الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

7-2 الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق رابط الدرس الرقمي www.jen.edu.sa Probability with Permutations and Combinations اليسا سيق درست استعمال مبدأ العد الأساسي. (مهارة سابقة) وا الان . أستعمل التباديل في حساب الاحتمال. . أستعمل التوافيق في حساب الاحتمال المفردات المضروب factorial التباديل permutations التباديل الدائرية circular permutation الما0:3 وقف يوسف وعلي وفراس وفهد لالتقاط صورة جماعية لهم. وهناك 4 خيارات لمن يقف في أقصى اليمين ، و 3 خيارات لمن يقف في المكان الثاني، وخياران للمكان الثالث، وخيار واحد للمكان الأخير. بر الوالدين وطاعتهما الطريق إلى النجاح الحرة في الدو الاحتمال باستعمال التباديل التبديل تنظيم لمجموعة من العناصر يكون الترتيب فيه مهما أحد تباديل الأصدقاء الأربعة أعلاه هو علي فراس فهد يوسف. وباستعمال مبدأ العد الأساسي يوجد 24 = 4.3.2.1 ترتيبا ممكنا لهؤلاء الأصدقاء. يمكن كتابة العبارة 4.3.2.1 لحساب عدد التباديل للأصدقاء الأربعة على الصورة 41 ، ويُقرأ مضروب العدد 4 . أضف إلى طويتك مفهوم أساسي المضروب التعبير اللفظي: يكتب مضروب العدد الصحيح الموجب 11 على الصورة 11 ، ويساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة التي هي أصغر من أو تساوي 11 . التوافيق combinations بالرموز 2.1 n!n (n-1) (n-2) . إرشادات للدراسة العشوائية عندما يتم اختيار النواتج عشوائيا تتساوى فرص وقوعها، ويمكن حساب احتمالاتها باستعمال التباديل والتوافيق مثال 1 وقد اتفق على اعتبار أن 1 = 01 الاحتمال وتباديل " من العناصر رياضة : نواف وماجد عضوان في فريق المدرسة الرياضي. إذا كان عدد أعضاء الفريق 20، ويرتدي كلّ منهم قميصا مر قما من (1) إلى (20) بشكل عشوائي، فما احتمال أن يكون رقم قميص نواف (1)، ورقم قميص ماجد (2)؟ الخطوة 1 أوجد عدد نواتج فضاء العينة. وهو عدد التباديل الممكنة لأسماء أعضاء الفريق العشرين ويساوي 201. الخطوة 2 أوجد عدد النواتج التي يتكون منها الحادثة، وهو عدد التباديل الممكنة لأسماء أعضاء الفريق المتبقية، إذا كان رقم قميص نواف 1 ورقم قميص ماجد 2 ويساوي !18 = !(2 – 20) الخطوة 3: احسب الاحتمال 18 الفصل 7 الاحتمالات عدد نواتج الحادثة عدد النواتج الممكنة 18! 20! 1 18! = 20 19 18 1 1 = 380 نواف 1 و ماجد (2)P جد مفكوك 20 واقسم على العوامل المشتركة بسط تحقق من فهمك 1) تصوير : ارجع إلى فقرة "لماذا؟". ما احتمال أن يختار علي ليقف في أقصى يسار الصورة، وأن يقف فراس في الحصى يمينها؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

ارجع إلى فقرة " لماذا؟"، وافترض أن هناك 6 أصدقاء ولكن المصور يرغب في أن يتم اختيار 4 أشخاص فقط عشوائيا ليظهروا في الصورة، وباستعمال مبدأ العد الأساسي فإن عدد تباديل مجموعة من 6 أصدقاء مأخوذة 4 في كل مرة هو 3-4-5-6 أو 360 وهناك طريقة أخرى تصف عدد تباديل 6 أصدقاء، إذا اختير 4 منهم في كل مرّة ويرمز إليها بالرمز P. ويمكن حساب هذا العدد باستعمال المضروب. 6P4 6.5.4.3= 6! 6.5-4-3-2-1 2! 