حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية - رياضيات1-3 - ثالث ثانوي

رابط الدرس ا حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية www.ien.edu.sa Solving Logarithmic Equations and Inequalites 2-5 فيما سبق: درستُ إيجاد قيمة عبارات لوغاريتمية الدرس 24 والآن : أحل معادلات لوغاريتمية. أحل متباينات لوغاريتمية. المفردات: المعادلة اللوغاريتمية logarithmic equation المتباينة اللوغاريتمية logarithmic inequality لماذا؟ تقاس شدة الأعاصير بمقياس يُدعى فوجيتا (Fujita)، ويرمز إليه بالرمز F، ويصنف هذا المقياس الأعاصير فئات من 0 إلى F6 بحسب سرعة الرياح إلى سبع المصاحبة للإعصار (20) والتي تعطى بالمعادلة 65 + 9310810d = 0 حيث تمثل d المسافة التي يقطعها الإعصار بالميل، وبحسب طول مساره، وعرضه، وقدرته التدميرية، والفئة 6 - F فئة أشد الأعاصير تدميرًا. هي إن معرفة المعادلة السابقة تمكنك من إيجاد المسافة التي يقطعها الإعصار بالميل عند أية قيمة لسرعة الرياح المصاحبة معطاة بالميل لكل ساعة. مقياس F F-0 ضعيف سرعة الرياح المصاحبة mi/h 40-72 F-1 73-112 متوسط F-2 113-157 قوي F-3 158-206 شدید F-4 207-260 مدمر F-5 261-318 هائل F-6 لا يتصور 319-379 القدرة التدميرية تكسر الأغصان اهتزاز تصدع الجدران اقتلاع الأشجار تطاير السيارات تطاير البيوت لم يحدث هذا المستوى إطلاقاً حل المعادلات اللوغاريتمية : تحتوي المعادلات اللوغاريتمية على لوغاريتم واحد أو أكثر. ويمكنك استعمال تعريف اللوغاريتم للمساعدة على حل معادلات لوغاريتمية. مثال 1 حل معادلات باستعمال تعريف اللوغاريتم حُلّ المعادلة : 32 을 log36 x = = x 10836 ، ثم تحقق من صحة حلك. المعادلة الأصلية 3 تعريف اللوغاريتم 36 = 62 x = 362 X = (62)2 x = 63 = 216 خاصية قوة القوة التحقق: عوّض عن x بـ 216 في المعادلة الأصلية . المعادلة الأصلية عوض 216 بدلا من x حلل ? 3 log36 x x = 10836 ? 216 = 32 32 ? 3 10836 (36)(6) 2 (36) 2 2 3 2 1 ? 3 1 + +32 2 3 = 2 10836 + 1083636 خاصيتا ضرب اللوغاريتميات ولوغاريتم القوة 10816 x = 52 (1B بسط الحل صحيح تحقق من فهمك log, x = ويمكنك استعمال خاصية المساواة للدوال اللوغاريتمية لحل معادلات لوغاريتمية تحتوي لوغاريتمات في كلا الطرفين. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية 110

4 D إرشادات للدراسة التعويض اختصارًا للوقت، يمكنك تعويض كل متغير بقيمته في المعادلة الأصلية للتحقق من صحة الحل. مثال 2 على اختبار حل المعادلة x2 – 4) = 10g 3x) 1082 . 1082 -2 A −1 B اقرأ فقرة الاختبار المطلوب هو إيجاد قيمة x في المعادلة اللوغاريتمية. حل فقرة الاختبار log 2 (x²-4) = log 2 3x x2 - 4 = 3x x2 - 3x - 4 = 0 (x-4)(x + 1) = 0 المعادلة الأصلية خاصية المساواة للدوال اللوغاريتمية اطرح 3 من كلا الطرفين حلل إلى العوامل 0=1+x أو 0 = 4 - x خاصية الضرب الصفري x = 4 log 2 (4² — 4) = log2 3(4) log2 12 = log, 12 10g / حل كل معادلة x = 4 أو x = -1 التحقق : عوّض بكل من القيمتين في المعادلة الأصلية. x = -1 log 2 [(−1)² - 4] — log2 3(-1) log2 (3) =log2 (3) بما أن (3) 1082 غير معرف، فالإجابة -1 مرفوضة والإجابة الصحيحة هي D تحقق من فهمك (2) حُلّ المعادلة x2 - 15) = 10g2x) 1083 . 