المماسات - رياضيات 1-3 - أول ثانوي

8-5 المماسات Tangents فيما سبق درست استعمال نظرية فيثاغورس لإيجاد أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية. (مهارة سابقة) وا الان . أستعمل خصائص المماسات لإيجاد قياسات تتعلق بالدائرة أحل مسائل تتضمن المادية كانت الدراجات الهوائية تُحرّك سابقا بدفع القدم على الأرض، أما الدراجات الحديثة، فإنها تستعمل الدواسات والسلاسل والتروس حيث تدور السلسلة حول تروس دائرية. ويُقاس طول السلسلة بين الترسين من نقطتي تماس السلسلة مع الترسين. المماسات المماس هو مستقيم يقع في المستوى نفسه الذي تقع فيه الدائرة AB ويقطعها في نقطة واحدة فقط، تُسمّى نقطة التماس 3 النقطة ، ويُسمّى كل من AB, AB مماسًا للدائرة أيضًا. نقطة التماس مماس لـOC عند المماس المشترك هو مستقيم أو نصف مستقيم أو قطعة مستقيمة تمس الدائرتين في المضلعات المحيطة المستوى نفسه، وفي الشكلين أدناه المستقيم 6 مماس مشترك للدائرتين F,G. بدائرة. B المفردات. المماس tangent نقطة التماس point of tangency المماس المشترك common tangent مثال 1 F تحديد المماسات المشتركة رابط الدرس الرقمي www.jen.edu.sa ارسم المماسات المشتركة للدائرتين في كل مما يأتي، وإذا لم يوجد مماس مشترك، فاكتب "لا يوجد مماس مشترك. (a هاتان الدائرتان لهما مماسان مشتركان هاتان الدائرتان لهما 4 مماسات مشتركة تحقق من فهمك ارسم المماسات المشتركة للدائرتين في كل مما يأتي، وإذا لم يوجد مماس مشترك، فاكتب "لا يوجد مماس مشترك". (1A (18) الدرس - المماسات ال149م Ministry of Education 2024-1446

أضف الما مطويتك H \12 8 G وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 9 6 T 8 15 L أقصر مسافة من المماس إلى مركز الدائرة هي نصف القطر المار بنقطة التماس. النظرية 8.10 التعبير اللفظي: يكون المستقيم مماسًا لدائرة في المستوى نفسه، مثال: إذا وفقط إذا كان عموديًا على نصف القطر عند نقطة التماس يكون المستقيم & مماشا ل OS ، إذا وفقط إذا كان ST 1 2 . مثال 2 ستبرهن جزأي النظرية 8.10 في السؤالين 2425 تحديد المماس L نصف قطر في J ، حدد ما إذا كانت KL مماشا لـ أم لا، برر إجابتك. اختبر ما إذا كان AJKL قائم الزاوية. عکس نظرية فيثاغورس بالتبسيط 82+152 (89)² 289=289 لذا فإن AJKL قائم الزاوية في LK ؛ أي أن KL عمودية على عند النقطة L . وبحسب النظرية 8.10 يكون KL مماشا لـ 0 تحقق من فهمك (2) حدد ما إذا كان GH مماشا لـ OF أم لا، برر إجابتك. يمكنك استعمال النظرية 8.10 لإيجاد قيم مجهولة. استعمال المماس لإيجاد القيم المجهولة مثال 3 إرشادات لحل المسألة حل مسألة أبسط : يمكنك استعمال استراتيجية حل مسألة أبسط، برسم المثلث القائم من دون الدائرة أدناه وتسميته، والشكل يبين رسم المثلث في المثال 3 H مماس لـ OG عند ، أوجد قيمة x . وفقًا للنظرية 810 ، يكون H I J ، إذن AGHI قائم الزاوية. GJ2 + JH2 = GH نظرية فيثاغورس G K GJ=x, JH = 12, GH = x+8 x2 + 144 = (x + 82 8 x x2 + 144 = x2 + 16x + 64 H 80 = 16.x 5 = x اتحقق من فهمك بالضرب بالتبسيط بقسمة كلا الطرفين على 16 12 أوجد قيمة x في كلّ من الشكلين الآتيين مفترضًا أن القطعة المستقيمة التي تبدو مماسًا للدائرة، هي مماس فعلاً. R 4 2 S (38) 17 B A 14 x C (3) G x+8 x 12 H الفصل 8 الدائرة 150

