احتمالات الحوادث المتنافية - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

احتمالات الحوادث المتنافية Probabilities of Mutually Exclusive Events 7-5 B فيما سبق درست ايجاد احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المادية يمكن لأي طالب في الصفوف الأول والثاني والثالث الثانوي) الترشح ليكون مسؤول أنشطة، ويرغب صالح في أن يكون المسؤول من الصف الثاني الثانوي أو الثالث الثانوي، في حين المستقلة. الدرس (4-7) يرغب سلمان في أن يكون المسؤول من الصف الأول الثانوي، وا الان أو طالبًا يبدأ اسمه بحرف .م. أجد احتمالات الحوادث المتنافية والحوادث غير رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa المتنافية. أجد احتمال متممة حادثة. المفردات. الحادثتان المتنافيتان الحوادث المتنافية : لقد اختبرت في الدرس 4-3 احتمالات تتضمن تقاطع حادثتين أو أكثر في وقت واحد، وستختبر في هذا الدرس احتمالات تتضمن اتحاد حادثتين أو أكثر. mutually exclusive events الحادثة المتممة P(AUB) P(An B) complement event إرشادات للدراسة الاتحاد اتحاد مجموعتين هو مجموعة كل العناصر التي تنتمي إلى المجموعة الأولى أو إلى المجموعة الثانية ويرمز لها بالرمز ل. يدل على اتحاد مجموعتين يدل على تقاطع مجموعتين عند إيجاد احتمال وقوع حادثة أو وقوع حادثة أخرى، يجب أن تعرف العلاقة بين الحادثتين. فإذا لم يكن وقوع الحادثتين ممكنا في الوقت نفسه يقال إنهما متنافيتان؛ أي أنه لا توجد نواتج مشتركة بينهما. مثال 1 من واقع الحياة تحديد الحوادث المتنافية حدد إذا كانت الحادثتان متنافيتين أم غير متنافيتين في كل مما يأتي، وبرر إجابتك: انتخابات: ارجع إلى المعلومات الواردة في فقرة "لماذا؟". المسؤول من الصف الثاني الثانوي أو من الصف الثالث الثانوي. هاتان الحادثتان متنافيتان؛ لأنه ليس بينهما نواتج مشتركة، إذ لا يمكن أن يكون المسؤول طالبا في الصف الثالث الثانوي والثاني الثانوي في آن واحد. المسؤول طالب من الصف الأول الثانوي أو طالب يبدأ اسمه بحرف م. هاتان الحادثتان غير متنافيتين؛ لأنه يمكن أن يكون المسؤول من الصف الأول الثانوي وفي الوقت نفسه يبدأ اسمه بحرف م. تحقق من فهمك حدد إذا كانت الحادثتان متنافيتين أم غير متنافيتين في كل مما يأتي، وبرّر إجابتك: 1) اختيار عدد من الأعداد من 1 إلى 100 عشوائيا، والحصول على عدد يقبل القسمة على 5 أو عدد يقبل القسمة على 10 (18) الحصول على المجموع 6 أو المجموع ،7، عند رمي مكعبين مرقمين متمايزين مرة واحدة. وزارة التعليم الدرس - احتمالات الحوادث المتنافية 39 2024-1446

قراءة الرياضيات (U) يدل على وقوع أحد الحدثين على الأقل ويشير إلى جمع الاحتمالات (PAUB يقرأ احتمال وقوع A أو وقوع B . إحدى طرق إيجاد احتمال وقوع حادثتين متنافيتين هو اختبار فضاء العينة لهما. فمثلا لإيجاد احتمال ظهور 3 أو 4 عند رمي مكعب مرقم، سترى من أشكال فن أنه يوجد ناتجان يحققان هذا الشرط 3 أو 4، لذا فإن P(34) = = لاحظ أنه يمكن إيجاد هذا الاحتمال بإضافة احتمالي الحادثتين البسيطتين. = = 6 6 P(34) = 1 + P(3) = P(4) = و يوضح هذا المثال القانون الأول من قانوني الجمع في الاحتمالات. مفهوم أساسي احتمال الحادثتين المتنافيتين التعبير اللفظي: إذا كانت الحادثتان B A متنافيتين، فاحتمال وقوع A أو B يساوي مجموع احتمال كل منهما. بالرموز إذا كانت الحادثتان BA متنافيتين فإن P(AUB) = P(A) + P(B) يمكن تعميم هذا القانون على أي. عدد من الحوادث المتنافية. مثال 2 من واقع الحياة الحوادث المتنافية کتب اختار موسى كتابًا من الكتب الموجودة في مكتبته المبينة في الجدول 5 أضف إلى مطويتك مكتبة موسى العدد أنواع الكتب المجاور بشكل عشوائي ما احتمال أن يكون الكتاب تاريخيًا أو علميا ؟ هاتان الحادثتان متنافيتان؛ لأنه لا يمكن أن يكون الكتاب تاريخيا أو علميا في آن واحد. افترض أن الحادثة A1 تمثل اختيار كتاب تاريخي. وافترض أن الحادثة A2 تمثل اختيار كتاب علمي. تاريخية علمية أدبية 10 12 13 1 مجموع الكتب هو : 10+12+13 35 احتمال الحادثتين المتنافيتين PA1 A2) = P(A1) + P(A2) P(A1)=10, P(A2) = 12 10 12 35 35 35 22 اجمع = 35 الربط بالحياة التعريف بأنواع الإبل : تُقسم الإبل حسب ألوانها قسمين رئيسين: المغاتير والمجاهيم، فالمغاتير هي ذوات اللون الفاتح، ومنها الوَضْحُ وَالصُّفْرُ والشُّعْلُ والحمر، أما المجاهيم فهي ذوات اللون الأسود. لذا فإن احتمال اختيار كتاب تاريخي أو علمي هو ، ويساوي %63% تقريباً. تحقق من فهمك 2) إذا رمي مكعبان مرقمان متمايزان مرة واحدة. فما احتمال أن يظهر العدد نفسه على كل من وجهي المكعبين أو أن يكون مجموع العددين 9 ؟ 