المتطابقات المثلثية - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa المتطابقات المثلثية Trigonometric Identities 3-1 فيما سبق: درست كيفية إيجاد قيم الدوال المثلثية. (مهارة سابقة) والآن : أستعمل المتطابقات الماذا؟ تُسمّى كمية الضوء الساقطة من مصدر ضوئي على سطح، الاستضاءة (E). وتقاس الاستضاءة بوحدة قدم / شمعة، وترتبط بالمسافة R مقيسة بالأقدام بين المصدر الضوئي والسطح بالعلاقة = 6 sec ، حيث I شدة إضاءة المصدر مقيسة ER² بالشمعة، و 6 هي الزاوية بين شعاع الضوء والمستقيم العمودي على السطح المثلثية لإيجاد قيم الدوال (الشاشة)، وتستعمل هذه العلاقة في التطبيقات الضوئية والبصرية كالإضاءة المثلثية. أستعمل المتطابقات المثلثية لتبسيط العبارات المفردات المتطابقة identity المتطابقة المثلثية والتصوير. شاشة مصباح كهربائي R المتطابقات المثلثية الأساسية: تكون المعادلة متطابقة إذا تساوى طرفاها لجميع قيم المتغيرات فيها. فمثلا: ( 3 ) ( 3 + x2 - 9 = ( x متطابقة؛ لأن طرفيها متساويان لجميع قيم ، والمتطابقة المثلثية هي متطابقة تحوي دوال مثلثية. وإذا وجدت مثالاً مضاداً يثبت خطأ ،المعادلة، فالمعادلة عندئذ لا تكون متطابقة. المتطابقات المثلثية الأساسية مفهوم أساسي وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 cot 0 = cos 0 sin ' . sin 0 7 0 tan 0 = sin 0 Cos , Cos 0 0 csc 0 = 1 . sin 0 0 sin sin 0 = 1 1 sec 0 = cos 0 0 cos cos 0= CSC 1 ' csc 0 0 cot 0 = 1 sec , sec 0 ± 0 tan 0 5, tan 00 tan 0 = 1 Cot o / cot 0 ± 0 (cos e, sin ) sin 07 cos2 0 + sin2 0 = 1 tan20 + 1 = sec 20 COS O cot2 0 + 1 = csc 20 حسب نظرية فيثاغورس 1 = 0 cos2 0 + sin2 T-0 sin (2 - 0 : = cos 0 COS = sin 0 x sin 0 = 1 = cos( 1 - 0 tan ( = cot 0 tan ==cot(0) y sin (0) = sin 0 (x, y) cos (-0)= cos 0 tan (0) = -tan 0 (x, y) sin 0 = cos 4 = x sin (0) = - cos (-9)=x trigonometric identity المتطابقات النسبية المتطابقات النسبية quotient identities متطابقات المقلوب متطابقات المقلوب متطابقات فيثاغورس متطابقات الزاويتين المتتامتين متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية resiprocal identities متطابقات فيثاغورس pythagorean identities متطابقات الزاويتين المتتامتين cofunction identities متطابقات الدوال الزوجية والدوال الفردية odd-even identities إرشادات للدراسة متطابقات الزاويتين المتتامتين: يمكن كتابة متطابقات الزاويتين المتتامتين بالدرجات كما يلي: sin (90°-0) cos 0 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 10

