الدوال الدائرية - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 2.05 05 18 in 11 in 1,5s 4 in (0, 1)] (-1,0) 0 أضف إلى مطويتك P(cos 0, sin 9) P(x, y) X (1, 0) (0, 1) الدوال الدائرية Circular Functions 8-6 فيما سبق درست إيجاد قيم دوال مثلثية باستعمال زوايا مرجعية الدرس (3-8) وا الان . أجد قيم دوال مثلثية بالاعتماد على دائرة الوحدة. . استعمل خواص الدوال الدورية في إيجاد قيم دوال مثلثية. اليعشي الا انت دائرة الوحدة unit circle الدالة الدائرية لماذا؟ عندما يقود شخص دراجة هوائية، فإن ارتفاع البدال في أثناء دورانه يمثل دالة بالنسبة إلى الزمن، كما هو مبين في الشكل المجاور. لاحظ أن البدال في الشكل المجاور يدور دورة كاملة كل ثانيتين. الدوال الدائرية دائرة الوحدة هي دائرة مرسومة في المستوى الإحداثي مركزها نقطة الأصل وطول نصف قطرها وحدة واحدة. يمكنك استعمال النقطة P الواقعة على دائرة الوحدة لتعريف دالتي: الجيب وجيب التمام. sin 0 = = y = 1 1 r cos 0 = =X وبذلك فإن قيمة 6 cos هي الإحداثي ، وقيمة 0 sin هي الإحداثي y لنقطة تقاطع ضلع الانتهاء للزاوية 6 مع دائرة الوحدة. مفهوم أساسي دوال في دائرة الوحدة التعبير اللفظي: إذا قطع ضلع الانتهاء للزاوية 9 النموذج: المرسومة في الوضع القياسي (1, 0) (-1, 0) (0,-1). دائرة الوحدة في النقطة (x,y) فإن cos 6 = x, sin 0 = y circular function الدالة الدورية periodic function الدورة cycle الرموز (x,y) = (cos 6, sin 0 طول الدورة period مثال: إذا كانت 120 = 6 فإن: P(x, y) = P(cos 120°, sin 120°) كل من cos 0 = x , sin 0 = y دالة بالنسبة إلى .. وتُسمّى كلّ منهما دالة دائرية ؛ لأن تعريف كل منهما اعتمد على دائرة الوحدة. إرشادات للدراسة الدوال الدائرية بما أن طول القوس المقابل للزاوية التي قياسها 9 يساوي 19 ، فإنه يمكن التعبير عن مجال الدالة المثلثية بطول القوس المقابل امثال 1 إيجاد قيمة الجيب وجيب التمام لزاوية بمعلومية نقطة على دائرة الوحدة إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 0 المرسومة في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة ، فأوجد كلا من 0 cos , sin. cos 0= = P(cos 0, sin 0) √3 sin 0 : 2 (0, 1) (1, 0) (-1, 0) (0,-1). وزارة التعليم الدرس 6- الدوال الدائرية 93 of 2024-1446 تحقق من فهمك للزاوية بدلا من قياسها 1) إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 6 المرسومة في الوضع القياسي يقطع وعندئذ تسمى دالة دائرية. دائرة الوحدة في النقطة ، فأوجد كلا من 8 صورة منه .

