التوزيعات الاحتمالية المنفصلة - الإحصاء - ثالث ثانوي

التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الدرس الثالث رابط الدرس الـ Discrete Probability Distribution www.ien.edu.sa في هذا • أتعرف التوزيعات الاحتمالية المنفصلة (توزيع ذي الحدين توزيع بواسون الدرس وأوجدها، وأفسّرها لاتخاذ القرارات المناسبة. . أحسب الاحتمالات باستخدام توزيع ذي الحدين، وتوزيع بواسون - فكّر سبق وأن درست مفهوم المتغير العشوائي، وأنواعه المتصلة ،والمنفصلة وكيفية إيجادها وحساب قيمها من خلال تجربة عشوائية بسيطة. ولكن التجارب العشوائية في الواقع يصعب فيها إيجاد قيم المتغيرات العشوائية وحساب احتمالها، فكيف يمكن ذلك؟ يمكن ذلك من خلال التوزيعات الاحتمالية التي لها تطبيقات متنوعة، منها على سبيل المثال في التعليم: حساب درجات الطلاب، وعدد الأسئلة، وتصنيف مستويات الأداء، والكشف عن الموهوبين، والتنبؤ بالتوجهات والميول العلمية للطلاب وغيرها. التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي (Probability Distribution for a Random Variable): هو دالة توضح احتمالات قيم المتغير العشوائي المختلفة، ويعبر عنها بجدول أو معادلة رياضية تبين قيم المتغير العشوائي والاحتمالات المقابلة لها. ويلاحظ أن المتغير العشوائي المنفصل يحتوي على عدد معدود من النتائج المحتملة للتجربة، أما المتغير العشوائي المتصل فيحتوي على عدد غير معدود من تلك النتائج. التوزيع الاحتمالي المنفصل التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل X الذي يأخذ القيم .... ، ولكل X قيمة احتمالية معينة X X, X2 يرمز لها بالرمز (PX = x), P(X( = (x), ..... (X( = (x n 163 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

164 فيقال إن للمتغير العشوائي المنفصل X توزيعا احتماليًا منفصلا ) ( ) إذا حقق هذا التوزيع الشروط الآتية: = 0.1 < ( x = ) لجميع قيم (i = 1, 2, ..., n). X( X 2. 1 = ( X( = x) ( بمعنى أن مجموع الاحتمالات يساوي واحد). ... قراءة الرموز يقرأ الرمز 0.05 = (1=P(X احتمال المتغير العشوائي X عندما تكون قيمته 1 يساوي 0.05 لاحظ: . يمكن رسم التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل باستخدام المدرج أو الأعمدة التكرارية. يمكن التعامل مع البيانات النوعية بوصفها متغيرات عشوائية منفصلة. . لا يمكن أن تكون قيمة الاحتمال سالبة أو أكبر من 1. مثال 1 تحقق من صحة شروط التوزيع الاحتمالي المنفصل فيما يأتي، وإذا تحققت شروط التوزيع فاستخدم التمثيل المناسب لعرض البيانات: .a X 0 1 2 3 P(X = x) 0.25 0.15 0.30 0.30 .b X 1 2 3 4 1 P(X = x) |~ 2 1 1 5 −1 4 4 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

165 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الحل a. الشرط الأول متحقق؛ حيث إن جميع نتائج الاحتمالات أكبر من صفر 0 (X(x) لجميع قيم X. L P(X = x ) = 0.25 + 0.15 +0.3 + 0.3 = 1 الشرط الثاني أيضًا متحقق؛ حيث إن مجموع نتائج كل الاحتمالات يساوي 1، (1 =(LP(X=x). وبما أن الشرطين قد تحققا فيمكن القول بأن هذا التوزيع الاحتمالي هو توزيع احتمالي منفصل. التمثيل بالأعمدة للتوزيع الاحتمالي المنفصل 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 X=0 X=1 X=2 X=3 ■ P(X = x.) . يلاحظ أن (3) )X( = (4) ،(X) لا تقعان بين 0 و 1؛ لذلك فإن هذا التوزيع ليس توزيعا احتماليًّا، حيث = إنه لا يمكن أن تكون نتيجة الاحتمال سالبة أو أكبر من 1 رغم أن مجموع كل الاحتمالات يساوي 1. تحقق من فهمك 1 هل التوزيع الاحتمالي الوارد في الجدول الآتي توزيع احتمالي منفصل؟ إذا كان كذلك مثله بيانيًا. X 0 1 2 P(X = x) 0.35 0.15 0.05

