التوزيعات الاحتمالية المتصلة - الإحصاء - ثالث ثانوي

التوزيعات الاحتمالية المتصلة الدرس الرابع Continuous Probability Distribution رابط الدرس الـ www.ien.edu.sa في هذا • الدرس أتعرف التوزيع الاحتمالي المتصل التوزيع الطبيعي)، وأوجده، وأفسّره لاتخاذ القرارات المناسبة. . أحسب الاحتمالات باستخدام التوزيع الطبيعي. - فكر هل يمكنك تطبيق توزيع احتمالي للمتغير العشوائي المتصل؛ كما هو الحال مع المتغير العشوائي المنفصل ؟ • كيف يمكن أن تظهر القيم في الدالة الاحتمالية، وفي تمثيلها البياني؟ التوزيع الاحتمالي المتصل هو أن يأخذ المتغير العشوائي المتصل X قيمًا صحيحة وكسرية؛ أي أن المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، ويعطى التوزيع الاحتمالي المتصل بشكل صيغة رياضية تسمي دالة الكثافة الاحتمالية ويرمز لها بالرمز (f(x. ويعد التوزيع الطبيعي أشهر وأهم التوزيعات الاحتمالية المتصلة وأكثرها استخدامًا في أغلب الجوانب النظرية والتطبيقية وله استخدامات متعددة لوصف النمط التكراري للعديد من الظواهر حولنا، مثل درجة الحرارة والطول والكتلة والدخل والأخطاء العشوائية الناتجة عند تحليل الانحدار. والتوزيع الطبيعي توزيع احتمالي مستمر يتصف بالخصائص الآتية: 1. يتخذ المنحنى شكل الجرس. 2. يكون المنحنى متماثلا ؛ حيث يقسمه المستقيم الرأسي المار بالوسط؛ إلى قسمين متساويين. 3. تكون المساحة تحت المنحنى (قيمة الاحتمال تساوي 1. 4. تتساوى عند الخط المستقيم الرأسي المار بالوسط؛ قيمة المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال. 5. يقترب المنحنى من المحور الأفقي X، ولكنه لا يمسه ولا يتقاطع معه. | المتوسط = الوسيط = المنوال 169 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

(x) 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 f(x) التوزيع الطبيعي (Normal Distribution): هو عبارة عن معادلة رياضية تحدّ المنحنى وتعطى صيغة هذه المعادلة بالشكل الآتي: 1 = e -(x-μ)² 202 202 لا < x < =0, O2=0.2, H= 0, 02 = 1.0, =0, O2=5.0 =-2, σ²=0.5, 0.0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X 0 < 0° ∞ > N > << حيث (۳) يمثل المتوسط الحسابي للتوزيع وهو قيمة X المناظرة للقيمة العظمى على المنحنى، أما (2) يمثل التباين ومدى انتشار البيانات في التوزيع. ويوضح الشكل المجاور أثر المتوسط الحسابي والتباين على شكل منحنى التوزيع الطبيعي. يمكن تسهيل حساب الاحتمال في التوزيع الطبيعي، من خلال تحويله إلى توزيع طبيعي معياري باستخدام جداول خاصة. التوزيع الطبيعي المعياري (Standard Normal Distribution): التوزيع الذي يكون متوسطه الحسابي صفر، وتباينه واحد. نظرية إذا كان التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X هو التوزيع الطبيعي بمتوسط حسابي | وتباين 02، فإنه باستخدام X- صيغة التحويل: - σ Z = يصبح التوزيع توزيعا طبيعيًّا معياريًا. الجدول المرفق 1 و2 في الملحق هو الجدول المستخدم في حساب الاحتمالات للتوزيع الطبيعي المعياري. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 تحويل التوزيع الاحتمالي إلى توزيع طبيعي إثراء يمكن تحويل أي توزيع احتمالي إلى توزيع طبيعي من خلال معرفة الوسط الحسابي والتباين لهذا التوزيع أو البيانات؛ بحيث يكون متوسط وتباين التوزيع الطبيعي هو نفس المتوسط والتباين للتوزيع. 170