28) ألعاب: إذا ربح طالب في مسابقة إلقاء الشعر في احتفال المدرسة باليوم الوطني للمملكة فسيمنح جائزة. إذا اختيرت الجائزة عشوائيا من بين 15 محفظة و 16 ساعة و14 نظارة و 25 قلما و10 كرات، فما احتمال أن يمنح الفائز محفظة أو ساعة أو كرة؟ بيل، إذا أقيم سيالى المجموعة من الابل تتكون من: إيل وضع و 9 مجاهيم و شغل و 12 صفراء فما احتمال أن يكون الجمل الفائز من لون المجاهيم أو الشغل ؟ 40 الفصل 7 الاحتمالات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

عند رمي مكعب مرقم مرة واحدة، ما احتمال الحصول على عدد أكبر من 2 أو عدد زوجي؟ يمكنك أن تلاحظ من أشكال فن وجود 5 أعداد أكبر من 2 أو زوجية وهي 23456. لذا فإن : (عدد زوجي أو أكبر من X2 زوجي وبما أنه يمكن الحصول على عدد أكبر من 2 وزوجي في الوقت نفسه، فإن هاتين الحادثتين غير متنافيتين، وإذا أخذنا احتمال كل حادثة على حدة فإن: (أكبر من 2 زوجي 3 من 2 5 1 وإذا جمعنا هذين الاحتمالين فإن احتمالي الناتجين ،6، 4 يحسبان مرتين مرة لكونهما عددين أكبر من 2، ومرة أخرى لكونهما عددين زوجيين؛ لذا يجب عليك أن تطرح احتمال الناتجين المشتركين. ( عدد زوجي وأكبر من (2) - عدد أكبر من (2) + عدد زوجي = عدد زوجي أو أكبر من (2) = + = 6 5 6 يؤدي هذا المثال إلى قانون الجمع الثاني في الاحتمال. ا مفهوم أساسي احتمال حادثتين غير متنافيتين التعبير اللفظي : إذا كانت الحادثتان AB غير متنافيتين فاحتمال وقوع A أو B يساوي مجموع احتماليهما مطروحًا منه احتمال وقوع B و A معا. بالرموز إذا كانت الحادثتان غير متنافيتين فإن: أضف إلى مطويتك P(AUB) = P(A) + P(B) = P(AB) الربط بالحياة المعارض الفنية مثال من واقع الحياة الأحداث غير المتنافية فن: يبين الجدول المجاور 30 لوحة رسمها إبراهيم. إذا اختار إحدى هذه اللوحات عشوائيا الوسيلة ألوان مائية للمشاركة في معرض للوحات الفنية، فما احتمال أن يختار لوحة زيتية أو منظرًا طبيعيا؟ للمعارض الفنية دور في تقدم الفرد في المجتمع، بما تضمه ألوان زيتية من أفكار إبداعية، وطرق تعبير، تهذب الأخلاق، وتسمو بالذوق والقيم الإنسانية بما أن بعض لوحات إبراهيم مناظر طبيعية ولوحات زيتية في وقت واحد فإن هاتين ألوان أكريل ألوان باستيل الحادثتين غير متنافيتين. لوحات إبراهيم طبيعة صامتة مناظر طبيعية أشكال هندسية 3 5 4 2 3 1 1 2 3 5 0 1 (لوحة زيتية و منظر طبيعي) - لوحة زيتية ) + ( منظر طبيعي) P = (لوحة زيتية أو منظر طبيعي) P = 1+3+2 5+3+2+0 3 + 30 30 30 10 6 3 13 = + 30 30 30 30 عوض بسط لذا فإن احتمال أن يختار إبراهيم منظرًا طبيعيا أو لوحة زيتية يساوي أو %43 تقريبا. تحقق من فهمك 30 3) فن في المثال أعلاه، ما احتمال أن تكون اللوحة التي اختارها إبراهيم مائية أو شكلا هندسيا ؟ وزارة التعليم الدرس - احتمالات الحوادث المتنافية 41 2024-1446

قراءة الرياضيات الحادثة المتممة يرمز إلى الحادثة المتممة احتمال الحادثة المتممة : عناصر الحادثة المتممة A تتكون من جميع نواتج فضاء العيّنة غير الموجودة في الحادثة A. فمثلًا تعلم أن احتمال الحصول على العدد 4 عند رمي مكعب مرقم من 1 إلى 6 مرة واحدة يساوي ، وبالتالي فإن احتمال عدم الحصول على العدد 4 هو ؛ وذلك لأنه توجد 5 نواتج ممكنة لهذه الحادثة هي: 123. لذا فإن = (عدم الحصول على العدد 4)P. لاحظ أن هذا الاحتمال يساوي لي - 1 أو (4) - 1. مفهوم أساسي احتمال الحادثة المتممة التعبير اللفظي: احتمال عدم وقوع حادثة يساوي 1 ناقص احتمال وقوع الحادثة. لأي حادثة A) = 1 - (A) A) للحادثة A بالرمز (4). بالرموز مثال 4 الحادثة المتممة مسابقات اشتركت سميرة في مسابقة ثقافية، وطلب إليها سحب بطاقة عشوائيا من صندوق به (300) بطاقة، منها (20) بطاقة رابحة ما احتمال عدم سحب بطاقة رابحة؟ افترض أن A تمثل اختيار بطاقة رابحة، فأوجد احتمال متممة A. أضف إلى مطويتك P(A)=1-P(A) =1- 20 300 280 300 14 = 15 احتمال المتممة عوض اطرح و بسط احتمال أن تسحب سميرة بطاقة غير رابحة ، أو %93 تقريبا. تحقق من فهمك (4) أمطار: إذا كان احتمال هطول المطر 70% فما احتمال عدم هطوله؟ ملخص المفاهيم قوانين الاحتمال نوع الحوادث الوصف الحادثتان المستقلتان الثانية. الحادثتان غير المستقلتين أضف اليد مطويتك القانون احتمال وقوع الحادثة الأولى لا يؤثر في احتمال وقوع الحادثة إذا كانت A, B حادثتين مستقلتين، فإن احتمال وقوع إحدى الحادثتين يؤثر في احتمال وقوع الأخرى. الحادثة المشروطة إعطاء معلومات إضافية عن احتمال حادثة ما . الحادثتان المتنافيتان حادثتان لا توجد بينها نواتج مشتركة. الحادثتان غير المتنافيتين الحادثة المتممة حادثتان توجد بينها نواتج مشتركة. • P(AB) = P(A) P(B) إذا كانت AB حادثتين غير مستقلتين، فإن P(AB) = P(A) P(B|A) يكون احتمال الحادثة A بشرط وقوع حادثة B : (P(AB) = P(ADB بشرط 0(P(B P(B) إذا كانت A, B حادثتين متنافيتين فإن P(AUB) = P(A) + P(B) إذا كانت A و B حادثتين غير متنافيتين فإن P(AUB) = P(A) + P(B) = P(AB) تتكون نواتج الحادثة المتممة من جميع نواتج فضاء العينة لأي حادثة A التي ليست من نواتج الحادثة الأصلية. P (A)) =1-P (A) 42 الفصل 7 الاحتمالات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الحوادث المرورية في الرياض خلال عام 1430هـ الشهر المحرم صفر ربيع الأول ربيع الآخر جمادى الأولى جمادى الآخرة رجب شعبان رمضان شوال ذو القعدة ذو الحجة المجموع مثال 5 من واقع الحياة تحديد قوانين الاحتمال واستعمالها عدد حالات الوفاة حزام الأمان افرض أن %81% من سائقي إحدى المدن يستعملون حزام الأمان. إذا تم اختيار سائقين واحدًا تلو الآخر عشوائيا من بين 100 من السائقين. وكانت هذه المجموعة تعكس صورة المجتمع، فما احتمال أن يكون أحدهما على الأقل لا يستعمل حزام الأمان؟ افهم تعلم أن %81 من السائقين يستعملون حزام الأمان. الاصطلاح (واحد على الأقل) يعني واحدًا أو أكثر. لذا أنت في حاجة إلى إيجاد احتمال أن: 26 18 16 26 22 23 21 15 • 26 • 25 23 25 266 • السائق الأول المختار لا يستعمل حزام الأمان. أو السائق الثاني المختار لا يستعمل حزام الأمان. أو كلا السائقين المختارين لا يستعمل حزام الأمان. أي إيجاد الأول) لا يستعمل الحزام الثاني لا يستعمل الحزام) P الربط بالحياة يؤدي عدم الالتزام بقواعد وأخلاقيات قيادة السيارات إلى وقوع حوادث مرورية مؤسفة والجدول أعلاه يبين حالات الوفاة بسبب الحوادث المرورية في الرياض خلال عام 1430هـ وفق إحصائيات الإدارة العامة للمرور خطط الحادثة الموصوفة أعلاه هي الحادثة المتممة لحادثة أن السائقين المختارين يستعملان حزام الأمان. افرض أن الحادثة A تمثل اختيار سائق يستعمل حزام الأمان. وافرض أن الحادثة B تمثل اختيار سائق يستعمل حزام الأمان بعد أن يكون قد تم اختيار السائق الأول. إذن المطلوب إيجاد [PAB وهي تكافئ ( PAUB هاتان الحادثتان غير مستقلتين؛ لأن احتمال الحادثة الأولى يؤثر في احتمال الحادثة الثانية. إرشادات للدراسة تقاطع الحوادث واتحادها من المثال 5 لاحظ أن P(AUB) = P(ANB)] وبالمثل P(ANB) = P(AUB) حل احتمال الحادثتين غير المستقلتين P(AB) = P(A) P(B|A) P(A)= 81 100 81 80 100 99 اضرب احتمال الحادثة المتممة عوض اطرح 6480 9900 36 = 55 = PL(AB)] 1-P(ANB) 36 =1- 55 19 = 19 لذا فإن احتمال أن أحد السائقين على الأقل لا يستعمل حزام الأمان يساوي ، أو %35 تقريبًا. تحقق استعمل التبرير المنطقي للتحقق من معقولية إجابتك. احتمال اختيار سائق من 100 لا يستعمل حزام الأمان يساوي %(81 – 100)، أو %19 و احتمال اختيار سائقين من ) 100 لا يستعملانه يجب أن يكون أكبر من %19. وبما أن 19 < 35% ، فإن الإجابة معقولة. تحقق من فهمك (5) هواتف نقالة : أشارت إحدى الدراسات إلى أن 35% من السائقين يستعملون الهاتف النقال أثناء قيادة السيارة. إذا اختير سائقان واحدا تلو الآخر عشوائياً من مجموعة 100 سائق، فما احتمال أن يستعمل أحدهما على الأقل هاتفه النقال أثناء القيادة؟ وزارة التعليم الدرس 5- احتمالات الحوادث المتنافية 43 OF 2024-1446

