الأقواس والأوتار - رياضيات 1-3 - أول ثانوي

www.ien.edu.sa الأقواس والأوتار Arcs and Chords المادية 8-3 فيما سبق يستعمل الخياطون إطارًا دائريا لشد الأقمشة ثم تطريز الزخارف عليها، ويُظهر الشكل درست استعمال العلاقات المجاور إطارًا دائريا، مثبتا عليه تطريز على شكل نجمة، ويمثل كل رأسين متجاورين بين الأقواس والزوايا من رؤوس النجمة نهايتي قوس في الدائرة أو نهايتي وتر يكون أحد أضلاع شكل لإيجاد قياسات مختلفة. سداسي رؤوسه على الدائرة. (الدرس 2-8) روا الان أميز العلاقات بين الأقواس والأوتار وأستعملها. . أميز العلاقات بين الأقواس والأوتار والأقطار وأستعملها. الأقواس والأوتار: لقد تعلمت في الدرس -1- أن الوتر هو قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة، وإذا لم يكن الوتر قطرًا للدائرة، فإن طرفَيه يقسمانها إلى قوسين؛ أحدهما قوس أكبر والآخر أصغر. الظرية 8.2 التعبير اللفظي: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان الأصغران متطابقين، إذا وفقط إذا كان الوتران المناظران أضف إليها مطويتك G F. R P T H لهما متطابقين. مثال: FG = H ، إذا وفقط إذا كان FG = H . ستبرهن الجزء 2 من النظرية 8.2 في السؤال 20 برهان نظرية 8.2 (الجزء 1) دائرة واحدة ) المعطيات QR E ST في OP المطلوب : QR = ST البرهان : العبارات 1) QR = ST في OP 1) معطيات المبررات (2) إذا تطابقت الأقواس، فإن الزوايا المركزية المقابلة لها تكون متطابقة. SAS (4) LQPR = LSPT (2) QP = PR = SP = PT (3) APQR = APST (4) QR = ST (5) (3) أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة. (5) العناصر المتناظرة في مثلثين متطابقين متطابقة. استعمال الأوتار المتطابقة لإيجاد قياس القوس B 60° A وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 C مثال I من واقع الحياة حرف يدوية : إذا كان : °60 = AB = CD, AB في الشكل المجاور، فأوجد mCD. ABCD وتران متطابقان؛ إذن القوسان المقابلان لهما AB, CD متطابقان أي أن: "60 = mAB = mCD تحقق من فهمك 1) إذا كان "78 = mAB في الشكل أعلاه، فأوجد mCD . الفصل 8 الدائرة 134

M R N /2x + 1 S 5x-9 .W 2x + 3 V مثال 2 استعمال الأقواس المتطابقة لإيجاد أطوال الأوتار جبر إذا كان OJ = OK, MN = PQ ، فأوجد PQ . MN PQ قوسان متطابقان في دائرتين متطابقتين؛ لذا فإن الوترين MNPQ متطابقان P 3x-7 Q تعريف القطع المتطابقة بالتعويض بالتبسيط MN = PQ 2x + 1 = 3 x - 7 8 = x إذن: 17 = 7 - (8)3 = PQ. اتحقق من فهمك (2) في OW، إذا كان RS = TV، فأوجد RS تنصيف الأقواس والأوتار، إذا قسم مستقيم أو قطعة مستقيمة أو نصف مستقيم قوسًا إلى قوسين متطابقين؛ أضف إلى مطويتك X A B C X A B C Y P R T 6 إرشادات للدراسة فإنه يُنصف القوس. منصف القوس: في الشكل الآتي FH منصف للقوس JHG. نظريات 8.3 إذا كان قطر (أو نصف قطر الدائرة عموديا على وتر فيها، فإنه يُنصف ذلك الوتر، ويُنصف قوسه. مثال: إذا كان القطر AB عموديًا على XY في النقطة 2 فإن XZ = ZY, XB = BY. 8.4 العمود المنصف لوتر في الدائرة هو قطر (أو نصف قطر) لها. مثال : إذا كان AB عمودًا منضفًا للوتر XY ، فإن AB قطر في OC . ستبرهن النظريتين 8.3.4 في السؤالين 21 على الترتيب مثال 3 استعمال نصف القطر العمودي على الوتر في OS ، إذا كان 98 = mPR ، فأوجد mPQ نصف القطر SQ يعامد الوتر PR؛ لذا وبحسب النظرية 8.3 فإن SQ يُنصف PR ؛ إذن mPQ = mQR الدرس - الأقواس والأوتار ال135م Ministry of Education 2024-1446 mPQ 98° MPR = = 49° 2 2 تحقق من فهمك 3) أوجد PR في OS . H G

