الزوايا المحيطية - رياضيات 1-3 - أول ثانوي

8-4 الزوايا المحيطية Inscribed Angles فيما سبق المادية يعلو مدخل قاعة احتفالات قوس على شكل نصف دائرة زين درست إيجاد قياس الزوايا هذا المدخل بأشرطة ملونة، بحيث ثبت أحد طرفي كل شريط الداخلية للمضلعات (مهارة سابقة) وا الان . أجد قياسات الزوايا المحيطية. . أجد قياسات زوايا المضلعات المحاطة بدائرة. المشير دارت الزاوية المحيطية inscribed angle القوس المقابل intercepted arc عند النقطة A والطرف الآخر عند النقطة B . ثم رفعت الأشرطة، وتم تثبيت كل منها عند نقطة مختلفة على القوس مثل P ، كما في الشكل المجاور. لاحظ أن الزوايا المتكونة من هذه الأشرطة تبدو متطابقة، بغض النظر عن موقع النقطة P . B الزوايا المحيطية الزاوية المحيطية هي زاوية يقع رأسها على الدائرة، ويحتوي ضلعاها على وترين في الدائرة. فالزاوية QRS هي زاوية محيطية في OC القوس المقابل للزاوية المحيطية هو قوس يقع داخل الزاوية المحيطية، ويقع طرفاه على ضلعيها. القوس الأصغر QS في OC هو القوس المقابل للزاوية QRS . توجد ثلاث حالات للزاوية المحيطية في الدائرة. الحالة الأولى S رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa الحالة الثانية الحالة الثالثة .C يقع مركز الدائرة P على أحد يقع مركز الدائرة P داخل ضلعي الزاوية المحيطية الزاوية المحيطية. يقع مركز الدائرة P خارج الزاوية المحيطية في الحالة الأولى يكون أحد ضلعي الزاوية المحيطية قطرًا للدائرة والنظرية الآتية صحيحة لهذه الحالات الثلاث جميعها. نظرية 8.6 نظرية الزاوية المحيطية التعبير اللفظي: قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس أضف إلى مطويتك مثال: المقابل لها. m1 = mAB, mAB = 2m 21 B A ستبرهن النظرية 8.6 للحالتين الثانية والثالثة للزاوية المحيطية في السؤالين 28 على الترتيب R الدرس - الزوايا المحيطية الت141م Ministry of Education 2024-1446

142 الفصل 8 الدائرة برهان نظرية الزاوية المحيطية (الحالة الأولى) المعطيات: B محيطية في OP المطلوب : mLB = mAC C B البرهان : تعلم أن B محيطية في OP، وأن PB نصف قطر في OP ارسم نصف قطر آخر PC حيث إن كل نقطتين تحددان مستقيما واحدا، وهذا سيقودنا إلى: PB PC (1 العبارات (2) APBC متطابق الضلعين mZB=mZC (3 mZAPC=mZB+mZC (4 mZAPC=2mZB (5 mAC= =mZAPC (6 mAC 2mZB (7) 2mZB= MAC (8 MLB=MMC (9 المبررات (1) أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة. (2) تعريف المثلث المتطابق الضلعين (3) نظرية المثلث المتطابق الضلعين (4) نظرية الزاوية الخارجية A بالتعويض (من الخطوة 3 في الخطوة 4 ثم الجمع) (6) تعريف قياس القوس (7) بالتعويض (من الخطوة 5 في الخطوة (6) 8) خاصية التماثل للمساواة 9) خاصية القسمة للمساواة مثال 1 استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات أوجد القياسين الآتيين مستعملا الشكل المجاور: mPO (b mZP (a mPO=2mZN mZP = m MN =2(56°) = 112° =(70°) = 35° تحقق من فهمك أوجد القياسات الآتية مستعملا الشكل المجاور mCF (1A D 98° 40 E mZC (1B F هناك علاقة بين الزاويتين المحيطيتين اللتين تقابلان القوس نفسه في دائرة. نظرية 8.7 التعبير اللفظي: إذا قابلت زاويتان محيطيتان في دائرة القوس نفسه أو قوسين متطابقين، فإن الزاويتين تكونان متطابقتين. مثال: B تقابلان AD ، إذن B C . ستبرهن النظرية 8.7 في السؤال 30 M 70° N 56° أضف إلى مطويتك D B A وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

