المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

5-4 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد Vectors in Three-Dimensional Space www.ien.edu.sa " فيما سبق درست المتجهات في النظام الثنائي الأبعاد هندسيًا وجبريا. الدرس (51) والان الأبعاد. لماذا ؟ لإطلاق صاروخ في الفضاء، يلزم تحديد اتجاهه وزاويته في الفضاء. وبما أن مفاهيم المسافة والسرعة والقوة المتجهة غير مقيدة في المستوى، فلا بد من توسيع مفهوم المتجه إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد. الإحداثيات في الفضاء الثلاثي الأبعاد المستوى الإحداثي: هو نظام إحداثي ثنائي أعين نقاطا، ومتجهات في الأبعاد يتشكل بواسطة خطي أعداد متعامدين هما المحور x والمحور y ، اللذان يتقاطعان في النظام الإحداثي الثلاثي نقطة تسمى نقطة الأصل. ويسمح لك هذا النظام بتحديد وتعيين نقاط في المستوى، وتحتاج إلى نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد لتعيين نقطة في الفضاء، فنبدأ بالمستوى xy، ونضعه أعبر عن المتجهات جبريًا وأجري العمليات عليها في بصورة تظهر عمقاً للشكل كما في الشكل ،5.4.1 ثم نضيف محورًا ثالثًا يُسمى المحور 2 الفضاء الثلاثي الأبعاد. يمر بنقطة الأصل، ويعامد كلا من المحورين x ، كما في الشكل 5.4.2. فيكون لدينا ثلاثة مستويات هي , ، وتقسم هذه المستويات الفضاء إلى ثماني مناطق، يُسمى كل منها الثمن ، ويمكن تمثيل الثمن الأول بجزء الحجرة في الشكل 5.4.3. المفردات نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد three-dimensional coordinate system المحور 2 z-axis الثمن Ο x+ المستوى 92 المستوى x المستوى xz octant الثلاثي المرتب ordered triple إرشادات للدراسة تدريج المحاور تذكر أن التدريج في المحاور الثلاثة في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد متساو. الشكل 5.4.1 الشكل 5.4.2 الشكل 5.4.3 تُمثل النقطة في الفضاء بثلاثيات مرتبة من الأعداد الحقيقية (x,y) ، ولتعيين مثل هذه النقطة، عيّن أولا النقطة (x,y) في المستوى x y ، ثم تحرك لأعلى، أو إلى أسفل موازيا للمحور 2، بحسب المسافة المتجهة التي يمثلها 2 . مثال 1 تعيين نقطة في الفضاء عين كلا من النقطتين الآتيتين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: (4,6,2) (a ثم ضع نقطة على بعد وحدتين أعلى الإشارة التي (-2,4,-5) (b عين (46) في المستوى xy بوضع إشارة مناسبة، عين (24) في المستوى xy بوضع إشارة مناسبة، ثم ضع نقطة على بعد 5 وحدات أسفل وضعتها، وبموازاة المحور 2 ، كما في الشكل أدناه . الإشارة التي وضعتها وبموازاة المحور 2 ، كما في نگار (4,6,2)• الشكل أدناه. -2 在 (-2,4,-5) تحقق من فهمك عين كلا من النقاط الآتية في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: (-3, -4,2) (1A (3,2,-3) (1B (5,-4,-1) (1C وزارة التعليم الدرس - المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد 109 2024-1446

