القاطع والمماس وقياسات الزوايا - رياضيات 1-3 - أول ثانوي

8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا www.ien.edu.sa Secant, Tangent, and Angle Measures الما داري اليسا سبق معدل مجال الرؤية عند الإنسان يساوي 180 تقريبا، ولكن درست إيجاد أطوال القطع زاوية الرؤية في معظم آلات التصوير أضيق من ذلك بكثير، المستقيمة المتكونة من فهي تتراوح بين 20 و 50، وتُحدّد زاوية الرؤية في آلات التصوير مقدار ما يمكن أن تلتقطه آلة التصوير على الفيلم من مماسات للدائرة. (الدرس 5-8) والآن أجد قياسات الزوايا المتكونة من مستقيمين يتقاطعان داخل الدائرة أو عليها. . أجد قياسات الزوايا المتكونة من الأجسام المنحنية. خطا النظر هما مماسان للجسم المنحنى التقاطع على الدائرة أو داخلها : القاطع هو مستقيم يقطع الدائرة مستقيمين يتقاطعان في نقطتين فقط، فالمستقيمان ), هما قاطعان للدائرة C. خارج الدائرة. الكلمشير دانت القاطع عندما يتقاطع قاطعان داخل دائرة؛ فإن الزوايا المتكونة ترتبط بالأقواس التي تقابلها. نظرية 8.12. secant 156 الفصل 8 الدائرة مطويتك التعبير اللفظي: إذا تقاطع قاطعان أو وتران داخل دائرة، فإن قياس الزاوية المتكونة من التقاطع يساوي نصف مجموع قياسي القوس المقابل لهذه الزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس. ( m1 = } (mAB + CD و ( m2 = 1 (mDA + MBC مثال: برهان المعطيات: المطلوب : AC BD قاطعان للدائرة ويتقاطعان داخلها في M. m1 = } (mAB + mCD ) البرهان : تعلم أن AC, BD قاطعان للدائرة، وأنهما يتقاطعان داخلها في M. B A 1 M C Dy ارسم القطعة المستقيمة BC؛ لتحصل على المثلث MBC وهذا سيقودنا إلى ما يلي: العبارات m1 = mZMBC + mZMCB (1) mZMBC=mDC, mZMCB = mBA (2 m1 = } mDC + { mBA (3 mz1 = {(mDC + ml) (4 المبررات (1) نظرية الزاوية الخارجية للمثلث (2) قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. (3) بالتعويض (4) خاصية التوزيع وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

النظرية 8.12 بالتعويض بالتبسيط النظرية 8.12 بالتعويض بالتبسيط إرشادات للدراسة طريقة بديلة : مثال 1 استعمال القاطعين أو الوترين المتقاطعين أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية: في المثال 1b، يمكنك إيجاد DEB بحساب مجموع قياسي AC, BD أولا. 130 mTVU =(m+mUT) T (a R. =(84+ 130°) V 84 x =(214) = 107° S U الخطوة 1: أوجد mLAEB. mZAEB= (mAB+ mDC) = (143*+75°) 143° = (218) = 109 B الخطوة 2 أوجد قيمة : أي قياس DEB . AEB, DEB زاویتان متكاملتان. x" = 180° -109" = 71° (mHG+mKJ) = mZGLH النظرية 8.12 بالتعويض بضرب كلا الطرفين في 2 بطرح 97 من كلا الطرفين 75° D MAC + mBD =360°-(mAB+mCD) = 360°-(143 +75°) = 142° mZDEB = = 1 (MAC + mBD ) = (142°) = 71° G (c 220° = 110 = (x² + 97°) (x² + 97°) 110° K H L 97° J 123" = x تحقق من فهمك أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية : 154 Y (IC (18) H (1A 47° M G 128 Z 75° W 55° L X P 116° تذكر النظرية 8.6 ، والتي تنصُّ على أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها، وتبقى هذه النظرية صحيحة إذا كان أحد ضلعي الزاوية مماشا للدائرة، وتسمى الزاوية في هذه الحالة الزاوية المماسية. نظرية 8.13 نظرية الزاوية المماسية أضف إلى مطويتك C التعبير اللفظي: إذا تقاطع مماس وقاطع عند نقطة التماس فإن قياس كل زاوية متكونة من التقاطع يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. 12 A m22 = = ACB و m1=mAB ستبرهن النظرية 8.13 في السؤال 27 الدرس - القاطع والمماس وقياسات الزواية الت157م Ministry of Education 2024-1446 مثال:

