حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع - الرياضيات 3 - ثالث متوسط

٨-٣ حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع العلاقة فيما سبق بالمعادلة : ع - - ٩ س ٢ + ١٨ س + ٥ ، حيث تمثل (ع) ارتفاع الكرة بعد درست حل معادلات تربيعية باستعمال خاصية الجذر (س) ثانية. ويمكن إيجاد الزمن عند أي ارتفاع معطى للكرة ، فمثلا لإيجاد الزمن عندما تكون الكرة على ارتفاع ٤ أمتار، نحتاج إلى حل المعادلة : ٤ = - ٩ س ۲ + ١٨ س + ٥ باستعمال طرق مختلفة منها طريقة يسدد لاعبو كرة السلة بعض كراتهم نحو المرمى بمسار يمكن تمثيله التربيعي. وا الان إكمال المربع. أكتب العبارة التربيعية رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa على صورة مربع كامل إكمال المربع درست في الدرس ٦٧ حل معادلات تربيعية بإيجاد الجذر التربيعي لكل طرف منها، والتي تستعمل فقط إذا كان المقدار الواقع على الطرف الأيمن مربعا كاملا، أحل معادلات تربيعية بإكمال المربع. المفردات إكمال المربع أما في العبارات ثلاثية الحدود التربيعية التي تمثل مربعات كاملة والتي يكون معاملها الرئيس ١، فهناك علاقة بين معامل الحد الذي يحتوي س والحد الثابت. س + ٢٥ = س + ٢(٥) س + ٢٥ = س ٢ + ١٠ س + ٢٥ لاحظ أن () - ٢٥، ويمكن الحصول على الحد الثابت، بقسمة معامل الحد الذي يحتوي من على ٢، وتربيع الناتج، يمكن استعمال هذه الفكرة في تحويل أي عبارة تربيعية على الصورة م ، بس إلى مربع كامل باستعمال طريقة تسمى إكمال المربع. مفهوم أساسي إكمال المربع التعبير اللفظي: لإكمال المربع في أي عبارة تربيعية على الصورة س + ب س، اتبع الخطوات الآتية: الرموز الخطوة 1 أوجد نصف ب (معامل س) الخطوة ٢ ربع الناتج في الخطوة ١. أضف إلى مطويتك الخطوة ، أضف الناتج من الخطوة ٢ إلى س ٢ + ب س، ثم اكتب العبارة على صورة مربع كامل. س + ب س + ()' = ( + )' مثال ۱ إكمال المربع أوجد قيمة جـد التي تجعل ثلاثية الحدود: س ٢ + ٤س + جـ مربعا كاملًا. الطريقة 1 : استعمال بطاقات الجبر رتب بطاقات الجبر للعبارة التربيعية س + اس بحيث يتطابق طرفا الشكل لتكملة الشكل إلى مربع، أضف ٤ بطاقات جير من بطاقات العدد 1 ۲۸ الفصل : الدوال التربيعية إذن جـ = 4 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة الخوارزمية الخوارزمية هي سلسلة خطوات لإجراء عملية أو الحل مسألة. الطريقة ٢ : استعمال خوارزمية إكمال المربع. الخطوة 1 : أوجد العدد ٤ . الخطوة ٢ : ربع الناتج من الخطوة ١. الخطوة 3 : أضف الناتج من الخطرة ؟ إلى من + عس. إذن، جـ = ٤ ، لاحظ أن س ٤٢ س + ٤ = ( + ٢٢ . تحقق من فهمك E=TY س ٢ - ٤ س + ٤ (1) أوجد قيمة جد التي تجعل ثلاثية الحدود را درد جي مربعا كاملا حل المعادلات بإكمال المربع يمكن استعمال طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، والتي تتطلب فصل الحدين س٢، بس أولا. مثال ۲ حل معادلة بإكمال المربع عل المعادلة: س ٢ - ٦س ۱۲-۱۹ بإكمال المربع. س ٢ - ٦س + ١٢ = ١٩ س ٢ - ٦ س = ٧ 17-(-) س - 3 = + 4 المعادلة الأصلية اطرح ١٢ من كلا الطرفين بما أن ( ) - ٩؛ لذا أضف 9 إلى كلا الطرفين حلل س ٢ - ٦س + ٩ أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين س = 3 ± 4 أضف ٣ إلى كل طرف - ٤٠٣ أوس -٣-٤ افصل الحلين V = إذن الحلان هما ٧ -١ 1-= بسط تحقق من فهمك تنبيه ! المعامل الرئيس تذكر أن المعامل الرئيس يجب أن يساوي 1 قبل إجراء عملية إكمال المربع. ۲) حل المعادلة : س ۲ - ۱۲ س + ٣ = ٨ بإكمال المربع. لحل معادلة تربيعية معاملها الرئيس لا يساوي ١ ، اقسم كل حد على هذا المعامل، ثم افصل الحدين اللذين يحتويان من ، من ثم أكمل المربع. مثال ٣ معادلة فيها أ ١ حل المعادلة - ۲ س ٢ - ٨س - ۱۸ = - بإكمال المربع. س ۲ + ۸س - ۱۸ = ۰ - ۲ س ۲ - ۸س - ۱۸ اقسم كلا الطرفين على ٢ س ٢ - ٤س + = ٠ بسط س ٢ - ٤ س= -٩ اطرح ٩ من كلا الطرفين س ٢ - ٤س + ٤ - ٤٩ بما أن ( ٤ - ٤ ؛ لذا أضف ٤ إلى كلا الطرفين (س- ٢) ٢-٥ حلل س ٢ - ٤ س + ٤ لا توجد أعداد حقيقية مربعاتها سالبة؛ لذا فالمعادلة ليس لها حلول حقيقية. تحقق من فهمك ) حل المعادلة : ٣س ٢ - ٩ س – ٣ = ٢١ بإكمال المربع. الدرس ۸-۳ حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع الله ۳۲۹ Ministry of Education 2024-1446

الربط مع الحياة يرتدي لاعبو فريق كرة القدم زيا موحدا يشمل: القميص والبنطال والحذاء والجورب ويزيد حارس مثال ٤ من واقع الحياة حل مسألة بإكمال المربع زي رياضي: أراد أحد الفرق الرياضية شراء زي خاص بلاعبي كرة القدم، إذا أمكن تمثيل تكلفة الزي الرياضي بالمعادلة: ك = ٢ ٠س + + + ٣٥٠ ، حيث (ك) ثمن (س) قطعة من هذا الزي، فما عدد القطع التي يمكن شراؤها بمبلغ ۸۹۰ ریالا؟ المبلغ الكلي ٨٦٠ ريالًا؛ لذا اجعل المعادلة تساوي ٨٦٠، ثم أكمل المربع. ٠٢ س ٢ +٤٨ س + ٣٥٠ = ٨٦٠ ٢ ٠ س ٢ +٤٨ س + ٣٥٠ ٨٦٠ س ٢ + ٢٤س + ١٧٥٠ = ٤٣٠٠ المعادلة الأصلية اقسم كل طرف على .. بسط س + ٢٤س + ۱۷۵۰ - 1750 = 4300 - 1750 اطرح ١٧٥٠ من كلا الطرفين س ٢ ٢٤ س= ٢٥٥٠ بسط س ٢ ٢٤ س + ١٤٤ = ٢٥٥٠ ١٤٤ بما أن (٢) ٢ - ١٤٤؛ لذا أضف ١٤٤ إلى كلا الطرفين المرمى بالقفازات. ويختلف لون الزي والشعار تبعا لكل فريق؛ للتمييز بينهم. م ٢ ٢٤ س ١٤٤٠ ٢٦٩٤ (س+ ١٢)٢ ٢٦٩٤ بسط حلل س ٢٤٠٢س + ١٤٤ إلى العوامل س + ١٢ = + ٢٦٩٤٧ أوجد الجذر التربيعي لكلا الطرفين س = - ١٢ ٢٦٩٤٧ اطرح ١٢ من كلا الطرفين استعمل الحاسبة لتقريب قيمتي س. تأكد س = - ١٢ + ٢٦٩٤٧ أو س = - ١٢ - ٢٦٩٤٧ ۳۹,۹ افصل الحلين أوجد القيم التقريبية بما أنه لا يمكن أن نشتري عددًا سالبًا من القطع فالحل السالب غير معقول، إذن يمكن شراء ٣٩ قطعة من هذا الزي. تحقق من فهمك 4) إذا أمكن زيادة المبلغ إلى ۹۸۰ ريالا، فما عدد قطع الزي التي يمكن شراؤها؟ مثال ۱ أوجد قيمة جـ التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعا كاملًا: (۱) س- ۱۸ س ج 13334 ۲) س۲+ ۲۲ س + جـ ٤) س ٢ - ٧س + جـ المثالان ٢ ، ٣ حُلَّ كل معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريا : مثال ٤ ٥) س ٤٢ س = ٦ اساس ۰۱ (1) س ۲ - ۸س = -۹ (۸) ۲ س ٢ + ۱۰ س + ٢٢ - ٤ ٩) إنشاءات: يبني إسماعيل صالة مستطيلة الشكل خلف منزل عائلته مساحتها ١٤٤ مترا مربعا، وطولها يزيد على عرضها بمقدار ۱۰ أمتار، فما بعدا الصالة؟ الفصل : الدوال التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدرب وحل المسائل مثال ۱ أوجد قيمة جـد التي تجعل كل ثلاثية حدود فيما يأتي مربعا كاملا: ١٠) س ٢ + ٢٦س + جـ ۱۱) س ٢ - ٢٤ س + جـ ۱۲) س ۲- ۱۹ س + جـ ۱۳) س ۲ - ۲۲ س + جـ ١٤) م٢ - ١٥س + جـ ١٥) س ٢- ١٣س + جـ المثالان ٢ ، ٣ حُلَّ كلّ معادلة فيما يأتي بإكمال المربع، مقربًا الحل إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريا: (١٦) س ٢ + ٦س - ١٦ - ٠ (۱۸) س ۲ - ۸س - ۱ - ۸ (۲۰) س ۲ - ۲ س + ٧ = ٥ (۱۷) س ٢ - ٢ س - ١٤ - ٠ (۱۹) س ۲ + ۳س + ۲۱ - ۲۲ (۲۱) ۳س + ۱۲ س + ٨١ = ١٥ مثال ٤ (٢٢) ثقافة مالية يمكن تمثيل سعر سهم معين (س) بالمعادلة التربيعية س = ٣,٥ - ٢٠٠٥ ، حيث (ن) عدد الأيام بعد شراء الأسهم، فمتى يصبح سعر السهم ٦٠ ريالا ؟ هندسة، أوجد قيمة من في كل شكل مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة إذا كان ذلك ضروريا: (م: المساحة) ٢٣) م = ٤٥ سم ٢ س سم (س + ٥) سم الربط مع الحياة البضاعة التي ليس لها أصول حقيقية، بل أوراق أو أصول مالية تكون غالبًا أسهما وسندات، ويتم (س) + ٨) سم ٢ س سم ٢٥) نظرية الأعداد : عددان صحیحان زوجیان متتالیان ناتج ضربهما ٢٢٤، فما هما؟ التداولها في سوق يسمى سوق (٢٦) هندسة أوجد مساحة المثلث المجاور. الأسهم، ولهذا السوق قواعد قانونية وفنية تحكم أداءه. ۲۷) علم الفلك : يُعبر عن ارتفاع جسم بعد ثانية من سقوطه بالمعادلة ل = ج ن ٢ + ل . ، حيث (ل.) الارتفاع الابتدائي، (جـ) التسارع الناتج عن الجاذبية، فإذا كان تسارع الجاذبية على سطح كوكب المريخ ۳,۳۷ م / ث ، وعلى سطح الأرض ٩,٨ م /ث ، وسقط الجسم من ارتفاع ابتدائی مقداره ۱۲۰ مترا فوق سطح كل من الكوكبين، فأجب عن السؤالين الآتيين: أ) أي الكوكبين يصل الجسم إلى سطحه أو لا؟ ب) كم يستغرق الجسم للوصول إلى سطح كل من الكوكيين مقربا الإجابة إلى أقرب جزء من عشرة؟ ۲۸ أوجد قيمة جـ التي تجعل ثلاثية الحدود: س + جـ س + ٢٢٥ مربعا كاملا . الدرس ۸-۳ حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع التهم Ministry of Edition 2024-1446