171 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 1 مثال باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري، أوجد كلا من: a. نسبة المساحة أقل من 1.56 = P(Z < 1.56) Z b. نسبة المساحة أكبر من 1.20 P(Z > 1.20) Z = Z C. نسبة المساحة المحصورة بين 0.8 = Z و 0.15 = 2 (0.15 > 2 > 0.8-)P الحل a. إيجاد قيمة الاحتمال (1.56) من الجدول المرفق 1 في لاحظ: جدول التوزيع الطبيعي يعطي فقط الملحق، عن طريق تقاطع الصف 1,5 مع العمود 0.06، فيكون: المساحة التي على يسار Z، ولأن .P(Z<1.56)=0.9406 المساحة تحت المنحنى تساوي الواحد؛ نطرح قيمة الاحتمال الجدولية من الواحد لنحصل على المساحة على يمين Z. Z 0 1.20 0.1151 94.06% 0 1.56 09406 نسبة المساحة أقل من 1.56 = Z هي P(Z > 1.20) = 1 - P(Z = 1.20) = 1 - 0.8849 = 0.1151 .b C نسبة المساحة أكبر من 1.20 = Z هي %11.51 حساب الاحتمال المحصورة بين 0,8 = Z و0,15 = Z P(−0.8 < Z < 0.15) = P(Z < 0.15) − P(Z < −0.8) = 05596 - 0.2119 = 0.3477 - -0.8 0 0.15 0.3477 Z نسبة المساحة المحصورة بين 0.8 = 2 و 0.15 = Z هي %34.77

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 تحقق من فهمك 1 باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري المرفق في الملحق، أوجد كلا من: 1 نسبة المساحة أقل من 1.17 = P(Z < 1.17) .Z 2. نسبة المساحة أكبر من 0.50 = P(Z > 0.50) .Z 2 مثال أوجد قيمة Z إذا كانت Z a. نسبة المساحة أقل من 2 تساوي 0,9850 P(Z < z) = 0.9850 b. نسبة المساحة أكبر من Z تساوي 0,6628 P(Z > z) = 0.6628 الحل: a. إيجاد قيمة Z من خلال البحث داخل الجدول الطبيعي المعياري للقيم الموجبة (الجدول المرفق 1 في الملحق) عن احتمال 0.9850، فإنها تقع عند تقاطع الصف 2.1 مع العمود الأول 0.07، فتكون 2.17=Z، كما في الشكل المجاور: 09850 Z 2.17 b. إيجاد قيمة الاحتمال الأقل من 0.6628 بطرحها من الواحد لإيجاد الاحتمال يسار قيمة Z. المساحة أقل من 2-1 نسبة المساحة أكبر من Z = -0.42 0.6628 Z P(Z > Z) = 1− P(Z < z) 0.6628 = 1- 1− P(Z < z) P(Z < z) = 1-0.6628 = 0.3372 ثم لإيجاد قيمة Z لابد من البحث داخل الجدول الطبيعي المعياري للقيم السالبة (الجدول المرفق 2 في (الملحق عن 0.3372، فإنها تقع عند تقاطع الصف 0.4- مع العمود الأول 0.02 فتكون 0.42 = Z، كما في الشكل المجاور. فنجد أن 0.42− = Z 172

تحقق من فهمك 2 Ꮓ باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري أوجد نسبة المساحة الأقل من 2 والتي تساوي 0.9357. مثال 3 إذا كانت درجات 600 طالب في مقرر ما تتبع توزيعاً طبيعيًّا بمتوسط حسابي 72 وانحراف معياري 8، وكانت درجة النجاح هي 60، أوجد: a. النسبة المئوية للطلاب الذين تقع درجاتهم بين 62، 78. b. عدد الطلاب الراسبين الحل: a. إيجاد النسبة المئوية للطلاب الذين تقع درجاتهم بين 62، 78: P(62 < X < 78) = P( 62 − 72 (02 - <Z<- 78-72 8 [ 72 ) 8 = P(−1.25 < Z < 0.75) = P(Z < 0.75) − P(Z < −1.25) = 0.7734 - 0.1056 = 0.6678 إذن نسبة الطلاب الذين تقع درجاتهم بين 62، 78 هي b. إيجاد عدد الطلاب الراسبين 66.78% بما أن أقل درجة للنجاح هي 60 فإن نسبة (احتمال) الطلاب الذين حصلوا على درجة أقل من 60: = P(Z < − 1.50) = 1 − P(Z < 1.50) = 1 0.9332 = 0.0668 - - P(X < 60) = P (Z < 60 - 72 8 إذن نسبة الطلاب الراسبين تساوي تقريبًا 6.68 ، ولإيجاد عددهم نتبع الآتي: 0.0668 × 600 = 40.08 ≈ 40 وهذا يعني أن 40 طالبًا - تقريبًا - رسبوا في هذا المقرر. تحقق من فهمك 3 .1 من المثال (3) كم عدد الطلاب الحاصلين على درجة 90 فأعلى في المقرر؟ 2. كم عدد الطلاب الناجحين في المقرر؟ 173 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446