قياس الزوايا والأقواس - رياضيات 1-3 - أول ثانوي

www.ien.edu.sa 01112 8765 أضف إلى مطويتك A قياس الزوايا والأقواس Measuring Angles and Arcs 8-2 فيما سبق درست إيجاد قياسات الزوايا وتحديد الزوايا المتطابقة. (مهارة سابقة) والأن أعين الزوايا المركزية والأقواس الكبرى والأقواس الصغرى ونصف الدائرة وأجد قياسها. . أجد طول القوس. المفردات الزاوية المركزية central angle القوس arc القوس الأصغر اليماذا؟ معظم الساعات في الأجهزة الإلكترونية عبارة عن ساعات رقمية، وهي الساعات التي تُظهر الوقت على شكل أرقام وتستعمل الساعات العادية في تزيين المنازل، أو استعمالها ساعات يدوية. وهذه الساعات لها عقارب أو مؤشرات متحركة تشير إلى الساعة والدقيقة، وأحيانًا هناك مؤشر أو عقرب للثواني. و وجه هذه الساعة عبارة عن دائرة، وتكوّن العقارب الثلاث زوايا مركزية فيها. الزوايا والأقواس الزاوية المركزية في الدائرة هي زاوية يقع رأسها في المركز، وضلعاها نصفا قطرين في الدائرة في الشكل المجاور ABC هي زاوية مركزية في OB . تذكر أن مجموع قياسات الزوايا المتجمعة حول نقطة يساوي 360؛ لذا فإن الدرجة الواحدة تساوي : الدورة الكاملة حول نقطة، ويؤدي هذا إلى المفهوم الآتي: 1 360 مفهوم أساسي مجموع قياسات الزوايا المركزية التعبير اللفظي مجموع قياسات الزوايا المركزية في الدائرة، والتي لا تحوي نقاطا داخلية مشتركة يساوي 360 . مثال: m21 + m22 + m23 = 360° 3 2 G 130° H F وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 R مثال 1 إيجاد قياس الزاوية المركزية أوجد قيمة x في الشكل المجاور. 360° = GFH + mLHFJ + mLGFJ مجموع قياسات الزوايا المركزية بالتعويض بالتبسيط بطرح 220 من كلا الطرفين (18) 85° 40° 130 + 90° + x = 360° 220 + x = 360° x = 140° اتحقق من فهمك 165° 145 (1A القوس هو جزء من دائرة يُحدد بنقطتي طرفَيه، وعند رسم زاوية مركزية، تنقسم الدائرة إلى قوسين، يرتبط قياس كل منهما بقياس الزاوية المركزية المقابلة له. minor arc القوس الأكبر major arc نصف دائرة semicircle الأقواس المتطابقة congruent arcs الأقواس المتجاورة adjacent arcs الفصل 8 الدائرة طول القوس arc length 126

أضف إلى مطويتك Al A D C إرشادات للدراسة تسمية الأقواس : يُسمى القوس الأصغر بنقطتي طرفيه ، أما القوس الأكبر ونصف الدائرة فيسميان بنقطتي الطرفين بالإضافة إلى نقطة على القوس بينهما. مفاهيم أساسية القوس القوس الأصغر هو الأقواس وقياسها قياسه يقل قياس القوس الأصغر عن 180 ، ويساوي B القوس الأقصر الذي يصل قياس الزاوية المركزية المقابلة له. mAB=mZACB = x° بين نقطتين على الدائرة. القوس الأكبر هو القوس يزيد قياس القوس الأكبر على 180، ويساوي الأطول الذي يصل بين نقطتين على الدائرة. 360 مطروحًا منه قياس القوس الأصغر الذي يصل بين النقطتين نفسيهما. B D A G 122 K L N 115' R M H B mADB = 360° - mAB = 360° - x نصف الدائرة هي قوس قياس نصف الدائرة يساوي 180 تقع نقطتا طرفيه على mADB = 180 قطر الدائرة. مثال 2 تصنيف الأقواس وإيجاد قياساتها ان نظر في BK، حدد ما إذا كان كل من الأقواس الآلية قوسا أكبر أو أصغر قراءة الرياضيات الرمز يقرأ الرمز في الدائرة أدناه القوس از نصف دائرة، ثم أوجد قياسه. GH (a AB يقرأ القوس AB ، GH قوس أصغر ، وقياسه : 122 = mGH = mZGKH. GLH (b GLH هو القوس الأكبر الذي يشترك GLJ (c GL هو نصف دائرة مع القوس الأصغر GH في نقطتي طرفيه. إذن: 180 = mGLJ . mGLH = 360° - mGH D =360°-122° 238° تحقق من فهمك قطر في BR، حدد ما إذا كان كل من الأقواس الآتية قوشا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة ، ثم أوجد قياسه. MNQ (2C MNP (2B MQ (2A الأقواس المتطابقة هي الأقواس التي تقع في الدائرة نفسها، أو في دائرتين متطابقتين، ويكون لها القياس نفسه. أضف إليا مطويتك G F 1 H نظرية 8.1 التعبير اللفظي: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان متطابقين، إذا وفقط إذا كانت الزاويتان المركزيتان مثال: المقابلتان لهما متطابقتين. إذا كانت 2 = 1 ، فإن FG = H . إذا كان FG H ، فإن 12 . ستبرهن النظرية 8.1 في السؤال 44 الدرس 2- قياس الزوايا والأقواس ال127م Ministry of Education 2024-1446 أما AEC فيقرأ القوس AEC، وكذلك AED فيقرأ القوس AED B C E A