عملية إيجاد المسافة بين نقطتين، وإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء تشبهان عملية إيجاد المسافة، ونقطة منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي. مفهوم أساسي صيغتا المسافة ونقطة المنتصف في الفضاء تُعطى المسافة بين النقطتين 22 ,Axy y 1, 21, B2 B(x2,y2,22) AB = V (x2 - x) + (y2 - 91) + (22 - 21) 2 y A(x1,y1,Z₁) بالصيغة: وتعطى نقطة المنتصف M لـ AB بالصيغة : M ( 1 + X2 91 + 92 21 2 الربط مع الحياة يستمتع سكان البنايات الشاهقة خصوصا في الأماكن المرتفعة بمشاهدة أجزاء من المدينة كالجسور وحركة المرور والحدائق ... إلخ . مثال 2 من واقع الحياة المسافة بين نقطتين ونقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء رحلة : تتحرك العربة في الشكل المجاور على سلسلة مشدودة، تربط بين منصتين تسمح للمتنزهين بالمرور فوق مناظر طبيعية خلابة. إذا مثلت المنصتان بالنقطتين : 10250) (709230)، وكانت الإحداثيات معطاة بالأقدام، فأجب عما يأتي: a أوجد طول السلسلة اللازمة للربط بين المنصتين إلى أقرب قدم. استعمل صيغة المسافة بين نقطتين. 30 ft 50 ft صيغة المسافة AB = V (x2 - x1 ) 2 + (y2 - 1 ) 2 + ( 22 - 21) 2 =√(70-10)²+(92-12)²+(30-50)² (x2 y22)=(70, 92, 30), (x, y, z) = (10, 12, 50) بسط ≈ 101.98 أي أننا نحتاج إلى حبل طوله 102ft تقريبا للربط بين المنصتين. أوجد إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين. استعمل صيغة نقطة المنتصف في الفضاء . صيغة المنتصف M = 2 (x2 y22)=(70, 92, 30), (x1,y1, 1) = (10, 12,50) = 2+92 50+30) 1070 12+92 50+30 2 ' 2 = (40, 52, 40) أي أن إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين هي (402) ب تحقق من فهمك (2) طائرات تفرض أنظمة السلامة ألا تقل المسافة بين الطائرات عن 0.5mi في أثناء طيرانها، إذا علمت أن طائرتين تطيران فوق إحدى المناطق، وفي لحظةٍ معينةٍ كانت إحداثيات موقعي الطائرتين: (28000 250 450), (30000 ,300,150)، مع العلم بأن الإحداثيات معطاة بالأقدام، فأجب عما يأتي: A هل تخالف الطائرتان أنظمة السلامة ؟ إذا أطلقت ألعاب نارية، وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين، فما إحداثيات نقطة الانفجار ؟ إرشاد: الميل = 5280 قدما الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 110

01002003) (0, 0, 1) x (1, 0, 0) (0,1,0) 01 الشكل 5.4.4 المتجهات في الفضاء إذا كان ٧ متجهًا في الفضاء في وضع قياسي، وكانت (1203) نقطة نهايته، فإننا نعبر عنه بالصورة الإحداثية ( 02/03 (1) ، كما يُعبر عن المتجه الصفري بالصورة الإحداثية (0,0,0) = 0 ، وعن متجهات الوحدة القياسية بالصورة الإحداثية (0,0,1) = k ,(0,1,0) = 100 = 1 ، كما في الشكل 5.4.4 ، ويمكن التعبير عن الصورة الإحداثية للمتجه v على صورة توافق خطي لمتجهات الوحدة i j k كما يأتي : i + 12 + 13 k = ( 03 ,02 ,01) . مثال 3 تعيين متجه في الفضاء مثل بيانيًّا كلا من المتجهين الآتيين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: v = (3,4,-2) (a عين النقطة (32) ، ثم مثل المتجه v بيانيا، بحيث تكون النقطة (342) نقطة نهايته. p = 4i + 3j + k b عين النقطة (4) ، ثم مثل المتجه p بيانيا، بحيث تكون النقطة (4) نقطة نهايته. تحقق من فهمك مثل بيانيا كلًا من المتجهين الآتيين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: u (-4,2,-3) (3A w = -i -3j + 4k (3 (3,4,-2) 10 EP إذا كُتبت المتجهات في الفضاء على الصورة الإحداثية، فإنه يمكن أن تُجرى عليها عمليات الجمع والطرح والضرب في عدد حقيقي كما هي الحال في المتجهات في المستوى الإحداثي. مفهوم أساسي العمليات على المتجهات في الفضاء إذا كان ( 3 ,2 , , , متجهين في الفضاء، وكان عددًا حقيقيا ، فإن : جمع متجهين a+b=(a+b1, a2+ b₂, a3 +b3) a-ba+(-b)=(a₁-b₁, a2b2, a3-b3) طرح متجهين ضرب متجه في عدد حقيقي ka (ka₁, ka, ka3) وزارة التعليم الدرس 4-5 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد 111 2024-1446