تأكد مثال 1 حدد إذا كانت الحادثتان متنافيتين أو غير متنافيتين في كل مما يأتي، وبرّر إجابتك: (1) ظهور عدد فردي أو أكبر من 3 عند رمي مكعب مرقم مرة واحدة. (2) اختيار سيارة أو حصان. مثال 2 (3) الموظف المثالي حصل سامي على جائزة أفضل أداء لموظفي شركة، وكانت جائزته أن يختار عشوائيا واحدة من بين 4 بطاقات سفر و 6 کتب و 10 ساعات و 3 حقائب ، و 7 نظارات. ما احتمال أن يربح بطاقة سفر، أو كتابا، أو ساعة؟ مثال 3 (4) نشاطات مدرسية بناءً على الجدول المجاور، اختير طالب في المدرسة ما احتمال أن يكون الطالب من الصف الثاني الثانوي أو في نادي العلوم؟ مثال 4 (5) لعبة السهام إذا كان احتمال إصابتك الهدف عند رمي الصف الصف الصف النادي الأول الثاني الثالث الثانوي الثانوي الثانوي الرياضي العلوم الرياضيات السهم تساوي ، فما احتمال أن تخطئ إصابة الهدف؟ اللغة الإنجليزية 10 8 14 12 3 6 2 5 4 7 13 15 11 مثال 5 (6) تخرج عدد طلاب الصف الثالث الثانوي في مدرسة 100 طالب. حضر حفل التخرج النهائي %91 منهم. إذا اختير طالبان واحدًا تلو الآخر عشوائيا من طلاب الصف جميعهم، فما احتمال أن يكون أحدهما على الأقل لم يحضر الحفل ؟ تدرب وحل المسائل الأمثلة 1،3 حدد إذا كانت الحادثتان متنافيتين أو غير متنافيتين (في كل من الأسئلة 9-7)، ثم أوجد الاحتمال، وقرب النسبة المئوية إلى أقرب عُشر إذا كان ذلك ضروريا: (7) رمي مكعبين مرقمين متمايزين مرة واحدة للحصول على عددين متساويين أو عددين مجموعهما 8 على الوجهين الظاهرين. اختيار عدد عشوائيا من 1 إلى 20 للحصول على عدد زوجي أو عدد يقبل القسمة على 3 . (9) إلقاء قطعة نقد مرة واحدة للحصول على شعار أو كتابة. 10) رياضة : يبين الجدول المجاور أنواع الرياضات التي يقدمها نادٍ رياضي وعدد المشاركين من الأعمار 16-14 ما احتمال أن يمارس مشارك السباحة أو أن يكون عمره 14؟ 10 النادي الرياضي العمر كرة القدم الكرة الطائرة السباحة 42 36 28 14 33 26 30 15 29 41 35 16 11) هدايا : أراد بعض الطلاب تقديم هدية لزميلهم لحصوله على لقب الطالب المثالي، فوجد معلم الصف أن منهم اختاروا ساعة، و 12 اختاروا قميصا، و 6 اختاروا هاتفًا نقالا و 4 اختاروا ميدالية. إذا اختار المعلم الهدية عشوائياً فما احتمال أن تكون هدية الطالب المثالي ساعة أو ميدالية؟ مثال 4 أوجد احتمال كل حادثة مما يأتي: 12) عدم ظهور العدد 3 على أي من الوجهين الظاهرين، عند إلقاء مكعبين مرقمين متمايزين مرة واحدة. (13) عدم ظهور الكتابة على الوجه الظاهر عند إلقاء قطعة نقد مرة واحدة. (14 سحب خليل عشوائياً كرة من كيس فيه 25 كرة متماثلة، إحداها فقط حمراء . ما احتمال ألا يسحب الكرة الحمراء؟ مثال 5 (15) أجور من بين فئة العمال الذين تتراوح أعمارهم بين 18 و 25 سنة، وجد أن نسبة الذين يقبضون أجورهم. أسبوعيا تساوي %71. فإذا اختير اثنان واحدًا تلو الآخر عشوائيا من بين 100 عامل منهم، فما احتمال أن : يكون أحدهما على الأقل يقبض أجرته أسبوعيا؟ 44 الفصل 7 الاحتمالات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

(16) تدوير: إذا كانت نسبة الذين يساهمون في إعادة التصنيع في إحدى الدول %31، واختير شخصان واحدًا تلو الآخر عشوائيا من مجموعة عددها 100 شخص, فما احتمال أن يساهم أحدهما على الأكثر في إعادة التصنيع ؟ (17) مسح أجرت مدرسة مسحًا على طلابها البالغ عددهم 265 طالباً لمعرفة أي الأنشطة الرياضية يرغبون المشاركة فيها، ومثلت النتائج بأشكال فن كما في الشكل المجاور . إذا اختير طالب عشوائيا من هذه المدرسة، فأوجد احتمال كل مما يأتي: (a) أن يكون ممن يرغبون المشاركة في كرة القدم أو كرة الطائرة. أن يكون ممن يرغبون المشاركة في كرة القدم ولا يرغبون المشاركة في كرة السلة. أن يكون ممن يرغبون المشاركة في الألعاب الثلاث. كرة طائرة 8 63 10 7 كرة قدم 12 89 كرة سلة 76 مسائل مهارات التفكير العليا تدريب على اختيار 18 تحد؛ إذا رميت ثلاثة مكعبات مرقمة متمايزة مرة واحدة، فما احتمال أن يظهر على مكعبين منها على الأقل عدد أقل من أو يساوي 94 تبرير حدد إذا كانت الحادثتان في كل مما يأتي متنافيتين أو غير متنافيتين: (19) اختيار مثلث متطابق الأضلاع ومثلث متطابق الزاويا. (20) اختیار عدد مركب واختيار عدد حقيقي (21) مسألة مفتوحة صف حادثتين متنافيتين وحادثتين غير متنافيتين. t (22) اكتب وضّح لماذا لا يساوي مجموع احتمالي حادثتين متنافيتين 1 دائما. (23) احتمال يقدم محل تجاري لزبائنه في يوم الافتتاح الهدايا 20 احتمال رمي مكعب مرقم من 1 إلى 6اد ما احتمال ظهور المبينة في الجدول الآتي. ما احتمال أن يربح الزبون الأول إحدى أدوات المطبخ أو إحدى الساعات؟ عدد أقل من 3 أو عدد فردي على الوجه الظاهر؟ A B C الهدية العدد أدوات مطبخ أدوات كهربائية ساعات هواتف نقالة 10 6 3 1 1 D 0.65 D 0.5 C 0.35 B 0.075 A مراجعة تراكمية حدد إذا كانت الحادثتان مستقلتين أو غير مستقلتين في كل مما يأتي، ثم أوجد الاحتمال: (الدرس 4-7) (25) ظهور العدد 2 في الرمية الأولى لمكعب مرقم، ثم ظهور العدد 3 عند رمي المكعب للمرة الثانية. (26) سحب مصباحين تالفين واحدًا تلو الآخر من صندوق فيه 12 مصباحًا، 3 منها تالفة. (27) أوجد عدد النواتج الممكنة عند رمي مكعب مرقم وثلاث قطع نقد (الدرس 1-7) وزارة التعليم الدرس - احتمالات الحوادث المتنافية 45 2024-1446

