قانون الجيوب - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa قانون الجيوب Law of Sines 8-4 فيما سبق درست إيجاد أطوال أضلاع مثلثات قائمة الزاوية وقياسات زواياها الدرس (81) والان . أجد مساحة مثلث باستعمال طولي ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما. . أستعمل قانون الجيوب في حل المثلثات. التحقير دانت قانون الجيوب Law of Sines حل المثلث solving a triangle لماذا؟ يوجد على سطح كوكب المريخ عشرات الآلاف من الفوهات أو الحفر، وقد أطلق عليها العلماء تسميات عديدة لعلماء مشهورين وأسماء مدن ومؤلفي قصص علمية خيالية. والشكل المجاور يبين ثلاثا من هذه الفوهات. يمكنك استعمال حساب المثلثات في إيجاد المسافة بين الفوهتين واهو ونوكان. إيجاد مساحة المثلث في المثلث المجاور C = sin A أي أن h = c sin A . المساحة = bhi . صيغة مساحة المثلث المساحة = (bc sin A عوض عن c sin Ah المساحة = be sin A } بسط 17 B 102 1.2km A يمكنك استعمال هذه الصيغة أو صيغتين أخريين لإيجاد مساحة مثلث، إذا كان معلوما لديك طولا أي ضلعين فيه وقياس الزاوية المحصورة بينهما. مفهوم أساسي مساحة المثلث التعبير اللفظي: مساحة المثلث (k) تساوي نصف حاصل ضرب طولي ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما. B أضف مطويتك A C k=ab sin C k=ac sin B k = bc sin A A 9 cm وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 104°/ C الرموز مثال 1 إيجاد مساحة مثلث أوجد مساحة ABC الموضّح في الشكل المجاور مقربة إلى أقرب جزء من عشرة. AABC فيه: 104 = a = 8, b = 9, C . B 8 cm صيغة مساحة المثلث بسط = ab sin C = 1 (8) (9) sin 104 34.9 إذن المساحة تساوي cm2 34.9 تقريباً. اتحقق من فهمك 1) أوجد مساحة ABC الذي فيه : A = 31 ,6 = 18m, c = 22m مقربةً إلى أقرب جزء من عشرة. الفصل 8 حساب المثلثات 78

استعمال قانون الجيوب لحل المثلثات يمكنك استعمال الصيغ المختلفة لإيجاد مساحة المثلث في اشتقاق قانون الجيوب، الذي يبين العلاقات بين أطوال أضلاع مثلث وجيوب الزوايا المقابلة لها. اكتب صيغ مساحة المثلث الثلاث المتساوية أضف إلى مطويتك B اضرب كل عبارة في 2 اقسم كل عبارة على abc بسط A b C { be sin A = 1 ac sin B = { ab sin C bc sin A = ac sin B = ab sin C bc sin A abc ac sin B abc ab sin C abc sin A a sin B b sin C مفهوم أساسي قانون الجيوب إذا كانت أضلاع ABC التي أطوالها ، تقابل الزوايا ذات القياسات A,B,C على الترتيب، فإن العلاقات الآتية تكون صحيحة: a sin A _ sin B b sin C إرشادات للدراسة علاقات بديلة يمكن كتابة قانون الجيوب كما يأتي: a Ն C sin A sin B sin C حل المثلث يعني استعمال القياسات المُعطاة في إيجاد المجهول من أطوال أضلاع المثلث وقياس زواياه. ويمكنك استعمال قانون الجيوب لحل المثلث في الحالات الآتية: . معرفة قياسي زاويتين في المللك وطول أي ضلع فيه (زاوية - زاوية - ضلع حالة (AAS) ، أو زاوية - ضلع - زاوية (حالة ASA)) . معرفة طولي ضلعين فيه وقياس الزاوية المقابلة لأحدهما (ضلع ضلع - زاوية (حالة SSA)) C b C مثال 2 حل مثلث بمعلومية قياسي زاويتين فيه وطول أحد أضلاعه حل ABC الموضح في الشكل المجاور، مقربا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة. الخطوة 1: أوجد قياس الزاوية الثالثة. mLA = 180° - (80° + 45) = 55° الخطوة 2: استعمل قانون الجيوب لإيجاد كل من الطولين: ab. اكتب معادلة لإيجاد قيمة كل