إرشادات للدراسة العمليات على المتجهات خصائص العمليات على المتجهات في الفضاء هي الخصائص نفسها في المستوى الإحداثي مثال 4 العمليات على المتجهات في الفضاء أوجد كلا مما يأتي للمتجهات: (2,015 ) = 2, (1,4,4) = y = (3, 6, 2), w : 4y+2z (a 4y+2z 4(3,-6,2) + 2(-2,0,5) (12,-24,8) + (-4,0,10) = (8,-24,18) 2w-z+3y (b عوض اضرب متجها في عدد حقيقي اجمع المتجهين 112 الفصل 5 المتجهات 2w z3y=2(-1,4,-4)-(-2,0,5)+3(3,-6,2) =(-2,8,-8)+(2,0,-5) + (9,-18,6) ب تحقق من فهمك = (9,-10,-7) عوض اضرب متجه في عدد حقيقي اجمع المتجهات أوجد كلًا مما يأتي للمتجهات: ( 20 ) = ( 144 ) = y = ( 3,6,2), w : 4w - 8z (4A 3y+3z 6w (4B وكما في المتجهات ذات البعدين نجد الصورة الإحداثية للمتجه AB الذي نقطة بدايته (AX11/21 ونقطة نهايته ( x2,222 ) ، وذلك بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية. AB = ( x2 - 31,92 - 91 22 - 21 ) B(x2,y222) وعندها يكون: 212 - 22 ) + 2 ( 11 - 12 + ABI = V (x2 - x12 ، وهذا يعني أنه إذا كان : ( 3 ,2 ,(41) = AB ، فإن A(x1,y₁₁ ويكون متجه الوحدة u باتجاه AB هو . مثال 5 AB | = Va3 + 3 + a3 AB u = AB | التعبير عن المتجهات في الفضاء جبريا أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB الذي نقطة بدايته ( 42 ) ، ونقطة نهايته ( 6, 6, 3 ) B ، ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB . AB = (x2 - 31,92 - 91 22 - 21 = (3-(-4), 6-(-2), -6-1)=(7,8,-7) وباستعمال الصورة الإحداثية، فإن طول AB هو : |AB| = √7² + 8² + (−7)² =9√2 AB = (7,8,-7) الصورة الإحداثية لمتجه (x1,y1, 1)=(-4, -2, 1), (x, y, z) = (3, 6, -6) ويستعمل هذا الطول والصورة الإحداثية؛ لإيجاد متجه وحدة u باتجاه AB كما يأتي: u = AB AB (7,8,-7) 9 √√√2 7√√2 4√√2-7 √2 18' 9 18 متجه وحدة باتجاه AB AB (7,8,-7), |AB|=9√√2 تحقق من فهمك أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته ، ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB في كل مما يأتي: A(-2,-5,-5), B(-1,4,-2) (5A A(-1,4,6), B (3,3,8) (5B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدرب وحل المسائل أوجد كلًا مما يأتي للمتجهات : عين كل نقطة مما يأتي في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد (مثال 1) (1,-2,-4) (1 (3,2,1) (2 (-5,-4,-2) (3 (-2,-5,3) (4 (2,-2,3) (5 (-16, 12, 13) (6 أوجد طول القطعة المستقيمة المعطاة نقطتا نهايتها وبدايتها، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها في كل مما يأتي: (مثال 2 ) (-4, 10, 4), (1, 0,9) (7 (-6,6,3), (-9,-2,-2) (8 (8, 3, 4), (-4, -7,5) (9 (-7,2,-5), (-2,-5,-8) (10 a = (-5, -4,3), b = (6, -2, -7), c = (-2, 2, 4) ( مثال 4 ) 6a 7b8c (20 7a-5b (21 2a5b 9c (22 6b4c4a (23 8a 5b c (24 -6ab7c (25 أوجد كلا مما يأتي للمتجهات : .x=-9i+4j+3k, y=6i-2j-7k, z=-2i+2j+4k ( مثال 4 ) 7x+6y (26 3x - 5y + 32 (27) 11) طيارون في لحظة ما أثناء تدريب عسكري، كانت إحداثيات موقع طائرة (121,19300 ,675)، وإحداثيات موقع طائرة أخرى (16100 ,289715) ، علما بأن الإحداثيات معطاة بالأقدام. ( مثال (2) a أوجد المسافة بين الطائرتين مقرّبة إلى أقرب قدم . عين إحداثيات النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين الطائرتين في تلك اللحظة. مثل بيانيا كلًا من المتجهات الآتية في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد (مثال (3) a=(0,-4, 4) (12 b (-3, -3, -2) (13 c=(-1,3,-4) (14 4x + 3y + 22 (28) -8x 2y+5z (29 -6y-9z (30 -x-4y-z (31 أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB المُعطاة نقطتا بدايته ونهايته، في كلّ مما يأتي، ثم أوجد متجه الوحدة في اتجاه AB. (مثال 5 ) A(-5, -5, -9), B(11, -3, -1) (32 A(-4, 0, -3), B(-4, -8, 9) (33 A(3, 5, 1), B(0, 0, -9) (34 A(-3, -7, -12), B(-7, 1, 8) (35 A(2,-5, 4), B(1, 3, -6) (36 d (4,-2,-3) (15 v = 6i + 8j -2k (16 A(8, 12, 7), B(2, -3, 11) (37 w = 10i + 5k (17 A(3, 14, -5), B(7,-1,0) (38 m = 7i-6j + 6k (18 A(1, -18,-13), B(21, 14, 29) (39 n = i -4j -8k (19) وزارة التعليم الدرس - المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد 113 2024-1446

إذا كانت N منتصف MP ، فأوجد إحداثيات النقطة P في كل مما يأتي: مسائل مهارات التفكير العليا M(3, 4, 5), N(2, 1, 2) (40 M(-1,-4,-9), N(-2, 1, -5) (41 M(7, 1, 5), N(5, 1, 6) (42 M(2,-5, 9), N(-2,13,11) (43 (53) تحد: إذا كانت M هي نقطة منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين: (1- ,8 ,3)M2) ,(5- ,2 ,1-) ، فأوجد إحداثيات منتصف القطعة المستقيمة MM (54) اكتب اذكر موقفًا يكون فيه استعمال النظام الإحداثي الثنائي الأبعاد أكثر منطقية، وآخر يكون فيه استعمال النظام الإحداثي الثلاثي الأبعاد أكثر منطقية. (44) تطوع : تَطَوّع هاشم لحمل بالون كدليل في استعراض رياضي. إذا مراجعة تراكمية كان البالون يرتفع 35ft عن سطح الأرض، ويمسك هاشم بالحبل الذي ثبت به البالون على ارتفاع 3ft عن سطح الأرض، كما في أوجد الصورة الإحداثية وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كلُّ الشكل أدناه، فأوجد طول الحبل إلى أقرب قدم. مما يأتي: (الدرس 2-5 ) A(6,-4), B(-7, -7) (55 A(-4, -8), B(1, 6) (56 35 ft 4ft. A(-5, -12), B(1, 6) (57 x 10 ft 3 ft اكتب DE المعطاة نقطتا بدايته ونهايته على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة , في كل مما يأتي: (الدرس 2-5 ) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 D(-5,2), (-1, 0) (58 ( ) ( ) (59 D(9.7,-2.4), E(-6.1, -8.5) (60 هاشم حدد نوع المثلث الذي رؤوسه هي النقاط الثلاث في كل مما يأتي (قائم الزاوية، أو متطابق الضلعين، أو مختلف الأضلاع A(3, 1, 2), B(5, -1, 1), C(1, 3, 1) (45 A(4, 3, 4), B(4, 6, 4), C(4, 3, 6) (46 A(-1, 4, 3), B(2, 5, 1), C(0, -6, 6) (47 48 كرات استعمل قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء؛ لكتابة صيغة عامة لمعادلة كرة مركزها ، وطول نصف قطرها . "إرشاد الكرة هي مجموعة نقاط في الفضاء تبعد بعدا ثابتا (نصف القطر) عن نقطة ثابتة (المركز )". استعمل الصيغة العامة لمعادلة الكرة التي وجدتها في السؤال 48؛ لإيجاد معادلة الكرة المعطى مركزها، وطول نصف قطرها في كل مما يأتي: (49) مركزها (42) ، طول نصف قطرها 4 50) مركزها (601) ، طول نصف قطرها 51) مركزها (534) ، طول نصف قطرها V3 (52) مركزها (071) ، طول نصف قطرها 12 تدريب على اختبار (61) ما نوع المثلث الذي رؤوسه هي النقاط A(0, 3, 5), B(1,0,2), C(0, -3, 5) A قائم الزاوية B متطابق الضلعين متطابق الأضلاع مختلف الأضلاع الفصل 5 المتجهات 114