حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض - الرياضيات 2 - ثالث متوسط

٥-٢ حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض فيما سبق لماذا؟ في إحدى السنوات أنتجت مزرعة ناصر ١٦ طنا من التمور، بينما أنتجت مزرعة محمد ۲۰ طنا. ثم بدأ إنتاج المزرعتين يتناقص درست حل نظام مكون من سنويًّا، فبلغ في السنة التالية ۱۳ طنًّا لمزرعة ناصر و ١٦ طنًّا لمزرعة معادلتين خطيتين بيانيا. والآن . أحل نظامًا مكونا من معادلتين بالتعويض أحل مسائل من واقع محمد. فإذا استمر تناقص إنتاج كل من المزرعتين وفق المعدل نفسه، فمتى يتساوى الإنتاج السنوي للمزرعتين؟ الحل بالتعويض : يمكنك استعمال نظام مكوّن من معادلتين www.ien.edu.sa الحياة تتضمن نظاما لإيجاد متى يتساوى إنتاج المزرعتين، وإحدى طرائق إيجاد الحل الدقيق لنظام المعادلات التعويض. من معادلتين) باستعمال مفهوم أساسي الحل بالتعويض التعويض. المفردات التعويض مطويتك الخطوة 1 : حل إحدى المعادلتين على الأقل باستعمال أحد المتغيرين إذا كان ذلك ضروريًا. الخطوة ٢ : عوض المقدار الناتج من الخطوة (۱) في المعادلة الثانية، ثم حلها. الخطوة 3 : ـوض القيمة الناتجة من الخطوة (۲) في أي من المعادلتين وحلها لإيجاد قيمة المتغير الثاني، واكتب الحل في صورة زوج مرتب. حل نظام من معادلتين بالتعويض مثال ۱ استعمل التعويض لحل النظام الآتي: + الخطوة 1 : إحدى المعادلتين مكتوبة أساسا بالنسبة إلى ص. إرشادات للدراسة تحقق من صحة حلك بعد إيجاد قيم المتغيرين عوض بهما في كلتا المعادلتين لتتحقق من صحة الحل. ص = ۲ س + ۱ س + ص = -۹ الخطوة ٢ : عوض ۲ س + ۱ بدلا من صف المعادلة الثانية س + ص = -۹ س + ۲ س + ۱ - ۹ 9-=1+000 المعادلة الثانية عوض عن ص بـ ٢ س + ١ اجمع الحدود المتشابهة ه س = - ۱۰ اطرح (۱) من كلا الطرفين س = -۲ اقسم كلا الطرفين على ٥ الخطوة : عوض ۲- بدلا من س في أي من المعادلتين لإيجاد قيمة ص. ص = ۲ س + ۱ ۱ + (۲) ۲ = ۳-= إذن الحل هو : (۲) (۳). تحقق من فهمك المعادلة الأولى عوض عن س بـ (۲) بسط ۲۰ ١أ) ص = ٤ س - ٦ د س - + ۳ص = -۱ الفصل 5 : أنظمة المعادلات الخطية اب ۲ س + ٥ ص = -۱ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة صيغة الميل والمقطع إذا كُتبت كل من المعادلتين بصيغة الميل والمقطع (ص= م س +ب)، فيمكن مساواتهما معا، ثم إيجاد قيمة س، وتعويضها لإيجاد قيمة ص. وإذا لم يكن أحد المتغيرين مكتوبًا وحده في طرف إحدى المعادلتين في النظام، فحل إحدى المعادلتين أولا بالنسبة لهذا المتغير، ثم عوّض لحل النظام. مثال ۲ الحل