E مثال 5 من واقع الحياة إيجاد قياس القوس من القطاعات الدائرية رياضة استعمل التمثيل بالقطاعات الدائرية المجاور ، لإيجاد كل من القياسات الآتية: mCD (a هو قوس أصغر. إذن mCD = mLCSD CSD تُمثل %18% من الكل أو %18 من الدائرة. m/CSD 0.18(360°) = = 64.8° mBC (b النشاطات الرياضية المدرسية 20% كرة القدم إيجاد 18% من 360 الجري 18% بالتبسيط A ألعاب أخرى F 14% كرة السلة 14% كرة اليد 16% الكرة الطائرة M 18% D H K أضف إلى " مطويتك وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 Z. Y .W X B C D A F 63° E النسبتان المئويتان للكرة الطائرة والجري متساويتان؛ إذن الزاويتان المركزيتان متطابقتان والقوسان المقابلان لهما متطابقان. m FA (3B الربط مع الحياة عُرفت لعبة كرة الطائرة لأول مرة في الولايات المتحدة الأمريكية، ثم انتقلت إلى كندا عام 1900م ، لتصبح بعد من أكثر الرياضات شعبية في العالم. ذلك mBC = mCD = 64.8° اتحقق من فهمك m EF (3A الأقواس المتجاورة هي أقواس في الدائرة تشترك مع بعضها في نقطة واحدة فقط. R قوسان متجاوران في OM، وكما هي الحال في الزوايا المتجاورة، يمكنك جمع قياس الأقواس المتجاورة. مسلمة 8.1 مسلمة جمع الأقواس التعبير اللفظي: قياس القوس المتكوّن من قوسين متجاورين يساوي مجموع قياسي هذين القوسين. mXZ = mXY+mYZ مثال: مثال 4 إيجاد قياس القوس باستعمال مسلمة جمع الأقواس أوجد كلاً من القياسات الآتية في OF : مسلمة جمع الأقواس mAE = mZAFE, mED = mLEFD بالتعويض مسلمة جمع الأقواس EDB نصف دائرة؛ إذن: 180 = mEDB mABD (4B MAD (a mAD = mAE + mED = mZAFE + mZEFD 63° +90° 153° MADB (b mADB = mAE + mEDB = 63° + 180° = 243° تحقق من فهمك m CE (4A الفصل 8 الدائرة 128

تنبيه : طول القوس : يُعطى طول القوس بوحدات الطول مثل السنتمترات، أما قياس القوس فيعطى بالدرجات. طول القوس طول القوس هو المسافة على الدائرة بين نقطتي طرفيه، ويُقاس بوحدات الطول، وبما أن القوس جزء من الدائرة، فإن طوله جزء من محيطها. ي مفهوم أساسي طول القوس التعبير اللفظي: إذا كان طول القوس يساوي ومحيط الدائرة يساوي 277 وقياس القوس بالدرجات يساوي " فإن نسبة طول القوس إلى محيط الدائرة يساوي نسبة قياس القوس بالدرجات إلى 360 وي ضف إلى مطويتك صيغة طول القوس بالتعويض باستعمال الحاسبة 10 cm 130° Y 201 360° l = 360° الرموز أي أن : مثال 5 إيجاد طول القوس أوجد طول ZY في كل مما يأتي مقربا إلى أقرب جزء من مئة: = .2г 360° = 130° 360° .27 (5) = 11.34 cm صيغة طول القوس بالتعويض باستعمال الحاسبة (b صيغة طول القوس بالتعويض باستعمال الحاسبة Y 14 in. 75 Z Χ = 2πr 360° = 75° 360° ..27 (4) = 5.24 in l = .2г Y = 360° 75° 360° = 7.85 in 6 in. . 27 (6) 75° Z X لاحظ أن له القياس نفسه في المثالين ، ويساوي 75، إلا أن لهما طولين مختلفين؛ بسبب وجودهما في دائرتين نصفا قطريهما مختلفان. تحقق من فهمك أوجد طول AB في كل مما يأتي مقربا إلى أقرب جزء من مئة: A 120° 8 ft B (5C الدرس 2- قياس الزوايا والأقواس ال 129م Ministry of Education 2024-1446 (5B A 14m 80° B A (5A 3 cm/ 45 B