إرشادات للدراسة الدورات يمكن أن تبدأ الدورة عند أي نقطة في منحنى الدالة الدورية. ففي المثال 2 إذا كانت بداية الدورة عند ، فإن النمط سيبدأ بالتكرار ، ويكون طول عند 37 الدورة هو: 37 **-*-* الدوال الدورية في الدوال الدورية يكون شكل الدالّة وقيمها (y) عبارة عن تكرار لنمط على فترات منتظمة متتالية. ويُسمّى النمط الواحد الكامل منها دورة، وتُسمّى المسافة الأفقية في الدورة طول الدورة كما هو مبين في التمثيل البياني للدالة أدناه. دورة واحدة y 1 0° 1 180° -1 0 360° 1 180 360° $40 720° -1 540° -1 اطول الدورة مثال 2 إيجاد طول الدورة 360° أوجد طول الدورة للدالة الممثلة بيانيا في الشكل المجاور. يبدأ تكرار النمط عند ... 27 7 ، ولذلك طول الدورة هو .. 1 720° تتكرر الدورة كل °360 1 LAA -1 2 π 2 تحقق من فهمك (2) أوجد طول الدورة للدالة الممثلة بيانيا في الشكل المجاور. -2π TV 27 -1 الربط بالحياة أغلب متسابقي الدراجات الهوائية يديرون البذالات بمعدلات تزيد على 200 دورة/دقيقة. أما غالبية الناس الذي يركبون دراجات هوائية فيديرونها بمعدلات تتراوح بين 90-120 دورة دقيقة دوران العجلة والبدال في الدراجة الهوائية، ولعبة العجلة الدوّارة، والعديد من الألعاب في مدن الألعاب، ودوران الأشياء المختلفة في الفضاء، كلها تمثل دوال دورية. مثال 3 من واقع الحياة استعمال الدوال الدورية دراجات هوائية : عُدْ إلى فقرة "لماذا؟" الواردة في بداية الدرس. إذا تغير ارتفاع البدال في الدراجة الهوائية بصورة دورية عدالة في الزمن، فأجب عما يأتي: a أنشئ جدولا يوضح ارتفاع البدال عند الثواني الآتية: 0, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3 عند 0s يكون الارتفاع in.18. وعند 0.5، يكون الارتفاع in 11 وعند 16 يكون الارتفاع in 4، وهكذا. ا أوجد طول دورة الدالة. طول الدورة هو الزمن اللازم لإكمال دورة كاملة، لذلك طول الدورة 2 ثانية. مثل الدالة بيانيا. افترض أن المحور الأفقي يُمثل الزمن ، والمحور الرأسي يُمثل الارتفاع . أقصى ارتفاع يصله البدال in 18. وأقل ارتفاع in 4 ولأن طول الدورة ثانيتان، لذا فإن النمط يتكرر كل ثانيتين. الارتفاع (in) الزمن (5) 0 18 0.5 11 1.0 4 1.5 11 2.0 18 2.5 11 3.0 4 05 1 1.5 2 2.5 3.5 4 الزمن (5) 20 10- 94 الفصل 8 حساب المثلثات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تحقق من فهمك (3) دراجات هوائية افترض أن البدال للدراجة الهوائية المحددة في فقرة لماذا؟“ الواردة في بداية الدرس يدور بمعدل دورة واحدة لكل ثانية. A أنشئ جدولا يوضح ارتفاع البدال عند الثواني الآتية: 0.53.0 1.5 ,10 ,10,0.5 أوجد طول دورة الدالة ومثلها بيانياً. بين الشكل المجاور القيم الدقيقة لكل من cos sin لبعض الزوايا الخاصة على دائرة الوحدة. حيث يمثل الإحداثي x قيمة 6 cos ، ويمثل الإحداثي لا قيمة @ sin للنقاط على دائرة الوحدة. يمكنك استعمال هذه المعلومات في تمثيل الدالتين 6 cos 6, sin بيانيا، حيث يمثل المحور الأفقي قيم ، والمحور الرأسي قيم (1) 2 3 3 (0, 1) (½) 120° 90° (-135 (-1, 0) 150° 180° (--)225 60° 30° 0° 360° 330° 315° 11 300° 7π 6 574 3 (0,-1) 0 (1, 0) ((-) 210° 6 5 240° ( 4 4 270 3 3 (--) 2 الدالة المطلوبة. إرشادات للدراسة تتكرر دورة كلُّ من دالَّتي الجيب وجيب التمام كل "360. وهذا يعني أنهما دالتان دوريتان. طول دورة كلّ منهما الراديان 360 أو 27. عند تمثيل دالّتي الجيب وجيب التمام يمكن تدريج المحور 6 بالراديان. إذا كانت النقاط المبينة في الشكل تمثل نقاط تقاطع ضلع الانتهاء للزوايا مع دائرة الوحدة، فإن 270 = 0 ,°150 = 6 ,"45 = 6 . 