الفصل 7 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل مفاهيم أساسية تمثيل فضاء العينة الدرس 1-7) . فضاء العينة لتجربة هو مجموعة كل النواتج الممكنة. . يمكن تحديد فضاء العينة باستعمال القائمة المنظمة أو الجدول أو الرسم الشجري الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق (الدرس (72) . الترتيب مهم في التباديل المفردات قضاء العينة ص 12 الرسم الشجري ص 12 الحادثة المركبة ص 32 الحوادث المستقلة ص 32 تجربة ذات مرحلتين ص 13 الحوادث غير المستقلة ص 32 تجربة متعددة المراحل ص 13 الاحتمال المشروط ص 34 مبدأ العد الأساسي ص 14 شجرة الاحتمال ص 34 الحادثة المشروطة ص 35 المضروب ص 18 التباديل ص 19 الحوادث المتنافية ص 39 = ! Pr (n-r)! . الترتيب غير مهم في التوافيق C₁ = n! (n − r)!r! التباديل الدائرية ص 20 الحادثة المتممة ص 42 التوافيق ص 21 الاحتمال الهندسي ص 25 الاحتمال الهندسي (الدرس (73) . إذا احتوت القطعة المستقيمة (1) قطعة مستقيمة اختبر مفرداتك حدد إذا كانت كل عبارة فيما يأتي صحيحة أم خاطئة. وإذا كانت خاطئة أخرى (2) ، واختيرت نقطة تقع على القطعة (1) عشوائيا فإن احتمال أن تقع النقطة على القطعة (2) يساوي: طول القطعة المستقيمة (2) طول القطعة المستقيمة (1) . إذا احتوت المنطقة A المنطقة B واختيرت نقطة E عشوائيا من المنطقة A فإن احتمال أن تقع النقطة E في المنطقة مساحة المنطقة B B يساوي مساحة المنطقة A احتمالات الحوادث المركبة (الدرسان 4-7 و 5-7) . إذا كانت الحادثة A متممة للحادثة A فإن: P(A)=1 - P(A) . إذا كانت الحادثة A لا تؤثر في احتمال وقوع الحادثة B ، فإن الحادثتين مستقلتان ويكون (AB) = (A) . (B) . إذا كانت الحادثتان A و B غير مستقلتين، فإن P(AB) = P(A) . (BA) فاستبدل المصطلح الذي تحته خط حتى تصبح صحيحة: 1) تُستعمل في الرسم الشجري قطع مستقيمة لعرض النواتج الممكنة. (2) التباديل هي تنظيم لمجموعة من العناصر، حيث يكون الترتيب فيها غير مهم. (3) تحديد تراتيب جلوس مجموعة من الأشخاص حول منضدة دائرية يتطلب التباديل الدائرية. (4) إلقاء قطعة نقد مرة واحدة ثم إلقاء قطعة نقد أخرى مرة واحدة أيضًا مثال على الحوادث غير المستقلة. 5) يتضمن الاحتمال الهندسي قياسًا هندسيا مثل الطول أو المساحة. . إذا لم يكن وقوع الحادثتين A و B ممكنا في الوقت نفسه فإنهما متنافيتان ويكون (PA UB) = (A) + (B (6) 6050403.201 = 6 ، مثال على المضروب. . إذا لم تكن A و B متنافيتين، فإن (AB) = (A) + (B) - (AB) المطويات منظم أفكار تأكد من أن المفاهيم الأساسية قد دونت في مطويتك. الاحتمالات اسعار العلمال الحواستان (7) تُسمى مجموعة كل النواتج الممكنة فضاء العينة . الاحتيال المشروط لـ B إذا وقع A هو: P(B\A) = P(ANB) P(A) (9) أخذ قميصين الواحد تلو الآخر من خزانة ملابس دون إرجاع مثال على الحوادث المتنافية. 46 الفصل 7 الاحتمالات وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مراجعة الدروس 7-1 تمثيل فضاء العينة ص 12 - 17 | مثال 1 (10) فشار يبيع محل تجاري أكياس فشار ذات حجم صغير (S) أو حجم وسط (M) أو حجم كبير (L)، ودون زبدة (NB) ألقيت ثلاث قطع نقد متمايزة مرة واحدة. مثل فضاء العينة لهذه أو مع زبدة (B) أو مع زبدة إضافية (EB). مثل فضاء العينة التجربة باستعمال القائمة المنظمة. الأنواع الفشار باستعمال القائمة المنظمة والجدول والرسم أقرن كل ناتج ممكن من القطعة الأولى بالنواتج من القطعتين الشجري. 11) أحذية : يبيع محل تجاري أحذية من بين المقاسات: 36 ، 37 ، 38 ، 39 ، 40 ، 41 ، 42 ، 43 ، 44 ، وبلونين: بني أو اسود. فكم زوجا مختلفا يمكن اختياره؟ 7-2 الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق ص 18 - 24 (12) مطعم: ذهب ثلاثة طلاب من الصف الأول الثانوي وثلاثة طلاب الثانية والثالثة. LLL, LLT, LTL, LTT, TLL, TLT, TTL, TTT مثال 2 مستديرة؟ من الصف الثالث المتوسط إلى مطعم وجلسوا حول بكم طريقة يمكن أن يجلس أربعة أشخاص حول منضدة منضدة مستديرة. فإذا اشترط حسين من الصف الأول الثانوي ألا يجلس بجانب أي طالب من الصف الثالث المتوسط، واشترط بما أنه لا توجد نقطة مرجعية ثابتة، فإن هذا تبديل دائري. إبراهيم من الصف الثالث المتوسط ألا يجلس بجانب أي طالب من الأول الثانوي. فما عدد التراتيب الممكنة؟ (13) ترغب مجموعة من 10 طالبات في تشكيل لجنة من منهن، بحيث يتم اختيار من عشوائيا من المجموعة، فما احتمال اختيار نوال ودانة وفاطمة لهذه اللجنة ؟ (14) مسابقات بكم طريقة يمكن اختيار 4 طلاب من 2 32 طالبا لتشكيل فريق المسابقة أكاديمية ؟ 7-3 الاحتمال الهندسي ص 25 - 30 (15) زراعة الشكل المجاور يمثل مخططا لمزرعة. إذا كان كل مربع صغير يمثل وحدة مساحة مربعة واحدة، فأجب عن كل مما يأتي: فوت السونا a ما المساحة التقريبية لحقلي فول الصويا والذرة معا؟ قانون التباديل الدائرية n = 4 (n - 1)! (4-1)! = 3! = 6 بسط لذا فهناك 6 طرائق لجلوس أربعة أشخاص حول منضدة مستديرة. مثال 3 لعبة رمي الكرة : a إذا ألقى حاتم كرة على المنطقة المبينة في الشكل المجاور، فما احتمال أن تقع في المنطقة الصفراء؟ sir. -4 in. 4 in. T إذا اختير أحد المربعات عشوائياً، فأوجد احتمال أنه يُستعمل مساحة المنطقة الصفراء 16 = 404 = أن تقع الكرة في المنطقة الصفراء)P الزراعة الذرة. (16) يجلس الطلاب هاني وعمر وراشد وعبد الكريم (على الترتيب) =25% 16 (6) ما احتمال ألا تقع الكرة في المنطقة الصفراء؟ على حافة بركة، بحيث يجلس هاني على بعد 2ft من عمر، ويجلس عمر على بعد 4ft من ،راشد، ويجلس راشد على بعد مساحة المنطقة الزرقاء 48 = 16 - 64 = 16 - (808) ft من عبد الكريم. إذا وقعت ريشة طائر بينهم، فأوجد احتمال أن تكون قد وقعت بين هاني وعمر. 48 64 =75% 8 in. (ألا تقع الكرة في المنطقة الصفراء). وزارة التعليم الفصل 7 دليل الدراسة والمراجعة 47 2024-1446

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 7 دليل الدراسة والمراجعة 7-4 احتمالات الحوادث المستقلة والحوادث غير المستقلة ص 32 - 38 مثال 4 (17) يحتوي صندوق على 3 كرات بيضاء و 4 كرات سوداء. إذا سحبت كرتان على التوالي دون ارجاع، فما احتمال أن تكون يحتوي كيس على 3 كرات حمراء وكرتين بيضاوين و 6 كرات الأولى سوداء والثانية بيضاء؟ زرقاء. فإذا سحبت كرتان على التوالي ودون إرجاع، فما احتمال أن تكون الكرة الأولى حمراء والثانية زرقاء؟ 18) مسح أظهرت نتائج دراسة مسحية أن %72% من الناس يحبون بما أن الكرة المسحوبة لا تُعاد إلى الكيس، فإن الحادثتين غير المطالعة، فإذا اختير شخصان واحدًا تلو الآخر عشوائيا من بين مستقلتين، ويتم حساب الاحتمال على النحو الآتي: 100 شخص، فما احتمال أن يكون الشخصان من الذين يحبون المطالعة؟ (حمراء | زرقاء) . (حمراء) P = (حمراء وزرقاء) P = 3 6 11 10 = 9 55 16.36% احتمالات الحوادث المتنافية ص 39 - 45 7-5 مثال 5 19) رمي مكعبان مرقمان متمايزان مرة واحدة. ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين عليهما 7 أو 11؟ عند إلقاء مكعبين مرةًمين متمايزين مرة واحدة، ما احتمال أن يكون مجموع العددين الظاهرين 5، أو أن يكون العددان على الوجهين هذان الحدثان متنافيان؛ لأن مجموع عددين متساويين لا يمكن (20) يحتوي صندوق على 40 بطاقة مرقمة من 1 إلى 40، سحبت منه الظاهرين متساويين؟ بطاقة واحدة عشوائيا. ما احتمال أن تحمل البطاقة المسحوبة عددًا زوجيًا أو أقل من 5؟ أن يكون 5 . ما احتمال أن تحمل البطاقة المسحوبة عددًا أكبر من 30 أو أقل من 10؟ (متساويان ) + المجموع (5) = المجموع 5 أو متساويان)P 4 6 = + 36 36 27.8% 18 الفصل 7 الاحتمالات 48