منهما. B 45° B A 3 b a 80° C sin B b sin C C sin 45° sin 80" b 3 b= 3 sin 45° sin 80" b = 2.2 قانون الجيوب عوض حل بالنسبة لكل متغير استعمل الآلة الحاسبة sin A a sin C C sin 55° sin 80° a 3 3 sin 55° a = sin 80" a = 2.5 .A=55°, a 2.5, b≈ 2.2.03! تحقق من فهمك (2) حل ANP الذي فيه : 5 = 1 ,65 = 42 = P، مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة. وزارة التعليم الدرس 4-8 قانون الجيوب 79 2024-1446 وبذلك يمكنك استعمال العلاقتين الآتيتين لحل المثلث في المثال 2 a sin 55° b sin 45 == 3 sin 80° 3 sin 80"

S إرشادات للدراسة الحالة المبهمة الحالة التي يكون للمثلث فيها حلان تُسمى الحالة المبهمة. إذا علم لدينا قياسا زاويتين وطول أحد الأضلاع، فإنه يوجد مثلث وحيد في هذه الحالة. أما في حالة معلومية طولي ضلعين وقياس الزاوية المقابلة لأحدهما (SSA)، فإن عدد المثلثات الممكنة في هذه الحالة هو صفر، أو واحد، أو اثنان وبذلك فإنه ليس للمثلث حلّ، أو له حل واحد، أو له حلان. مفهوم أساسي المثلثات الممكنة في حالة (SSA) أضف إلى مطويتك b افترض مثلثا معلومًا فيه : Arab A حادة CA قائمة أو منفرجة a A asb لا يوجد حل A A a>b C b a=h A a = h حل واحد b a azb حل واحد A A b a<h لا يوجد حل C b a a h<a<b حلان بما أن ا = sin A، فيمكنك استعمال الصيغة b sin A = لإيجاد قيمة في | المثلثات الحادة الزوايا. مثال و حل مثلث بمعلومية طولي ضلعين فيه وقياس الزاوية المقابلة لأحدهما حدد إن كان لكل مثلث مما يأتي حلّ واحد، أم حلان أم ليس له حل أوجد الحلول، مقرباً أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة: ARST Ma الذي فيه 6 = R = 105, r = 9, s . بما أن R منفرجة، و 6 × 9 ، نستنتج أن للمثلث حلا واحدًا. الخطوة 1: ابدأ برسم المثلث، ثم استعمل قانون الجيوب لإيجاد mLS . sin S 6 sin 105° 9 قانون الجيوب 6 T 9 R 105° وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 حل بالنسبة لـ sin S استعمل الآلة الحاسبة أوجد قيمة 0.6440 1-sin، والزاوية 5 حادة قانون الجيوب حل بالنسبة ل ا استعمل الآلة الحاسبة sin S = 6 sin 105 9 sin S = 0.6440 S = 40° الخطوة 2 أوجد MT. mZT 180° (105° + 40°) = 35° - الخطوة 3 استعمل قانون الجيوب لإيجاد قيمة . sin 35° sin 105° t 9 9 sin 35° t = sin 105° t = 5.3 .S 40°, T=35°, t = 5.3:03 إرشادات للدراسة الزاوية A حادة في الجهة اليمنى من الأشكال المجاورة. الارتفاع يقارن مع a لأن / هو أقصر بعد من C إلى AB عندما تكون الزاوية A حادة. المقابل sin A = sin A = h b الوتر الفصل 8 حساب المثلثات 80

8 6 A 54° 20 17 35° A ABC الذي فيه : 8 = A = 54", a = 6, b . بما أن A حادة، و8 6 ، فأوجد قيمة وقارنها بقيمة a. h = b sin A = 8 sin 540 ≈ 6.5 بما أن 6.5 > 6 أو a < h فلا يوجد للمثلث حل. b = 8, A = 54° استعمل الآلة الحاسبة ABC الذي فيه : 20 = A = 35", a = 17, b . بما أن 24 حادّة، و 20 > 17 ، فأوجد قيمة " وقارنها بقيمة a. b = 20, A = 35° h = b sin A = 20 sin 35° إرشادات للدراسة حلان في الفرع C، بما أن h<a<b فإن للمثلث حلين أحدهما عندما تكون الزاوية B حادة والآخر عندما تكون الزاوية B منفرجة (مكملة للزاوية الحادة في الحل الأول). 