الربط مع الحياة عند صناعة الزجاج الملون يتم تسخينه حتى درجة حرارة 2000 ، حتى يصبح لزجا، ثم تضاف أكاسيد بعض المعادن فتكسبه لونًا. مثال 4 من واقع الحياة استعمال القطر العمودي على الوتر زجاج ملون يبين الشكل المجاور تصميما على نافذة ذات زجاج ملون إذا كان GH قطرًا طوله 30in ، و KM وترًا طوله 22in ، فأوجد JL . الخطوة 1: ارسم نصف القطر JK. M G H M إرشادات للدراسة فيتكون AJKL القائم الزاوية الخطوة 2 : أوجد JK, KL بما أن 30 = GH ، فإن JH = 15in، وبما أن أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة، فإن JK = 15in . بما أن القطر GH عمودي على KM، فإن GH يُنصف الوتر KM وفق النظرية 8.3 إذن: KL = { (22) = 11in . الخطوة 3 أوجد JL باستعمال نظرية فيثاغورس KL² + JL²=JK² 11² + JL² = 15² 121 + JL² = 225 JL2 = 104 JL = √104 نظرية فيثاغورس بالتعويض بالتبسيط بطرح 121 من كلا الطرفين بأخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين رسم القطع المستقيمة إذن: JL = V104 = 10.20in. يمكنك إضافة أي معلومة معروفة إلى الشكل لمساعدتك على حل السؤال، ففي المثال 4 ، رسم نصف تحقق من فهمك 4) أوجد TV في OR مقربا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. القطر JK 136 الفصل 8 الدائرة T 5 6 R S بالإضافة إلى النظرية 8.2 يمكنك استعمال النظرية الآتية؛ لتحديد ما إذا كان وتران في دائرة متطابقين. نظرية 8.5 أضف إلى التعبير اللفظي: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون الوتران متطابقين إذا وفقط إذا كان بعداهما عن مركز الدائرة متساويين. مثال: LX = LY إذا وفقط إذا كان FG = H . ستبرهن النظرية 8.5 في السؤالين 2425 H مطويتك G F وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

3x + 4 W 5x Y B C X R P 18 T 8 U H مثال 5 الأوتار المتساوية البعد عن المركز جبر في DA إذا كان 22 = WX = XY ، فأوجد AB . بما أن الوترين WXXY, متطابقان. فإن بعديهما عن A متساويان. بالتعويض بالتبسيط AB = AC إذن: 5.x = 3x + 4 x=2 إذن 10 = (2) 5 = AB تحقق من فهمك في OH إذا كان: 14 = PQ = 3 x - RS ، فأوجد قيمة x S يمكنك استعمال النظرية 8.4؛ لإيجاد النقطة التي تبعد مسافات متساوية عن ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة، أو لتعيين مركز دائرة غير معلومة المركز. B إنشاءات هندسية رسم الدائرة التي تمر بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة الخطوة 1: الخطوة 2 الخطوة 3 : 771 B m B ارسم ثلاث نقاط A,B,C, ليست على أنشئ العمودين , المنصفين المستقيمان , يحويان قطرين في الدائرة المارة استقامة واحدة، ثم ارسم القطعتين المستقيمتين AB, BC. للقطعتين AB, BC. وسم نقطة تقاطعهما D . بالنقاط الثلاث بحسب النظرية 8.4 ، ونقطة تقاطعهما هي مركز الدائرة. ضع رأس الفرجار عند النقطة D ، وارسم دائرة تمر بالنقاط ABC 127° (3 B 5x A D 3x+6 127" M 6 160° F (2 H G تأكد المثالان 1.2 جبر أوجد قيمة x في كل مما يأتي: R S 93 T (1 المثالان 34 في OP ، إذا كان: 134 = JK = 110, JLR ، فأوجد القياسات الآتية، مقربا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة إذا لزم ذلك. PQ (5 K الدرس 3- الأقواس والأوتار ال137م Ministry of Education 2024-1446 mJL (4

H R 5 5 L S Y 143 18, 18 W Z المثال 5 (6) في 0 ، إذا كان 1 + GH = 9, KL = 4x ، فأوجد قيمة x . تدرب وحل المسائل المثالان 1.2 چير، أوجد قيمة ، في كل مما يأتي: 106° 105° (7 (2x-1)* A P B 7 7 E D M 5.x OP = OQ (11 155° T 205 7x-44 3x R S U 85° (10) B C 4.x +3 85 5x 1 A المثالان 3.4 إذا كان طول نصف قطر 04 يساوي 14 و 22 = CD، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك. إذا كان طول قطر OH يساوي 18 و 12 = LM و °84 = mLM، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من منة، إذا لزم فالك. L Μ K B A D وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 E 15 ft MLK (14 HP 15 Aa E B D CE (12 EB (13 الربط مع الحياة في مناطق التزلج يتم تثبيت سكة تمكن المتزلجين من القيام بحركات بهلوانية. (16) تزلج سكة التزلج في الشكل المجاور تأخذ شكل قوس من دائرة، حيث BD جزء من قطرها. إذا كان قياس ABC يساوي 32 من الدائرة الكاملة فأوجد mAB؟ (17) طرق الحافة الخارجية للطريق المنحنية المبينة في الشكل المجاور جزء من OC التي نصف قطرها .ft 88. أوجد AB مقربا إجابتك إلى أقرب عشر. الفصل 8 الدائرة 138