148 R P P S E 64 D مثال 2 استعمال القاطع والمماس المتقاطعين أوجد كلا من القياسات الآتية: النظرية 8.13 بالتعويض والتبسيط mZQPR (a mLQPR=mPR =(148) = 74° MDEF (b النظرية 8.13 بالتعويض بضرب كلا الطرفين في 2 mLCDF = = mFD 64° = 글 128" = mFD mDEF = 360° - mFD = 360° - 128 = 232 (28) إذا كان : 238 = m QTS، فأوجد mZRQS. R L اتحقق من فهمك 2) أوجد mJLK. 116 H J K إرشادات للدراسة القيمة المطلقة : يمكن التعبير عن قياس A في الحالات جميعها بنصف القيمة المطلقة للفرق بين قياسي القوسين، وهكذا لا يؤثر ترتيب القوسين في نتيجة الحسابات. التقاطع خارج الدائرة: يمكن أن يتقاطع قاطعان أو قاطع ومماس أو مماسان خارج الدائرة أيضًا، وهنا يرتبط قياس الزوايا المتكونة بقياسي القوسين المقابلين لها. نظرية 8.14 أضف إلى مطويتك التعبير اللفظي: إذا تقاطع قاطعان أو قاطع ومماس أو مماسان في نقطة خارج دائرة فإن قياس الزاوية المتكونة يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها. أمثلة: B وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 D B. قاطعان E mZA=(mDE - MBC) B A A- مماسان قاطع ومماس mZA=(mDC-mBC) mZA=(mBDC-mBC) ستبرهن النظرية 8.14 في الأسئلة 26-24 الفصل 8 الدائرة 158

56° B 95 102° K H L W 224° مثال 5 استعمال المماسات والقواطع التي تتقاطع خارج الدائرة أوجد كلا من القياسين الآتيين: النظرية 8.14 بالتعويض بالتبسيط النظرية 8.14 بالتعويض بضرب كلا الطرفين في 2 بإضافة 95 لكلا الطرفين 68° Y mXZ (3B Z mLL =(mHJK-mHK) mZL (a =(360°-102°)-102° ] =(258° - 102°) = 78° mCD (b mLA = (mCD-mBC) 56° = (mCD - 95°) 112 = mCD - 95 207° = mCD U 179% 71XT R S تحقق من فهمك mZS (3A يمكنك تطبيق خصائص القواطع المتقاطعة، لحل مسائل من واقع الحياة. مثال 1 من واقع الحياة تطبيق خصائص القواطع المتقاطعة خارج الدائرة علوم: يُبين الشكل أدناه انكسار شعاع ضوء في قطرة ماء، وانحرافه عن مساره عند النقاط A, B, C، إذا كان 128 = mAC و °84 = mXY ، فما قيمة mLD؟ الشعاع الساقط قطرة الماء نظرية 8.14 بالتعويض بالتبسيط الشعاع الخارج 25° W X الدرس - القاطع والمماس وقياسات الزواية ال159م Ministry of Education 2024-1446 110° D B mLD=(mAC-mXY) =(128° - 84°) -(44)-22" تحقق من فهمك 4) أوجد قيمة x في الشكل المجاور. الربط مع الحياة يتفاوت معامل الانكسار من وسط إلى آخر، ويُعبر عن معامل الانكسار N لوسط شفاف ما بالصيغة N = f، حيث C سرعة الضوء في الفراغ و V سرعة الضوء في ذلك الوسط.

قياس الزاوية أضف إلى مطويتك نصف قياس القوس المقابل وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 m1 = x نصف مجموع قياسي القوس المقابل للزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس. = نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها m21-(x-y") = نماذج ملخص المفهوم موقع رأس الزاوية على الدائرة الدائرة وعلاقات الزوايا 1 D O داخل الدائرة خارج الدائرة تأكد المثالان 1 أوجد كلًا من القياسات الآتية، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلًا. 146 mz2 (3 mTS (2 m21 (1 T 86° B C 126 108° 2 S B R L M- 36 78° N 165 mLP (6 D 134° MQTS (5 mZH (4 K H- 26° 88° S 106° 71° Z R (7) ألعاب بهلوانية : ثبت سطح مائل على البرميل الأول من مجموعة براميل ربطت مع بعضها؛ ليقدم عليها لاعب السيرك عروضه المثيرة على دراجة نارية. ما قياس الزاوية التي يصنعها السطح المائل مع الأرض؟ المثالان 34 الفصل 8 الدائرة 160

mk (10 L 194 mZJMK (9 H 79° K M L 77° K mGJF (13 G H 82 B D E mZDAB (12 B C تدرب وحل المسائل المثالان 12 أوجد كلا من القياسات الآتية: m3 (8 90° F E '3' D G 74" 72° D R 110° M mPM (11 14) رياضة : يُمثل الشكل المجاور ملعبا رياضيا متعدد الأغراض، إذا كان: "200 = mABC ، فأوجد كلا من القياسين الآتيين: mZACE (a mZADC (b المثالان 34 أوجد كلا من القياسات الآتية: mXY (16 mZA (15 D MSU (17 T 68° 103° 41° W S R V z 23° A B C 99° B A (18) مجوهرات يظهر في الشكل المجاور جزء من قلادة، A و B نقطتا تماس فيها، إذا كانت "260 = "x ، فأوجد قيمة "y؟ (19) تصوير استعد مصوّر لالتقاط صورة بآلة التصوير للعبة الدوّامة الدائرية بحيث كان خطأ النظر مماسين لها، كما في الشكل المجاور . a إذا كانت زاوية الرؤية لآلة التصوير تساوي 35، فما قياس قوس الدوّامة الذي سيظهر في الصورة؟ ) إذا أردت التقاط صورة لقوس قياسه "150، فما قياس زاوية الرؤية التي يجب استعمالها ؟ الدوامة زاوية الرؤية آلة تصوير الدرس - القاطع والمماس وقياسات الزواية الت161م Ministry of Education 2024-1446