150° (cos 45°, sin 45°) = (22) (cos 150°, sin 150°) = (cos 270°, sin 270°) = (0, -1) -1(0,-1) كما يمكنك تعيين هذه النقاط على التمثيل البياني لكل من الدالتين 6 sin 6, cos كما يأتي: cos 45°- sin 45" = cos 270 = 0 sin 150 == 90 180 270 360° 90° 1808 270 560" cos 150 = sin 270" = -1 وزارة التعليم الدرس - الدوال الدائرية 95 2024-1446

بما أن طول الدورة لكل من الدالّتين هو 360 ، فإن قيم كلّ من الدالّتين تتكرر كل 360. لذلك فإن sin (x + 360° = sin x, cos (x + 360 = cos x مثال 4 حساب قيم الدوال المثلثية أوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثلثية مما يأتي: sin 11T = sin =sin 3* sin 11 (b (48) cos 480° (a cos 480 = cos (120° + 360°) = cos 120° = تحقق من فهمك sin 420° (4A تأكد مثال 1 إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 0 المرسومة في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة P، فأوجد كلًا من 0 cos 0 sin في كل مما يأتي: مثال 2 أوجد طول الدورة لكل من الدالّتين الآتيتين: (2 AAZ 27 (4 (3 مثال 3 5) أرجوحة: إذا مثل ارتفاع أرجوحة دالة دورية في الزمن، بحيث تصل الأرجوحة إلى أقصى ارتفاع لها وهو 2m ، ثم تعود إيابًا لتصل 2m مرّة أخرى مرورًا بأقل ارتفاع لها وهو m ، مستغرقة زمناً قدره ثانية واحدة بين أقل ارتفاع وأقصى ارتفاع، فأجب عما يأتي: ما الزمن الذي تستغرقه حركة الأرجوحة ذهابًا وإيابًا بدءًا بأقصى ارتفاع وانتهاءً إليه ؟ (6) مثل بيانيا ارتفاع الأرجوحة h باعتبارها دالة في الزمن . مثال 4 أوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثلثية مما يأتي: وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 cos 540° (8) sin (-60°) (7) sin 137 (6 6 الفصل 8 حساب المثلثات 96

تدرب وحل المسائل مثال 1 إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 6 المرسومة في الوضع القياسي يقطع دائرة الوحدة في النقطة P، فأوجد كلًا من 0 cos , sin في كل مما يأتي: و) - P P(-26-24) (10 (12 (11 مثال 2 أوجد طول الدورة لكل من الدوال الآتية: JA MAA (14 (16 AM MAAAA 0 (13 (15 مثال 3 17) العجلة الدوارة يبين الشكل المجاور موقع مقعد راكب لا بالأقدام عن مركز العجلة بعد } ثانية. إذا تغير ارتفاع المقعد لا في العجلة بصورة دورية كدالة في الزمن، فأجب عما يأتي: a أنشئ جدولا يوضح ارتفاع المقعد لا عند الثواني الآتية: 9.5 7.5 ,5.5 ,3.75 ,2 ,0 11.25, 13, 15.5 أوجد طول دورة الدالة. مثل الدالة بيانيا. افترض أن المحور الأفقي يمثل الزمن ، والمحور الرأسي يمثل الارتفاع . مثال 4 أوجد القيم الدقيقة لكل دالة مثلثية مما يأتي: مقطع جانبي للعجلة y=0 7 = 14 v=10 1=0 1=2 t=3.75 t=5.5 وزارة التعليم الدرس - الدوال الدائرية 97 cos (60°) (19 sin (18 sin (21 cos 450° (20) cos 570° (23) sin (-45°) (22