المثال 5 18 جبر في OF ، إذا كان : AB = BC ، (19) جبر في OS ، إذا كان LM = 16, PN = 4x 9 + DF = 3x - 7, FE = x ، فأوجد قيمة x . فأوجد قيمة x. M N R B E C DF A برهان : اكتب برهانا من النوع المحدد في كل من السؤالين الآتيين: (20) برهان حرّ للجزء الثاني من النظرية 8.2 ، المعطيات : QR = ST في OP المطلوب : QR = ST (21) برهان ذو عمودين للنظرية 8.3 ، المعطيات : AB I XY في OC المطلوب : XZ = YZ, XB = YB Y B R S T (22) تصميم صمم زيد شعارًا لمقهى كما في الشكل المجاور. إذا كانت أطوال الأوتار جميعها متساوية، فما قياس كل قوس ؟ وما طول كل وتر ؟ (23) برهان اكتب برهانا ذا عمودين للنظرية 8.4 3ft برهان اكتب برهانا ذا عمودين للجزء المشار إليه من النظرية 8.5 في كل من السؤالين الآتيين. (24) إذا تساوى بعدا وترين في دائرة عن مركزها، فإن هذين الوترين متطابقان. (25) إذا تطابق وتران في دائرة، فإن بعديهما عن مركزها متساويان. مسائل مهارات التفكير العليا Q يعامد القطعة المستقيمة الواصلة بين (26) تحده الوتر AB المشترك بين P مركزي هاتين الدائرتين، إذا كان 10 AB، فما طول PQ؟ وضح ذلك. (27) تبرير: AB قطر في الدائرة و HG وتر يتقاطع مع AB في النقطة X ، فهل العبارة HX = GX صحيحة دائمًا، أم أحيانًا، أم غير صحيحة أبدًا؟ 11, 9 B الدرس - الأقواس والأوتار ال139م Ministry of Education 2024-1446

(28) تحد الإنشاء الهندسي أدناه يوضح طريقة تعيين مركز دائرة معطاة. C إرشادات للدراسة البرهان غير المباشر: تذكر أن البرهان غير المباشر هو برهان بالتناقض تفترض فيه أن المطلوب غير صحيح، ثم تصل إلى B D G B A الخطوة 1: ارسم الوتر AB، وأنشئ العمود المنصف للوتر AB وسمه CD . 0 FX D الخطوة 2 أنشئ العمود المنصف للوتر CD وسمه FG . سم نقطة تقاطع العمودين . نتيجة تناقض المعطيات a استعمل البرهان غير المباشر لإثبات أن CD يمرّ بمركز الدائرة، مفترضًا أن مركز الدائرة لا يقع على CD. أو حقيقة مثبتة من قبل أو مسلمة أو تعريف. ) أثبت أن 0 هي مركز الدائرة. 29) اكتب إذا أصبح قياس قوس في دائرة ثلاثة أمثال قياسه الأصلي، فهل يصبح طول الوتر المقابل لهذا القوس الجديد ثلاثة أمثال طول الوتر المقابل للقوس الأصلي ؟ ارسم شكلاً يؤيد استنتاجك. تدريب على اختبار 30) إذا كان 30 = CW = WF, ED فأوجد DF؟ 60 A 45 B 30 C 15 D مراجعة تراكمية أوجد قيمة x في كل مما يأتي: (الدرس 2-8) (32 121° 125 31) في AB ، CO قطر عمودي على الوتر CD ، ويقطعه في النقطة E، إذا كان 10 = AE = 2 ،OB، فما طول CD ؟ A B W 4 A F D 6 B E 8 c 12 D (33 84° 16° 28° (34 B (35) حرف يدوية : صمّمت شيماء مخططا لتطريز 10 وردات علي قطعة قماش، فرسمت 10 أشكال خماسية منتظمة طول ضلع كل منها 3.5in ، ثم رسمت نصف دائرة على كل ضلع، فتشكلت 10 وردات لكل منها خمس بتلات، فكم بوصة طول الشريط الذهبي الذي تحتاجه لتزيين حواف جميع الوردات؟ قرب إجابتك إلى أقرب بوصة (الدرس 1-8) استعد للدرس اللاحق جبر أجب عن السؤالين الآتيين مستعينا بالمعين WXZY : 36) إذا كان: 31 - 2) = m3 ، فأوجد y . (37) إذا كان : 56 = mXZY ، فأوجد mYWZ . 140 الفصل 8 الدائرة w وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446