المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة - رياضيات 1-3 - أول ثانوي

المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة Parallel Lines and Proportional Parts 6-3 فيما سبق المادية يستعمل رسامو الصور المتحركة طرائق عدة؛ لإضفاء خداع بصري درست استعمال التناسب على أعمالهم. كما يستعملون في الرسومات الثلاثية الأبعاد حقيقة كون الأجسام البعيدة تبدو أصغر من الأجسام القريبة إلى المشاهد. ولتحقيق لحل مسائل تتضمن مثلثات متشابهة. ( الدرس 2-6 ) هذا الخداع، يستعمل الرسامون نظرية التناسب في المثلث. وانان www.ien.edu.sa . أستعمل الأجزاء المتناسبة في المثلث. - أستعمل الأجزاء المتناسبة في الأجزاء المتناسبة في المثلث: عند رسم مستقيم يوازي أحد أضلاع مثلث، فإنه يمكن إثبات أن المثلثين المستقيمات المتوازية الناتجين متشابهان، وذلك باستعمال مسلمة التشابه ،AA، وبما أن المثلثين متشابهان، فإنّ أطوال أضلاعهما متناسبة. المفردات القطعة المنصفة في المثلث midsegment of a triangle نظرية 6.5 نظرية التناسب في المثلث إذا وازى مستقيم ضلعا من أضلاع مثلث وقطع ضلعيه الآخرين، فإنه يقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة. AE مثال: إذا كان BE || CD ، فإن A - ED AB BC B_C E D أضف إلى مطويتك A ستبرهن النظرية 6.5 في السؤال 21 إرشادات للدراسة التوازي : إذا كان المستقيمان ABCD متوازيين، فإن القطعتين المستقيمتين ABCD متوازیتان لأنهما جزء من المستقيمين AB,CD على الترتيب. أي أنه إذا كان ABCD فإن AB|| CD مثال 1 إيجاد طول ضلع في PQR ، إذا كان : 2.5 = ST || RQ, PT = 7.5, TQ = 3, SR ، فأوجد PS . استعمل نظرية التناسب في المثلث. PS PT = SR TQ PS = 7.5 3 2.5 PS 3 (2.5)(7.5) 3PS = 18.75 PS = 6.25 نظرية التناسب في المثلث بالتعويض خاصية الضرب التبادلي بالضرب بقسمة كلا الطرفين على 3 30 الفصل 6 التشابه تحقق من فهمك (1) في الشكل أعلاه، إذا كان : 515 = PS = 12.5 = 5, PT ، فأوجد TQ . T S R وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

وعكس النظرية 6.5 صحيح أيضًا، ويمكن إثباته باستعمال الأجزاء المتناسبة في المثلث ونظرية التشابه SAS . نظرية 6.6 عكس نظرية التناسب في المثلث إذا قطع مستقيم ضلعين في مثلث وقسمهما إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة، فإن المستقيم يوازي الضلع الثالث للمثلث. أضف إلى مطويتك A E مثال إذا كان AE CD EB DB ، فإن ED || AC . ستبرهن النظرية 6.6 في السؤال 22 B C D مثال 2 تحديد ما إذا كان المستقيمان متوازيين في DEF إذا كان : 9 = DG = 1 GF EH = 33, HF ، فهل DE || GH ؟ وضح إجابتك. EH DG = HF GF يتعين عليك إثبات أن : في المثلث. وبما أن DG = GF DG EH DG EH GF HF ، وذلك باستعمال عكس نظرية التناسب معطى بقسمة كلا الطرفين على GF بالتعويض 3 = HF = 9 ، EH بالتبسيط E D H إرشادات للدراسة بحسب عكس نظرية التناسب في المثلث، تكون GH || DE تحقق من فهمك 2) في الشكل أعلاه، إذا كان: 210 = DG = } GF, EH = 6, HF ، فهل DE || GH ؟ مثلث القطع المنصفة القطعة المنصفة في المثلث هي قطعة مستقيمة طرفاها نقطتا منتصف ضلعين في المثلث. القطع المنصفة الثلاث وفي كل مثلث ثلاث قطع منصفة. فالقطع المنصفة في ABC هي RP, PRO في المثلث تشكل مثلثاً P يُسمى مثلث القطع المنصفة. ونظرية القطعة المنصفة في المثلث هي حالة خاصة من عكس نظرية التناسب في المثلث. B F A R نظرية 6.7 نظرية القطعة المنصفة في المثلث القطعة المنصفة في المثلث توازي أحد أضلاعه، وطولها يساوي نصف طول ذلك الضلع. مثال: إذا كانت K, نقطتي منتصف FHHG على الترتيب، فإن : JK || FG, JK = 1 FG . أضف إلى مطويتك F ستبرهن النظرية 6.7 في السؤال 23 H الدرس 3-6 المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة 31 C Ministry of Education 2024-1446

