الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

www.icn.edu.sa الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية Probability and Probability Distributions 7-4 فيما سبق درست إيجاد احتمال وقوع قد وقعت الدرس (73) لماذا ؟ افترض أن شركة لديها 4 شواغر ، وتشترط لتعيين الموظفين لديها اجتيازهم حادثة إذا علم أن حادثة أخرى لمقابلة شخصية. إذا تقدم للشركة 8 أشخاص من المنطقة A، و 10 أشخاص من المنطقة B، وتمت مقابلة المتقدمين، واختير 4 منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالوظائف 3 أشخاص من المنطقة A وشخص واحد من المنطقة B؟ والان أجد الاحتمالات باستعمال التباديل والتوافيق. أجد الاحتمالات باستعمال الاحتمال تسمى النسبة التي تقيس فرصة وقوع حادثة معيَّنة احتمالا ووقوع الشيء المرغوب فيه يُسمى نجاحًا ، المتغيرات العشوائية. وعدم وقوعه يُسمّى فشلا. ومجموعة النواتج | الممكنة تُسمّى فضاء العينة. وكلما اقترب احتمال وقوع حادثة من 1 كانت فرصة أو إمكانية وقوعها أكبر. أمثل بيانيا التوزيعات الاحتمالية وأستعملها. المفردات النجاح success الفشل failure مفهوم أساسي احتمال النجاح والفشل إذا كان عدد مرات نجاح وقوع حادثة 5 من المرات، وعدد مرات فشل وقوع الحادثة نفسها من المرات، فإن احتمال النجاح يُكتب على النحو (P(S، كما يُكتب احتمال الفشل على النحو (F) ويُعطى كل من احتمال النجاح واحتمال الفشل بالصيغتين الآتيتين S f P(S)= ' P(F) = s+f s+f المتغير العشوائي random variable المتغير العشوائي المنفصل discrete random variable التوزيع الاحتمالي probability distribution s+f لاحظ أن الصيغة و = (P(S لا تختلف في مضمونها عن الصيغة . عدد النواتج في الحادثة عدد النواتج الممكنة (الحادثة)P مثال 1 الاحتمال باستعمال التوافيق رشحت مدرسة 12 طالبًا من الصف الثاني الثانوي و 16 طالبًا من الصف الأول الثانوي للتنافس على 6 جوائز؛ التوزيع الاحتمالي المنفصل نظرا لتفوقهم الدراسي. إذا تمت مقابلة المرشحين، واختير 6 منهم بشكل عشوائي، فما احتمال أن يفوز بالجوائز discrete probability distribution الاحتمال النظري 3 طلاب من الصف الأول الثانوي و 3 طلاب من الصف الثاني الثانوي؟ الخطوة 1 حدد عدد مرات النجاح ؟ عدد طرق اختيار 3 طلاب من الصف الثاني هو وک عدد طرق اختيار 3 طلاب من الصف الأول هو 16C3 استعمل التوافيق، ومبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النجاحات . =123200 16! 12! S=123 16C3 = • 13! 3! 9! 3! الخطوة 2 حدّد عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر فضاء العينة)، S + f . s+f=28C6 2216! 28! = =376740 الخطوة 3 أوجد الاحتمال (فوز 3 من الأول و3 من الثاني)P احتمال النجاح s = 123200, 5 + f = 376740 استعمل الآلة الحاسبة s+f = 123200 376740 0.327016 احتمال فوز 3 طلاب من الصف الأول و 3 من الصف الثاني هو تقريبا 0.33 أو 33 . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 theoretical probability الاحتمال التجريبي experimental probability القيمة المتوقعة expected value تنبيه احتمال النجاح والفشل لاحظ أن الحرف الصغير 8 يدل على عدد مرات النجاح في وقوع حادثة، بينما الحرف الكبير 5 يدل على حادثة النجاح، وكذلك الأمر بالنسبة للحرفين f و F. الفصل 7 الاحتمال والإحصاء 60