2.1 6! (6-4)! وهذا يؤدي إلى الصيغة الآتية: مفهوم أساسي التباديل أضف إلى مطويتك بالرموز يرمز إلى عدد تباديل " من العناصر المختلفة مأخوذة r في كل مرة بالرمز Pr حيث مثال: "P,= ! (n-r)! عدد تباديل 5 عناصر مأخوذة 2 في كل مرة يساوي: 5P2 = 5! (5-2)! = 5.4.3 3! = 20 إرشادات للدراسة الاحتمال والتباديل يمكنك حل المثال 2 بالطريقة نفسها التي استعملت في المثال 1 مثال 2 الاحتمال والتباديل مجلس الإدارة: يتكوّن مجلس إدارة شركة كبرى من 10 أعضاء ، فإذا كان فيصل ومحمد ومهند أعضاء في مجلس الإدارة، فما احتمال أن يتم اختيار هؤلاء الثلاثة رئيسًا، ونائباً للرئيس، وأمينا للسر على الترتيب، مع العلم أن الاختيار يتم عشوائيا ؟ الخطوة 1 بما أن اختيار المراكز طريقة لترتيب أعضاء مجلس الإدارة، فإن الترتيب في هذه الحالة مهم جدًّا. عدد التوائج الممكنة في قضاء العينة يساوي عدد تباديل 10 أعضاء أخذ منها 3 في كل مرك أي واور 10P3 = 10! = 10.9.8.7-720 (10-3)! الخطوة 2 عدد نواتج الحادثة يساوي 1 ؛ لأن هناك ترتيبًا واحدًا فقط للأعضاء الثلاثة في مراكزهم المعينة. الخطوة 3، لذا فإن احتمال اختيار فيصل رئيسًا ومحمد نائبًا ومهند أمينا للسر يساوي 70 . تحقق من فهمك (2) بطاقات جامعية : تستعمل الأرقام 19 دون تكرار؛ لعمل بطاقة طالب جامعي بطاقات للطلاب مكونة من 8 منازل ما عدد البطاقات الجامعية الممكنة ؟ إذا اختيرت بطاقة جامعية عشوائياً، فما احتمال أن تحمل أحد الرقمين 67953124 ,42135976؟ الاسم: عبدالرحمن محمد رقم الطالب: 42135976 وزارة التعليم الدرس 2- الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق 19 Fort 2024-1446

تكرر في بعض الأحيان بعض العناصر، ولإيجاد عدد التباديل المختلفة في هذه الحالة نستعمل الصيغة الآتية: مفهوم أساسي التباديل مع التكرار أضف إلى مطوبتك عدد التباديل المختلفة لعناصر عددها 1" عندما يتكرر عنصر منها " من المرات وآخر 12 من المرات وهكذا .... فإنه يساوي: ! الربط بالحياة أطول كلمة وردت في القرآن الكريم دون تكرار للحروف هي كلمة فَأَسْقَيْنَكُمُوهُ من الآية 22 من سورة الحجر. مثال 3 الاحتمال والتباديل مع التكرار برنامج ألعاب في أحد برامج الألعاب يُعطى المتسابق أحرفًا مبعثرة، ويطلب إليه تكوين كلمة وفق دلائل محددة. بافتراض أنك أعطيت الأحرف الآتية وطلب إليك إعادة ترتيبها لتكون اسم دولة إسلامية. فإذا اخترت تبديلا لهذه الأحرف بصورة عشوائية، فما احتمال أن يكون الاسم الصحيح ماليزيا ؟ ي الخطوة 1: هناك 7 أحرف يتكرر فيها الحرف (۱) مرتين، والحرف (ي) مرتين؛ ولذا فإن عدد التباديل المختلفة لهذه الأحرف هو : 20 الفصل 7 الاحتمالات 7! = 2! 2! 5040 4 = 1260 استعمل الآلة الحاسبة الخطوة 2 : هناك ترتيب واحد صحيح لهذه الأحرف يعطي اسم ماليزيا. الخطوة 3: احتمال أن يكون التبديل الذي تم اختياره عشوائياً يعطي اسم ماليزيا يساوي 1260 تحقق من فهمك 3) أعداد تم تكوين عدد مكون من 6 أرقام عشوائياً باستعمال الأرقام ، ما احتمال أن يكون أول رقم في العدد هو 5 وأخر رقم هو 5 أيضا؟ ما سبق عرضه يتناول ترتيب العناصر على صورة خطية. لاحظ أنه عند تنظيم عُلب التوابل في الشكل أدناه بشكل خطي، ثم إزاحة كل واحدة منها موضعا واحدا نحو اليسار (مثلا)، ينتج لدينا تبديل آخر مختلف، حيث توضع علبة الكمون أولا من اليمين بدلا من الكاري؛ لذا فإن عدد التباديل المختلفة لهذه التوابل يساوي 5 . کاري زنجبيل کمون فلفل زنجبيل أما إذا رُتبت العناصر على شكل دائرة أو حلقة فتسمى التراتيب الممكنة تباديل دائرية ، فإذا وضعت علب التوابل على منضدة دائرية كما في الشكل أدناه، فستلاحظ أنه عند تدوير المنضدة عكس اتجاه عقارب الساعة (مثلا) موضعا واحدا لا ينتج تبديل مختلف؛ لأن ترتيب العلب لا يتغير بالنسبة إلى بعضها بعضًا. تجميل كاري فتمل فلفل زنجبیل كاري كمون لذا فإن تدوير المنضدة 5 مواضع ينتج التبديل نفسه. وعدد التباديل المختلفة على الدائرة يساوي عدد التباديل الكلي عندما تكون العلب على خط مستقيم. = 1-8-5-4-4-(3-1) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة. التباديل الدائرية عدد التباديل الدائرية لـ 11 من العناصر مفهوم أساسي التباديل الدائرية عدد التباديل المختلفة لـ 11 من العناصر مرتبة على دائرة يساوي = (1-1)! أضف إلى مطويتك إذا رتبت عناصر عددها " بالنسبة إلى نقطة مرجعية ثابتة وهي نقطة أو موقع يحدد مسبقا في بعض المسائل يساوي عدد التباديل المتعلقة بالتباديل الدائرية ويقع عنده أحد العناصر في كل التباديل المختلفة لعناصر المجموعة) مما يؤدي الخطية لها مقسومًا إلى أن الترتيبات ستعامل خطيًّا وسيكون عدد تباديلها يساوي ! . على عددها. مثال 4 الاحتمال والتباديل الدائرية أوجد الاحتمالات الآتية، وبرّر إجابتك. a زينة : إذا رتبت 6 نماذج لعب صغيرة في سوار عشوائيا، فما احتمال ظهورها كما في الشكل المجاور؟ بما أنه لا توجد نقطة مرجعية ثابتة، فإن هذا تبديل دائري. إرشادات للدراسة. لذا يوجد (1) - 6) أو 5 من التباديل المختلفة لهذه القطع. وعليه فإن احتمال ظهور الترتيب المبين في الشكل هو اول ويساوي 120 . النقطة المرجعية قبل بدء إيجاد الاحتمال (6) طعام جلس 4 أشخاص في مطعم حول منضدة دائرية الشكل وكان أحد المقاعد بجوار النافذة. إذا جلس الأشخاص بشكل عشوائي، فما احتمال أن يجلس الشخص الذي سيدفع فاتورة الطعام بجوار النافذة؟ المطلوب، حدد إذا كان ترتيب العناصر يتم وفق نقطة مرجعية ثابتة أم لا. بما أن الأشخاص يجلسون حول المنضدة حسب نقطة مرجعية ثابتة فإن هذا تبديل خطي. لذا يوجد 4 أو 24 طريقة يجلس بها الأشخاص، وعدد نواتج الحادثة يساوي عدد تباديل الأشخاص الثلاثة الآخرين حيث سيجلس الشخص الذي يدفع الفاتورة بجانب النافذة وهذا يساوي 3 أو 6 . لذا؛ فإن احتمال جلوس الشخص الذي سيدفع الفاتورة بجانب النافذة هو تحقق من فهمك 1 6 24 = 4 (4) بطاقات إذا رتبت 5 بطاقات مسجل عليها الأسماء: (حسن، محمد، أحمد، سالم، سعود) على منضدة دائرية عشوائيا، فما احتمال ظهورها كما في الشكل المجاور؟ (4) كرة قدم: تجمَّع فريق كرة قدم مكوّن من 11 لاعبا على شكل حلقة يتشاورون قبل بداية المباراة، إذا وقف حكم المباراة تماما خلف أحدهم، فما احتمال وقوف الحكم خلف حارس المرمى؟ وضح تبريرك. 3! = 4! الاحتمال باستعمال التوافيق التوافيق هي اختيار مجموعة من العناصر بحيث يكون الترتيب فيها غير مهم. افترض أنك تحتاج إلى اختيار موظفين من بين 6 موظفين في أحد أقسام شركة لحضور مؤتمر، فإن الترتيب في اختيار الموظفين غير مهم. وعليه يجب أن تستعمل التوافيق لتجد عدد الطرق الممكنة لاختيار الموظفين. مفهوم أساسي التوافيق بالرموز مثال : يرمز إلى عدد توافيق 11 من العناصر المختلفة مأخوذة r في كل مرة بالرمز C ، حيث n! = (n-r)! عدد توافيق 8 عناصر مأخوذة 3 في كل مرة يساوي أضف إلى مطويتك 8! C3 = = 3!(8-3)! 8.7 6.5 8! 315! = 56 6.5! وزارة التعليم الدرس 2- الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق 21 2024-1446