إرشادات للدراسة جبر مثال 2 استعمال الزوايا المحيطية لإيجاد قياسات أوجد mLT مستعملا الشكل المجاور. LTELU mLT = mZU 3x - 5 = 2x + 15 x = 20 2 ,20 كلاهما تقابلان S7 تعريف تطابق الزوايا بالتعويض بالتبسيط = .mZT (3(20) - 5)° = 55°:33! تحقق من فهمك U (2x+15) (2) إذا كان : 16 + mS = (3x), mV = x ، فأوجد mS مستعملا الشكل أعلاه. مثال 3 استعمال الزوايا المحيطية في البراهين اكتب برهانا ذا عمودين. المعطيات: IM = KL المطلوب : AJMN = AKLN البرهان العبارات JM = KL (1 JM = KL (2 1) معطيات المبررات 2 إذا كانت الأقواس متطابقة؛ فإن الأوتار المقابلة لها CM (B تقابل IR تكون متطابقة أيضًا. (3) تعريف القوس المقابل L تقابل IR ZM = ZL (4 LINM = LKNL (5) AJMN = AKLN (6) 4) الزوايا المحيطية التي تقابل القوس نفسه تكون متطابقة. 5) الزوايا المتقابلة بالرأس تكون متطابقة. AAS (6 M S K (3x-5) المضلعات المحاطة بدائرة : يكون المضلع محاطا بدائرة إذا وقعت رؤوسه جميعها على الدائرة نفسها. تحقق من فهمك 3) اكتب برهانا ذا عمودين: المعطيات: QR = ST, PQ = PT المطلوب: APQR = APTS R S T زوايا المضلعات المحاطة بدائرة للمثلثات والأشكال الرباعية المحاطة بدائرة خصائص خاصة. النظرية 8.8 التعبير اللفظي: تقابل الزاوية المحيطية في مثلث قطرًا أو نصف دائرة مثال: إذا وفقط إذا كانت هذه الزاوية قائمة. إذا كانت FH نصف دائرة، فإن 90 = mLG . نصف دائرة 4 أضف إلى مطويتك H F إذا كان 90 = LG ، فإن FJH هي : ويكون FH قطرًا فيها. ستبرهن النظرية 8.8 في السؤال 31 الدرس - الزوايا المحيطية ال143م Ministry of Education 2024-1446

مثال 4 إيجاد قياسات زوايا المثلث المحاط بدائرة جبر أوجد mF مستعملا الشكل المجاور. AFGH قائم الزاوية؛ لأن LG محيطية تقابل نصف دائرة. mZF + mLG + mZH = 180° نظرية مجموع زوايا المثلث 180° = " (3 - 4x2° + 90° + (9x) بالتعويض (13x)+89 180° 13x = 91 x=7 = .m/F (4(7) + 2) = 30°:35! تحقق من فهمك بالتبسيط بطرح 89 من كلا الطرفين بقسمة كلا الطرفين على 13 G (9x-3)* H F (4x+2)" 4) إذا كان 8 - 17 = F = (7) + 2 H ، فأوجد قيمة x مستعملا الشكل أعلاه. يمكنك إحاطة مختلف أنواع المثلثات، بما فيها المثلث القائم الزاوية بدائرة إلا أن أنواعا معينة فقط من الأشكال إرشادات للدراسة الأشكال الرباعية : يمكن إثبات نظرية 8.9 بإثبات أن القوسين المقابلين لكل زاويتين متقابلتين في الشكل الرباعية يمكنك إحاطتها بدائرة. نظرية 8.9 التعبير اللفظي: إذا كان الشكل الرباعي محاطا بدائرة، فإن كل مثال: الرباعي المحاط بدائرة يكونان دائرة كاملة. زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان إذا كان الشكل الرباعي KLMN محاطا بـ OA فإن تكاملتان و متكاملتان أيضًا. 144 الفصل 8 الدائرة سوف تبرهن النظرية 8.9 في السؤال 27 مثال 5 من واقع الحياة إيجاد قياسات الزوايا أضف إلى مطويتك M L K N (2x-30)" مجوهرات يحتوي العقد الظاهر في الشكل على جوهرة بصورة مضلع رباعي محاط بدائرة، أوجد A, B . بما أن ABCD شكل رباعي محاط بدائرة، فإن كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان. mZA + mLC = 180° mZB + mZD = 180° C D كل زاويتين متقابلتين في الرباعي الدائري متكاملتين (3x) 30° 180° mZA + 90° = 180 mZA = 90° 3 x = 210 x = 70 180° = 2x - 30° + x) بالتعويض بالتبسيط بإضافة 30 لكلا الطرفين إذن: 110 = 30 - (70)2) = mLA = 90°, m2B . تحقق من فهمك (5) المضلع WXYZ شكل رباعي محاط بـ OV ، أوجد mx, mY. بقسمة كلا الطرفين على 3 60° 95° W X وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

