المتتابعات بوصفها دوال - رياضيات2-2 - ثاني ثانوي

Sequences as Functions 6-1 فيما سبق درست الدوال الخطية والدوال الأسية. (مهارة سابقة) والان . أتعرف المتتابعة المتتابعات بوصفها دوال لماذا؟ خلال أحد المهرجانات الكشفية، دخل المشاركون إلى الملعب في صفوف، بحيث كان عدد الأفراد في كل صف كما يأتي: مشارك واحد في الصف الأول، وثلاثة في الصف الثاني، وخمسة في الصفٌ الثالث، وهكذا تستمر أعداد المشاركين على هذا النمط. المتتابعات الحسابية المتتابعة مجموعة من الأعداد مرتبة . الحسابية باعتبارها دالة في نمط محدّدٍ أو ترتيب معين، ويُسمى كل عدد في المتتابعة حدًّا. خطية. • أتعرف المتتابعة رابط الدرس www.ien.edu.sa ويمكن للمتتابعة أن تكون منتهية أي لها عدد محدّد من الحدود مثل: 206، أو غير منتهية، حيث تستمر الهندسية باعتبارها دالة إلى مالانهاية مثل ... 01. ويُرمز للحدّ الأول في المتتابعة بالرمز ،a ، وللحدّ الثاني بالرمز a2، وهكذا. أسية. مفهوم أساسي المتتابعات بوصفها دوال أضف إلى مطويتك المفردات: المتتابعة sequence الحد term المتتابعة المنتهية finite sequence المتتابعة غير المنتهية التعبير اللفظي: المتتابعة دالة مجالها مجموعة الأعداد الطبيعية أو مجموعة جزئية منها، ومداها مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية الرموز عناصر المجال عناصر المدى : 1 2 3 n ... an أمثلة : متتابعة منتهية 3, 6, 9, 12, 15 ترتيب الحد حدود المتتابعة متتابعة غير منتهية 3, 6, 9, 12, 15, ... infinite sequence المتتابعة الحسابية arithmetic sequence أساس المتتابعة الحسابية المجال: {5 ,4 ,3 ,2 ,1 المجال مجموعة الأعداد الطبيعية جميعها المدى : {15 ,12 ,9 ,6 ,3} المدى مجموعة المضاعفات الطبيعية للعدد 3 (الفرق المشترك) يُحدّد كلُّ حدّ في المتتابعة الحسابية، بإضافة قيمة ثابتة إلى الحد الذي يسبقه مباشرة. وتُسمى القيمة الثابتة الفرق المشترك أو الأساس فالمتتابعة: 3 هي متتابعة حسابية؛ لأن لحدودها فرقًا مشتركًا (ثابتًا) common difference المتتابعة الهندسية geometric sequence أساس المتتابعة الهندسية النسبة المشتركة) حيث يزيد كل حد على الحد الذي يسبقه بمقدار 3 . 3 6 9 12 15 +3 +3 +3 +3 common ratio 124 مثال 1 تحديد المتتابعة الحسابية بين ما إذا كانت كل من المتتابعتين الآتيتين حسابية أم لا: 5, -6, -17,-28, ... (a 5 -6 -17-28 -11 -11 -11 الفرق الثابت هو -11 المتتابعة حسابية تحقق من فهمك -4, 12, 28, 42, ... (b -4 12 28 42 +16 +16 +14 الفرق غير ثابت المتتابعة ليست حسابية -6, 3, 12, 21, ... (1B 7, 12, 16, 20, ... (1A الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة أساس المتتابعة الحسابية هو الفرق بين كل حدين متتاليين (الحد - سابقه) يمكنك استعمال أساس المتتابعة الحسابية لإيجاد حدودها. في مثال 2 تمثيل المتتابعة الحسابية بيانيا المتتابعة الحسابية: ... 