166 وبالإضافة إلى التعبير عن التوزيع الاحتمالي باستخدام الجدول؛ يمكن أيضًا التعبير عنه باستخدام معادلة، كما في توزيع ذي الحدين وتوزيع بواسون توزيع ذي الحدين (Binomial Distribution): إذا كان لدينا تجربة ما تتكرر n مرة بفرصتين نجاح وفشل، وكان احتمال ظهور حدث ما (X) وليكن (النجاح) هو p، واحتمال عدم ظهور هذا الحدث (الفشل) هو q، فإن احتمال ظهور الحدث (X) من بين التكرارات ،n، يتبع توزيع ذي الحدين الذي دالته الاحتمالية (وتسمى بدالة الكتلة الاحتمالية) تعطى بالمعادلة الآتية: n n-x P(X = x) = ( ²² ) p* q™¯* ; X= 0, 1, 2, ..., n X من خصائص توزيع ذي الحدين: . المتوسط الحسابي np= والتباين npq= .p+q=1 • لاحظ: n! ( A ) = = x! (n - x)! - n! = (n) (n − 1) (n − 2) ... (1) إذا كانت نسبة النجاح في تجربة 76% وكانت نسبة الفشل ،21، فهل تخضع هذه التجربة تفكير ناقد للتوزيع الاحتمالي ذي الحدين؟ فسّر إجابتك. مثال 2 في تجربة رمي قطعة نقود معدنية 3 مرات، إذا كان المتغير العشوائي X يمثل عدد مرات ظهور الصورة فأوجد دالة توزيع ذي الحدين للتجربة، ثم احسب المتوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي X. واحسب احتمال ظهور صورتين. الحل: باستخدام دالة الكتلة الاحتمالية لتوزيع ذي الحدين: P(X = i) = ( 2 ) p³ q' n n-x ; X = 0, 1, 2, ..., n X وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

167 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 p = 2 لاحظ: 0! = 1 (C。 = n C nc₁ = 1 0 (n-0)! O! 1 = 1) n C = n n! (n - n)!n! = المتغير العشوائى X = عدد مرات ظهور الصورة 3 = n P(X = x) X 3-x ; X x)=(3)()() x = 0, 1, 2, 3 02: a = npq Enpq= وعليه يكون المتوسط الحسابي 3 W = np = 3 = 2 ويكون التباين: = 3 4 ويكون احتمال ظهور صورتين ويعني 2=X ، يساوي: 3 (1/2) 3-2 P(X = 2) = (³) (±²² (±)³ ³ = (³) ( — — ) ( — — ) = 3³/³ 8 تحقق من فهمك 2 إذا كان 40% من طلاب إحدى المدارس لا يملكون سيارات، وأخذت عينة عشوائية حجمها 8 طلاب من هذه المدرسة. أوجد دالة التوزيع الاحتمالي والمتوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي X باستخدام دالة الاحتمال لتوزيع ذي الحدين؛ وأوجد احتمال ألا يمتلك 4 منهم سيارات. توزيع بواسون (Poisson Distribution): توزيع احتمالي منفصل يُستخدم في حالة الحوادث المستقلة، سيمون بواسون Poisson ويهتم بحساب الاحتمالات للحوادث النادرة مثل حرائق عالم فرنسي، كانت له جهود بارزة في علم الاحتمالات المدارس في إحدى المدن، الحوادث المروريــة على طريق أشهرها التوزيع المعروف محدد، الأخطاء المطبعية فى إحدى صفحات كتاب، ونحو ذلك، باسمه «قانون توزيع بواسون»، ولهذا التوزيع فإذا كانت (X) ترمز لعدد مرات ظهور حادثة نادرة فإن الدالة تطبيقات مهمة في تحليل مسائل تتعلق بالنشاط الإشعاعي والكيمياء والفيزياء، كما أنه ذو أهمية الاحتمالية لتوزيع بواسون تعطى بالمعادلة الآتية: كبيرة في التنظيمات الإدارية والمالية.

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 P(X = x,) = e-XXX x! ; X = 0, 1, 2, ... حيث أن 2.7 مقدار ثابت و ۸ هي المتوسط الحسابي لتوزيع بواسون. ومن أهم خصائص توزيع بواسون أن المتوسط الحسابي = التباين = ). 3 مثال إذا كان المتوسط الحسابي لعدد الأخطاء المطبعية في إحدى صفحات كتاب هو 3 أخطاء. فاحسب: a احتمال عدم حدوث أي خطأ. b. احتمال حدوث خطأين. الحل: حيث إن المتوسط الحسابي للأخطاء المطبعية في إحدى صفحات الكتاب هو 3 أخطاء، فإن 3=. ليكن X (الحدث): عدد الأخطاء المطبعية. X متغير عشوائي منفصل يأخذ القيم .... ويتبع توزيع بواسون الذي دالته الاحتمالية تعطى بالمعادلة 1 e-33x P(X = x ) : = x! -; X = 0, 1, 2, ... a. احتمال عدم حدوث أي خطأ 0=X P(X = 0) = e-3 30 0! = 0.05 P(X( = 2) b. احتمال حدوث خطأين 2=X = e-3 32 2! 0.05 × 9 2×1 = 0.225 تحقق من فهمك 3 في مثال (3) السابق ؛ احسب احتمال حدوث أربعة أخطاء. 168