تمثيل فضاء العينة - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

7-1 تمثيل فضاء العينة Representing Sample Spaces www.ien.edu.sa فيما سبق درست حساب الاحتمال التجريبي. (مهارة سابقة) وا الان . أستعمل القوائم والجداول، والرسم الشجري لتمثيل فضاء العينة. . أستعمل مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة. التعقي وانا فضاء العينة sample space المالية في مباريات كرة القدم، يلقي الحكم عادة قطعة نقد مرة واحدة؛ ليحدد أي الفريقين سيختار المكان في الملعب أولا. وقد تكون النتيجة هي الشعار أو الكتابة. تمثيل فضاء العينة: لقد تعلمت ما يأتي حول التجارب والنواتج والحوادث. التعريف مثال التجربة العشوائية: هي إجراء نعرف مسبقا جميع نواتجه الممكنة. في الموقف أعلاه التجربة هي إلقاء قطعة نقد مرة واحدة . النواتج هي كل ما يمكن أن ينتج عن تجربة ما. الحادثة هي نتيجة أو أكثر للتجربة. النواتج الممكنة هي الشعار أو الكتابة إحدى حوادث هذه التجربة ظهور الكتابة. فضاء العينة لتجربة ما هو مجموعة جميع النواتج الممكنة، ويمكن تمثيله باستعمال القائمة المنظمة، أو الجدول، الرسم الشجري tree diagram تجربة ذات مرحلتين أو الرسم التجري. مثال 1 تمثيل فضاء العينة two-stage experiment أُلقيت قطعة نقد مرتين، مثل فضاء العينة لهذه التجربة باستعمال القائمة المنظمة والجدول والرسم الشجري. تجربة متعددة المراحل multi-stage experiment مبدأ العد الأساسي Fundamental Counting Principle هنالك ناتجان ممكنان لكل رمية لقطعة النقد هما: الشعار (L) والكتابة (T). القائمة المنظمة الجدول اقرن كل ناتج ممكن من الرمية الأولى بكل النواتج دوّن النواتج الممكنة للرمية الأولى في العمود الممكنة من الرمية الثانية. الأيمن، والنواتج الممكنة للرمية الثانية في الصف العلوي. إرشادات للدراسة 12 L, L L,T المكعب المرقم هو مكعب تحمل أوجهه الأرقام من 1 إلى 6. الرمية الأولى 3 الفصل 7 الاحتمالات T. L T, T L النواتج شعار (L) كتابة (T) شعار (L) كتابة (T) L, T L, L TT T, L الرسم الشجري النواتج T الرمية الثانية T LT L فضاء العينة TT TL LT LL تحقق من فهمك 1) ألقيت قطعة نقد مرة واحدة، ثم رمي مكعب مرقم مرة واحدة أيضًا. مثل فضاء العينة لهذه التجربة باستعمال القائمة المنظمة، والجدول، والرسم الشجري وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تنبيه ! اختصار مراحل في السؤال الثالث من التجربة المعروضة في المثال 1 هي مثال على تجربة ذات مرحلتين؛ لأنها تمت على مرحلتين والتجارب التي تحتوي على أكثر من مرحلتين تسمى تجارب متعددة المراحل. مثال 2 من واقع الحياة الرسم الشجري للتجارب المتعددة المراحل شطائر يبيع أحد المطاعم شطائر لحم كما هو مبين في قائمة الشطائر المجاورة. مثل فضاء العينة لأنواع الشطائر الممكنة باستعمال الرسم الشجري. تتكون التجربة من أربع مراحل هي : اختيار حجم شطيرة اللحم :(S) صغير، M وسط، L: كبير). . اختيار الجبنة مع جبنة C، بدون جبنة NC). اختيار الطماطم (مع طماطم ، بدون طماطم (NT). اختيار المخللات (مع مخللات P، بدون مخللات (NP). الصورة المرافقة للمثال أنشئ الرسم الشجري للمراحل الأربع. 