ثم التعويض استعمل التعويض لحل النظام الآتي: س + ٢ ص = ٦ س - ٤ ص = ٢٨ الخطوة 1 : حل المعادلة الأولى بالنسبة للمتغيرس لأن معامل س = ١. ص = ٦ المعادلة الأولى س + ۲ ص - ٢ ص = ٦ - ٢ ص اطرح ٢ ص من كلا الطرفين. س = ٦ - ٢ ص بسط الخطوة ٢ : عوّض عن س بـ (٦ - ٢ ص ) في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة ص. عوض عن س بـ (٦-٢ ص) ٦٣ - ٢ص) - ٤ ص = ٢٨ ١٨ - ٦ ص - ٤ ص = ٢٨ خاصية التوزيع ۱۸ - ۱۰ ص = ۲۸ اجمع الحدود المتشابهة ۱۸ - ۱۰ ص - ۱۸ = ۲۸ - ۱۸ اطرح ١٨ من كلا الطرفين -۱۰ ص = ۱۰ ص = -1 بسط اقسم كلا الطرفين على - ١٠ المعادلة الأولى الخطوة 3 : أوجد قيمة س بالتعويض في ا المعادلة الأولى. س + ٢ ص = ٦ س + ۲ (۱) = ٦ س - ٢ - ٦ س =۸ الحل هو (۸، -١) بسط عوض عن ص بـ (۱) أضف ٢ إلى كلا الطرفين إرشادات للدراسة النظام غير المستقل هناك عدد لا نهائي من الحلول للنظام في المثال ٣؛ لأنه عند كتابة المعادلتين بصيغة الميل والمقطع تكونان متكافئتين، ولهما التمثيل البياني نفسه. تحقق من فهمك أ ٤ س + ٥ ص = ١١ ص - ۳ س = - ۱۳ ۲ ب) س - ۳ص = -۹ ۵ س - ۲ ص = ۷ وبصورة عامة، إذا كانت نتيجة حل نظام من معادلتين جملة خطأ مثل ۳ - ۲ ، فلا يوجد حل للنظام في هذه الحالة، أما إذا كانت النتيجة متطابقة مثل ۳۳ فهناك عدد لا نهائي من الحلول مثال ٣ عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد للنظام حل حل النظام الآتي مستعملا التعويض: ص = ٢ س - ٤ س + ٣ ص = - ١٢ عوض عن ص بـ (٢س -٤) في المعادلة الثانية. س + ٣ ص = -١٢ ٦س + ٣ ٢س - ٤) = -١٢ - ٦س + ٦ س - ١٢ = -١٢ ۱۲- = ۱۲ - المعادلة الثانية عوض عن ص بـ (٢س -٤) خاصية التوزيع اجمع الحدود المتشابهة بما أن الجملة الناتجة تشكل متطابقة، لذا يوجد عدد لا نهائي من الحلول وزارة التعليم الدرس ٢٥ حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض Ministry oucatio 2024-1446

۲۲ تحقق من فهمك حل كلا من النظامين الآتيين مستعملا التعويد ۱۳) ۲ س - ص = ۸ ص = ۲ س - ۳ ب) ٤ س - ٣ ص = ١ ٦ ص . - س - ۲- = حل مسائل من واقع الحياة: يمكنك استعمال التعويض لحل مسألة من واقع الحياة تتضمن نظامًا من معادلتين. مثال ٤ من واقع الحياة كتابة نظام من معادلتين وحله أجهزة باع متجر أجهزة تسجيل وسماعات عددها ١٢٥ جهازًا، بسعر ١٠٤,٩٥ ريالات لجهاز التسجيل الواحد، و ١٨,٩٥ ريالًا للسماعة الواحدة، فإذا كان ثمن مبيعاته من هذه الأجهزة ٦٩٢٦,٧٥ ريالا، فكم جهازا باع من كل نوع؟ لتكن جـ = عدد أجهزة التسجيل، ت= عدد السماعات. عدد الوحدات المبيعة ت السعر ١٠٤,٩٥ج ١٨,٩٥ت ٦٩٢٦,٧٥ فتكون المعادلتان هما جـ + ت = ۱٢٥ ، ۱۰۹ جـ + ١٨ ت = ٦٩٢٦,٧٥. الخطوة 1 : حل المعادلة الأولى بالنسبة للمتغير جـ . ج + ت = ١٢٥ ج + ت - ت = ١٢٥ - ت جـ = ١٢٥ - ت المعادلة الأولى اطرح ت من كلا الطرفين بسط الخطوة ٢ : عوض عن جـ بـ (١٢٥ - ت) في المعادلة الثانية. 10,0 جـ + ١٨ ت = ٦٩٢٦,٧٥ المعادلة الثانية ١٠٤,٩٥ (١٢٥ - ت) + ١٨,٩٥ ت = ٦٩٢٦,٧٥ عوض عن جـ بـ ( ١٢٥) -ت) ۱۳۱۱۸,۷۵ - ١٠٤,٩٥ ت + ١٨,٩٥ ت = ٦٩٢٦,٧٥ خاصية التوزيع ۱۳۱۱۸,۷۵ - ٨٦ ت = ٦٩٢٦,٧٥ اجمع الحدود المتشابهة - ٨٦ ت = - ٦١٩٢ اطرح ١٣١١٨,٧٥ من كلا الطرفين ت = ۷۲ الخطوة : عوض عن ت بـ (۷۲) في إحدى المعادلتين لإيجاد قيمة جـ . ج + ت = ١٢٥ المعادلة الأولى ج + ٧٢ = ١٢٥ عوض عن ت بـ (۷۲) ج = ٥٣ اطرح ٧٢ من كلا الطرفين إذن باع المتجر ٥٣ جهاز تسجيل، ۷۲ سماعة. تحقق من فهمك اقسم كلا الطرفين على ٨٦ 4) رياضة : مجموع النقاط التي سجلها فريقان في إحدى مباريات كرة اليد ۳۱ نقطة. فإذا كان عدد نقاط الفريق الأول يساوي ٥٢ أمثال عدد نقاط الفريق الثاني، فما عدد نقاط كل فريق؟ الفصل 5 : أنظمة المعادلات الخطية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد الأمثلة ١ - ٣ حل كلا من الأنظمة الآتية مستعملا التعويض: ۱) س = ص - ۲ ۲) ۲ س + ٣ ص = ٤ ۳) س - ص = ۱ ٤ س + ص = ٢ ٤ س + ٦ ص = ٩ س = ۳ ص + ۳ مثال ٤ 4) هندسة : إذا كان مجموع قياسي الزاويتين س، ص يساوي ۱۸۰ ، وقياس الزاوية س يزيد بمقدار ٢٤ على قياس الزاوية ص، فأجب عما يأتي: أ) اكتب نظامًا من معادلتين لتمثيل هذا الموقف. ب) أوجد قياس كل زاوية. تدرب وحل المسائل الأمثلة ١ - ٣ حل كلًا من الأنظمة الآتية مستعملا التعويض: (٥ ص : = ٤ س + ٥ ص = ٣س - ٣٤ ۷ ص = ۳س – ۲ ۲ س + ص = ۱۷ ۸) ۲ س + ص = ۳ ٤ س + ٤ ص = ٨ ص = ٢ س - ٥ ص = ٢ س - ٥ ٩ ٣س + ٤ ص = -٣ 10) -۱ = ۲ س - ص س + ۲ ص = -۱ ٨ س - ٤ ص = -٤ ۱۱) س = ص - ۱ ۱۲) ص = - ٤ س + ١١ - س + ص = -۱ ٦ س + ٢ ص = ١٠ الربط مع الحياة السياحة في بلادنا متنفس في الإجازات للأسر والوافدين والسياح؛ (١٤) ٣س + ص = - ٥ لما حبا الله به البلاد من مظاهر طبيعية و آثار تاريخية، تمنح زائريها الراحة | والتوازن الذهني والجسماني. مثال ٤ (١٧) سياحة يبين الجدول أدناه العدد التقريبي لزوار منطقتين سياحيتين في المملكة خلال عام ١٤٣٥ هـ، س + ص = ۹ ۱۳) ص = - ۳س + ۱ ۲ س + ص = ۱ 15) ٥ س - ص = ٥ ١٦ - ٥ س + ٤ ص = ٢٠ س + ۳ص = ۱۳ ۱۰ س - ٨ ص = - ٤٠ ومعدل التغير بالآلاف خلال السنة الواحدة: المنطقة i عدد الزوار معدل التغير بالآلاف في السنة الواحدة) ٤٠,٣ ألفا ١٧,٠ ألفا زيادة ٠,٨ زيادة ۱٫۸ أ) عرف المتغيرات، واكتب معادلة تمثل عدد زوار كل منطقة. ب) إذا استمرت الزيادة بالمعدل نفسه، فبعد كم سنة تتوقع أن يصبح عدد الزوار متساويًا في المنطقتين؟ وزارة التعليم الدرس ٥-٢- حل نظام من معادلتين خطيتين بالتعويض Ministry o ۲۳ucation 2024-1446