X 124° 7 Y T 13 15 F C 9.2 E D 82° m T S a B إرشادات للدراسة القطعة المنصفة : نظرية القطعة المنضفة في المثلث تشبه نظرية القطعة المنصفة في شبه المنحرف والتي تنص على أن القطعة المنصفة في شبه المنحرف توازي القاعدتين، وطولها يساوي نصف مجموع طولي القاعدتين. مثال 3 استعمال نظرية القطعة المنصفة في المثلث في ARST ، إذا كانت XY , XZ قطعتين منصفتين، فأوجد كل قياس مما يأتي: XZ (a XZ-RT = XZ = } (13) XZ = 6.5 ST (b XY=ST نظرية القطعة المنصفة في المثلث بالتعويض بالتبسيط نظرية القطعة المنصفة في المثلث A بالتعويض بضرب كلا الطرفين في 2 7 = ST E B F 14 = ST D mZRYX (c EF || AB || DC XZ قطعة منصفة في ARST ، إذن XZ || RT . EF = { (AB + DC) نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليا ZRYX = ZYXZ mZRYX = mZYXZ تعريف تطابق الزوايا 124 = mRYX بالتعويض اتحقق من فهمك أوجد كل قياس مما يأتي معتمدًا على الشكل المجاور: DE (3A DB (38) mZFED (3C الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية هناك حالة خاصة أخرى لنظرية التناسب في المثلث تتضمن ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، يقطعها قاطعان. لاحظ أنه إذا مدَّ القاطعان 46، فإنهما يصنعان ثلاثة مثلثات لها ثلاثة أضلاع متوازية. إرشادات للدراسة تناسبات أخرى: في النتيجة 6.1 ، يمكن كتابة تناسبين آخرين للمثال: AB BC AC EG = = EF FG BC FG نتيجة 6.1 الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية إذا قطع قاطعان ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، فإن أطوال أجزاء القاطعين تكون متناسبة. مثال إذا كان : AE || BF || CG، وكان AC, EG قاطعان لها فإن AB EF BC FG ضف مطويتك E B F G وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 ستبرهن النتيجة 6.1 في السؤال 19 الفصل 6 التشابه 32

الربط مع الحياة يستعمل الرسامون إيحاءات إدراكية متنوعة تجعل الرسم الثنائي الأبعاد يبدو ثلاثي الأبعاد منها : . الحجم: تبدو الأشياء البعيدة أصغر حجمًا. . الوضوح: تبدو الأجسام القريبة أكثر وضوحًا. . التفاصيل: تتضمن مثال و من واقع الحياة استعمال القطع المتناسبة من قاطعين رسم ترسم مريم ممرا في منظور ذي نقطة تلاش واحدة، فاستعملت مريم الخطوط الإرشادية المبينة؛ لرسم نافذتين على الجدار الأيسر. إذا كانت القطع المستقيمة : AD, B, W,XY متوازية، وكان AB = 8 cm, DC = 9 cm, ZY = 5 cm ، فأوجد WX . بما أن AD || BC || WZ || XY ، إذن = AB = WX DC ZY 8 WX 9 = 5 WX-9 8.5 9WX = 40 40 WX = 4.4 cm 9 AB = . وفق النتيجة 6.1. النتيجة 6.1 بالتعويض خاصية الضرب التبادلي بالتبسيط بقسمة كلا الطرفين على 9 نقطة تلاشي الأجسام القريبة تفاصيل دقيقة، في حين تتضمن الأجسام البعيدة معالم تحقق نسبة DC إلى ZY هي 9 إلى 5 ، وهي تقريبا 10 إلى 5 أو 2 إلى 1 وكذلك نسبة AB إلى WX هي 8 إلى 4.4 وهي تقريبا 8 إلى 4 أو 2 إلى 1؛ عامة. إذن الإجابة معقولة. / اتحقق من فهمك (4) عقارات واجهة قطعة الأرض هي طول حدها المحاذي لمعلم ما مثل شارع أو بحر أو نهر، أوجد طول الواجهة البحرية للقطعة A إلى أقرب عشر المتر. AB WX البحر القطعة A القطعة B 60 m إذا كانت النسبة بين أطوال أجزاء القاطعين تساوي 1 فإن المستقيمات المتوازية تقطع أجزاء متطابقة من القاطعين. نتيجة 6.2 الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية إذا قطع قاطع ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، وكانت أجزاؤه متطابقة، فإن مطويتك أجزاء أي قاطع آخر لها تكون متطابقة. مثال: إذا كان AE || BF || CG ، وكان AC,E قاطعين لها بحيث AB = BC فإن EF = FG . ستبرهن النتيجة 6.2 في السؤال 20 E B F C G الدرس - المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة 33 Ministry of Education 2024-1446