۳۲ تدريب على اختبار ٢٩) رسم إذا كان لدى أحمد إطار طوله ٦٠ بوصة، وعرضه ٤ بوصات، ويرغب في زيادة بعدي الإطار على أن تكون الزيادة في الطول تعادل ١٠ أمثال الزيادة في العرض التناسب قطعة قماش مساحتها ٤٨٠ بوصة مربعة، فما بعد الإطار الجديد؟ (۳۰ تمثيلات متعددة سوف تستكشف في هذه المسألة خاصية للمعادلات التربيعية. أ) جدوليا، انسخ الجدول المجاور وأكمل العمود الثاني. ب جبريًا اكتب كل ثلاثية حدود على صورة معادلة ثلاثية الحدود ب ٢ - ٤ أجـ طرفها الأيمن يساوي صفر، وحلّها بإكمال المربع، س - ٨س + ١٦ وأكمل العمود الثالث في الجدول بكتابة عدد ۲ س - ۱۱ س - ۳ جذور كل معادلة. س . س ٩٠ س - ۲س + ۷ جـ) لفظيًا: قارن عدد الجذور لكل معادلة بالنتيجة في العمود ب ٢ - ٤ أجـ، وهل هناك علاقة بينهما ؟ وإن كانت هناك علاقة فصفها. س + ۱۰ س - ۲۵ س + ۳س - ۱۲ د) تحليلياً، تنبأ بعدد حلول ۲ س ۲ - ۹ س - ١٥ ٠، وتحقق من صحة تنبتك بحل المعادلة. عدد الجذور مسائل مهارات التفكير العليا ۳۱) تحد اشتق معادلة محور التماثل بإكمال المربع للمعادلة ص = أس" + ب س + جـ ، أ . ، وأعد كتابة المعادلة على الصورة ص= أ(س- هـ ) ٢ + ك. ۳۲) تبرير حدد عدد حلول المعادلة س ٢ + ب س = جـ إذا كانت جـ < - ــ < - ()". فسر إجابتك. (۳۳) حدد العبارة التي تختلف عن العبارات الثلاث الأخرى. وفسّر إجابتك. ن - ن + 1 ن +ن++ ٣٤) مسألة مفتوحة اكتب معادلة تربيعية حلها الوحيد هو ٤. (٣٥) اكتب قارن بين الطرق الآتية: إكمال المربع التمثيل البياني، التحليل للعوامل التي تستعمل لحل المعادلة س ٢ - ٥ س - ٧ = ٠ (٣٦) إذا كان طول مستطيل يساوي ثلاثة أمثال عرضه ومساحته ۳۷) إجابة قصيرة يمكن تمثيل عدد سكان إحدى المدن بالمعادلة ص = ۲۲۰۰۰ + ۱۲۰۰ن، حيث (ص) عدد السكان، (ن) عدد السنوات بعد عام ١٤٣٨ هـ ، ما عدد السنوات اللازمة بعد عام ١٤٣٨هـ ليصبح عدد سكانها ٧٥ سنتمترا مربعا، فما طوله؟ i) ٢٥سم جـ) ١٠سم ٢٨٠٠٠ نسمة؟ ب) ١٥سم د) دسم الفصل : الدوال التربيعية وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مراجعة تراكمية اكتب كلًا مما يأتي في أبسط صورة مفترضًا أن المقام لا يساوي صفرا: (مهارة سابقة ) (۳۸ حل كلًا من المتباينات الآتية: (مهارة سابقة) ٤١) |٣ - ٢ ص | ٨ استعد للدرس اللاحق (۳۹) ٤٢) | ه ب - ٢ | 2 ١٣ مهارة سابقة : احسب قيمة + ب ٢ - ٤ أجـ في كل من الحالات الآتية: ٤ أ = ٢ ، ب = - ٥ ، جـ = ٢ (٤٥) أ - ٢ ، ب = -٤ ، جـ = - ٦ (ε. جدا جد ٤٤) أ= ١ ، ب = ۱۲، جـ = ۱۱ ٤٦ أ ، ب = ۱، ج = ۲ الدرس - حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع 2024-1446