181410 a أوجد الحدود الأربعة التالية في هذه المتتابعة. الخطوة 1: لحساب أساس المتتابعة اطرح أي حد من حدود المتتابعة من الحد السابق له مباشرة. فأساس المتتابعة المعطاة هو 4- = 14 - 10. ويُمثل هذا العدد الفرق المشترك بين حدود المتتابعة. ابتداءً من الحد الثاني . الخطوة 2: لإيجاد الحدّ التالي، أضف 4- للحد الأخير المُعطَى. وهكذا أضف -4 لكل حد من الحدود التالية. 10 6 -6 +(-4) +(-4) +(-4) +(-4) إذن الحدود الأربعة التالية للمتتابعة هي : 16226 (6) مثل الحدود السبعة الأولى من المتتابعة بيانيا. مجال المتتابعة هو المجموعة : .....,7 ,6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1) ومدى المتتابعة هو المجموعة ...... 6- ,2 ,2 ,6 ,10 ,14 ,18) ولذلك تُمثَل هذه الحدود من المتتابعة بيانيا بالشكل المجاور. تحقق من فهمك (2) أوجد الحدود الأربعة التالية في المتتابعة الحسابية ... 18114 ثم مثل الحدود السبعة الأولى بيانيا. 4 57 n هي 16 12 -12 دالة لاحظ أن النقاط التي تُمثل حدود المتتابعة الحسابية تقع على مستقيم ،واحد ممّا يعني أ أن المتتابعة الحسابية . خطية مجالها أو متغيرها المستقل هو رقم الحدّ 1 ، ومداها أو متغيّرها التابع هو الحدّ ، والميل هو أساسها الذي هو الفرق الثابت. مثال 3 من واقع الحياة الربط بالحياة في أغلب الاحتفالات العسكرية يقوم المنظمون بعمل ترتيبات خاصة عند الافتتاح، ومنها على سبيل المثال دخول الفرق بطرق مختلفة. إيجاد حدود المتتابعة الحسابية المهرجانات الكشفية بالعودة إلى بداية الدرس أوجد عدد المشاركين الموجودين في الصف الرابع عشر. افهم بما أن الفرق الثابت بين كل حد والحد السابق له هو ،2، فإن أساس المتتابعة هو 2. خطط اكتب قاعدة المتتابعة باستعمال صيغة الميل والنقطة. حل افترض أن (35) = 1 1 2 = 1 . ثم حل المعادلة عندما 14 = x (y-y₁)=m(x − x₁) (y-5)=2(x-3) صيغة الميل والنقطة m=2, (x, y) = (3, 5) اضرب اجمع 5 إلى كل من طرفي المعادلة عوض 14 مكان x y - 5 = 2x - 6 y = 2x - 1 y = 2(14) - 1 y = 28 - 1 = 27 بسط إذن عدد المشاركين في الصف الرابع عشر هو 27 مشاركًا. تحقق يمكن إيجاد حدود المتتابعة بإضافة 2 لكل صف، بدءًا من الصف الأول حتى نصل إلى الصف الرابع عشر. تحقق من فهمك (3) نقود : ادّخر عامل في يوم ما 20 ريالًا من أجره اليومي، فإذا علمت أنه يدخر في كل يوم 5 ريالات زيادة على اليوم السابق، فكم ريالًا يدَّخر في اليوم الثاني عشر؟ وزارة التعليم الدرس 1-6 المتتابعات بوصفها دوال 125 2024-1446