11.5 استعمل الآلة الحاسبة بما أن 20 > 17 > 11.5 أو a> b> . فإن للمثلث حلين، وبالتالي هناك مثلثان يطلب حلهما. الحالة 1 : B حادة. B 20 17 35° A الخطوة 1 أوجد MB. sin B 20 sin 35° 17 20 sin 35° 17 قانون الجيوب الحالة 2 B منفرجة. C 17 20 35° A B- = sin B حل بالنسبة لـ sin B 0.6748 = sin B استعمل الآلة الحاسبة أوجد قيمة 0.6748 1 sin B = 42° الخطوة 2 أوجد MC . الخطوة 1 أوجد mB. قيمة دالة الجيب موجبة في الربع الثاني، لذا أوجد زاوية منفرجة B بحيث sin B = 0.6748 mZB180° - 42° = 138° الخطوة 2 أوجد MLC . إرشادات للدراسة الزاوية المرجعية في الحالة الثانية استعملت زاوية مرجعية قياسها °42 لإيجاد القياس الآخر للزاوية .B . mLC = 180° - (35° + 138°) = 7° m/C 180° (35° + 42°) = 103° - الخطوة 3 أوجد قيمة ) . sin 103° C sin 35° 17 17 sin 103° sin 35° قانون الجيوب حل بالنسبة لـه استعمل الآلة الحاسبة الخطوة 3 أوجد قيمة ) . sin 7° C sin 35° 17 C 17 sin 7° sin 35° c = 3.6 قانون الجيوب حل بالنسبة لـه c = 28.9 استعمل الآلة الحاسبة لذا فإن أحد الحلّين هو : 28.9 = 103 42 B ، والحل الثاني هو : 3.6 = B = 138", C = 7, c. تحقق من فهمك حدد إن كان لكل مثلث مما يأتي حل واحد أم حلان أم ليس له حل أوجد الحلول، مقربا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. (3) ARST الذي فيه : 12 = R = 95, r = 110, s AMN B الذي فيه : 4 = N = 32°, n = 7, p 3 ABC الذي فيه : 18 = A = 47, a = 15, b وزارة التعليم الدرس 4-8 قانون الجيوب 81 2024-1446

التعليم Ministry of Edu 2024-1446 الربط بالحياة يقع إستاذ الملك فهد الدولي بالجهة الشمالية الشرقية من مدينة الرياض على مساحة إجمالية تبلغ 500000 متر مربع ، ويتكون من مبنى اللاعبين وملعب كرة القدم العشبي وملحقاته الخدمية ومضمار للجري ولألعاب القوى وقناة الحماية والمدرجات ومقاعد الجمهور . المصدر : الهيئة العامة للرياضة تأكد مثال من واقع الحياة استعمال قانون الجيوب لحل مسألة كرة قدم: يُمثل الشكل المجاور إحدى التمريرات الحاسمة بين ثلاثة لاعبين اللاعب الثاني B من فريق كرة قدم خلال إحدى المباريات أوجد المسافة بين اللاعب الثاني واللاعب الثالث. 72 = B = 180 - (LA + C مجموع زوايا المثلث 180 sin 72 90 sin 43° x x sin 72° = 90 sin 43 X = 90 sin 43° sin 72° x = 64.5 قانون الجيوب استعمل الضرب التبادلي حل بالنسبة لـ x استعمل الآلة الحاسبة إذن المسافة بين اللاعبين تساوي 64.5ft تقريباً. تحقق من فهمك اللاعب الثالث (4) كرة قدم: أوجد المسافة بين اللاعب الأول واللاعب الثاني في الشكل أعلاه. مثال 1 الوجد مساحة AABC في كل مما يأتي، مقربة إلى أقرب جزء من عشرة. 65 90 ft اللاعب الأول A 42° 4 yd B (2 30° 108" C 3 yd B = 103", a = 20 in, c = 18 in (4 8 mm. C A 7 mm 86° B A = 40°, b = 11 cm, c = 6 cm (3 مثال 2 حل كلَّ مثلث مما يأتي، مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة: B (6) a 97° C A C 50° F 34° D (5 39 12 d E (7) AFGH الذي فيه : 14 = 1 ,°40 = G = 80", H. مثال 3 حدد إن كان للمثلث ABC في كل مما يأتي حلّ واحد، أم حلان أم ليس له حلّ. أوجد الحلول، مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة: 1.2 km 102° 23° نوکان A 95°, a 19, b = 12 (8 A = 60°, a=15, b = 24 (9 A = 34, a = 8, b = 13 (10 A = 30°, a = 3, b = 6 (11 مثال 4 (12) فضاء : ارجع إلى فقرة "لماذا ؟ " في بداية هذا الدرس، وأوجد المسافة بين فوهة واهو وفوهة نوكان. الفصل 8 حساب المثلثات 82