الربط مع الحياة يستعمل الرسامون إيحاءات إدراكية متنوعة تجعل الرسم الثنائي الأبعاد يبدو ثلاثي الأبعاد منها : . الحجم: تبدو الأشياء البعيدة أصغر حجمًا. . الوضوح: تبدو الأجسام القريبة أكثر وضوحًا. . التفاصيل: تتضمن مثال و من واقع الحياة استعمال القطع المتناسبة من قاطعين رسم ترسم مريم ممرا في منظور ذي نقطة تلاش واحدة، فاستعملت مريم الخطوط الإرشادية المبينة؛ لرسم نافذتين على الجدار الأيسر. إذا كانت القطع المستقيمة : AD, B, W,XY متوازية، وكان AB = 8 cm, DC = 9 cm, ZY = 5 cm ، فأوجد WX . بما أن AD || BC || WZ || XY ، إذن = AB = WX DC ZY 8 WX 9 = 5 WX-9 8.5 9WX = 40 40 WX = 4.4 cm 9 AB = . وفق النتيجة 6.1. النتيجة 6.1 بالتعويض خاصية الضرب التبادلي بالتبسيط بقسمة كلا الطرفين على 9 نقطة تلاشي الأجسام القريبة تفاصيل دقيقة، في حين تتضمن الأجسام البعيدة معالم تحقق نسبة DC إلى ZY هي 9 إلى 5 ، وهي تقريبا 10 إلى 5 أو 2 إلى 1 وكذلك نسبة AB إلى WX هي 8 إلى 4.4 وهي تقريبا 8 إلى 4 أو 2 إلى 1؛ عامة. إذن الإجابة معقولة. / اتحقق من فهمك (4) عقارات واجهة قطعة الأرض هي طول حدها المحاذي لمعلم ما مثل شارع أو بحر أو نهر، أوجد طول الواجهة البحرية للقطعة A إلى أقرب عشر المتر. AB WX البحر القطعة A القطعة B 60 m إذا كانت النسبة بين أطوال أجزاء القاطعين تساوي 1 فإن المستقيمات المتوازية تقطع أجزاء متطابقة من القاطعين. نتيجة 6.2 الأجزاء المتناسبة من قاطعين لمستقيمات متوازية إذا قطع قاطع ثلاثة مستقيمات متوازية أو أكثر، وكانت أجزاؤه متطابقة، فإن مطويتك أجزاء أي قاطع آخر لها تكون متطابقة. مثال: إذا كان AE || BF || CG ، وكان AC,E قاطعين لها بحيث AB = BC فإن EF = FG . ستبرهن النتيجة 6.2 في السؤال 20 E B F C G الدرس - المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة 33 Ministry of Education 2024-1446