مراجعة المفردات التباديل والتوافيق عند اختيار مجموعة من تحقق من فهمك 1) في المثال 1 إذا كان عدد الذين رُشحوا من الصف الثاني الثانوي ،3 ومن الصف الأول الثانوي 11، وكان عدد الجوائز 4، واختير 4 طلاب من الذين رُشّحوا بطريقة عشوائية، فما احتمال أن يفوز طالبان من الصف الثاني وطالبان من الصف الأول؟ مثال 2 من واقع الحياة الاحتمال باستعمال التباديل لدى صالح 6 أصدقاء تبدأ أسماؤهم بالأحرف A, B, C, D, E,F، ويتوقع من كل منهم اتصالا هاتفيا للاتفاق الأشخاص أو الأشياء بترتيب على موعد رحلة ينوون القيام بها ما احتمال أن يتصل A أولا ثم B ثانيًا، ويتصل كل من D E F أخيرا. معين، فإن الاختيار يُسمى تبديلا، وعندما لا نهتم بعملية ترتيب الأشخاص أو الأشياء، فإن الاختيار يسمى توفيقا. الخطوة 1 حدد عدد مرات النجاح . .S عدد طرق اتصال A أولا ثم B ثانيًا هو 1 عدد طرق اتصال كل من D,E في الأخير هو 3P3 استعمل التباديل ومبدأ العد الأساسي لإيجاد ؟. s = 1. gP = 103 = 6 الخطوة 2 أوجد عدد النواتج الممكنة (عدد عناصر فضاء العينة)، S + f . 720 = 61 = = F + ، وتمثل عدد الترتيبات الممكنة لاتصالات الأصدقاء الستة. الخطوة 3 أوجد الاحتمال. احتمال النجاح S P(S) = s+f 5 = 6,5 + f = 720 = استعمل الآلة الحاسبة 720 =0.0083 الاحتمال المطلوب هو تقريبا 0.008 أو %0.8 تقريبا. تحقق من فهمك إرشادات للدراسة. البيانات المنفصلة والبيانات المتصلة تكون البيانات منفصلة إذا أمكن عد البيانات مثل عدد الأرانب في مزرعة. وتكون (2) سباق اشترك صلاح وعبد الله، و ، وسليم في سباق 400m مع خمسة رياضيين آخرين. ما احتمال أن ينهي هؤلاء الثلاثة السباق في المراكز الثلاثة الأولى؟ المتغير العشوائي والتوزيع الاحتمالي يُسمى المتغير الذي يأخذ مجموعة قيم لها احتمالات معلومة متغيرًا عشوائيا. والمتغير العشوائي الذي له عدد محدود من القيم يُسمى متغيرا عشوائيا منفصلاً. التوزيع الاحتمالي هو دالة تربط بين كل قيمة من قيم المتغير العشوائي، مع احتمال وقوعها، ويعبر عنه بجدول أو معادلة، أو تمثيل بياني. ويجب أن يحقق التوزيع الاحتمالي الشرطين الآتيين: . احتمال كل قيمة من قيم X محصور بين 0 و 1، أي أن 1 = (X) 0 . مجموع كل احتمالات قيم X يساوي ،1، أي أن 1 = (X) البيانات متصلة إذا كانت تأخذ والتوزيع الاحتمالي المنفصل هو توزيع احتمالي متغيره العشوائي منفصل. أي قيمة في فترة من الأعداد فعند رمي قطعتي نقد متمايزتين مرَّةً واحدة، فإن فضاء العينة هو TILL LL) ، حيث يُمثل L الوجه الذي الحقيقية، فمثلاً أطوال جميع يحمل الشعار، و T الوجه الذي يحمل الكتابة، إذا كان X متغيرًا عشوائيا يدل على عدد مرات ظهور الشعار، فإن X أفراد العينة تمثل بيانات يأخذ القيم . ويمكنك حساب الاحتمال النظري لعدم الحصول على شعار أو الحصول على شعار واحد، أو الحصول على شعارين، ثم تكوين جدول يمثل التوزيع الاحتمالي، كما يمكنك تمثيله بيانيا كما يأتي: متصلة وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 4- الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية 206146