تنبيه النسب إذا وجدت نسبة أحد الحدود إلى الحد السابق له، فأوجد بقية النسب بالطريقة نفسها. المتتابعة الهندسية المتتابعة الهندسية نوع آخر من المتتابعات، ويمكن الحصول على أي حد من حدودها بضرب الحد السابق له مباشرة في عدد ثابت يُسمّى أساس المتتابعة الهندسية أو النسبة المشتركة للمتتابعة. 1 1 لاحظ أن المتتابعة 16 متتابعة هندسية؛ لأن النسبة بين كل حد والحد السابق له مباشرة هي نسبة ثابتة، أي أنَّ كلَّ حدّ في المتتابعة هو 4 أمثال الحد السابق له مباشرة. 1 4 16 16 x4 X4 X4 x4 مثال A تحديد المتتابعة الهندسية بين ما إذا كانت كل من المتتابعتين الآتيتين هندسية أم لا: -2, 6, -18, 54, ... (a أوجد النسبة بين كل حدين متتاليين. -18 5448 = -3 → = -3 ' -18 = -3 بما أن النسب متساوية، فإن المتتابعة هندسية. إرشادات للدراسة أساس المتتابعة الهندسية هو النسبة بين كل حدين متتاليين الحد : سابقه ابتداء من الحد الثاني 8, 16, 24, 32,... (b 16-2, 2 = 1.5 8 24 16 بما أن النسبتين غير متساويتين؛ فإن المتتابعة ليست هندسية. تحقق من فهمك -8,2,-0.5, 0.125,... (4A 1, 3, 7, 15,... (4B يمكنك استعمال أساس المتتابعة الهندسية (النسبة المشتركة لإيجاد حدود أخرى من حدود المتتابعة. مثال 5 تمثيل المتتابعة الهندسية بيانيا المتتابعة ... ,322 متتابعة هندسية. a) أوجد الحدود الثلاثة التالية في هذه المتتابعة. الخطوة 1: أوجد أساس المتتابعة أو النسبة المشتركة: 1 = الخطوة 2: لإيجاد الحد التالي، اضرب الحد السابق في العدد 1 وهكذا بضرب كلّ حدّ في العدد لا نحصل على الحدود الآتية. 126 2 32 إذن الحدود الثلاثة التالية هي: 1 مثل الحدود الستة الأولى في المتتابعة بيانيا. مجال المتتابعة هو : ....,1,2,3,4,5,6 مدى المتتابعة هو: 282 {32, 8, 2, 1, 3, ولذلك تُمثل هذه الحدود من المتتابعة بيانياً كما في الشكل المجاور . . تحقق من فهمك 32 128 24. 20 16. 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (5) أوجد الحدّين التاليين في المتتابعة الهندسية : ... 13 ، ثم مثل الحدود الخمسة الأولى بيانيا.. وزارة التعليم الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة الدالة الأسية هي الدالة التي تكون على الصورة f(x) = bx ، حيث 60,61 وهي متصلة ومتباينة ومجالها مجموعة الأعداد الحقيقية ومداها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ولها خط تقارب أفقي هو المحور x ، ويمر منحناها تفحص الشكل في المثال 5 تلاحظ أن التمثيل البياني للمتتابعة الهندسية أسي وليس خطيا كما في المتتابعة الحسابية، وبالتالي فإنه يمكن تمثيل المتتابعة الهندسية بوصفها دالّة أسية في الصورة f(x) = rx، حيث r أساس المتتابعة الهندسية، و 0 < r و 1 r حسابية +f(x) 90 80 70 60 50 30 10 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x هندسية +f(x) 80 70 60 50 40 30 20 10 o 4 5 6 7 8 9 x x 1 2 3 4 5 6 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) 2 48 32 16 64 f(x) 4 8 12 16 20 32 28 24 36 40 ويمكنك استعمال خصائص المتتابعات الحسابية والمتتابعات الهندسية في تصنيف المتتابعات. مثال 6 تصنيف المتتابعات حدّد نوع المتتابعة في كل مما يأتي، هل هي حسابية، أم هندسية، أم غير ذلك. ووضح إجابتك: 16, 24, 36, 54, ... (a أوجد الفرق بين حدين متتاليين. 