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 120° (24) محركات في المحرك المجاور، تمثل (d) المسافة من المكبس إلى مركز الدائرة التي تُسمّى ناقل الحركة (الكرنك)، وتشكل دالة في الزمن. إذا علمت أن النقطة R الواقعة على ذراع المكبس تدور بسرعة (25 150 دورة / ثانية، فاعتمد على ذلك في الإجابة عن السؤالين الآتيين: أوجد طول الدورة بالثواني. إذا كانت أقصر قيمة للمسافة ، تبلغ 1cm، وأكبر قيمة 7cm ، فمثل IR الدالة بيانيا، معتبرًا أن المحور الأفقي يمثل الزمن ! ، منحنی والمحور الرأسي يمثل المسافة ) . 05 تمثيلات متعددة يقطع ضلع الانتهاء للزاوية المرسومة في الوضع القياسي دائرة الوحدة في النقطة P كما يبين الشكل المجاور. (a) هندسيا : انسخ الشكل في دفترك، وارسم ضلع الانتهاء لكل زاوية من الزوايا التي قياساتها 315, 210 ,300,150 في الوضع القياسي. جدولياء أنشى جدولا للقيم يوضح ميل كل ضلع انتهاء، مقربا إلى القرب جزء من عشرة. تحليليا : ماذا تستنتج بالنسبة إلى العلاقة بين ظل الزاوية والميل؟ وضح إجابتك. 6(sin 30°)(sin 60°) (27 COS cos (-)+ sin 3 (29 . (cos 30")(cos 150) (31 sin 315° أوجد القيمة الدقيقة لكل مما يأتي: cos 45° -cos 30° (26 117 (28 2 sin 1 - 3 cos 4π 3 (sin 45°)2 + (cos 45°)2 (30 مسائل مهارات التفكير العليا (32) هندسة : رسم سداسي منتظم داخل دائرة وحدة مركزها نقطة الأصل، بحيث تقع رؤوسه جميعها على الدائرة كما في الشكل المجاور. إذا كانت إحداثيات أحد رؤوس السداسي (10)، فما إحداثيات الرؤوس الخمسة الأخرى من السداسي؟ (1, 0) x 33 اكتشف الخطأ قام كل من خالد ونواف بحساب قيمة المقدار - cos. فأيهما إجابته صحيحة ؟ فسر إجابتك. خالد 3 نواف cos¯ = cos(+2) = cos x = 0.5 -IT cos = -C05 = -0.5 الفصل 8 حساب المثلثات 98

(34) تحد. إذا بدأ نصف المستقيم الموضّح في الشكل المجاور من نقطة الأصل مارا بالنقطة - في المستوى الإحداثي، فاذكر قياسًا للزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الموجب لمحور x . (35) تبرير: حدد ما إذا كانت الجملة الآتية صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانا، أو غير صحيحة أبنا. وضح إجابتك. " طول دورة دالة الجيب من مضاعفات " 8 36) اكتب: وضّح كيف يمكنك حساب طول دورة الدالة الدورية، باستعمال التمثيل البياني للدالة. ضمن في توضيحك وصفا للدورة. 8 30° 12 38) هندسة مساحة المثلث الموضّح في الشكل المجاور تساوي تدريب على اختبار (37) إذا كان 21 = 18 + 12 ، فإن : 8 - 12 يساوي : 161 D 31 C 13 B 5A 24 D 41.6 C 96 B 48 A مراجعة تراكمية حل كلا من المثلثات الآتية، مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب عُشر، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة (الدرسان 5-4-8 A (40 6 110° 13 B A (42) B 8 9 C 5 B B (39 82° 8 A 14 C 18 118° A 11 C (41) حدد ما إذا كان للمثلث في كل مما يأتي حلّ واحد أم حلان أم ليس له حل أوجد الحلول، مقربا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة (الدرس 4-8) A = 110°, a 9, b = 5 (45 A 46°, a 10, b = 8 (44 وزارة التعليم الدرس - الدوال الدائرية عام 99 2024-1446 90 (48) - 180 (47 A=72°, a 6, b = 11 (43 بسط كلا مما يأتي: (مهارة سابقة) 240 1- (46