3 A -1 B 15 D 5C ويمكنك استعمال خصائص اللوغاريتمات في حل المعادلات اللوغاريتمية. إرشادات للدراسة تحديد الحلول الدخيلة يمكن تحديد الحلول الدخيلة من خلال إيجاد مجال المعادلة، ففي مثال3 مجال 10gx هو 0<x، بينما مجال (9-log (x هو 9<x؛ لذا يكون مجال المعادلة هو <x ، وبما أن 39- فإن 3- = x ليس حلًا للمعادلة. مثال 3 حل معادلات باستعمال خاصية الضرب في اللوغاريتمات حُلّ المعادلة 2 = 9 - x + x 10 ، ثم تحقق من صحة حلك. log 6x + log 6 (x-9) = 2 log 6x (x-9) = 2 x(x-9)=62 x2 - 9 x - 36 = 0 (x-12)(x+3) = 0 x + 3 = 0 X = أو x - 12 = 0 x = 12 6 المعادلة الأصلية خاصية الضرب في اللوغاريتمات تعريف اللوغاريتم بسط ثم اطرح 36 من كلا الطرفين حلل خاصية الضرب الصفري حل كل معادلة وزارة التعليم الدرس 5- حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية M111F Ed 2024-1446

إرشادات للدراسة حل المعادلة اللوغاريتمية: عند حل متباينة لوغاريتمية يستثنى قيم المتغير التي لا يكون اللوغاريتم عندها معرفا. 112 التحقق : 2 = 9 - x + 108 (x 1086 log log 9) log (-3) + log (-3-9) — 2 log (-3) + log (−12) = 2 بما أن (3) 10 و (12) 108 غیر معرفين فإن 3- حل مرفوض. وبذلك يكون الحل هو 12 = x. تحقق من فهمك log6 x + log (x — 9) = 2 log 12+ log (12 - 9) 2 log6 12 + log63 ½-½ 2 log (12.3) 2 6 = log6 36 ± 2 ? 2=2✓ log 6x + log6(x+5)=2 (3B 2 log7x=log7 27+ log 7 3 (3A حل المتباينات اللوغاريتمية المتباينة اللوغاريتمية هي متباينة تتضمن عبارة لوغاريتمية أو أكثر، ويمكن استعمال الخاصية الآتية لحل متباينات لوغاريتمية تتضمن عبارة لوغاريتمية واحدة. مفهوم أساسي خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية إذا كان 1 ,10 < x و logox y ، فإن x > by تتحقق هذه الخاصية أيضًا إذا احتوت المتباينة رمزي التباين > ، < مثال 4 حل متباينات تتضمن عبارة لوغاريتمية واحدة أوجد مجموعة حلّ المتباينة 4 x 1083 ، ثم تحقق من صحة حلك. log3 x > 4 x > 34 x > 81 المتباينة الأساسية خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية بسط إذن مجموعة الحل هي {x | x > 81 , x e R} + 0 20 40 60 80 100 120 التحقق: عوّض بعدد أقل من 81 وعدد أكبر من 81 في المتباينة الأصلية. x = 9 log 3 94 2 > 4 X إذن الحل صحيح. تحقق من فهمك x = 243 log 3 243 34 54✓ أوجد مجموعة حل كل متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك. log4 x ≥ 3 (4A الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية log2 x < 4 (4B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