مثال 5 الاحتمال والتوافيق كرة طائرة: يريد مدرب كرة طائرة اختيار 6 لاعبين من بين 10 لاعبين هم أعضاء الفريق. ما احتمال اختيار اللاعبين محمد وعبد الله وعيسى وخالد وفيصل وطلال ؟ الخطوة 1: بما أن ترتيب اختيار اللاعبين ليس مهما ، فإن عدد النواتج الممكنة في فضاء العينة يساوي عدد توافيق 10 مأخوذة 6 في كل مرة، أي وتكرر. 3 10C6 10! = = 10.9.8.7.6 64.3.2 6!(10-6)! = 210 إرشادات للدراسة التباديل والتوافيق استعمل التباديل عندما الخطوة 2: أوجد عدد النواتج التي تتكون منها الحادثة، وفي هذه الحالة يساوي 1 = C، وهو اختيار الستة المذكورين، وترتيب اختيارهم ليس مهما. اللاعبين الخطوة 3 لذا فإن احتمال اختيار اللاعبين الستة هو تحقق من فهمك 1 = 106 210 A B C 22 يكون ترتيب العناصر مهما، والتوافيق عندما لا يكون الترتيب مهما. 5) هندسة : إذا تم اختيار ثلاث نقاط عشوائيا من النقاط المسماة على D المستطيل في الشكل المجاور ، فما احتمال أن تقع النقاط الثلاث على قطعة مستقيمة واحدة؟ تأكد H G E مثال 1 1) هندسة : إذا طلب إليك ترتيب المضلعات المبينة أدناه في صفّ من اليمين إلى اليسار، فما احتمال أن يكون المثلث هو الأول والمربع هو الثاني؟ مثال 2 (2) معرض علمي: تعرض جماعة النادي العلمي البالغ عدد أفرادها 40 طالبًا في مدرسة ثانوية تجارب علمية، إذا اختير ثلاثة طلاب من الجماعة عشوائيا . فما احتمال أن يتم اختيار عبد المجيد للإشراف على تجارب الفيزياء، وزيد للإشراف على تجارب الكيمياء، ومحمود للإشراف على تجارب الأحياء؟ مثال 3 3) أعداد يتكون عدد من الأرقام 5,663 . ما احتمال أن يكون هذا العدد 5663133 ؟ مثال 4 (4) كيمياء في معمل الكيمياء طلب إليك اختبار ست عینات رثبت عشوائياً على منضدة دائرية. ما احتمال ظهور الترتيب المبين في الشكل المجاور ؟ (6) ما احتمال أن تكون العينة 2 في المكان المشار إليه بسهم على الرسم؟ 3 مثال 5 (5) مسابقات اشترك 15 طالبا من الصف الثاني الثانوي في مسابقة ثقافية. إذا اختير منهم 4 طلاب عشوائيا، فما احتمال أن يكونوا ماجد وعبدالعزيز وخالد وفوزي ؟ وزارة التعليم الفصل 7 الاحتمالات Ministry of Education 2024-1446

تدرب وحل المسائل مثال 1 (6) محاضرات ذهبت مها وسعاد لحضور محاضرة علمية. إذا اختارت كل منهما مقعدا في الصف المبين أدناه عشوائيا، فما احتمال أن تختار مها المقعد C11، وسعاد المقعد C12؟ CC GG CC C13 C12 C15 (7) حفلات وزّعت بطاقات مرقمة من 1 إلى 50 على 50 شخصا في حفلة، وكان حسين وزياد من بين الحاضرين. ما احتمال أن يكون حسين قد أخذ البطاقة رقم 14 وزياد البطاقة رقم 23 ؟ مثال 2 (8) مجموعات تم اختيار شخصين عشوائيا من مجموعة من عشرة أشخاص ما احتمال اختيار طارق أولا ثم سليم ثانيا ؟ مثال 3 9) أحرف ممغنطة اشترى عدنان أحرفًا ممغنطة يمكن ترتيبها على باب ثلاجته، بحيث تشكل كلمات معينة. إذا اختار تبديلا من الأحرف المبينة في الشكل المجاور عشوائيا، فما احتمال أن تشكل هذه الأحرف كلمة "مكالمات"؟ 