94° 2r (22) (21 (9x-1) 45x=6) (4x+8) جبر أوجد قيمة x في كل مما يأتي: 35° (9x+26) (20 (23) فضاء : يدور قمر اصطناعي في مدار فوق خط الاستواء، أوجد قيمة "x ، وهي قياس القوس المرئي من الأرض بالنسبة للقمر الاصطناعي. 12° الربط مع الحياة أول رائد فضاء سعودي هو صاحب السمو الملكي الأمير سلطان بن سلمان برهان اكتب برهانا ذا عمودين لكلّ حالة من حالات النظرية 8.14 بن عبدالعزيز ال سعود على متن مكوك الفضاء (ديسكفري) رحلة رقم STS-51G في 29 من رمضان 1405هـ الموافق 17 يونيو 1985م. إرشاد ارسم وترا يصل نقطتي تقاطع القاطعان أو القاطع والمماس أو المماسان مع الدائرة). (24) حالة 1 المعطيات: AD و AE قاطعان للدائرة المطلوب: (mLA = { (mDE - MBC (25) حالة 2 المعطيات FM مماس للدائرة و FL قاطع لها المطلوب LH-GH) m2F= F S H M B. E 26 حالة 3 المعطيات: RS و RV مماسان للدائرة المطلوب (MR - (mSWT - ST = (27) برهان اكتب برهانا حرا للنظرية 8.13 a المعطيات: AB مماس لـ 00 ، AC قاطع بـ 00 المطلوب : إثبات أن mLCAB = m CA. (28) ) برهن نظرية 8.13 إذا كانت الزاوية في فرع (a) زاوية منفرجةً. W R A B تمثيلات متعددة في هذا السؤال ستستكشف العلاقة بين النظريتين 8.12.6، a) هندسيا : انقل الشكل المجاور إلى دفترك ثم ارسم ثلاثة أشكال متتالية بحيث يتحرك موقع D مقتربا من ، مع بقاء AB ثابتة في مواقعها. جدوليًا : قدّر قياس CD لكلِّ من الدوائر المتتالية، سجل قياسات AB و CD في جدول، ثم أوجد قيمة x لكل من هذه الدوائر. D B 50/ E A C 30° D لفظيا : صفِ العلاقة بين mAB وقيمة "x عندما يقترب mCD من الصفر. ما نوع AEB عندما يكون 0 = mCD ؟ d) تحليليا اكتب برهانًا جبريًا لإثبات ما توصلت إليه في الفقرة .. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 الدائرة 162

مسائل مهارات التفكير العليا (29) اكتب اشرح كيفية إيجاد قياس الزاوية المكوّنة من تقاطع القاطع والمماس خارج الدائرة. (30) تحد: إذا كانت الدائرتان أدناه متحدتين (31) تبرير: AABC متطابق الضلعين محاط بالدائرة D، في المركز، فما قيمة "x؟ ماذا تستنتج عن mAB و mBC؟ وضح إجابتك. B QA CR 79 118° 54 (32) مسألة مفتوحة: ارسم دائرةً ومماشين لها متقاطعين، واستعمل المنقلة لقياس الزاوية المتكونة، ثم أوجد قياس كل من القوسين الأكبر والأصغر المتكونين يزر إجابتك. (33) اكتب رسمت دائرة محاطة بالمثلث PQR . إذا كان 60 = mP = 50", mZQ ، فصف طريقة إيجاد قياس الأقواس الثلاثة الصغرى المتكونة من نقاط التماس B C E 95 D 120° (35) إذا كان : 120 = mZAED = 95", mAD، فأوجد mBAC؟ تدريب على اختبار (34) إذا كان: 108 P mNR 62, m NP = 108* فما قيمة x؟ M- 62° R 64° C 128° D 23° A 31° B مراجعة تراكمية أوجد قيمة تد في كلّ ممّا يأتي مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلا. (الدرس 5-8) (38 15 5 x2 + 5x = - 25 (42 M H الدرس - القاطع والمماس وقياسات الزواية ال163م Ministry of Education 2024-1446 A 2x + 1 (37 B 3x-7 x (36 3 5 (39) برهان اكتب برهانا ذا عمودين (الدرس (84) المعطيات: MHT نصف دائرة، RH I TM x2 - 6x = -9 (41) المطلوب : TR RH TH HM استعد للدرس اللاحق حُلّ كلًا من المعادلات الآتية: x2 + 13x = -36 (40)