2 ، يختصر الحرفان و أو مرحلتين للاختيار هما: - مع طماطم أو بدون طماطم. مع مخللات أو بدون مخللات، ويقابل هذا أربعة اختيارات ممكنة هي: مع الطماطم فقط، أو مع المخللات فقط، أو مع الطماطم والمخللات أو بدون طماطم ولا مخللات. فضاء العينة S, C, T, P - شطائر لذيذة م که امبار صغير وسط كبير) بجينة أو بدون جبنة ا يعلم لم والبر المخللات مخللات طماطم جينة الحجم P T NP- S, C, T, NP P S, C, NT, P NT NP- S, C, NT, NP S, NC, T, P - P - NP- - - - NP- S, NC, T, NP S, NC, NT, P S, NC, NT, NP M, C, T, P M, C, T, NP M, C, NT, P M, C, NT, NP M, NC, T, P M, NC, T, NP M, NC, NT, P M, NC, NT, NP L, C, T, P L, C, T, NP L, C, NT, P L, C, NT, NP T NC. P NT NP- P T NP P NT NP- P T NP. NC. P NT NP P T P - NT NP- P L, NC, T, P T NP L, NC, T, NP NC. P L, NC, NT, P NT NP- L, NC, NT, NP S M النواتج قراءة الرياضيات رموز الرسم الشجري اختر رموزا واضحة لا غموض فيها للنواتج في الرسم الشجري. ففي المثال 2 تدل على اختيار الجبنة، وNC تدل على عدم اختيار الجبنة أما NT و NP فتدلان أيضًا على أنها دون طماطم ودون مخللات بالترتيب. يا تحقق من فهمك (2) هواتف يرغب مصطفى في شراء هاتف نقال، ويمكنه أن يختاره بلون فضي(S) أو أسود(B) أو أحمر (R)، وأن يكون بكاميرا (C) أو بدونها (NC). ويمكنه أن يحصل على سماعات (H) و/ أو غطاء للجهاز (W) مثل فضاء العينة لهذا الموقف بالرسم الشجري. وزارة التعليم الدرس 1-7 تمثيل فضاء العينة 13 2024-1446

إرشادات للدراسة قاعدة الضرب يُسمى مبدأ العد الأساسي أحيانا قاعدة الضرب للعد. مبدأ العد الأساسي: قد لا يكون تسجيل جميع نواتج فضاء العينة في التجارب ذات المرحلتين أو المتعددة المراحل عمليا أو ضروريًا. لذا يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد النواتج الممكنة. مفهوم أساسي مبدأ العد الأساسي التعبير اللفظي: يمكن إيجاد عدد النواتج الممكنة لفضاء العينة بضرب عدد النواتج الممكنة بالرموز في كل مرحلة من مراحل التجربة في تجربة عدد مراحلها .. افرض أن أضف إلى مطويتك الربط بالحياة اعتاد الرجال في منطقة الخليج العربي على لبس " = عدد النواتج الممكنة في المرحلة الأولى 12 = عدد النواتج الممكنة في المرحلة الثانية بعد حدوث المرحلة الأولى = عدد النواتج الممكنة في المرحلة ) بعد حدوث 1 من المراحل فإن العدد الكلي للنواتج الممكنة للتجربة التي عدد مراحلها ، يساوي ... nk مثال 3 من واقع الحياة استعمال مبدأ العد الأساسي اختيار ثوب يريد سعد شراء ثوب من بين البدائل المبينة في الجدول المجاور. فما عدد الخيارات المتاحة أمامه ليختار ثوبًا مناسبا ؟ استعمل مبدأ العد الأساسي. الأزرار البدائل عدد الخيارات القماش اللون الأكمام القبة الفتحة الأمامية الأزرار 5 6 3 3 2 2 الفتحة القبة الأكمام اللون القماش الأمامية الأثواب الواسعة ذات اللون الأبيض أو الألوان الفاتحة وهذا يعود لاعتبارات عديدة أهمها البعدان: المناخي والجمالي. 2 = 1080 3 2 إذن لدى سعد 1080 خيارًا ليختار ثوبًا مناسبًا. تحقق من فهمك أوجد عدد النواتج الممكنة في الحالات الآتية: 3) اختيار إجابات لجميع الأسئلة المبينة في النموذج المجاور. (3) رمي مكعب مرقم أربع مرات. 3) أحذية : اختيار زوج من الأحذية من بين المقاسات: 45 44 43 42 41 40 39 ، بلون أسود أو بني أو رمادي أو أبيض، ويمكن أن يكون من الجلد الطبيعي أو الصناعي، وهناك ثلاثة أشكال مختلفة للحذاء. 