يمكنك استعمال النظريتين 8.10 8.8؛ لإنشاء مماسات الدائرة. إنشاءات هندسية إنشاء مماس لدائرة من نقطة خارجها D A A A X X Ε Ε Fe الخطوة 1: ارسم الدائرة C الخطوة 2 أنشئ العمود الخطوة 3 أنشئ الدائرة X الخطوة 4 ارسم AD, DC مستعملا الفرجار، وحدد نقطة المنصف لـ CA وسَمِّه ، ، وسمّ بنصف قطر XC، وسمّ نقطتي ADC تقابل قطرًا للدائرة X ؛ A خارجها، ثم ارسم CA . نقطة تقاطع ) مع CA النقطة X . تقاطع الدائرتين D,E إذن فهي زاوية قائمة؛ لذا فإن AD مماس للدائرة C . ستنشئ مماسًا لدائرة من نقطة عليها في السؤال 26 يمكنك أن ترسم مماسين للدائرة نفسها من نقطة واحدة خارجها. نظرية 8.11 التعبير اللفظي: إذا رسمت قطعتان مستقيمتان مماستان لدائرة من نقطة خارجها فإنهما متطابقتان. مثال: إذا كان ABCB مماسان لـ OD فإن AB = CB . مثال 4 ستبرهن النظرية 8.11 في السؤال 22 استعمال المماسات المتطابقة لإيجاد قياسات جبر إذا كان ABCB, مماسان للدائرة ، فأوجد قيمة x . AB = CB x + 15 = 2x - 5 15 = x - 5 20 = x المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متطابقان بالتعويض بطرح x من كلا الطرفين بإضافة 5 لكلا الطرفين أضف إلى مطويتك A .D B C A +15 D. B 2x-5 C تحقق من فهمك جبر أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين، مفترضًا أن القطعة المستقيمة التي تبدو مماسًا للدائرة هي مباش فعلا (4) (3x+8) cm, T R 26 cm S W (2x+9) (48) X Z⚫ (3x+6) Y الدرس - المماسات الت151م Ministry of Education 2024-1446

المضلعات المحيطة بدائرة يُحيط المضلّع بالدائرة، إذا كان كل ضلع من أضلاعه مماشا للدائرة. تنبيه ! تحديد المضلعات المحيطة بدائرة : إذا مست الدائرة بعض أضلاع المضلع ولم تمسها جميعها، فلا يُعد المضلع محيطا بالدائرة، وهذا ما يتضح في الجدول. مضلعات محيطة بدائرة مضلعات لیست محيطة بدائرة يمكنك استعمال النظرية 8.11؛ لإيجاد قياسات مجهولة في المضلعات المحيطة بدائرة. مثال 5 من واقع الحياة إيجاد قياسات في المضلعات المحيطة بدائرة تصميم مصور صمَّم منصور الشعار المبين في الشكل المجاور، إذا كان AABC محيطا بالدائرة G ، فأوجد محيطه. الخطوة 1: أوجد القياسات المجهولة. بما أن AABC يحيط بالدائرة G، فإن AE, AD مماشان للدائرة OG ، وكذلك BE, BF CF, CD مماسات أيضًا. إذن : AE = AD, BF = BE, CF = CD لذا فإن : AE = AD = 8 ft, BF = B = 7 ft. وبتطبيق مسلّمة جمع القطع المستقيمة ينتج أن CF + FB = CB 7 ft 8ft F D C F B 10 ft إذن : CF = CB - FB = 10 - 7 = 3 ft ؛ لذا فإن : CD = CF = 3 ft الخطوة 2 أوجد محيط AABC. T. B U A C 3 S D 3 R وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 المحيط يساوي: AE + EB + BC + CD + DA = 8 + 7 + 10 + 3 + 8 = 36 إذن محيط AABC يساوي 36ft . تحقق من فهمك (5) الشكل الرباعي RSTU محيط بالدائرة ، إذا كان محيطه 18 وحدة، فأوجد قيمة x . المثال 1 (1) ارسم المماسات المشتركة للدائرتين المجاورتين، وإذا لم يوجد مماس مشترك، فاكتب "لا يوجد مماس مشترك". المثال 2 حدد ما إذا كانت FG في كل من الشكلين الآتيين مماشا للدائرة E أم لا، وبرر إجابتك. 24 F 36 G 15 (3 (2 E 12- 6 10 G تأكد الفصل 8 الدائرة 152

المثالان 3.4 أوجد قيمة x في كل مما يأتي مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلًا. 5x 8 3.x (6 B (5 30 N (4 16 12 x A C M 18 D -x· (7) هندسة الحدائق خطط مهندس ممرين للمشاة يُشكلان مماسين لبركتين دائريتين كما في الشكل أدناه. إذا كانت الأطوال معطاة بالأقدام، فأوجد قيمة كل من x و لا . 12 M K R N x+3 L 4x - 9 x+25- x + 250 4x-500- 8 جبر المثلث JKL يُحيط بالدائرة R . المثال 5 a) أوجد قيمة x . ) أوجد محيط AJKL . تدرب وحل المسائل المثال 1 ارسم المماسات المشتركة للدائرتين في كل مما يأتي، وإذا لم يوجد مماس مشترك، فاكتب "لا يوجد مماس (12) (11 مشترك. (10 8° (9 المثال 2 حدد ما إذا كانت XY مماسًا للدائرة المعطاة في كلّ من السؤالين الآتيين أم لا، وبرّر إجابتك. 4. X (14 8 6 Y (13) Y 5 8 5 X المثالان 3.4 أوجد قيمة x في كل من الأسئلة الآنية مفترضا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلا. 5x-9 G (17 B 12 C (16 F 6 x x+7 x Ή الدرس - المماسات ال153م Ministry of Education 2024-1446 24 P 10 N (15