الفصل 7 اختبار الفصل إذا اختيرت النقطة X عشوائيا على AE في الشكل أدناه. فأوجد كلا 9) أعداد ما احتمال أن يكون عدد مكون من الأرقام السبعة الآتية مما يأتي: A B C D E 5 13 15 7 $62227777,7,7,2,2,2,6 1) ( أن تقع X على AC) (2) (ان تقع X على CD ) (3) سباحة: يتكون فريق سباحة من 9 طلاب. ما عدد الطرائق الممكنة لترتيبهم في 9 مسارات متجاورة في بركة السباحة ؟ (10) مسابقات اشتركت خمس عشرة طالبة في مسابقة ذات ثلاث جوائز. ما احتمال أن تربح المتسابقات جنان وسارة وكوثر الجوائز الثلاث؟ (11) حدد إذا كانت الحادثتان الآتيتان مستقلتين أم غير مستقلتين، ثم أوجد الاحتمال سحب بطاقتين حمراوين الواحدة تلو الأخرى من صندوق يحوي 5 بطاقات صفراء و 5 حمراء و 5 برتقالية مع الإرجاع. (4) سفر يحتاج مندوب مبيعات إلى زيارة أربع مدن. ما عدد خطط الرحلات المختلفة التي يمكن أن يعدها لزيارة كل مدينة مرة واحدة؟ مثل فضاء العينة لكل تجربة مما يأتي باستعمال القائمة المنظمة والجدول والرسم الشجري: استعمل تجربة القرص ذي المؤشر الدوّار في الشكل المجاور لإيجاد كل من الاحتمالات الآتية، إذا استقر المؤشر على خط تُعاد التجربة). (12) (استقرار المؤشر على اللون البنفسجي) P (5) يحتوي صندوق على كرة واحدة من كل لون من الألوان الآتية: الأحمر (R) والأخضر (G)، والأزرق (B). سحبت منه كرتان 13) (استقرار المؤشر على اللون الأحمر) P 14) (استقرار المؤشر على لون غير الأصفر) P واحدة تلو الأخرى دون إرجاع. (6) مطعم أراد خليفة أن يأكل شطيرة، وعندما ذهب إلى المطعم وجد عنده نوعين من الشطائر هما بالجبن (C)، وباللحم (M) فقرر شراء شطيرتين. 35° 30% 125° 80° 90° حدد إذا كانت الحادثتان متنافيتين أو غير متنافيتين في كل مما يأتي، (7) كتابة بكم طريقة مختلفة يمكن ترتيب أحرف الكلمة متململ ؟ وبرر إجابتك : (15) يمتلك رجل سيارة وشاحنة. مكعبين مرقمين متمايزين مرة واحدة للحصول على عددين 16) رمي . (8) تصويب يسدد صياد بندقيته نحو الهدف كما في الشكل المجاور. ما احتمال أن يصيب المنطقة المظللة؟ مجموعهما 7، وظهور العدد 6 على أحد وجهي المكعبين. (17) سحب بطاقة حمراء وزرقاء من مجموعة بطاقات مكونة من 13 بطاقة حمراء، و 13 ،زرقاء، و 13 صفراء، و 13 خضراء. وزارة التعليم الفصل 7 اختبار الفصل 49 OFE 2024-1446

الفصل 7 الإعداد للاختبارات المعيارية تنظيم البيانات تعطى في بعض الأحيان مجموعة بيانات لتحليلها؛ لكي تحل فقرات أسئلة في اختبار. استعمل هذا القسم للتدرب على تنظيم البيانات وحل المسائل. استراتيجيات تنظيم البيانات الخطوة 1 إذا أعطيت مسألة تحتوي على بيانات، فاعتمد واحدة مما يأتي: • • عمل قائمة بالبيانات. استعمال جدول لتنظيم البيانات. عرض البيانات مثل: التمثيل بالأعمدة، أشكال فن القطاعات الدائرية، التمثيل بالخطوط أو الصندوق وطرفيه لتنظيمها. الخطوة 2 تقو البيانات . كوّن جدولًا، أو قائمة، أو تمثيلا بيانيا، أو أشكال فن. اكتب القيم المجهولة التي يمكن إيجادها بحسابات بسيطة إذا كان ذلك ممكنا. الخطوة 3 حلل البيانات لتتمكن من حل المسألة. • • أعد قراءة نص المسألة لتحدد المطلوب. استعمل الخصائص الهندسية والجبرية الضرورية للتعامل مع البيانات المنظمة، وحل المسألة. . إذا كان الزمن كافيًا فراجع الحل وتحقق من إجابتك. 50 مثال اقرأ المسألة الآتية جيدًا وحدّد المطلوب فيها، ثم استعمل المعطيات لحلها: يوجد في مركز للغات 18 طالبًا يتعلمون اللغة الإنجليزية، و14 يتعلمون اللغة الفرنسية، و16 يتعلمون اللغة الألمانية، ويوجد 8 طلاب يتعلمون الإنجليزية فقط، و 7 يتعلمون الألمانية فقط، و3 يتعلمون الإنجليزية والفرنسية فقط، وطالبان يتعلمان الفرنسية والألمانية فقط، و 4 طلاب يتعلمون اللغات الثلاث معا. إذا اختير أحد الطلاب عشوائيا، فما احتمال أنه يتعلم الإنجليزية أو الألمانية ولا يتعلم الفرنسية؟ 9 16 A الفصل 7 الاحتمالات B 5 C 18 D 12 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الإنجليزية 8 2 7 الألمانية اقرأ المسألة بتمعن تجد أنه من الصعب تحليلها من خلال النص، ولكن عند استعمالك أشكال فن تستطيع تنظيم البيانات، وعندئذ تتمكن من حلها. الخطوة 1 أرسم ثلاث دوائر تمثل كل منها لغة. الخطوة 2: ضع معطيات المسألة على الشكل. الخطوة 3: املأ القيم المفقودة في بعض الأمكنة. فمثلا تعلم أن 18 طالبًا يتعلمون الإنجليزية، و14 طالبا يتعلمون الفرنسية. 25 - 4 - 3 - 14 ( يتعلمون الفرنسية فقط). 