M A N المثال 1 في AXYZ ، إذا كان YZ || MN ، فأجب عن السؤالين الآتيين: (1) إذا كان 19 = 2 ,16 = XM = 4, XN ، فأوجد XY (2) إذا كان 10 = XN = 6, XM = 2, XY ، فأوجد NZ. المثال 2 في ABC ، إذا كان : 16 = B = 1 BE . (4) في AJKL ، إذا كان : 5 = JK = 15, JM ، 9 = LK = 13, PK ، فهل JL || MP 8 = DC = 12,AD ، فهل DE || AB برر إجابتك. برر إجابتك. 1162 m الشارع 3 الشارع 5 L M P L K A D B E C المثال 3 إذا كانت H قطعة منصفة في KLM ، فأوجد قيمة x في السؤالين الآتيين: 5 K H M شارع الاتحاد شارع أبو عبيدة -4056m C B A ED المركز التجاري (6) L x H K 22- M (5) المثال 4 (7) خرائط الشارعان 3 في الخريطة المجاورة متوازيان. إذا كانت المسافة بين الشارع 3 والمركز التجاري على امتداد شارع أبو عبيدة 3201m ، فأوجد المسافة بين الشارع 5 والمركز التجاري على امتداد شارع الاتحاد مقربا إجابتك إلى أقرب عُشر من المتر. المثال 5 جبر أوجد قيمتي x, y في كل من السؤالين الآتيين: 12-3y- x+6 16-5y- 2x-29 3y. (8 20-3x y+20 2x-5 تأكد تدرب وحل المسائل المثال 1 في AACD ، إذا كان CD || B، فأجب عن السؤالين الآتيين: (10) إذا كان , , = AB ، فأوجد ED . (11) إذا كان 5 = AB = 12, 2016, E ، فأوجد AE. = الدرس - المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة 35 Ministry of Education 2024-1446

W Y Z V X حدد ما إذا كان VY || ZW أم لا، وبرّر إجابتك في كل من السؤالين الآتيين: المثال 2 ZX = 18, ZV = 6, WX = 24, YX = 16 (12 WX=31, YX = 21, ZX = 4ZV (13 في KLM ، إذا كانت H, IP PH قطعا منصفة، فأوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين: K x L (15 K المثال 3 (14 P x 44° 76° M H L M 2.7 P مدخل حديقة عامة 16) خرائط المسافة من مدخل الحديقة إلى طريق المشاة على المثال 4 امتداد الطريق المرصوف 880m. إذا كان طريق المشاة يوازي الطريق الترابي، فأوجد المسافة من مدخل الحديقة إلى طريق المشاة على امتداد منطقة الأشجار. مثلثية الشكل 1760 m منطقة أشجار طريق مشاة طريق ترابي جبر أوجد قيمة كل من x, y في السؤالين الآتيين: المثال 5 x+2\ +8 (18 - 20 – 5x 2x + 6 + (17 -y 1 + 2 برهان اكتب برهانا حرا لكل مما يأتي: (19) النتيجة 6.1 20 النتيجة 6.2 برهان اكتب برهانا ذا عمودين للنظريتين الآتيتين: (22) النظرية 6.6 استعمل AQRS للإجابة عن السؤالين الآتيين (23) النظرية 6.7 (24) إذا كان : 16 = ST = 8, TR = 4, PT ، فأوجد QR . (25) إذا كان 12 = SP = 4, PT = 16, QR ، فأوجد SQ . (26) إذا كان 1 + 1 = CE = t- 2, EB 21) النظرية 6.5 S T R LK 4, MP3, PQ=6, KJ 2:35 13) (27 2 = RS = 6, LP ، فأوجد قيمة كل من 10 = CD = 2, CA ، فأوجد قيمة كل من وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 ML, QR, QK, JH A H K L B D E S R Q P M C . t, CE الفصل 6 التشابه 36