قراءة الرياضيات 1 - 1 - P(1) = P(2) = 1 P(0)= احتمالات المتغيرات العشوائية يبين الجدول أدناه والتمثيل بالأعمدة المجاور التوزيع الاحتمالي للمتغير x . يقرأ الرمز (1)P احتمال أن يكون المتغير العشوائي لا عدد الشعارات واحتمالاتها P(X) 0.5 0.25 مساويا لـ 1 . عدد الشعارات X الاحتمال (P(X 2 1 0 1 1 إرشادات للدراسة البيانات الوصفية مثال 3 التوزيع الاحتمالي المنفصل يوضح القرص ذو المؤشر الدوار توزيعا احتماليا، حيث يمكن أن يتوقف المؤشر على أي من القطاعات الملونة، وقد كتب على كل قطاع احتمال ظهوره (لاحظ أن مجموع الاحتمالات يساري (1). يمكننا أن نتعامل مع البيانات ه مثل بالأعمدة هذا التوزيع الاحتمالي الوصفية بوصفها متغيرات عشوائية منفصلة. احتمال وقوف المؤشر على اللون 0 0 1 2 X عدد الشعارات 12 تنبيه احتمال الحوادث المتنافية بنفسجي أخضر أصفر أزرق فاتح اللون أزرق برتقالي استعمل التمثيل بالأعمدة؛ لتحدّد اللون الأكبر إمكانية لوقوف المؤشر عنده، ثم أوجد احتماله. أكثر الألوان إمكانية لوقوف المؤشر عنده هو اللون البنفسجي، واحتماله يساوي . أوجد أخضر أو أزرق) P . احتمال التوقف عند اللون الأزرق أو الأخضر تحقق من فهمك هو } + = (B = (A) + (B أو A) . يوضح الجدول أدناه توزيعا احتماليًا، حيث ألقي مكعبان مرقمان من 1 إلى 6 مرة واحدة، وسجل مجموع العددين الظاهرين على الوجهين العلويين واحتمال كل منها. تذكر أنه إذا كانت A و B حادثتين متنافيتين، فإن المجموع الاحتمال 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5 1 1 5 1 1 1 18 9 12 6 36 18 12 62 (3) مثل بالأعمدة هذا التوزيع الاحتمالي. 3) استعمل التمثيل بالأعمدة؛ لتحدد الناتج الأكثر إمكانية للوقوع؟ ثم أوجد احتماله. 3) أوجد (11) أو (5) . إن الاحتمالات التي تمت دراستها هنا ه اهي احتمالات نظرية؛ لأنها مبنية على افتراضات يتوقع الحصول عليها، بينما الاحتمالات التجريبية يتم تقديرها من عدد من التجارب والقيمة المتوقعة أو التوقع (E(X هي المتوسط الموزون للقيم في التوزيع الاحتمالي المنفصل؛ أي أن القيمة المتوقعة (x) هي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير [= 1=1 العشوائي X في احتمال كل منها (P(X، ويمكن إيجادها باستعمال القانون (E(X) = Xi.(Xi، وتنتج هذه القيمة من خلال اعتماد الاحتمال النظري كوزن للمتغير العشوائي. ويخبرك بما يمكن حدوثه على المدى البعيد، وذلك بعد محاولات كثيرة. وزارة التعليم الفصل 7 الاحتمال والإحصاء Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة . قانون الأعداد الكبيرة ينص قانون الأعداد الكبيرة مثال 4 القيمة المتوقعة أوجد القيمة المتوقعة عند رمي مكعب مرقم من 1 إلى 6 مرة واحدة. على أنه كلما ازداد عدد مرات القيمة المتوقعة (E(X هي مجموع حواصل ضرب قيم المتغير العشوائي X في احتمال كل منها (P(X. إجراء التجربة، اقتربت قيمة معدل القيم الناتجة من القيمة المتوقعة. 12+2 (2)+3(2)+4(2)+5(2)+6 (2) عوض في قانون المتوسط الموزون تحقق من فهمك E(X) = 1 = + + +4+ 6 5 + 6 6 6 6 6 = 21 = 3.5 اضرب اجمع (4) أوجد القيمة المتوقعة عند رمي مكعبين مرقمين مرة واحدة، وتسجيل مجموع العددين الظاهرين على الوجهين العلويين. تدرب وحل المسائل (1) صندوق فيه 10 كرات، منها 6 حمراء، إذا سحبت منه كرتان معا عشوائيا، فما احتمال أن تكون الكرتان حمراوين؟ (مثال (1) (6) أخبار أجرى موقع إلكتروني مسحا للمصادر التي يحصل منها والجدول المجاور يبين نتائج هذا (2) فن اختار مسؤول متحف للفنون 4 لوحات بشكل عشوائي من بين الناس على الأخبار بشكل رئيس. 20 لوحة؛ لعرضها في أحد المعارض ما احتمال أن تكون 3 منها الفنان واحد يشارك بـ 8 لوحات في ا المتحف؟ (مثال (1) دخل 8 لاعبين A,B,C,D,E,F,GH في مباراة، إذا اختيرت أسماء اللاعبين عشوائياً، فما احتمال أن يكون أول 4 لاعبين مختارین هم A,C,E,G على الترتيب؟ (مثال (2) (4) مختبر دخلت طالبات صف وعددهن 26 إلى مختبر المدرسة. إذا اختارت المعلمة أسماء الطالبات عشوائيا لتشكل مجموع عات للعمل، فما احتمال أن تكون أول ثلاث طالبات ذكرت أسماؤهن جميلة، وآمنة، وخديجة على الترتيب؟ (مثال (2) (5) ألقي مكعبان مرقمان من 1 إلى 6، وسجل العدد الأكبر بين العددين الظاهرين على الوجهين العلويين إذا اختلفا، وأحدهما إذا تساويا. (مثال (3) لا مال بالأعمدة هذا التوزيع الاحتمالي. ما الناتج الأقل إمكانية للوقوع؟ وما احتماله؟ ) أوجد (2) أو (1)P؟ المسح. (مثال (3) المصدر التلفاز المذياع الأصدقاء الصحف الإنترنت مصادر أخرى بين أن هذه البيانات تمثل توزيعا احتماليًّا. الاحتمال 0.35 0.31 0.02 0.11 0.19 0.02 ) إذا اختير أحد الذين شملهم هذا المسح عشوائيا، فما احتمال أن يكون مصدر أخباره الرئيس الصحف أو الإنترنت؟ ) مثل البيانات بالأعمدة. (7) أوجد القيمة المتوقعة عند سحب قصاصة ورق عشوائيا من بين 5 قصاصات كتب على كل منها أحد الأرقام 5-1 دون تكرار. 8 جوائز، باع أحد النوادي 500 تذكرة دخول لحضور إحدى مبارياته ثمن الواحدة 10 ريالات، وأجري سحب عشوائي على أرقام التذاكر خصصت فيه ثلاث جوائز للأرقام الرابحة، بحيث تربح تذكرة واحدة الجائزة الأولى وقيمتها 1000 ريال وتربح تذكرتان الجائزة الثانية وقيمتها 100 ريال وتربح 5 تذاكر الجائزة الثالثة وقيمتها 50 ريالا. إذا اشترى شخص تذكرة، فما القيمة المتوقعة للربح في هذا الموقف؟ (مثال (4) وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 4- الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية 20636

و ازهار يوضح التمثيل البياني أدناه التوزيع الاحتمالي لعدد الأزهار 13) درجات أجري اختبار في الرياضيات لطلاب الصف الثالث الحمراء عند زراعة 4 بذور. احتمال عدد الزهرات الحمراء الثانوي، والجدول أدناه يبين نتائج هذا الاختبار. نتائج اختبار الرياضيات 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 1 2 3 4 عدد الزهرات الحمراء التقدير الاحتمال 0.29 A 0.43 B 0.17 C 0.11 D 0 F a) أوجد (0)P. ما احتمال أن تكون زهرتان على الأقل حمراوين؟ 10 تبرعات قام طلاب الصف الثالث المتوسط في مدرسة بجمع بعض الأطعمة في طرود للتبرع بها للأسر الفقيرة. ولقد أحصى الطلاب أنواع المواد المقدمة كما في الجدول أدناه. التبرع بالأطعمة النوع وجبات طعام أرز سكر قمح عدد الطرود 36 22 12 45 أوجد احتمال أن يحتوي طرد اختير عشوائيا على القمح. ) أوجد احتمال أن يحتوي طرد اختير عشوائيا على وجبة طعام أو أرز. 11 جوائز تنافس 50 متسابقا منهم جاسم وجلال وعلي في سحب عشوائي على أربع جوائز ما احتمال أن يربح اثنان من الأسماء الثلاثة؟ اهلا بين أن هذه البيانات تمثل توزيعا احتمالي B؟ إذا اختير طالب عشوائيا، فما احتمال ألا يقل تقديره عن B ) مثل البيانات بالأعمدة. (14) كرات زجاجية لدى زيد 35 كرة زجاجية؛ 8 منها سوداء، و 12 حمراء، و 9 خضراء، والبقية بيضاء. فإذا سحب كرتين معا عشوائيا. مثل بالأعمدة هذا التوزيع الاحتمالي؟ ما الناتج في الإمكانية الأقل للوقوع ؟ ) أوجد (إحداهما سوداء والأخرى خضراء) P. (15) مسابقات يُبين التمثيل بالأعمدة احتمال أن يربح كل طالب جائزة. 0.20 0.15 0.10 0.05 0 0.35 0.30 0.25 ul... محمد بلال عبدالله اللاعب عبد العزيز (12) ألعاب رياضية اختار معلم التربية الرياضية 5 طلاب عشوائيا من بين الطلاب البالغ عددهم 124 طالبًا ليساعدوه على تطبيق بعض الألعاب ما احتمال أن يختار واحدًا على الأقل من بين عشرة أقارب له يجلسون مع الطلاب؟ بين أن هذه البيات تمثل توزيعا احتماليا؟ ) أوجد (ربح محمد أو بلال) P. 64 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

16) أمطار التوزيع الاحتمالي أدناه يوضّح عدد الأيام الممطرة في السنة في إحدى الدول أوجد القيمة المتوقعة لعدد الأيام الممطرة. عدد الأيام الممطرة في السنة 8 3 7 6 5 4 2 1 0.02 0.05 0.08 0.1 0.1 0.25 0.15 0.15 0.1 عدد الأيام 0 الاحتمال مراجعة تراكمية (21) أوجد محصلة المتجهين أدناه مستعملا قاعدة المثلث أو متوازي الأضلاع، ثم حدد اتجاهه بالنسبة للأفقي. (مهارة سابقة) W (17) بطاقات رُقمت مجموعة بطاقات على النحو الآتي: 3 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 8 وبطاقتان تم ترقيم كل منهما بالعدد 10 (22) اكتب المعادلة 0 r = 12cos على الصورة الديكارتية. و 4 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 6 و 3 بطاقات تم ترقيم كل منها بالرقم 5، وبطاقتان تم ترقيم كل منها بالرقم 2، وبطاقة تم ترقيمها بالرقم 3. إذا سُحبت من هذه البطاقات واحدة عشوائيا، فما القيمة المتوقعة لهذه البطاقة؟ مسائل مهارات التفكير العليا (18) اكتشف الخطأ، كونت كل من فاطمة، وزينب توزيعا احتماليًّا باستعمال التمثيل بالأعمدة لمجموع العددين الناتجين عن دوران مؤشر القرص المجاور مرتين. أيهما يعد تمثيلها صحيحًا؟ فسر إجابتك. 3 5 (الدرس (2-6) (23) يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء و 4 كرات حمراء، سُحبت كرتان على التوالي دون إرجاع ما احتمال أن تكون الثانية بيضاء إذا كانت الأولى حمراء؟ (الدرس (73) تدريب على اختبار (24) يحتوي صندوق على 4 كرات حمراء و 6 كرات صفراء، و 4 كرات خضراء، وكرتين زرقاوين سحبت 3 كرات معا عشوائيا . إذا كان X متغيرا عشوائيا يدل على عدد الكرات الزرقاء المسحوبة، فما جميع القيم الممكنة لـ X؟ 1,2 A 0,1,2 B 1,2,3 C 0,1,2,3 D (25) ما القيمة المتوقعة للتوزيع الاحتمالي المبين في الجدول أدناه؟ وزارة التعليم Ministry of Education 3 2 1 0.1 0.1 0.8 p(x) الدرس 4- الاحتمال والتوزيعات الاحتمالية 20656 0.1 A 2B 0.56 C 10 4 5 6 7 8 9 10 فاطمة زينب 19) تبرير حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائما، أو صحيحة أحيانًا، أو غير صحيحة أبدًا : يُبنى الاحتمال النظري على نتائج التجارب». برر إجابتك. (20) مسألة مفتوحة كوّن توزيعا احتماليًّا منفصلا فيه 5 نواتج مع تحديد احتمال كل منها.