3 = 4 - 3 - 8 - 18 يتعلمون الإنجليزية والألمانية فقط). الخطوة 4 حل المسألة، المطلوب إيجاد احتمال اختيار طالب عشوائيا يتعلم الإنجليزية أو الألمانية ولا يتعلّم الفرنسية. يمكنك بحسب أشكال فن ملاحظة أن مجموع الطلاب يساوي 32 طالبا، منهم: 18 = 7 + 3 + 8 يتعلمون الإنجليزية أو الألمانية ولا يتعلمون الفرنسية. الاحتمال يساوي أو ؛ لذا فإن الإجابة الصحيحة هي A. تمارين ومسائل 18 16 اقرأ المسألة وحدة المطلوب، ثم نظم البيانات لحل المسألة. (1) لدى رباب أربعة أحرف بلاستيكية ا، ف، ح، ت. إذا اختارت تبديلا عشوائياً لهذه الأحرف، فما احتمال أن تكون الكلمة هي رنسية 5 (3) اختيرت نقطة واحدة عشوائيا في الشكل المجاور. أوجد احتمال أن تقع هذه النقطة في المنطقة المظللة. كلمة "فاتح " " 3 A 50 B 24 C (2) يبين الجدول الآتي عدد الطلاب في الصفوف الثلاثة في مدرسة 0.28 C 0.32 D 0.22 A 0.25 B (4) تضم جماعات الأنشطة في إحدى المدارس الثانوية 10 طلاب من الصف الأول الثانوي، و 8 طلاب من الصف الثاني الثانوي، و9 من الصف الثالث الثانوي، حيث يمارس كل طالب فيها نشاطا معينا ثانوية ، وهم يلعبون كرة السلة وكرة القدم وكرة الطائرة. إذا اختير في أثناء العام الدراسي على النحو الآتي: أحد الطلاب عشوائيا، فما احتمال أن يكون من الصف الثاني الثانوي أو يلعب كرة الطائرة؟ الرياضة الثانوي الأول الثاني الثانوي الثالث الثانوي كرة السلة كرة القدم كرة الطائرة 6 5 6 7 8 5 6 4 3 يمارس 4 طلاب من الأول الثانوي النشاط العلمي، و6 النشاط الثقافي، ويمارس طالبان من الصف الثاني الثانوي النشاط العلمي و 5 النشاط الرياضي. ويمارس طالبان من الصف الثالث الثانوي النشاط الثقافي، علما بأن كل نشاط يضم 9 طلاب. إذا اختير طالب واحد عشوائيا، فما احتمال أن يكون من طلاب الصف الثاني الثانوي أو يمارس النشاط العلمي؟ ½ c وزارة التعليم الفصل 7 الإعداد للاختبارات المعيارية 510 2024-1446 B 18 22 A B

اختبار تراكمي الفصل 7 اختيار من متعدد اختر رمز الإجابة الصحيحة في كل مما يأتي: 1) اختيرت نقطة عشوائيا في الشكل المجاور، فما احتمال وقوعها في المنطقة المظللة ؟ 0.0625 A 0.125 B +-4 cm- (5) يكتب المقدار : : x-1 4x2 - 141 + 6 5 6x - 18 في أبسط صورة على النحو: A 7x-2 6(x-3)(2x-1) 2-7x B 6(x-3)(2x-1) 7x + 8 C 6(x-3)(2x+1) - 7x+8 6(x-3)(2x+1) D 0.25 C 0.5 D (2 كم عددًا مكونا من 3 أرقام يمكن تكوينه باستعمال الأرقام 2,6,1 دون تكرار الرقم الواحد أكثر من مرة؟ 3A 6 B 12 C 27 D (6) إذا كانت A حادثة في فضاء العينة لتجربة عشوائية، وكان 0.8 = (A) ، فما احتمال عدم وقوع الحادثة A؟ 0.8 A 0.2 B 0.16 C -0.2 D إذا كانت AB حادثتين متنافيتين في فضاء العينة لتجربة عشوائية ما، وكان - (P(5) { PIA، فما قيمة (P(AUD يساوي: (7) سحبت عينتان عشوائياً واحدة تلو الأخرى دون إرجاع من صندوق يحتوي على عينات من فصائل دم مختلفة، فإذا كان في الصندوق 4 عينات من فصيلة الدم ،A و 3 عينات من فصيلة الدم B ، و 6 عينات من فصيلة الدم AB و 5 عينات من فصيلة الدم ، فما احتمال أن تكون العينتان المسحوبتان من فصيلة الدم AB؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 A 51 B D 2 [3] 5 -3 0 A B (4) قيمة محددة المصفوف ة المصورة . -11 A 11 B -1 c 1 D الفصل 7 الاحتمالات 52

إجابة قصيرة أجب عن كل مما يأتي: إجابة طويلة أجب عن السؤال الآتي موضحا خطوات الحل: 8) التقت الصديقتان هدى ودلال بعد عدة سنوات من تخرجهما في (12) تحتوي حقيبة على 3 بطاقات حمراء و 5 بطاقات خضراء الجامعة ودار بينهما الحوار الآتي: هدى: مرحبا با دلال، بلغني أنك تزوجت، فهل رزقك الله أطفالا ؟ دلال: نعم، رزقني الله طفلين. هدى وهل رزقك الله بنات؟ دلال: نعم. اعتمادًا على هذا الحوار، ما احتمال أن يكون لدلال بنتان؟ 9) إذا كانت 2 + x) = x + x) ، فما قيمة (42)d ؟ (10) إذا دار المؤشران في الشكل أدناه فما احتمال أن يتوقف كلاهما على اللون الأحمر؟ علما بأن القرصين مقسمان إلى أقسام متساوية، وإذا توقف أي من المؤشرين على الخط الفاصل بين الأقسام فإنه يعاد تدويرهما. وبطاقتين صفراوين و 4 بطاقات بنية و 6 بطاقات بنفسجية. سُحبت بطاقة واحدة عشوائيا وسُجِّل اللون، ثم أُعيدت إلى الحقيبة وسحبت بطاقة أخرى. هل الحادثتان مستقلتان أم غير مستقلتين؟ وضح إجابتك. (6) ما احتمال أن تكون البطاقتان بنفسجيتين؟ ما احتمال أن تكون البطاقة الأولى خضراء والثانية بنية؟ (11) حدد كلا من مجال الدالة 5 - [f(x) = [x ومداها. هل تحتاج إلى مساعدة إضافية؟ إذا لم تستطع الإجابة عن سؤال .... فعد إلى الدرس ... 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 7-5 7-1 7-3 مهارة مهارة سابقة سابقة 7-4 7-4 7-5 مهارة سابقة مهارة 7-4 وزارة التعليم الفصل 7 اختبار تراكمي 53 2024-1446