(28) تاريخ الرياضيات في القرن السادس عشر الميلادي، ابتكر جاليلو الفرجار لاستعماله في القياس كما في الشكل المجاور. ولرسم قطعة مستقيمة طولها يساوي خمسي طول قطعة معلومة. اجعل نهايتي ساقي الفرجار عند طرفَي القطعة المعلومة، ثم ارسم قطعة مستقيمة بين علامتي 40 على ساقي الفرجار بين أن طول DE يساوي خمسي طول BC. أوجد قيمة x ، بحيث يكون BC || DF . 40 20 40 40 A LOG B 80 60 B D A E C 100 BO 100 1100 تاريخ الرياضيات جاليلو جاليلي (1564م إلى 1642م) ولد جاليلو جاليلي في إيطاليا، ودرس الفلسفة AB = x + 5, BD = 12, AC = 3x + 1, CF = 15 29 AC 15, BD=3x-2, CF=3x+2, AB = 12 (30 F إنشاءات هندسية : أنشئ كل قطعة مستقيمة فيما يأتي وفق التعليمات التالية: والفلك والرياضيات، وله إسهامات جوهرية في كل 31 قطعة مستقيمة مقسمة إلى خمس قطع متطابقة. منها. إرشادات للدراسة إنشاءات هندسية : تذكر أن الفرجار والمسطرة غير المدرجة هما الأداتان الوحيدتان المستعملتان في الإنشاءات الهندسية. 32) قطعة مستقيمة مقسمة إلى قطعتين النسبة بين طوليهما 1 إلى 3. 33) قطعة مستقيمة طولها 11cm، ومقسمة إلى أربع قطع متطابقة. 34) تمثيلات متعددة في هذه المسألة ستستكشف تناسبات مرتبطة بمنصفات زوايا المثلث. هندسيا : ارسم ثلاثة مثلثات الأول حاد الزوايا، وسمه ABC وارسم BD منصفا B . والثاني منفرج الزاوية وسمه MNP ، وارسم NQ منصفا لـ N ، والثالث قائم الزاوية وسمه WXY ، وارسم X منصفا لـ X. (6) جدوليًا أكمل الجدول المجاور بالقيم المناسبة. لفظيا اكتب تخميناً حول القطعتين المستقيمتين اللتين ينقسم إليهما ضلع مثلث عند رسم منصف للزاوية المقابلة لذلك الضلع. مسائل مهارات التفكير العليا النسبة AD الطول المثلث AD CD CD ABC AB AB CB CB MQ MQ PQ PQ MNP MN MN PN PN WZ WZ YZ YZ WXY WX WX YX YX (35) اكتشف الخطأ: يجد كل من أسامة وسلطان قيمة x في AJHL، يقول أسامة: إن MP يساوي نصف ؛ إذن x تساوي 4.5 ويقول سلطان: إن JL يساوي نصف MP ؛ إذن x تساوي 18. فهل إجابة أي منهما صحيحة؟ وضح إجابتك. (36) تبرير في ABC ، إذا كان : AF = FB, AH = HC ، DA = 3 AB, EA = AC فهل DE = { BC دائمًا أو أحيانًا أو لا يساويه ايد؟ H x P * L A 9 M D F H D E B الدرس 3- المستقيمات المتوازية والأجزاء المتناسبة 37 Ministry of Education 2024-1446

B C D E (37) تحد اكتب برهانا ذا عمودين. المعطيات AB = 4, BC = C = DE المطلوب إثبات أن BD || AE تدريب على اختبار (40) إجابة قصيرة ما قيمة x؟ (38) مسألة مفتوحة: ارسم ثلاث قطع مستقيمة أطوالها مختلفة ، ثم ارسم قطعة رابعة طولها d، بحيث يكون = - b (39) اكتب قارن بين نظرية التناسب في المثلث ونظرية القطعة المنصفة في المثلث. (41) في AABC ، إذا كانت DE قطعة منصفة، فأي العبارات التالية غير صحيحة ؟ DE|| BC C Z1 Z4 A AD D AABC AADE B DB EC 3x+2 4x-6 مراجعة تراكمية جبر: اذكر النظرية أو المسلمة التي تبرر تشابه المثلثين، واكتب عبارة التشابه، ثم أوجد أطوال القطع المذكورة في كل مما يأتي: (الدرس 2-6 ) 10 S TY (44 W RT, RS (43 R 20 6x + 2 4x+3 12 T 10 S 16 W 9 T X Y 16 P 28' M C24.5 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 AB (42) D A 5 E XA 10 8 B C إذا كانت النقطة S مركز الدائرة الداخلية لـ AJPL، فأوجد كل قياس مما يأتي: (مهارة سابقة ) SQ (45) QJ (46 mZMPQ (47 mZSJP (48 استعد للدرس اللاحق حل كل تناسب مما يأتي: x (53 (52 12-x 2 2.3 = 4 X 3.7 (51 = (50) الفصل 6 التشابه (49 38