R A 58° N X 57° W T S mWX (3 (x +24) R mRT (2) أوجد كل قياس مما يأتي: المثال 1 mZB (1 A R T 60° B C S 63° (4) علوم يُبين الشكل المجاور انكسار أشعة الضوء في قطرة مطر لإنتاج ألوان الطيف، فإذا كان 144 = mST ، فأوجد mZR؟ جبر أوجد كلا من القياسين الأنيين: المثال 2 mZB (6 B C -3x A D mZC, mZD (10 B (3y+4) 2x C (2y+16) D M mZH (5 H G (2x-54)° Κ تأكد (7) برهان اكتب برهانا ذا عمودين. المثال 3 المثالان 45 جبر المعطيات: RT تنصرف SU المطلوب : ARVS = AUVT أوجد قيمة كل مما يأتي: (2x-5) N x (9 mZP (13 mZK (12 120° P 100° الدرس - الزوايا المحيطية ال145م Ministry of Education 2024-1446 P (3x+1)° Q R mZR (8 (1 - 7x)۔ تدرب وحل المسائل أوجد كل قياس مما يأتي: المثال 1 L D 92° MDH (11 H 81°

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 A 5x جبر أوجد كل قياس مما يأتي: المثال 2 B (7x-8) mZA 16 (5x+4) mR (14 R. S (5y-3) mLC (17 mZS (15 C 32° T (6x-2) D (4y+7) R S UA 3.x (5x – 12) 18 برهان اكتب برهانا ذا عمودين. المثال 3 المعطيات: mZT = m/s m TUR= المطلوب: 2m US = جبر: أوجد قيمة كل مما يأتي: المثال 4 x (20 S x (19 E mZC (22 2x mZT (21 R T جبر أوجد كل قياس مما يأتي: المثال 5 (3y+9) mZH (24 R mZT (23 K 4x" (x + 21) mZG (26 T m2Z (25) 45° 2x" wh H (2x + 30)" (4y-11) G (27) برهان اكتب برهانا حرا للنظرية 8.9 . برهان برهن النظرية 8.6 لحالتي الزاوية المحيطية في الدائرة فيما يأتي: (28) الحالة الثانية : المعطيات يقع المركز P داخل ABC . BD قطر للدائرة. المطلوب : mLABC = = mAC (29) الحالة الثالثة: المعطيات يقع المركز P خارج ABC . BD قطر للدائرة. المطلوب : mLABC = mAC A D C B A D برهان : اكتب برهانا من النوع المحدد لكل من النظريتين الآتيتين: (30) النظرية 8.7 ، برهانا ذا عمودين. (31) النظرية 8.8 ، برهانا حرا. الفصل 8 الدائرة 146