H 59 K G 140° 5 المثال 1 أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين: 60° 130° المثال 2 HK, IG قطران في OL، حدد ما إذا كان كلّ قوس فيما يأتي قوسًا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة، ثم أوجد قياسه. ما يطلبه رواد المطاعم الخدمة السريعة 8% الأسعار المعقولة 22% A E لا أعرف 3% الجو المريح وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 11% 135 145° C B D (15) الطعام الجيد 56% HGK (5 [H] (3 المثال 3 (6) مطاعم يعرض الشكل المجاور نتائج استطلاع حول ما R V S 75 72° P T يطلبه رواد المطاعم. a) أوجد mAB . b) أوجد mBC . صف نوع قوس قطاع الطعام الجيد. المثال 4 QS قطر في OV، أوجد كلًا من القياسات الآتية: m STP (7 mQRT (8 mPQR (9 المثال 5 أوجد طول IK مقربًا إلى أقرب جزء من مئة في كل من السؤالين الآتيين: 15 cm C/105° K (11 150° 85 (14 65° 70° K .2ft 30 C (10) ا تأكد تدرب وحل المسائل المثال أوجد قيمة x في كل مما يأتي: (13 (12 155 125 الفصل 8 الدائرة 130

A المثال 2 AD,CG قطران في OB، حدد ما إذا كان كلّ قوس مما يأتي قوسًا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة ثم أوجد قياسه. D 55 B CG (18 AC (17 35° ACF (21 GCF (20 F G أفضل الأماكن لشراء الملابس غير هذه الأماكن %9% المجمعات عبر الإنترنت %9% التجارية المحلات المتخصصة %4 الأسواق الشعبية 2 60° F 40 G 76% CD (16 CGD (19 المثال 3 (22) تسوق يعرض الشكل المجاور نتائج استطلاع حول المكان المفضل لشراء الملابس، شمل مجموعة من الشباب. ما قياس القوس المقابل لفئة التسوق في كل من المجمعات التجارية والمحلات المتخصصة؟ ) صف نوع القوس المقابل لفئة المجمعات التجارية وفئة الأسواق الشعبية. هل توجد أقواس متطابقة في هذا الشكل؟ وضح إجابتك. المثالان 24 تسلية : استعمل العجلة الدوارة في الشكل المجاور، لإيجاد كل من القياسات الآتية: mi (24 m FG (23 mJFH (26 mJKF (25 H m GHK (28 m GHF (27 mJKG (30 m HK (29 RT قطر في OP، أوجد طول كل قوس ممّا يأتي مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. المثال 5 الربط مع الحياة تعد ساعة مكة المكرمة أكبر 31 RS ، إذا كان نصف القطر يساوي .2in (32) Q7 ، إذا كان القطر يساوي cm 9 . (33) QR ، إذا كان PS = 4 mm 34 QRS ، إذا كان RT = 11 ft ساعات يعرض الشكل المجاور الساعة التي وردت في فقرة "لماذا ؟" في بداية هذا الدرس. (35) ما قياس الزاوية المركزية الصغرى المحصورة بين عقربي ساعة في العالم، إذ يزيد قطر الساعات والدقائق؟ فسّر الطريقة التي توصلت بها إلى واجهتها عن 40m، ويبلغ طول عقرب الدقائق 22m ، إجابتك. وطول عقرب الساعات 17m 36 إذا تضاعف قطر الدائرة، فما تأثير ذلك في طول القوس وتبلغ كتلة كل منهما 6 أطنان الأصغر بين الرقم 1، والرقم 12؟ تقريبا. 3 S R P 112° 130° T 101112 8765 الدرس 2- قياس الزوايا والأقواس ال131م Ministry of Education 2024-1446