10) رموز بريدية ما احتمال أن يكون الرمز البريدي 97275 إذا تم تكوينه عشوائيا من الأرقام $7,9,5,7,2 مثال 4 11 مجموعات يرتب سامي المقاعد على صورة دوائر للعمل في مجموعات متعاونة. إذا كان في دائرة سامي 7 مقاعد، فما احتمال أن يكون مقعد سامي هو الأقرب إلى الباب؟ (12) مدينة ألعاب ذهب خليل وأصدقاؤه إلى مدينة ألعاب وقد اختاروا لعبة ذات مقاعد مرتبة في دائرة. إذا كان عدد المقاعد 8، فما احتمال أن يجلس خليل في المقعد الأبعد عن مدخل اللعبة؟ (13) العاب رتبت 8 كرات مرقمة بالأرقام 13 12 11 2,6,7,8,9 عشوائياً في صف: ما احتمال أن تكون الكرة 2 والكرة 11 هما الأولى والثانية من اليسار على الترتيب؟ إذا خلطت الكرات الثماني عشوائيا . فما احتمال أن يكون الترتيب كما هو مبين في الشكل أدناه؟ 9 7 8 13 2 إذا أُعيد ترتيب الكرات عشوائياً بحيث شكلت دائرة. فما احتمال أن تكون الكرة 6 إلى جانب الكرة 7؟ 14) كرات إذا وضعت 7 كرات في صف؛ ثلاث منها أرقامها ، 8 ، وثلاث أرقامها ، وكرة واحدة رقمها 6. فما احتمال أن تكون الكرات ذات الرقم 8 عن يسار الكرة 6 ، والكرات ذات الرقم 9 عن يمينها؟ مثال 5 (15) مستقيمات ما عدد المستقيمات التي يمكن رسمها من 10 نقاط ولا تقع أي ثلاث منها على استقامة واحدة؟ وضح إجابتك. وزارة التعليم الدرس 2- الاحتمال باستعمال التباديل والتوافيق 23 of 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا 16 تبرير: هل العبارة الآتية صحيحة أحيانًا أم صحيحة دائمًا أم أنها غير صحيحة أبدًا ؟ برر إجابتك. P, = C, (17) تحد يدعي طالب أن العلاقة بين التباديل والتوافيق هي : C = ,P ٢٠ . بين صحة هذه العلاقة جبريًا، ثم وضّح لماذا يختلف C و P بعامل مقداره ! . 18) مسألة مفتوحة صف وضعا يكون فيه الاحتمال يساوي . (19) برهان برهن أن C - 1 = C . (20) اكتب بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين التباديل والتوافيق . تدريب على اختبار 21) احتمال يقف رجلان وولدان في صف واحد. فما احتمال (23) احتمال ألقي مكعب مرقم 9 مرات متتالية، فظهر العدد أن يقف رجل عند كل طرف من طرفي الصف إذا اصطفوا بشكل عشوائي؟ 6 على الوجه العلوي 9 مرات. إذا ألقي المكعب نفسه للمرة العاشرة، فما الاحتمال النظري لظهور العدد 6 على الوجه العلوي؟ 1 A B C D C 6 A 24 1 B 12 (22) إجابة قصيرة: إذا اخترت تبديلًا للأحرف المبينة أدناه عشوائيا، فما احتمال أن تتكون كلمة "فسيفساء"؟ س ف ي س مراجعة تراكمية (24) تسوق لدى محل تجاري أنواع من المعاطف النسائية بالمقاسات 4 أو 6 أو 8 أو 10 وذات ألوان متعددة منها الأسود، الأخضر، الأزرق، الأحمر. كم معطفا مختلفًا يمكن اختياره ؟ (الدرس 1-7) مثل فضاء العينة في كل تجربة مما يأتي بالرسم الشجري : 25) إلقاء ثلاث قطع نقد متمايزة الواحدة تلو الأخرى (الدرس 1-7) (26) سحب كرتين معًا من صندوق يحتوي على 3 كرات حمراء، و 4 كرات بيضاء و 3 كرات سوداء (الدرس 1-7) A B C D E F -6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 أوجد قياس كل مما يأتي مستعملا خط الأعداد (مهارة سابقة) AE (28 BD (30 CF (32 الفصل 7 الاحتمالات DF (27 EF (29) AC (31 24