المثال 5 إذا كان المضلع يحيط بالدائرة، فأوجد قيمة x ، ثم أوجد محيط المضلع في كل من السؤالين الآتيين: (19 13 cm" M B A x cm 5 cm N L 14 in, 6cm D P 7 cm C U R 27 in. .W 2xin. T 17 in. S (18 إرشادات للدراسة تحديد المماسات أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات لا تفترض أن القطع فعلا، وقرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. المستقيمة مماسات لمجرد أنها تبدو في الشكل كذلك إلا إذا طلب إليك ذلك في السؤال. فيجب أن يحتوي الشكل على رمز الزاوية القائمة أو أن تكون الأطوال المبينة على الشكل تؤكد (20 x + 10 S T R (21 S 3x 8 أن الزاوية قائمة. اكتب برهانا من النوع المحدد في كل من السؤالين الآتيين: الربط مع الحياة يوجد أكثر من 8000 قطعة كبيرة من الركام المداري كالأقمار الاصطناعية ومخلفاتها التي تدور حول الأرض بسرعة 8km في الثانية تقريبا. (22) برهان ذي عمودين للنظرية 8.11 المعطيات AC مماس لـ OH عند النقطة C. AB مماس لـ OH عند النقطة B. المطلوب : AC = AB x T (23) أقمار اصطناعية: يرتفع قمر اصطناعي مسافة km 720 عن سطح الأرض التي نصف قطرها 6360km ، ويمكن منه رؤية المنطقة التي تقع بين المماسين BABC من سطح الأرض. أوجد BA مقربا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. 4 A 720 km B (24) برهان اكتب برهانا غير مباشر، لإثبات أنه إذا كان المستقيم مماسًا للدائرة، فإنه يكون عمودياً على نصف قطرها (الجزء 1 من النظرية 8.10) المعطيات مماس للدائرة S عند ST T نصف قطر في OS. المطلوب : ELST إرشاد افترض أن ) ليس عمودياً على ST). (25) برهان اكتب برهانا غير مباشر؛ لإثبات أنه إذا كان المستقيم عموديا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التقائهما على الدائرة؛ فإنه مماس لهذه الدائرة. (الجزء 2 من النظرية 8.10) المعطيات : ST ، E 1 ST نصف قطر في OS . المطلوب : إثبات أن مماس للدائرة . إرشاد : افترض أن ليس مماسًا للدائرة ) . 6360 km T T B H وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 الدائرة 154

(26) إنشاءات هندسية : أنشئ مماسًا لدائرة من نقطة واقعة عليها باتباع الخطوات الآتية: ارسم OA مستعملاً الفرجار. اختر نقطة P على الدائرة وارسم AP ، ثم أنشئ مستقيما عمودياً على AP يمر بالنقطة P ، وسم المماس المستقيم . مسائل مهارات التفكير العليا (27) تحد PQ مماس للدائرتين, كما في الشكل المجاور. أوجد PQ ، وبرر إجابتك. (28) مسألة مفتوحة: ارسم مثلثًا يُحيط بدائرة، ومثلثا محاطا بدائرة. (29) تبرير XYZ مماسان للدائرة A و XXW مماسان للدائرة B كما في الشكل المجاور فسّر لماذا تكون القطع المستقيمة XXX متطابقة رغم أن نصفي قطري الدائرتين مختلفان. 30) اكتب ما عدد مماسات الدائرة التي يمكن رسمها من نقطة خارجها، ومن نقطة عليها، ومن نقطة داخلها ؟ برر إجابتك. 6 R X Z A B W 12 cm. 60° G H 8 M K 12cm | تدريب على اختبار 31) نصف قطر OP يساوي 10cm ، و ED مماس لها عند D ، (32) ما محيط المثلث المجاور؟ وتقع F على OP وعلى القطعة المستقيمة EP. إذا كان ED = 24cm ، فما طول EF؟ 36 cm C 104 cm D 24 cm A 21.8cm C 10 cm A 34.4 cm B 26 cm D 16 cm B W V mVX (35 A 122° MB 34 X m KM (38 B مراجعة تراكمية أوجد كل قياس منا بألي (الدرس (88) mjK (33 K 62 في OF ، إذا كان : 1420 = GK = 14 cm , GK ، فأوجد كلا من القياسات الآتية: (الدرس (3-8) JK (37 mGH (36 استعد للدرس اللاحق حُلّ كلا من المعادلات الآتية: x= [(180-64)] (41 x+12= [(180-120)] (40 15 = [(360-x) - 2x] (39 الدرس - المماسات ال155م Ministry of Education 2024-1446