(32) تمثيلات متعددة في هذا السؤال ستستقصي العلاقة بين القوسين المحصورين بين وترين متوازيين في الدائرة. a) هندسيا : ارسم دائرة تحوي وترين متوازيين هما ABCD مستعملا الفرجار، ثم صل A,D برسم AD. 6 عدديا : أوجد AMD مستعملا المنقلة، ثم حدد mABD، ما العلاقة بين هذين القوسين؟ فسّر إجابتك. لفظيا : ارسم دائرةً أخرى وكرّر الخطوتين ، ثم ضع تخمينا حول القوسين المحصورين بين وترين متوازيين في الدائرة. مسائل مهارات التفكير العليا البرير، حدد ما إذا كان يمكن إحاطة كل من الأشكال الرباعية الآنية بدائرة دائما أو أحيانًا أو لا يمكن أبدا. برر إجابتك. (33) المربع (34) المستطيل (35) المعين (36) شكل الطائرة الورقية (37) تحد، إذا كان مربع ما محاطا بدائرة، فما نسبة مساحة الدائرة إلى مساحة المربع؟ 38) اكتب إذا كان مثلث قائم زواياه "90*45*45 محاطا بدائرة، وأُعطيت نصف قطر الدائرة، فاشرح طريقة لإيجاد طولي ساقي هذا المثلث. I (39) مسألة مفتوحة أوجد شعارًا من واقع الحياة يحوي مضلعا محاطا بدائرة، وارسمه. 40) اكتب بين أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين الزاوية المركزية والزاوية المحيطية في الدائرة، وإذا كانت هاتان الزاويتان تقابلان القوس نفسه، فما العلاقة بينهما ؟ A B K G F M H N P (42) إجابة قصيرة AB قطر في الدائرة المجاورة، وAC يساوي in 8 ، و BC يساوي 15in، أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها ومحيطها. تدريب على اختبار A B C (41) إذا كان: 160 = mAC 38 = BEC ، فأوجد قيمة mLAEB مستعملا الدائرة المجاورة 840 D 80° C 61° B 42° A مراجعة تراكمية إذا كان: "65 = F = inHJ = 48in , HP فأوجد كل قياس مما يأتي مستعملاً OM : (الدرس (3-8) == mp (44 mH] (46 FG (43) NJ (45 استعد للدرس اللاحق جبر: افترض أن B نقطة منتصف AC، استعمل المعلومات المعطاة في كل مما يأتي لإيجاد القياسات المجهولة: AB=10s +2, AC = 49+ 5s, BC= ? (48 الدرس - الزوايا المحيطية ال147م Ministry of Education 2024-1446 AB = 4x - 5, BC = 11 + 2x, AC = ? (47)

اختبار منتصف الفصل 10) في B ، إذا كان CE = 13.5 cm ، فأوجد BD مقربا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. 8 B الدروس 1-8 إلى 4-8 الفصل 8 أجب عن الأسئلة 3-1، مستعينا بالدائرة أدناه. (الدرس 1-8) C 1) سم الدائرة. (2) سم قطرا. 3 سم وترا لا يكون قطرا. E (4) دراجة هوائية: قطر إطار دراجة هوائية يساوي 24in الدرس (81) a) أوجد محيط إطار الدراجة. ما المسافة بالبوصات التي تقطعها الدراجة عندما يدور إطارها 100 دورة؟ أوجد قطر ونصف قطر الدائرة التعلى محيطها في كل من السؤالين الآتيين مقربا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة (الدرس 1-8 C= 23 cm (5 C=78 ft (6 7) اختيار من متعدد: أوجد طول BC في الشكل أدناه مقربًا إلى أقرب جزء من مئة (الدرس (82) 21 cm B D 168 C B E D F (11) إذا كانت الدائرتان أدناه متطابقتين، فأوجد قيمة x وطول الوتر. (الدرس (3-8) 2x+9 284 3x-7 76° أوجد القياس المطلوب في كلّ من السؤالين الآتيين: (الدرس 4-8) mTU (12 في الدائرة أدناه: mZA (13 في الدائرة أدناه: C 170 23 30.79 cm C 61.58 cm D 2.20 cm 4.40 cm B A (8) أفلام قطر بكرة الفيلم الظاهرة في الشكل أدناه 14.5in (الدرس (82) B U B 14) اختيار من متعدد أوجد قيمة x في الشكل أدناه: (الدرس 4-8) (8x + 6) H G 5 C 90 D (10x-4) 1.8 A 46 B (15) رسم مربع طول ضلعه 14cm، بحيث تقع رؤوسه على دائرة، فما وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 قطر هذه الدائرة؟ 110 110 A 240° D C a) أوجد mADC . (6) أوجد طول ADC . (9) أوجد قيمة x في الشكل المجاور. (الدرس (3-8) الفصل 8 الدائرة 148