال الآلة الحاسبة العلمية. تحقق من إجابتك إذا كان الوقت يسمح بذلك. مثال اقرأ المسألة الآنية جيدا وحدد المطلوب فيها، ثم استعمل المعطيات لحلها: عندما وقف محمد على بعد ft 18 من قاعدة شجرة، شكل زاوية قياسها °57 مع قمة الشجرة. ما ارتفاع الشجرة مقربا إلى أقرب منزلة عشرية واحدة؟ وزارة التعليم الفصل 8 الإعداد للاختبارات المعيارية 119 2024-1446 Edu 27.7 ft A 28.5 ft B 29.2 ft C 30.1 ft D

اقرأ المسألة بعناية. أعطيت بعض القياسات، وطلب إليك إيجاد ارتفاع الشجرة. إذن من المفيد في البداية أن ترسم مخططا يُمثل المسألة. h 57° 18 ft استعمل دالة مثلثية لكتابة علاقة تربط الطولين بقياس الزاوية في المثلث القائم الزاوية. المقابل المجاور tan 0= tan 57° = h 18 دالة الظل عوض لإيجاد ارتفاع الشجرة تحتاج إلى إيجاد قيمة 570 .tan. استعمل الآلة الحاسبة العلمية. 1.53986 h 18 27.71748 = h استعمل الآلة الحاسبة اضرب الطرفين في 18 يبلغ ارتفاع الشجرة ft 27.7 تقريبًا؛ إذن الإجابة الصحيحة هي A. تمارين ومسائل اقرأ كل مسألة وحدّد المطلوب فيها، ثم استعمل معطيات المسألة (2) ما زاوية ارتفاع المنحدر الذي يُمثله الشكل أدناه؟ لحلها : (1) تقلع طائرة من المطار بسرعة ثابتة بعد أن قطعت الطائرة مسافة أفقية مقدارها 800m كانت على ارتفاع 285m رأسيا. ما زاوية ارتفاع الطائرة خلال الإقلاع؟ 12 ft 26.3° A 28.5° B 30.4° C 15.6° A 19.6° C 120 الفصل 8 حساب المثلثات 18.4° B 22.3° D 33.6° D 10 ft وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

(5) المقدار 153 + 151 + 150 يساوي : i A -i B 64° -1 C 0 D 6) ما قيمة 11 في المثلث MNO الذي فيه : مقربا إلى أقرب جزء من 12.4 cm, M = 35", N = 74° 8 3 4 2 4 2 16 5 عشرة. 7.4 cm A 8.5 cm B 14.6 cm C 35.9 cm D 7) أوجد قيمة المحددة : اختبار تراكمي 15 الفصل 8 | اختيار من متعدد اختر الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي: 1) ما قيمة x في الشكل المجاور، مقربا إلى أقرب جزء من عشرة؟ 6.5 A 6.9 B 7.1 C 7.3 D (2) ما طول الدورة في التمثيل البياني للدالة: 0 4 y = 3 cos ؟ 90° A 180° B 270° C 360° D ، مجموعة حل المعادلة 2 - 1 = 4 - 1 + x من: (3) تتكون مج A عددين صحيحين موجبين B عدد د صحیح موجب واحد فقط. عددين صحيحين أحدهما موجب والآخر سالب. ليس لها حلول حقيقية. (4) ما القيمة الدقيقة لـ 240 sin؟ -144 A -72 B 72 C 144 D إذا كان (1) + x) عاملًا لكثيرة الحدود 2 - P(x) = x3 + K x 2 + x، فإن قيمة K تساوي: 6A 1/3 B 3D (9) ما باقي قسمة 5 + x3 - 7x على 3 + x؟ وزارة التعليم الفصل 8 اختبار تراكمي 121 2024-1446 -11 A 1B -1 C 11 D √2 B 3 - 2 2 D

إجابة قصيرة اجب عن كل مما يأتي: 10) تعتمد سرعة موجة المد (تسونامي) v على معدل عمق مياه البحر. إذا علمت أن الصيغة الآتية تُمثل سرعة المد عندما يكون معدل عمق الماء d كيلو مترًا، 356 = v، وإذا علمت أن موجة المد (تسونامي) تسير بسرع رعة 145km/h، فما معدل عمق الماء، مقربا الجواب إلى أقرب جزء من مئة؟ -g(x)= 3x-1 2x+1 11) أوجد معكوس 1 = = (2) (13) إذا كان A B = ، حيث 1 -1 0 1 2 1 0 1° 2 3 -1 4 1 -1 2 -1 A = ,B = -1 2 1 3 0 1 1 1 0 1 -1 0 1 -1 0 2 فأوجد قيمة العنصر C32 ) العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثاني من ) . | إجابة طويلة أجب عن كل مما يأتي موضحًا خطوات الحل: 14) إذا كان 3 + 4 + f(x) = – x، فأجب عما يأتي ها مثل الدالة (علم بانها 12) إذا كان 1 - 03 (1) 2 (3) ي فأوجد قيمة (fog) () هل تحتاج إلى مساعدة إضافية ؟ إذا لم تستطع الإجابة عن سؤال.... فعد إلى الدرس ... 122 الفصل 8 حساب المثلثات حدد مجال الدالة ومداها. أوجد المقاطع للمحاور y x . 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 8-7 8-1 مهارة سابقة 8-3 مهارة سابقة 8-4 مهارة مهارة مهارة مهارة سابقة سابقة سابقة سابقة مهارة مهارة مهارة سابقة سابقة سابقة سابقة مهارة وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446