يمكنك استعمال الخاصية الآتية لحل متباينات تتضمن عبارتين لوغاريتميتين لهما الأساس نفسه في كلا الطرفين. استثن من حلك القيم التي ينتج عن تعويضها في المتباينة الأصلية أخذ اللوغاريتم لأعداد أقل من أو تساوي الصفر. مفهوم أساسي خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية الرموز : إذا كان 1 ، فإن 10gx > 10gy إذا وفقط إذا كان x > y < b x > 0, y > 0 مثال : إذا كان 35 10gx > 10g ، فإن 35 < x . تتحقق هذه الخاصية أيضًا إذا احتوت المتباينة رمزي التباين > ، < مثال 5 حل متباينات تتضمن عبارتين لوغاريتميتين لهما الأساس نفسه أوجد مجموعة حل المتباينة (1) + (2) 10 ( 3 ) ، ثم تحقق من صحة حلك. log (x + 3) > log4 (2x + 1) x + 3 > 2x + 1 2 > x المتباينة الأساسية خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية اطرح 1 + x من كلا الطرفين ثم استثن قيم x التي تجعل 0 ≥ 3 + x أو 0 ≥ 1 + x ≤ - 3 ) 2x أو } – ≥ x) <x<2,xeR 1 {x إذن مجموعة الحل هي { x | - } < x < 2 ,xe R} . + | I☺| | � -4-3-2-10 1 3 2 4 التحقق عوّض بعدد يقع في الفترة (2 , -)، وآخر يقع خارج الفترة (2 ، 3-). x = 1 log4 (1+3) Ỷ log4 (2+1) log4 4 3 log4 3 log4 4 > log4 3 إذن الحل صحيح. الدالة اللوغاريتمية متزايدة عندما تكون قيمة الأساس أكبر من 1 x = 3 1084 (3+3) 3 1084 (2x3+1) 1084 6 3 1084 7 log4 6 > log4 7 X الدالة اللوغاريتمية متزايدة عندما تكون قيمة الأساس أكبر من 1 تحقق من فهمك 5 أوجد مجموعة حل المتباينة 104 1 2 10 ، ثم تحقق من صحة حلك. وزارة التعليم الدرس 5-2 حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية Ed - 113 2024-1446

log2 x ≤ -2 (22) > log3 x ≥ -4 (21 أوجد مجموعة حلّ كل متباينة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك (مثال (5) تدرب وحل المسائل حُلّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك : ( مثال (1) logg x = 43 (1 log4 (2x + 5) ≤ log4 (4x − 3) (23 - logg (2x) > logg (6x – 8) (24 log2 (4x-6) > log2 (2x+8) (25 log7 (x + 2) ≥ log7 (6x - 3) (26 (27) صوت: يعطى ارتفاع الصوت بالصيغة L =1010g10، حيث R شدة الصوت. احسب شدة صوت منبه ارتفاع صوته 80 ديسبل. هي : (28) علوم تُقاس قوة الهزات الأرضية بمقياس لوغاريتمي ذي درجات يُسمى مقياس ريختر، وتُعطى قوة الهزة الأرضية M بالمعادلة = (a x 10810 + 1 ، حيث x تمثل شدة الهزة الأرضية. کم تبلغ شدة هزة أرضية سجلت 7 درجات على مقياس ريختر ؟ (b كم مرة تبلغ شدة هزة أرضية قوتها 8 درجات بمقياس ريختر مقارنة بشدة هزة أرضية قوتها 5 درجات على المقياس نفسه؟ 10816x = (2 10881 x = 10825 x = 1 1088 2 1 108636 34 52 (3 (4) = x (5 = x (6 log x 32 = √ √ √ (7 logy 27 = 32 (8 حلّ كل معادلة مما يأتي، ثم تحقق من صحة حلك المثالان (23) (29) تمثيلات متعددة ستكتشف في هذه المسألة العلاقة بين و : الدالتين y = loga x, y = 10g1 x . 5 log2 x = log2 32 (9 3 log2 x = log 28 (10 log4 48 — log 4 n = log46 (11 log 3 2x + log 3 7 = log 3 28 (12 log2 (4x) + log2 5 = log2 40 (13 log7 (x−3) + log7 (x-2) = log7 (2x+24) (14 log2 n = 1½ ½ log2 27 + log2 36 (15 8 - 1 10810 36 = 10810 x 16 3 log10 8 2 مجموعة حلّ كل متباينة مما يأتي ، ثم تحقق من صحة أوجد حلك ( مثال (4) 4 18 1.1 f1(x)-log (x) 4 110 12(x)=108 (x) 0.5 تحليليا : قارن بين منحنيي الدالتين من حيث خطوط التقارب ومقاطع المحور x؟ الدالتين. b) لفظيا : صف العلاقة بين منحنيي تحليليا : صف العلاقة بين كل من الدالتين y=log4 x 9 y=−1(log4x) وما مجال ومدى كل منهما ؟ (30) علوم : تُعطى سرعة الرياح 20 بالميل لكل ساعة قرب مركز الإعصار بالمعادلة 931081065 = 20 ، حيث d المسافة التي يقطعها logg x ≤ -2 (18 log5 x >3 (17 (a log4 x ≥4 (20 log6 x < −3 (19 (b الإعصار بالميل. اكتب المعادلة بصورة أسية. ما سرعة الرياح قرب مركز إعصار قطع مسافة 525 ميلا؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 2 العلاقات والدوال الأسية واللوغاريتمية 114

31 صوت: تُعطى العلاقة بين شدة الصوت بالواط لكل متر مربع 1 وعدد وحدات الديسبل 3 بالمعادلة ( 12 10 1010810 = B. (1017) مراجعة تراكمية حُلّ كلًا مما يأتي، وتحقق من صحة حلك : ( الدرس 2-2 ) a أوجد عدد وحدات الديسبل لصوت شدته 1واط لكل متر مربع، وكذلك لصوت شدته 102 واط لكل متر مربع. ) إذا كانت شدة الصوت 1 واط لكل متر مربع تعادل 100 مرة من شدة الصوت الذي مقداره 102 واط لكل متر مربع، فهل تضاعف عدد وحدات الديسبل بمقدار 100مرة ؟ 33x-281 (39 34x – 7 = 272x + 3 (40 8x - 4 = 24 - x (41) مسائل مهارات التفكير العليا أوجد قيمة كل عبارة مما يأتي: (الدرس 3-2 ) log4 256 (42 10g2 3 (43) 8 (32 اكتشف الخطأ : تقوم لينا وريم بحل المتباينة 2 2 x 1082 . أي منهما حلها صحيح ؟ لينا ريم log 2 x = -2 log 216 (44 × 22-2 1 log, 2401 (45 4 logz x 2 - 2 x≤2-2 10 < x ≤ = 1/4 (33) تحد: أوجد قيمة log 3 27+ log, 27 + log 27 27 + log 81 27 + log 243 27 بسط كلا مما يأتي مفترضًا أن أيَّا من المتغيرات لا يساوي الصفر: (مهارة سابقة) (34) تبرير نص خاصية التباين للدوال اللوغاريتمية هو: إذا كان 1 < b، فإن logox > logy إذا وفقط إذا كان x y . كيف يصبح نص الخاصية إذا كان 1 > b > 0 ، وضّح إجابتك. (35) اكتب وضح العلاقة بين مجال ومدى الدالة اللوغاريتمية ومجال ومدى الدالة الأسية المناظرة لها. (2p2n)³ (47 x5. x3 (46 (c)° (49 x4y6 xy2 (48 تدريب على اختبار (36) مسألة مفتوحة : أعط مثالا على معادلة لوغاريتمية ليس لها حل. (50) أي الدوال الأسية الآتية يمر تمثيلها البياني بالنقطتين (37) تبرير: ضع خطا تحت التعبير الذي يجعل الجملة صحيحة، مع ذكر السبب (علما بأن جميع المعادلات اللوغاريتمية المذكورة على الصورة log x = ). إذا كان أساس اللوغاريتم أكبر من 1 وتقع قيمة x بين 0,1 ، فإن قيمة لا تكون أصغر من ، أكبر من مساوية لـ الصفر. 1 إذا كان أساس اللوغاريتم بين 10 وقيمة x أكبر من 1، فإن قيمة لا تكون أصغر من ، أكبر من مساوية لـ الصفر. (0, -10), (4, -160) f(x) = -10(2) A f(x) = 10(2)* B f(x) = -10(4)* C f(x) = 10(4) D المعادلة 1080 = y ( لا حل لها، لها حل واحد لها عدد لا 51) أي مما يأتي يمثل حلا للمعادلة } = (1 - x - 1084 (x 1084؟ نهائي من الحلول) بالنسبة لـ b. المعادلة 1 y = 10g لا حل لها، لها حل واحد، لها عدد لا نهائي من الحلول) بالنسبة لـ b. 38 اكتب : فسِّر لماذا يقطع منحنى أي دالة لوغاريتمية على الصورة y = log x المحور x عند النقطة (1,0) ولا يقطع المحور y . ½½½ A B 1212 -2 C 2D وزارة التعليم الدرس 25 حل المعادلات والمتباينات اللوغاريتمية 115 2024-1446