تدرب وحل المسائل مثال 1 أوجد مساحة كل من المثلثات الموضّحة في الأشكال الآتية مقربة إلى أقرب جزء من عشرة: 14 cm C (15 B 36° 96° 18 cm. 48° A 52° 16 ft 20 ft C B A = 138", b = 10 in, c = 20 in (17 C = 116, a = 2.7 cm, b = 4.6 cm (19) (14 A (13 B 6 km 5 km 45' C C=25°, a 4 ft, b = 7 ft (16 B = 92, a = 14.5m, c = 9 m (18 مثال 2 حُلّ كلَّ مثلث مما يأتي مقربًا أطوال الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. " L M (22 S T (21 T 47° B 70° 53 5 106 1 13 C 36" N R A 44° 8 C (20 (23) AHJK الذي فيه : 131 ,°20 = H = 53", J . 24) ANP الذي فيه : 22 = ","57 = P = 109, Q . (25) AABC الذي فيه : 67 ,25 = A = 50°, a . (26) ABC الذي فيه : 20 ,142 = B = 18, C . حده إن كان للمثلث ABC في كل مما يأتي حل واحد، أم حلان أم ليس له حل، أوجد المحلول، مقربها أطوال مثال 3 الأضلاع إلى أقرب جزء من عشرة، وقياسات الزوايا إلى أقرب درجة. 262 km A = 75°, a = 14, b = 11 (28 A = 52", a = 9, b = 20 (30 A = 44, a = 14, b = 19 (32) A 30°, a 17, b = 34 (34 72° الرياض kom 236 الدوادمي A = 100°, a = 7, b = 3 (27) A 38°, a 21, b = 18 (29 A = 42°, a = 5, b = 6 (31 A = 131°, a 15, b = 32 (33 جغرافيا في الشكل المجاور ثلاثة مواقع جغرافية تشكل مثلثا. إذا كانت مثال 4 المسافة بين الرياض والدوادمي 236km، وبين الرياض والزلفي km 262 ، وقياس الزاوية عند الدوادمي °72 ، فأجب عما يأتي: (35) أوجد قياس الزاوية عند مدينة الرياض. (36) أوجد المسافة بين الزلفي والدوادمي. وزارة التعليم الدرس 4-8 قانون الجيوب 83 2024-1446

(37) تسلق : يقف خالد وسعيد أمام جدار صخري للتسلق والمسافة بينهما 8 أقدام كما هو مبين في الشكل المجاور. ما ارتفاع الجدار الصخري، مطرنا إلى أقرب قدم؟ مسائل مهارات التفكير العليا 60° خالد سعيد 45 L 8ft S 38) اكتشف الخطأ: ARST فيه: 212 = 24 = 1 ,56 = R. فإذا حاول كل من رضوان وعلي إيجاد m/T، فمن منهما إجابته صحيحة ؟ وضح إجابتك. رضوان علي siat 56 sin T = 12 بما أن : " فلا يوجد للمثلث حل. 24 sin T = 0.4145 T= 24.5" تدريب على اختبار 39) تبرير أوجد أطوال أضلاع مثلثين مختلفين ABC، بحيث يكون في كلّ منها "55 = C = 20"، A. (40) مسألة مفتوحة إذا كانت 38 = 4 °62 = R، فأوجد قيمة لـ "، بحيث لا يوجد للمثلث DRF حل (41) إجابة قصيرة في الشكل المجاور التمثيل البياتي لكل من (f(x) (x ما قيمة ((4))؟ عندها . ووضّح إجابتك. f(x) -6 (42) إذا كان أحد أصفار الدالّة 72 + f(x) = 3 - 72 - 6x هو 4. فأي مما يأتي يُمثل تحليلا للعبارة: 72 + 6x - 72 - قير؟ مراجعة تراكمية (x-6)(x+3)(x+4) A (x-6)(x+3)(x-4) B 20 g(x) (x+6)(x+3)(x-4) C (x+12)(x1)(x4) D أوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثلثية فيما يأتي: (الدرس (3-8) sin 210° (43 COS π (44 cot 60° (45 في كل مما يأتي، أوجد زاويتين إحداهما بقياس موجب، والأخرى بقياس سالب، مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة: (الدرس (2-8) 125° (46 -32° (47 أوجد مجموع كل من المتسلسلات الآتية (إن وجد): (مهارة سابقة) 64+48 +36 +... (49 27+36 +48+... (50) إذا كانت = 2, = 2 ,1.5 = x = 4, y ,6 = 20 ، فأوجد قيمة كل عبارة مما يأتي: (مهارة سابقة) π (48 00 0.5(1.1)" (51 #=1 w² + y²-6xz (52 الفصل 8 حساب المثلثات 84 53) 5wy + 22 + 2ر 20y + x2 + 202 - 22 (54) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446