احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة Probabilities of Independent and Dependent Events 7-4 www.ien.edu.sa فيما سبق درست حساب الاحتمالات الماذا؟ يسحب معلم الكيمياء عشوائياً بطاقات من صندوق فيه أسماء البسيطة. (مهارة سابقة) طلاب صفه البالغ عددهم 18 طالبًا، ليحدد من سيقدم عرضه الأول. ويأمل سعود أن يكون الأول وصديقه فيصل الثاني. والان أجد احتمالات الحوادث المستقلة. الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة : تتكون المستقلة والحوادث غير الحادثة المركبة من حادثتين بسيطتين أو أكثر. وفي فقرة "لماذا؟" أجد احتمال حادثة إذا علم أعلاه، نجد أن اختيار سعود وفيصل لتقديم عرضيهما أو لا يمثل حادثة مركبة؛ لأنها تتكون من حادثة اختيار سعود وحادثة اختيار وقوع حادثة أخرى. المفردات الحادثة المركبة compound event الحوادث المستقلة independent events فيصل. ويمكن أن تكون الحوادث المركبة مستقلة أو غير مستقلة. . تكون A و B حادثتين مستقلتين إذا كان احتمال حدوث A لا يؤثر في احتمال حدوث .B. . تكون A و B حادثتين غير مستقلتين إذا كان احتمال حدوث A يغير بطريقة ما احتمال حدوث .B. الحوادث غير المستقلة افترض أنه تم اختيار عناصر من مجموعة ما، فإذا أُعيد العنصر في كل مرة، فإن اختيار عناصر أخرى هي حوادث مستقلة. وإذا لم يُرجع العنصر في كل مرة، فإن اختيار عناصر أخرى هي حوادث غير مستقلة. dependent events الاحتمال المشروط conditional probability شجرة الاحتمال probability tree الحادثة المشروطة conditional event إرشادات للدراسة الحادثة البسيطة هي الحادثة التي تتكون من ناتج واحد من النواتج الممكنة لتجربة ما. فمثلا عند رمي مثال 1 تعيين الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة حدد إذا كانت الحادثتان مستقلتين أو غير مستقلتين في كل مما يأتي، ووضح إجابتك: a إلقاء قطعة نقد مرة واحدة، ثم إلقاء قطعة نقد أخرى مرة واحدة أيضًا. إن احتمال ناتج تجربة إلقاء قطعة النقد الأولى لا يؤثر بأي حال من الأحوال في احتمال ناتج تجربة إلقاء قطعة النقد الثانية؛ ولذا تكون الحادثتان مستقلتين. ) في فقرة "لماذا ؟" أعلاه، اختير اسم أحد الطلبة عشوائيا دون إرجاع، ثم اختير اسم طالب آخر. بعد اختيار اسم الطالب الأول لا يعاد ولا يتم اختياره ثانية. وهذا يؤثر في احتمال اختيار اسم الطالب ؛ لأن عدد عناصر فضاء العينة قد نقص واحدًا؛ لذا فإن الحادثتين غير مستقلتين. مكعب مرقم مرة واحدة فإن الحادثة التي تمثل ظهور العدد 5 مثلا هي حادثة بسيطة. الثاني؛ سحب كرة واحدة عشوائيا من كل من صندوقين مختلفين. احتمال نتيجة السحب من الصندوق الأول ليس لها تأثير في احتمال نتيجة السحب من الصندوق الثاني؛ لذا تكون الحادثتان مستقلتين. تحقق من فهمك 32 الفصل 7 الاحتمالات حدد إذا كانت الحادثتان مستقلتين أم غير مستقلتين في كل مما يأتي، ووضح إجابتك: (1) سحبت بطاقة من مجموعة بطاقات، ثم أعيدت إلى المجموعة، ثم سحبت بطاقة ثانية. 18) إلقاء قطعة نقد مرة واحدة، ثم رمي مكعب مرقم مرة واحدة أيضًا. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة Probabilities of Independent and Dependent Events 7-4 www.ien.edu.sa فيما سبق درست حساب الاحتمالات الماذا؟ يسحب معلم الكيمياء عشوائياً بطاقات من صندوق فيه أسماء البسيطة. (مهارة سابقة) طلاب صفه البالغ عددهم 18 طالبًا، ليحدد من سيقدم عرضه الأول. ويأمل سعود أن يكون الأول وصديقه فيصل الثاني. والان أجد احتمالات الحوادث المستقلة. الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة : تتكون المستقلة والحوادث غير الحادثة المركبة من حادثتين بسيطتين أو أكثر. وفي فقرة "لماذا؟" أجد احتمال حادثة إذا علم أعلاه، نجد أن اختيار سعود وفيصل لتقديم عرضيهما أو لا يمثل حادثة مركبة؛ لأنها تتكون من حادثة اختيار سعود وحادثة اختيار وقوع حادثة أخرى. المفردات الحادثة المركبة compound event الحوادث المستقلة independent events فيصل. ويمكن أن تكون الحوادث المركبة مستقلة أو غير مستقلة. . تكون A و B حادثتين مستقلتين إذا كان احتمال حدوث A لا يؤثر في احتمال حدوث .B. . تكون A و B حادثتين غير مستقلتين إذا كان احتمال حدوث A يغير بطريقة ما احتمال حدوث .B. الحوادث غير المستقلة افترض أنه تم اختيار عناصر من مجموعة ما، فإذا أُعيد العنصر في كل مرة، فإن اختيار عناصر أخرى هي حوادث مستقلة. وإذا لم يُرجع العنصر في كل مرة، فإن اختيار عناصر أخرى هي حوادث غير مستقلة. dependent events الاحتمال المشروط conditional probability شجرة الاحتمال probability tree الحادثة المشروطة conditional event إرشادات للدراسة الحادثة البسيطة هي الحادثة التي تتكون من ناتج واحد من النواتج الممكنة لتجربة ما. فمثلا عند رمي مثال 1 تعيين الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة حدد إذا كانت الحادثتان مستقلتين أو غير مستقلتين في كل مما يأتي، ووضح إجابتك: a إلقاء قطعة نقد مرة واحدة، ثم إلقاء قطعة نقد أخرى مرة واحدة أيضًا. إن احتمال ناتج تجربة إلقاء قطعة النقد الأولى لا يؤثر بأي حال من الأحوال في احتمال ناتج تجربة إلقاء قطعة النقد الثانية؛ ولذا تكون الحادثتان مستقلتين. ) في فقرة "لماذا ؟" أعلاه، اختير اسم أحد الطلبة عشوائيا دون إرجاع، ثم اختير اسم طالب آخر. بعد اختيار اسم الطالب الأول لا يعاد ولا يتم اختياره ثانية. وهذا يؤثر في احتمال اختيار اسم الطالب ؛ لأن عدد عناصر فضاء العينة قد نقص واحدًا؛ لذا فإن الحادثتين غير مستقلتين. مكعب مرقم مرة واحدة فإن الحادثة التي تمثل ظهور العدد 5 مثلا هي حادثة بسيطة. الثاني؛ سحب كرة واحدة عشوائيا من كل من صندوقين مختلفين. احتمال نتيجة السحب من الصندوق الأول ليس لها تأثير في احتمال نتيجة السحب من الصندوق الثاني؛ لذا تكون الحادثتان مستقلتين. تحقق من فهمك 32 الفصل 7 الاحتمالات حدد إذا كانت الحادثتان مستقلتين أم غير مستقلتين في كل مما يأتي، ووضح إجابتك: (1) سحبت بطاقة من مجموعة بطاقات، ثم أعيدت إلى المجموعة، ثم سحبت بطاقة ثانية. 18) إلقاء قطعة نقد مرة واحدة، ثم رمي مكعب مرقم مرة واحدة أيضًا. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تنبيه يُحدد قانون الضرب الثاني في الاحتمالات احتمال وقوع حادثتين غير مستقلتين معا . ي مفهوم أساسي احتمال حادثتين غير مستقلتين أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: احتمال وقوع حادثتين غير مستقلتين معًا يساوي حاصل ضرب احتمال وقوع الحادثة الأولى في احتمال وقوع الحادثة الثانية بعد وقوع الأولى فعلا. بالرموز إذا كانت الحادثتان A و B غير مستقلتين، فإن P(AB) = P(A) P(B|A) يقرأ الرمز (BA) احتمال وقوع الحادثة B بشرط وقوع الحادثة A أولًا، وهذا يُسمى الاحتمال المشروط، ويمكنك استعمال الرسم الشجري مع الاحتمالات. وتُسمى شجرة الاحتمال. مثال 3 احتمالات الحوادث غير المستقلة إشارة الاحتمال المشروط الا يجب يفسر الرمز وسائل النقل: ارجع إلى المثال 2 افترض أن خالدًا سحب قصاصة، ولم يرجعها ثانية. فإذا سحب صديقه زيد قصاصة، فما احتمال أن يسحب كل من الصديقين قصاصة صفراء ؟ هاتان الحادثتان غير مستقلتين؛ لأن خالدًا لم يُرجع القصاصة التي سحبها من الكيس. في (BA) على أنه رمز القسمة. P(YY) P(Y) P(YY) = احتمال الحادثتين غير المستقلتين إرشادات للدراسة قيم الاحتمال لأي حادثة X في تجربة عشوائية يكون .0 ≤ P(X) ≤ 1 مجموع احتمالات جميع النواتج في تجربة عشوائية يساوي 1 34 الفصل 7 الاحتمالات 5 = 14 = 8 بعد سحب قصاصة صفراء، يبقى 7 قصاصات، أربع منها صفراء لذا فاحتمال أن يسحب الصديقان قصاصتين صفراوين يساوي ، أو %36 تقريبًا. 14 تحقق: تحقق من صحة هذه النتيجة باستعمال الرسم الشجري احسب احتمال كل حادثة بسيطة في المرحلة الأولى والاحتمال المشروط في المرحلة الثانية، ثم اضرب احتمالي المرحلة الأولى في فروع الشجرة لإيجاد احتمال كل ناتج كما في الشكل أدناه. 4- Y - PYY) = 3.4 20 = 87 56 7 3 7-B-P(YB)= 5.3 = 8 7 15 56 5-Y-P(BY)=3.5= 15 87 56 7 B 2 7 - B - P(BB) = 3 2 6 == 87 56 يجب أن يكون مجموع الاحتمالات 1 56 6 15 15 =1✓ + + + 56 56 56 56 20 56 تحقق من فهمك (3) بطاقات يحتوي صندوق على 24 بطاقة، منها 6 بطاقات زرقاء مرقمة من 1 إلى 6 وبالمثل 6 بطاقات حمراء و 6 صفراء و 6 خضراء ما احتمال سحب 3 بطاقات حمراء الواحدة تلو الأخرى إذا كان السحب دون إرجاع ؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الاحتمال المشروط: علاوة على استعمال هذه الاحتمالات المشروطة لإيجاد احتمال وقوع حادثتين غير مستقلتين، يمكنك إيجاد احتمال وقوع حادثة مشروطة، وذلك بإعطاء معلومات إضافية عن وقوع حادثة أخرى، وذلك باختزال فضاء العينة، فمثلا إذا رُمي مكعب مرقم مرة واحدة وعُلم أن العدد الظاهر على وجه المكعب عدد فردي فما احتمال أن يكون هذا العدد 5؟ هناك ثلاثة أعداد فردية يمكن أن تظهر على وجه المكعب؛ لذا سوف يختزل فضاء العينة من 1 إلى 13 ، وعليه فإن احتمال أن يظهر العدد 5 يساوي: 01 5 3 (عدد فردي | PS . امثال 1 على اختبار قراءة الرياضيات الاحتمال المشروط (5) P تقرأ احتمال أن يكون العدد الناتج 5 إذا وقعت الحادثة .. تجري المعلمة سارة مسابقة بين 8 طالبات. ولتشكيل الفريقين يتم سحب بطاقات مرقمة من 1 إلى 8 عشوائيا حيث: . تشكل الطالبات اللواتي يسحبن الأعداد الفردية الفريق الأول. تشكل الطالبات اللواتي يسحبنا الأعداد الزوجية الفريق الثاني إذا كانت ليلى من الفريق الثاني فما احتمال أنها سحبت العدد 2؟ 8 اقرأ فقرة الاختبار 1 B 3 8 D إرشادات للاختبار أشكال فن استعمل أشكال فن لتساعدك على تصور العلاقة بين نواتج حادثتين غير مستقلتين. بما أن ليلى من الفريق الثاني فإنها تكون قد سحبت عددًا زوجيا؛ لذا فإنك في حاجة إلى إيجاد احتمال أن يكون الناتج 2 إذا علمت أن العدد المسحوب كان زوجيا وعليه فإن هذه مسألة احتمال مشروط. حل فقرة الاختبار افترض أن A حادثة سحب عدد زوجي و أن B حادثة . العدد 2 سحب ارسم شكل فن لتمثيل هذا الموقف. يوجد أربعة أعداد زوجية في فضاء العينة، وواحد منها هو 2 ؛ لذا فإن ل = (BA). والإجابة الصحيحة هي .B . تحقق من فهمك 7 5 B (4) عند رمي مكعبين مرقمين متمايزين مرة واحدة، ما احتمال أن يظهر العدد 4 على أحدهما إذا كان مجموع العددين على الوجهين الظاهرين يساوي 9؟ إرشادات للدراسة التقاطع تقاطع مجموعتين هو B مجموعة كل العناصر بما أن الاحتمال المشروط يختزل فضاء العينة، فإنه يمكن تبسيط شكل فن في المشتركة التي تنتمي المثال ،4 كما هو في الشكل المجاور، ويمثل تقاطع الحادثتين النواتج المشتركة إلى المجموعة الأولى P(AB) P(B|A)= P(A) في A و B وهذا يعني أن والى المجموعة الثانية في الوقت نفسه ويرمز لها بالرمز . مفهوم أساسي الاحتمال المشروط الاحتمال المشروط لـ B إذا وقع A هو . حيث: 0 (A). P(B|A)= P(AB) P(A) سيبرهن هذا القانون في السؤال 16 D AnB أضف إلى مطويتك وزارة التعليم الدرس 4- احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة 35 2024-1446

تأكد مثال 1 حدد إذا كانت الحادثتان في السؤالين (12) مستقلتين أم غير مستقلتين، ووضح إجابتك: 1) وصل فريق كرة القدم في مدرسة إلى الدور قبل النهائي، وإذا ربح فسيلعب في المباراة النهائية للبطولة. (2) نجاح عبد العزيز في اختبار الرياضيات يوم الأحد ، ونجاحه في اختبار الفيزياء يوم الخميس. مثال 2 3) بطاقات يحتوي صندوق على 20 بطاقة مقسمة إلى أربع مجموعات متساوية لكل منها لون من الألوان الآتية: الأحمر، حمر والأسود والأخضر والأزرق سحبت بطاقة واحدة عشوائياً من الصندوق، ثم أعيدت إليه، وبعد ذلك سُحبت بطاقة ثانية. ما احتمال اختيار بطاقة حمراء في المرتين؟ مثال 3 (4) أوراق نقدية في جيب عبد السلام 3 أوراق نقدية من فئة 5 ريالات، و7 أوراق من فئة 10 ريالات، ما احتمال أن يسحب عبد السلام عشوائياً ورقتين على التوالي من فئة 5 ريالات على فرض أن فرص حصول الحوادث متساوية. مثال 4 5) أصدقاء يلتقي 10 أصدقاء كل يوم عطلة ليلعبوا كرة القدم ولتشكيل الفريقين يتم سحب بطاقات مرقمة من 1 إلى 10 عشوائياً، ويشكل الذين يسحبون الأعداد الفردية الفريق A والذين يسحبون الأعداد تدرب وحل المسائل الزوجية الفريق .B. ما احتمال أن يكون أحد لاعبي الفريق B قد سحب العدد 10؟ الأمثلة 3-1 حدد إذا كانت الحادثتان في الأسئلة (69) مستقلتين أم غير مستقلتين، ثم أوجد الاحتمال: (6) رمي مكعب مرقم للحصول على عدد زوجي، ثم إدارة مؤشر قرص مقسم إلى قطاعات متطابقة، ومرقم من 1 إلى 5 ؛ للحصول على عدد فردي. (7) اختيار طالبين حصلا على الدرجة الكاملة في اختبار للرياضيات واحدا تلو الآخر من صفّ فيه 25 طالبًا، 5 منهم حصلوا على الدرجة الكاملة. تكرار سحب كرة زرقاء في تجربة سحب كرتين متتاليتين عشوائيا دون إرجاع ، من حقيبة بها 3 كرات خضراء و 4 كرات زرقاء ظهور العدد 8 على الوجهين العلويين لمكعبين مرقمين متمايزين أنقلها مرة واحدة. 10) ألعاب: إذا أُدير مؤشر القرص المبين في الشكل المجاور وأُلقيت قطعة نقد مرة واحدة. فما احتمال الحصول على عدد زوجي وظهور كتابة على قطعة النقد؟ 36 الفصل 7 الاحتمالات (11) شعارات معتمدًا على الجدول المجاور، إذا اختير شعاران عشوائياً، فما احتمال أن يكون كلا الشعارين الأول والثاني أحمر؟ لون الشعار العدد أزرق أبيض أحمر أسود 20 15 25 10 5 4 3 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال 4 (12) شحبت كرة حمراء عشوائيا من كيس يحتوي على كرتين زرقاوين و 9 كرات حمراء دون إرجاع. ما احتمال سحب كرة حمراء ثانية؟ الربط بالحياة تعد ضربة البداية في التنس الأرضي خطأ مزدوجًا على اللاعب إذا لم ينجح في إيصال الكرة إلى منطقة الاستقبال (13) مستطيل محيطه 12 وحدة، إذا كانت أطوال أضلاعه أعدادًا صحيحة، فما احتمال أن يكون الشكل مربعا؟ (14) رقمت قطاعات متطابقة في قرص من 1 إلى 12، إذا أدير مؤشر القرص، فما احتمال أن يستقر المؤشر عند العدد 11 إذا علم أنه استقر عند عدد فردي؟ (15) تقنيات يمتلك %43% من طلاب مدرسة جهازا نقالًا، و 28% يمتلكون جهازا نقالًا وجهاز حاسوب. فما احتمال أن يمتلك طالب منهم جهاز حاسوب إذا كان يمتلك جهازا نقالًا؟ (16) برهان استعمل قانون احتمال حادثتين غير مستقلتين (AB) لاشتقاق قانون الاحتمال المشروط P(BA) (17) تنس أرضي : إذا كانت نسبة أداء الضربة الأولى دون أخطاء للاعب التنس %40 ، على حين كانت نسبة الضربة الثانية %70، فأجب عما يأتي: المقابلة دون أن يطأ خط الرمي a) ارسم شجرة الاحتمال التي تبين احتمالات النواتج. أو يتجاوزه في محاولتين. ما احتمال أن يرتكب اللاعب خطاً مزدوجا؟ مسائل مهارات التفكير العليا 18) اكتشف الخطأ أراد كل من مهند وجابر إيجاد احتمال A شرط وقوع B، حيث 0.3 = (A) = 0.3 (B)، والحادثتان A و B مستقلتان. أيهما إجابته صحيحة؟ برر إجابتك. مهند بما أن 1 و 8 حادثتان مستقلتان فان: (A) = ( ) جابر بما أننا لا نعرف (8 ) ، فإننا لا نستطيع إيجاد (8) (19 تحد يحتوي كيس على 1 من العناصر المختلفة، فإذا كان احتمال سحب العنصر A ثم العنصر B دون إرجاع يساوي %5. فما قيمة ؟ وضح إجابتك. (20) تبرير: إذا كان A و B حادثتين مستقلتين، فهل العبارة ( (AB) صحيحة أحيانًا أم صحيحة دائما أم غير صحيحة أبدًا؟ برر إجابتك. (21) مسألة مفتوحة صف حادثتين مستقلتين وحادثتين غير مستقلتين، وبرر إجابتك. 22) اكتب وضح لماذا يجب أن يكون مجموع احتمالات النواتج في شجرة الاحتمال يساوي 1. وزارة التعليم الدرس 4- احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة 370 2024-1446

تدريب على اختبار 23) احتمال يمكن أن يلعب بلال عشوائياً في واحدة من 6 رياضات في النادي، ويتناول طعامه في فترة من ثلاث فترات يحددها النادي ما احتمال أن يلعب الرياضة الثانية ويتناول طعامه في الفترة الأولى؟ A 18 D B (24) احتمال يحتوي كيس على 7 حبات حلوى حمراء و 11 حبة صفراء و 13 حبة خضراء. إذا أخذ عمار حبتي حلوى من الكيس دون أن ينظر إليهما. فما احتمال أن يأخذ حبة خضراء، ثم حبة حمراء ؟ اكتب الاحتمال على صورة نسبة مئوية مقربة إلى أقرب عُشر. مراجعة تراكمية 25) ما احتمال ظهور العدد 2 على الوجه العلوي لمكعب مرقم ألقي مرتين؟ (الدرس 4-7) استعمل القرص ذا المؤشر الدوّار في الشكل المجاور لإيجاد كل مما يأتي ( يعاد تدوير المؤشر إذا استقر على أي خط بين لونين): الدرس (3-7) (26) (استقرار المؤشر عند اللون الأحمر )P (27) (استقرار المؤشر عند اللون الأزرق)P 28) (استقرار المؤشر عند اللون الأخضر )P (29) (استقرار المؤشر عند اللون الأصفر )P أوجد عدد النواتج الممكنة لكل موقف فيما يأتي: (الدرس 1-7) 30) تختار فاطمة واحدًا من بين 5 مذاقات مختلفة من الآيس كريم و3 أنواع مختلفة من الحلوى. 31) يختار بدر واحدًا من الألوان الستة لدراجته الجديدة، وأحد تصميمين لمقاعدها. 32) رمي ثلاثة مكعبات مرقمة في آن واحد. 38 الفصل 7 الاحتمالات 115 60° 70° 90° 25 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446