54-36 = 18 X 36-24 = 12 أوجد النسبة بين كل حدين متتاليين. 54 36 ✓ 24 = بما أن النسبة بين كل حدين متتاليين ثابتة؛ فإن المتتابعة هندسية. 1, 4, 9, 16, ... (b أوجد الفرق بين كل حدين متتاليين. 16 9 7 X 9-45 أوجد النسبة بين كل حدين متتاليين. 16 = 1.7 X = 2.25 4 بما أن الفرق بين كلّ حدّين متتاليين ليس عددًا ثابتاً، وكذلك النسبة بين كل حدين متتاليين ليست ثابتة أيضًا؛ فإن المتتابعة ليست حسابية ولا هندسية. 23, 17, 11, 5,... (c أوجد الفرق بين كل حدين متتاليين. 5-11-6 11-17=-6 ✓ 17-23=-6 بما أن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت؛ فإن المتتابعة حسابية. تحقق من فهمك 9 −4,4,5, -5,... (6C 7 2, (6B 8 3'3' 3' (6) وزارة التعليم الدرس 1-6 المتتابعات بوصفها دوال 1127 2024-1446 بالنقطة (1) (0) دائما، فمثلا f(x) = 3 x دالة أسية تمثيلها البياني هو (0.1 (x) = 3 6-

مثال 1 بين ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي متتابعة حسابية أم لا. 8, -2, -12,-22,... (1 -19, -12,-5, 2,9 (2 مثال 2 أوجد الحدود الأربعة التالية في كلِّ من المتتابعتين الحسابيتين الآتيتين، ثم مثل الحدود السبعة الأولى بيانيا: 6, 18, 30, ... (3 15, 6,3,... (4 مثال 3 (5) توفير يوفّر سعيد 250 ريالا شهريًا، فإذا كان معه 1000 ريال في البداية، فأوجد ما يلي: المبلغ الذي سيصبح معه بعد مرور 8 أشهر. الوقت الذي يحتاج إليه ليصبح . معه 7250 ريالًا، إذا استمر في التوفير بالطريقة ذاتها. مثال 4 بين ما إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي متتابعة هندسية أم لا: 4, 12, 36, 108, ... (6 7, 14, 21, 28, ... (7 مثال 5 أوجد الحدود الثلاثة التالية في كل من المتتابعات الهندسية الآتية، ثم مثل الحدود السبعة الأولى بيانيا: 250, 50, 10, 2, .. (8 9, -3, 1, 3, (9 مثال 6 حدد نوع المتتابعة في كل مما يأتي، هل هي حسابية، أم هندسية، أم غير ذلك. ووضح إجابتك: 12, 16, 20, 24, ... (12 200, -100,50,-25,... (11 5,1,7,3,9, (10 تأكد تدرب وحل المسائل مثال 1 بين ما إذا كانت كل متتابعة فيما يأتي متتابعة حسابية أم لا. -9,-3,0,3,9,... (13 5 8 2 13,9,0, 11,... (14 مثال 2 أوجد الحدود الأربعة التالية في كلّ من المتتابعات الحسابية الآتية، ثم مثل الحدود السبعة الأولى بيانيا : مثال 3 -5,-11, -17,-23, ... (15 14 5'5' (16 ... (17 18) تنظيم قاعات يوجد 28 مقعدًا في الصف الأول في إحدى قاعات المحاضرات، وعدد المقاعد في كلّ صف تال يزيد بمقدار مقعدين عن الصف السابق. إذا كان في هذه القاعة 24 صفًا من المقاعد، فكم مقعدًا يوجد في الصف الأخير؟ (19) تمارين قوة : يقوم علي ببعض التمارين الرياضية لاستعادة لياقته البدنية. ويُخطط لاستعمال أحد الأجهزة الرياضية مدَّة 5 دقائق في اليوم الأول، ثم زيادة مدة الاستعمال بمعدل دقيقة وثلاثين ثانية يوميا. a ما مدة استعمال علي للجهاز في اليوم الثامن عشر ؟ ما أول يوم سيستعمل فيه الجهاز مدة ساعة أو أكثر ؟ هل يُعد استمرار علي في هذا النمط إلى مالا نهاية منطقيا ؟ لماذا؟ مثال 4 بين ما إذا كانت المتتابعة في كل مما يأتي متتابعة هندسية أم لا: 21, 14, 7, (20 -27, 18, -12, ... (21 1 - 11 - 1 ... (22) مثال 5 أوجد الحدود الثلاثة التالية في كل من المتتابعات الهندسية الآتية، ثم مثل الحدود السبعة الأولى بيانيا: 81, 108, 144, ... (23 ,1,3,9, ... (24 1, 0.1, 0.01, 0.001,... (25 مثال 6 حدد نوع المتتابعة في كل مما يأتي، هل هي حسابية، أم هندسية، أم غير ذلك. ووضح إجابتك: وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 1, -2, -5, -8, ... (27 3, 12, 27, 48, ... (26 الفصل 6 المتتابعات والمتسلسلات 128

(29 625 6,9, 14, 21, (31 12, 36, 108, 324, ... (28 5, 3, 2, 4, ... (30 الربط بالحياة (32 قراءة : أرادت ندى إتمام قراءة كتاب يضمُّ 800 صفحة خلال العطلة الصيفية. فإذا قرأت 112 صفحة حتى بداية العطلة، وأرادت إنهاء قراءة الكتاب في 8 أيام فما عدد الصفحات التي عليها قراءتها يوميا، إذا كانت تقرأ العدد نفسه من الصفحات يوميا ؟ (33) نقص القيمة تنقص قيمة سيّارة ماجد بمعدل 15% سنويًّا. إذا كانت القيمة الحالية لسيارته 50000 ريال، فكم تكون قيمتها بعد 5 سنوات مقربًا الجواب إلى أقرب ريال ؟ (34 الأوراق : عند طي ورقة على نفسها، يتضاعف سمكها. فإذا كان سُمك ورقة 0.1mm ، وأمكن طيها 37 مرة، فكم يصبح سمكها ؟ مسائل مهارات التفكير العليا تنقص قيمة السيارة عادة (35) تحد: إذا كان مجموع ثلاثة حدود متتالية في متتابعة حسابية يساوي 6، وحاصل ضربها يساوي 42 ، بمعدل 15% إلى 20% سنويًّا؛ وذلك اعتمادًا على نوع السيارة وعلى السائق. فما هذه الحدود؟ (36) مسألة مفتوحة : أوجد ثلاث متتابعات تبدأ كل منها كما يأتي ...3,9. بحيث تكون إحداها حسابية، والثانية هندسية، والثالثة لا حسابية ولا هندسية. (37) تبرير: إذا كان أساس متتابعة هندسية يساوي ( حيث 1 | | ، فماذا يحدث لحدود المتتابعة عندما تزداد قيمة ؟ ما الذي يحدث للحدود إذا كانت 21 | 7 |؟ 38) اكتب صف ما يحدث لحدود متتابعة هندسية عندما يصبح أساسها مثلي قيمته، وما يحدث للحدود عندما يصبح الأساس نصف قيمته؟ وضح إجابتك. (40) ما الحدّ التالي في المتتابعة الهندسية التالية: CD 24 16 9 27 § 8,6,7,8,... وزارة التعليم الدرس 1-6 المتتابعات بوصفها دوال 129 2024-1446 A B تدريب على اختبار (39) إجابة قصيرة صالة مستطيلة الشكل بعداها 13 مترا، و11 مترا. أردنا وضع سجادة تغطيها كاملة، فأوجد سعر السجادة إذا كان سعر المتر المربع الواحد منها 60 ريالًا. مراجعة تراكمية (41) حل المعادلة: 10 = 9 + 33 (الدرس 6-5) أوجد معادلة المستقيم في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) (42) المار بالنقطة (64)، وميله 0.5 . 43) المار بالنقطتين (13) (3 - 8) .