14 الفصل 7 الاحتمالات نموذج الإجابة 1. 2. A 3. A B 4. A 5. A 6. 7. 8. 9. F 10. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تأكد مثال 1 للسؤالين 1، 2، مثل فضاء العينة لكل تجربة مما يأتي باستعمال القائمة المنظمة والجدول والرسم الشجري. 1) عندما يسدد اللاعب ركلة الجزاء فإنه يسجل هدفًا (G) أو لا يسجل .(O). افرض أن اللاعب سدّد ركلة جزاء مرتين. (2) سحب سمير بطاقتين على التوالي مع الإرجاع من كيس فيه بطاقات كتب عليها: ( عصير مجاني ) أو (دفتر ملحوظات مجاني (N). مثال 2 (3) ملابس تريد سمر حضور حفلة، وعليها أن تختار ما ترتديه في الحفلة من القائمة المجاورة. مثل فضاء العينة في هذا الموقف بالرسم الشجري مثال 3 (4) مطاعم عُرضت قائمة بالمأكولات في أحد المطاعم تتضمن الأصناف المبينة في الجدول المجاور، وكل صنف منها يحتوي على عدد من الأنواع افرض أنه يتم اختيار طبق واحد من كل صنف ونوع، فما عدد النواتج الممكنة؟ لون البلوزة أصفر، أخضر، وردي لون التنورة أسود أزرق خيارات إضافية ساعة و/أو عقد قائمة المأكولات عدد البدائل المقبلات الحساء السلطة الطبق الرئيس الحلوى 8 4 6 12 9 تدرب وحل المسائل مثال 1 للأسئلة 5-7 مثل فضاء العينة لكل تجربة مما يأتي باستعمال القائمة المنظمة، والجدول، والرسم الشجري 5 تنظم إحدى المدارس الثانوية زيارة إلى مركز الملك عبدالعزيز التاريخي (C) وإلى جامعة الملك سعود (U). الطلبة الصف الأول والثاني الثانوي. (6) لدى خالد فرصة للسفر إلى الخارج ضمن برنامج تدريبي لمدة شهر أو شهرين، ويمكنه أن يختار مصر أو الأردن. (7) يتكون اختبار من نماذج مختلفة من الأسئلة، وكل نموذج يتكون من سؤالين يتعلقان بالمثلثات؛ أحدهما يشتمل على مثلث منفرج الزاوية (O) أو مثلث حاد الزوايا (A)، والآخر يشتمل على مثلث متطابق الضلعين (E) أو مثلث مختلف الأضلاع (N). (8) رسم: ينفّذ بعض الطلاب مشروعين للرسم، فيستعملون أحد نوعين مختلفين من الألوان لكل مشروع مثل فضاء العينة لهذه التجربة باستعمال القائمة المنظمة، والجدول، والرسم الشجري ألوان مائية (A) اللون مثال 2 للسؤالين 9 ، 10 مثل فضاء العينة مستعملا الرسم الشجري في كل مما يأتي: (9) سيارات يريد فيصل شراء سيارة صغيرة (5) أو عائلية (F) أو نقل (T) بمقاعد مغطاة بالجلد (L) أو القماش (V)، مع إضافات: شاشة ملاحة (N) و أو سقف متحرك (R). بني (B2) 10) حقائب يبيع مصنع نوعين من حقائب السفر بأحد حجمين، وقد يكون أزرق (B3) الون الحقيبة أسود أو بيا أو أزرق، وقد يكون لها مفتاح و/ أو فقل أرقام. أسود (B1) ألوان زيتية (0) حقائب سفر الحجم كبير (H) صغير (5) الحماية مفتاح (K) أو قفل أرقام (N) وزارة التعليم الدرس 1-7 تمثيل فضاء العينة 15 2024-1446

16 مثال 3 11 نشاطات تجري في إحدى المدارس الثانوية قرعة لاختيار مسؤولي أنشطة من الطلاب. حيث كان عدد الطلاب المرشحين للأنشطة المختلفة: 3 طلاب للنشاط الرياضي و 4 طلاب للنشاط العلمي و 5 طلاب للتوعية الإسلامية وطالبان للإذاعة المدرسية، على ألا يرشح الطالب نفسه لأكثر من نشاط. فما عدد النواتج الممكنة؟ (12) فن: أعطى معلم طلابه خیارین لرسم شکلین رباعيين: أحدهما أطوال أضلاعه متساوية، والآخر فيه ضلعان متوازيان على الأقل. مثل فضاء العينة باستعمال الجدول والرسم الشجري (13) إفطار الإعلان المجاور، يوضح قائمة وجبة الإفطار في أحد المطاعم، حيث يقدم البيض مع الخضراوات أو اللحم أو الجبن، ويقدم معها الخبز الأبيض أو الأسمر أو خبز النخالة. ما عدد النواتج المختلفة من أطباق البيض ونوع الخبز، إذا كان يُستعمل مع البيض صنف واحد من الخضراوات؟ أطباق البيض 1000000000 يقدم مع جميع أطباق البيض خبز أبيض أو أسمر أو خبز النخالة حسب رغبة الزبون. البيض مع الخضراوات البيض مع اللحم البيض مع الجبن خيارات الخضراوات فلفل أخضر، طماطم، بصل، فطر الفصل 7 الاحتمالات 14) دراجات اشتری عصام قفلا رقميًا لدراجته يفتح باستعمال أربعة أرقام من 0 إلى 9. بكم طريقة يمكنه اختيار أرقام القفل إذا سمح له بتكرار أي رقم؟ بكم طريقة يمكنه اختيار أرقام القفل، على أن يستعمل الرقم مرة واحدة فقط؟ وضح إجابتك. (15 تمثيلات متعددة تتم هذه التجربة على مرحلتين متعاقبتين؛ أولا دوّر المؤشر 1 في الشكل أدناه، فإذا أشار إلى اللون الأحمر فارم قطعة نقد، وإذا أشار إلى اللون الأصفر فارم مكعب نقاط، وإذا أشار إلى اللون الأخضر فألق مكعبا مرقما، وإذا أشار إلى اللون الأزرق فدوّر المؤشر 2 . المؤشر 1 قطعة نقد مكعب نقاط مكعب مرقم المؤشر 2 63 a) هندسيا : استعمل الرسم الشجري لتمثيل فضاء العينة للتجربة. ) منطقيًّا : ارسم شكل فن لتمثيل النواتج الممكنة للتجربة. تحليليا، ما عدد النواتج الممكنة؟ d) لفظيا : هل يمكن استعمال مبدأ العد الأساسي لإيجاد عدد هذه النواتج ؟ وضح إجابتك .. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة عدم إرجاع العناصر مسائل مهارات التفكير العليا 16) تحد يحتوي صندوق على " من الكرات المختلفة. إذا سحبت 3 منها على التوالي دون إرجاع، فما عدد النواتج الممكنة ؟ برر إجابتك. إذا اخترت عنصرًا من 17) مسألة مفتوحة قد لا يكون الرسم الشجري للتجربة متماثلا. صف تجربة ذات مرحلتين تمثل ذلك، ثم ارسم الرسم الشجري لهذه التجربة، وبرر إجابتك. مجموعة عناصر دون إرجاعه إلى المجموعة فإن عدد عناصر المجموعة يتغير وكذلك عدد النواتج الممكنة. تدريب على اختبار 18 تبرير تجربة متعددة المراحل عدد مراحلها ، وعدد النواتج الممكنة لكل مرحلة " . اكتب صيغة تستطيع من خلالها إيجاد العدد الكلي للنواتج الممكنة p، ووضح إجابتك. 19) اكتب: وضّح متى يكون استعمال الرسم الشجري ضروريا لعرض جميع النواتج الممكنة لتجربة ما، ومتى يكفي استعمال مبدأ العد الأساسي. (20) اكتب وضّح لماذا لا يمكن استعمال الجدول لتمثيل فضاء العينة لتجربة متعددة المراحل. 21) يستطيع نايف أن يدعو صديقين له على الغداء. إذا كان لديه (22) تحتوي قائمة الطعام في أحد المطاعم على 5 أنواع للطبق أربعة أصدقاء، فما عدد النواتج الممكنة لاختياره اثنين منهم؟ 4 A 6 B 8 C الرئيس، و 4 أنواع من الحساء، و 3 أنواع من الحلوى. كم طلبًا مختلفًا يمكن تقديمه إذا اختار الشخص طبقًا رئيسًا واحدا، ونوعا من الحساء، وآخر من الحلوى؟ 60 C عدد لانهائي 44.3 (29 2.4 وزارة التعليم الدرس 1-7 تمثيل فضاء العينة 17 2024-1446 12 A 35 B 1- 3 2x-1 1 (26) مراجعة تراكمية أوجد قيمة الحد التالي في كل من المتتابعتين الآتيتين: (23) ... ,192 ,312,48 (مهارة سابقة) (24) ..., 10-6-22- (مهارة سابقة) حل كلًا من المعادلتين الآتيتين (مهارة سابقة) 10 (25 3 1+ - = 7 x-1 أوجد الناتج في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) 24.6 (28 8 33 (27 3.2