يمكنك استعمال المتطابقات الأساسية، لإيجاد القيم الدقيقة للدوال المثلثية، كما يمكنك إيجاد قيم تقريبية لها باستعمال الحاسبة البيانية. مثال 1 استعمال المتطابقات المثلثية أوجد القيمة الدقيقة لـ 0 cos، إذا كان 1 = 0 sin ، 180° > 0 > 90° . 1 = 0 co20 + sin2 متطابقات فيثاغورس V15 .cos 0=- اطرح 0 sin2 من كلا الطرفين عوض 1 بدلا من 0 sin أوجد مربع العدد - اطرح cos2 0 = 1 - sin 20 cos20 = 1 - (4)² Cos² 0 = 1-16 cos² = 15 16 V15 cos 0 = + 4 خذ الجذر التربيعي لكلا الطرفين وبما أن 6 تقع في الربع الثاني، فإن 6 cos تكون سالبة ، ولذلك فإن . التحقق: استعمل الحاسبة لإيجاد الإجابة التقريبية. الخطوة 1: أوجد 11- sin استعمل الحاسبة sin ≈14.48° لأن 180 > > °90 ، فإن 165.520 = 14.480 - °180 = 6 . الخطوة 2 : أوجد 6 cos عوض عن 6 بـ 165.520 . cot 0 = إرشادات للدراسة الأرباع : يساعدك الجدول والشكل أدناه على تذكر أي الدوال المثلثية موجبة، وأيها سالبة في كل ربع cos 165.52°-0.97 الخطوة 3: قارن الإجابة مع القيمة الدقيقة. √15 -0.97 4 -0.968-0.97 ) أوجد القيمة الدقيقة لـ 0 csc إذا كان °360 > 0 > °270 ; - متطابقات فيثاغورس عوض 3 - بدلا من 0 cot أوجد مربع العدد - 2+1=+= 25 من الأرباع : 1,2,3,4 . الدالة + sino cot2 0 + 1 = csc 20 3,4 1,2 + 1 = csc 2 0 COS A 2,3 1,4 + 1 = csc 2 0 sece tan 2,4 1,3 34 coto = csc 20 √34 ± =csc 0 S A 5 T C خذ الجذر التربيعي للطرفين. وبما أن 6 تقع في الربع الرابع، فإن 0 csc سالبة، ولذلك . تحقق من فهمك V34 CSC = 5 1) أوجد القيمة الدقيقة لـ 0 sin إذا كان } = 6 cos ، 360° > 0 > 270° . 180° < 0 < 270° ، sin 0 = - وزارة التعليم الدرس -31 المتطابقات المثلثية 11 2024-1446 1B) أوجد القيمة الدقيقة لـ 6 sec إذا كان - - A all functions Ssine Tiangent Causine

تبسيط العبارات المثلثية : تبسيط العبارات الرياضية التي تحتوي على الدوال المثلثية، يعني إيجاد قيمة عددية للعبارة ، أو كتابتها بدلالة دالة مثلثية واحدة فقط، إن أمكن. مثال 2 بسط العبارة : تبسيط العبارة المثلثية = E ، بينما المعادلة sin 0 csc 0 cot 0 csc 0 = sin , cot 0 = 0 tan 0 sin csc 0 cot sing _1 sing 1 tan sin 0 sin =1 Sec(1-cos² 0) (2B tan 0 = tan 1 = tan 0 تحقق من فهمك tan2 0 csc 2 0 - 1 (2 sec 20 تبسيط العبارات المثلثية يمكن أن يكون مفيدًا في حل مسائل من واقع الحياة. مثال 3 من واقع الحياة إعادة كتابة الصيغ الرياضية الاستضاءة: ارجع إلى فقرة "لماذا؟ " في بداية الدرس. a) حل المعادلة. = ) sec بالنسبة لـ E. I ER2 إرشادات للدراسة تبسيط العبارة المثلثية عند تبسيط العبارات المثلثية يكون من الأسهل عادة أن تكتب حدود العبارة جميعها بدلالة الجيب (sin) و/ أو بدلالة جيب التمام ((cos). تاريخ الرياضيات الفراعنة القدماء هم أول من عرف حساب المثلثات، وساعدهم ذلك على بناء الأهرامات الثلاثة، ثم طوره علماء المسلمين من بعدهم ووضعوا الأسس الحديثة له ، وأصبح علمًا مستقلا بذاته، وكان من أوائل المؤسسين له : أبو عبد الله البتاني، والزرقلي ، ونصير الدين الطوسي sec 6 = ER2 E sec 6 = I R2 E cos 8 R2 I cos 0 E = R2 المعادلة الأصلية اضرب كلا الطرفين في E sec 0 = cos 0 اضرب كلا الطرفين في 6 cos هل المعادلة في الفرع a تكافئ المعادلة 0 R2 = Itan cos ؟ فسر إجابتك. R2 I tan cos 0 E المعادلة الأصلية I sin R2 اضرب كلا الطرفين في E اقسم كلا الطرفين على R2 R2 تبسط إلى: ER2 = I tan 6 cos E = I tan 9 cos 0 R² tan 0 = sin 0 E= sin 6 COS A cos e cos 0 R2 بسط E = I sin 0 R2 = I tan cos 0 E I cos 0 .E= R2 المعادلتان غير متكافئتين؛ فالمعادلة في الفرع (a) تكتب على الصورة ع تحقق من فهمك (3) تعلم أن مقدار العزم (T) يساوي حاصل ضرب القوة (F) في ذراعها، ويعطى بالمعادلة . 0 T = Fr sin أعد كتابة المعادلة السابقة بدلالة (F) الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 12

تدرب وحل المسائل أوجد القيمة الدقيقة لكل من النسب المثلثية الآتية: (مثال (1) 1 0 tan ، إذا كان 2 = 0 cot ، 90° > 0 > 0° 2) csc ، إذا كان 3 = 0 cos ، 90° > 4 > 0° 3 0 sin ، إذا كان : CSC 0 (6 270° < 0 < 360° ، cos 0 = 4 sec ، إذا كان 1 = 6 tan 360° > 4 > 270° 5 6 tan ، إذا كان 3 = 6 sec 270 > 4 > 180° ، إذا كان 1 = 0 cot ، 270° > 0 > 180° (7) 6 cos ، إذا كان 1 = 0 sin ، 180° > 0 > 90° cot ، إذا كان 2 - = 6 sin 0 2 0 sec بسط كل عبارة مما يأتي: (مثال (2) 20 الشمس: ترتبط قدرة كل جسم على امتصاص الطاقة بعامل يُسمّى قابلية الامتصاص للجسم. ويمكن حساب قابلية الامتصاص باستعمال العلاقة W sec 0 AS = e ، حيث W معدل امتصاص جسم الإنسان للطاقة من الشمس و S مقدار الطاقة المنبعثة من الشمس بالواط لكل متر مربع ، و A المساحة السطحية المعرّضة لأشعة الشمس، و 6 الزاوية بين أشعة الشمس والخط العمودي على الجسم. a حل المعادلة بالنسبة لـ W. أوجد W إذا كانت 0.75 = ,°40 = 0 ,0.80 = e S = 1000 W/m2 (قرب إلى أقرب جزء من مئة. (21) تمثيلات متعددة في هذه المسألة، سوف تستعمل الحاسبة البيانية ؛ لتحدد ما إذا كانت معادلة ما تمثل متطابقة مثلثية أم لا. هل تمثل المعادلة : tan2 6 - sin20 = tan2 0 sin20 متطابقة؟ a جدوليا : أكمل الجدول الآتي. csc 2 0 - cot 2 0 (10) sec 0 tan2 0 + sec 6 (12 sin (7-0)sec (14 (1 + sin 6)(1 - sin 6) (16 csc-cos cot (18 tan 6 cos2 0 (9 cos csc tan 0 (11 sin 0 (1 + cot20) (13 cos (-8) sin (0) (15 2 - 2 sin2 6 (17) 0° 30° 45° 60° Ө tan20 - sin 20 tan 2 0 sin2 0 (19) بصريات عندما يمر الضوء من خلال عدسة مستقطبة للضوء، فإن شدة الضوء المار بهذه العدسة سيقل بمقدار النصف، ثم إذا مرّ الضوء بعدسة أخرى بحيث يكون محور هذه العدسة يصنع زاوية قياسها 6 مع محور العدسة الأولى، فإن شدة الضوء تقل مرة أخرى. يمكننا إيجاد شدة الضوء باستعمال الصيغة ( 2 csc - - I = I ، حيث 10 بيانيًّا : استعمل الحاسبة البيانية لتمثل كلا من طرفي المعادلة 0 2 tan20 - sin2 0 = tan2 0 sin كدالة ، بيانيا. تحليليا : "إذا كان التمثيلان البيانيان لدالتين متطابقين ؛ فإن المعادلة تمثل متطابقة. هل التمثيلان البيانيان في الفرع (6) متطابقان؟ d تحليليا : استعمل الحاسبة البيانية لمعرفة ما إذا كانت المعادلة: sec2 x - 1 = sin2 x sec2 x تمثل متطابقة أم لا. (تأكد أن الحاسبة البيانية بنظام الدرجات) I شدة الضوء القادمة من العدسة الأولى المستقطبة، 1 هي شدة (22) التزلج على الجليد يتزلّج شخص كتلته m في اتجاه أسفل هضبة ثلجية بزاوية قياسها 6 درجة وبسرعة ثابتة عند تطبيق قانون نيوتن في الضوء الخارجة من العدسة الثانية 6 الزاوية بين محوري العدستين. (مثال (3) المحور 1 المحور 2 الضوء غير المستقطب العدسة 1 العدسة 2 مثل هذه الحالة ينتج نظام المعادلات الآتي : بسط الصيغة بدلالة 6 cos استعمل الصيغة المبسطة؛ لمعرفة شدة الضوء المار بالعدسة 0 = Fn - mg cos 0 = 0, mg sin 0 - F ، حيث g الثانية بدلالة شدة الضوء قبل المرور بها إذا كان محور العدسة الثانية يصنع زاوية قياسها 30 مع محور العدسة الأولى. تسارع الجاذبية الأرضية، و F القوة العمودية المؤثرة في المتزلج، و معامل الاحتكاك استعمل هذا النظام لتكتب كدالة في 0 وزارة التعليم الدرس -31 - المتطابقات المثلثية 13 2024-1446

مراجعة تراكمية أوجد قيمة كلّ ممّا يأتي، اكتب قياس الزاوية بالراديان، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم (مهارة سابقة) sec 6 sin 0 + cos 1 + sec 0 بسط كلًا مما يأتي: (0) cos (-)- - 1 (24 (23 1 + sin (-0) مسائل مهارات التفكير العليا (25) اكتشف الخطأ: تحاور سعيد وأحمد حول معادلة في الواجب المنزلي، فقال سعيد إنها متطابقة، حيث جرب 10 قيم للمتغير وحققت جميعها المعادلة فعلا، بينما قال أحمد: إنها ليست متطابقة، حيث استطاع إيجاد قيمة للمتغير لا تتحقق عندها المعادلة. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ فسر إجابتك. (26) تحد أوجد مثالاً مضادا يبيّن أنّ : sin x = cos x - 1 ليست متطابقة. (27) تبرير: وضّح كيف يمكن إعادة كتابة معادلة الاستضاءة الموجودة في فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس على الصورة: ER - .cos 0 = (28) اكتب بين كيف تستعمل نظرية فيثا غورس لإثبات صحة المتطابقة : 1 = 0 cos2 0 + sin2. (29) برهان برهن أن tan (a) = -tana تمثل متطابقة. (30) مسألة مفتوحة اكتب عبارتين تكافئ كل منهما العبارة Cos-1 (33 tan (Cos-16) (34 sin (Arctan (35 (Arcsin 3) (36 COS 37) أوجد قيمة K التي تجعل الدالة: K+xx < 5 {X+X5 =(f(x متصلة عند 5 = x . (مهارة سابقة) 38) حل المعادلة : 2-32 = 2 . (مهارة سابقة) تدريب على اختبار 39 في الشكل أدناه، إذا كان 0.8 = cos D ، فما طول DF؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 E 3.2 C 10 D D 5 A tan sin 31 تبرير بين كيف يمكنك استعمال القسمة لإعادة كتابة المتطابقة 1 = 0 sin20 + cos2 على الصورة 4 B sin 20 cos20 + sin 20 40) إذا كان sin x = m و °90 > x > 0° ، فما قيمة tan x؟ 1 + cot2 0 = csc20 (32) اكتشف الخطأ : بسط كل من علاء وسامي المقدار كما يأتي. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برر إجابتك. A سامي علاء m² sin 20 m√1-m² 1-m² B cos2 0 + sin 2 0 sin 20 cos2 0 + sin 2 0 sing sin 20 sin 20 + 1 cos 20 sin 20 1-m² C = sin 2 0 m = tan 2 0 + 1 = sec 20 m D 1-m2 الفصل 3 المتطابقات والمعادلات المثلثية 14 14