١٨) رياضة : يبيّن الجدول المجاور الزمن المسجل للاعبين في سباقات الماراثون خلال عامي ١٤٢٥هـ ، ١٤٣٠هـ . أ) إذا سجل الزمن لكل منهما بالساعات والدقائق والثواني، فأعد كتابته إلى أقرب دقيقة. العام ١٤٢٥هـ ١٤٣٠هـ اللاعب أ اللاعب ب ١:٥٤:٤٣ ١:٥١:٣٩ ١:٥٨:٠٣ 1:49:31 ب) إذا اعتبرنا العام ١٤٢٥هـ صفرًا، وافترضنا ثبات معدل التغير بعد عام ١٤٢٥هـ ، فاكتب معادلة تمثل الزمن المسجل (ص) لكلا اللاعبين في أي عام (س). جـ ) إذا استمر التغير في الاتجاه نفسه، فهل يسجلان الزمن نفسه؟ فسّر إجابتك. مسائل مهارات التفكير العليا ١٩) تحد : كان عدد المتطوعين في العمل الخيري في إحدى القرى ٦٠ متطوعا، فإذا كانت نسبة الرجال إلى النساء ٧: ٥، فأوجد عدد كل من الرجال والنساء المتطوعين. ۲۰) تبریر: قارن بين حل نظام من معادلتين بكل من : طريقة التمثيل البياني، وطريقة التعويض. ۲۱) مسألة مفتوحة : أنشئ نظامًا من معادلتين له حل واحد، ووضح كيف يمكن أن يعبر عن مسألة من واقع الحياة، وصف دلالته. (۲۲) اكتب وضّح كيف تحدد الأفضل تعويضًا. عند استعمال طريقة التعويض لحل نظام من معادلتين. تدريب على اختبار ٢٣) أي الأنظمة الآتية له حل واحد؟ أ) ص= -٣س +٤ جـ) ص= ٥س +١ - ٦ س - ٢ ص= -۸ ٤ س + ص = ١٠ ب) س - ۲ ص = ۸ ٢ س= ٤ ص ٩ مراجعة تراكمية صحيحًا؟ ٢٤ ما مجموعة حل المعادلة : ۲ | ف | = ١٦ ، إذا كان ف عددًا د) س + ص = ۱ ص= ۳- س ب) { -۰،۸ } جـ) { -۸، ۸} د) { -۸،۰،۸} {A}(i مثل كلًا من أنظمة المعادلات الآتية بيانيا، ثم حدد ما إذا كان له حل واحد أم عدد لا نهائي من الحلول أم ليس له حل، وإن كان له حل واحد فاكتبه (الدرس ٥-١) ٢٥ س = ۱ ۲ س - ص = ۷ (٢٦) ص = س + ٥ حل كل متباينة فيما يأتي، وتحقق من صحة الحل: (مهارة سابقة) ٢٨ ٦ف + ١ -١١ ۲- ٢٩ ٢٤ ١٨ + ۲ن ۳۱) اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطتين (٦ ، ١ ) ، (۱ ، ۱) . (مهارة سابقة) (۲۷) س + ص = ۱ ۳ ص + ۳س = ۳ ۳۰) - ۱۱ ≥ ف + ٥ استعد للدرس اللاحق مهارة سابقة : بسط كلا من العبارات التالية بعد استعمال خاصية التوزيع (۳۲) ۱۰ ب + ٥ ) + ( ب ) (۳۳ ٢٤ الفصل 5: أنظمة المعادلات الخطية ه (۳ ن ٤٢ - ٨ن وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446