H G F B A أوجد قياس كلّ ممّا يأتي مقربًا الأطوال إلى أقرب جزء من مئة وقياسات الأقواس إلى أقرب درجة. (37) محیط OS m CD (38 C (39) نصف قطر OK J L B K 340° 1.31 m 0.5m D 56.37 ft T 70° 7.94 in. R جبر في OC، إذا كان 28 + m/HCG = (2x), m/HCD = (6x، Ε m HGF (42 m HD (41 D Ε C J(5,12) K(12,5) 22 فأوجد قياس كل مما يأتي: m EF (40 43) ألعاب: يأخذ مسار لعبة السفينة في مدينة ألعاب شكل نصف دائرة كما في الشكل المجاور. a) أوجد mAB إذا كان CD = 62 ft ، فما طول AB؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. (44) برهان اكتب برهانا ذا عمودين للنظرية . 8.1 المعطيات: BAC = DAE المطلوب : BC = DE (45) هندسة إحداثية تُمثل النقطة M نقطة الأصل في الشكل المجاور. أوجد كلا مما يأتي في M، مقرنا الأطوال إلى أقرب جزء من مئة. وقياسات الأقواس إلى أقرب عشر درجة. M L(13, 0)x mJK (c mKL (b طول JK mfL (a طول L 46) تمثيلات متعددة في هذا السؤال ستستقصي العلاقة بين الأقواس والأوتار. a) هندسيا ارسم دائرة فيها وتران متطابقان مثل AB, CD، حدد مركز هذه الدائرة، كرر العملية مع دائرتين أخريين ووترين متطابقين في كل منهما، على أن تكون أطوال الأوتار في الدوائر الثلاث مختلفة. ) حسيا : قُص ثلاث قطع من الورق الشفّاف أكبر من كل من الدوائر الثلاث، ثم ثبت ورقة شفافة من منتصفها مستعملا دبوسًا عند مركز كل دائرة، ارسم القوس المقابل لأحد الوترين في كل دائرة على الورقة الشفافة، ثم قم بتدوير قطعة الورق الشفّاف حول الدبوس؛ المقارنة طول القوس الذي رسمته بطول القوس المقابل للوتر الآخر. النفطية، تبع تخمينا حول العلاقة بين الأقواس التي تقابل أوتارا متطابقة في الدائرة. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 الدائرة 132

Y W118 مسائل مهارات التفكير العليا (47) اكتشف الخطأ: يقول إبراهيم: إن WXZ متطابقان؛ لأن زاويتيهما المركزيتين متطابقتان، بينما يقول سالم إنهما غير متطابقين. هل أي منهما على صواب؟ برر إجابتك. تدريب على اختبار 54) أوجد قيمة x؟ تبرير: حدد ما إذا كانت كل من العبارات الآتية صحيحة دائمًا أو أحياناً أو ليست صحيحة أبدا. برر إجابتك. (48 قياس القوس الأصغر أقل من 180 . (49) إذا كانت الزاوية المركزية منفرجة، فإن القوس المقابل لها قوس أكبر. (50) يعتمد مجموع قياسي قوسين متجاورين في دائرة على قياس نصف قطر تلك الدائرة. (51) مسألة مفتوحة: ارسم دائرة وعين عليها ثلاث نقاط، قدر قياس الأقواس الثلاثة الناتجة وغير المتداخلة، ثم استعمل المنقلة لإيجاد قياس كلّ منها، واكتب على كل قوس قياسه. (52) تحد، تشير عقارب ساعة إلى 8:10 ما قياس الزاوية المقابلة للقوس الأصغر بين عقربي الساعة؟ (53) اكتب صف الأنواع الثلاثة للأقواس في الدائرة، وطريقة إيجاد قياس كل منها. (55) في B ، إذا كان: "(mLBM = (3x ، K M B K P L N M mZLBQ = (4x+61)° فما قياس PBQ؟ 130° 95 145 C 160 D 120 A 135 B مراجعة تراكمية عد إلى 7 في الشكل المجاور للإجابة عن كلُّ من الأسئلة الآتية: (مهارة سابقة) 56) سم مركز الدائرة. (57) عين وترا يكون قطرًا أيضًا. (58) إذا كان 12.4 = LN ، فأوجد JM؟ مثل بيانيا المضلع المعطاه إحداثيات رؤوسه، ثم مثل صورته الناتجة عن تمددٍ مركزه نقطة الأصل ومعامله المعطى في كلّ من السؤالين الآتيين (مهارة سابقة) k 0.25 A(-4, 4), B(4, 4), C(4,-4), D(-4,-4) (60 k 3X(-1,2), Y(2, 1), Z(-1, -2) (59 302 +352 x2 (63 x²+52 132 (62 الدرس 2- قياس الزوايا والأقواس ال 133م Ministry of Education 2024-1446 استعد للدرس اللاحق أوجد قيمة : في كل مما يأتي: 242 + x²=262 (61