الدوال المثلثية للزوايا - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

www.icm.edu.sa أضف إلى P(x,y) (-3,-4), 0 الدوال المثلثية للزوايا Trigonometric Functions of Angles 8-3 فيما سبق درست إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا الحادة. الدرس (81) وانان : أجد قيم الدوال المثلثية المال تنتشر العجلة الدوّارة في كبريات مدن الألعاب. ويمكننا إيجاد ارتفاع إحدى عرباتها في لحظة معينة عندما تدور العجلة بزاوية أكبر من 90. الدوال المثلثية للزوايا يمكن إيجاد قيم الدوال المثلثية لزوايا قياساتها تزيد على 90% أو تقل عن 0%. الدوال المثلثية للزوايا لأي زاوية. أجد قيم الدوال المثلثية باستعمال زوايا مرجعية. مفهوم أساسي لتكن 0 زاوية مرسومة في الوضع القياسي ولتكن النقطة ( x,y) تقع على ضلع الانتهاء لها باستعمال نظرية فيثاغورس يمكن إيجاد قيمة " التي تمثل البعد بين نقطة الأصل والنقطة P. 1 = ٢. فتكون الدوال المثلثية الستُ للزاوية 0 معرفة كما يأتي: Vx2 + y2 sin 0 = cos 0= tan 6 = ,x 0 r y x CSC csc 0 = 1, y + 0 sec 6 = 0=x+0 cot 9 = 0 امثال 1 إيجاد قيم الدوال المثلثية بمعلومية نقطة إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 0 المرسومة في الوضع القياسي يمر بالنقطة (4-3)، فأوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية ... الخطوة 1 ارسم الزاوية وأوجد قيمة .. r = x2 + 12 = √(-3)²+(-4)2 = √25 = 5 الخطوة 2: استعمل 5 = 4 = 3 = x لكتابة الدوال المثلثية الست. sin 0 = = = r csc 0 = r y 5 = Cos 0 = 1 = =- tan 0 = = r x 5 sec = = = x cot 0 = 1 = = = تحقق من فهمك 1) إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 6 المرسومة في الوضع القياسي يمرُّ بالنقطة (62)، فأوجد قيم الدوال وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 المثلثية السل للزاوية ... المفردات الزاوية الربعية quadrantal angle الزاوية المرجعية reference angle الفصل 8 حساب المثلثات 72

إرشادات للدراسة الزوايا الربعية قياس أي زاوية ربعية هو من مضاعفات 90 أو T إذا وقع ضلع الانتهاء للزاوية 6 المرسومة في الوضع القياسي على المحور x أو على المحور ، فإن الزاوية 6 تُسمى زاوية ربعية. مفهوم أساسي 0 = 0° الزوايا الربعية 0 = 90° 0 = 180° ضف مطويتك 0 = 270° أو rad 0 = 0 أو P rad = 0 أو T rad = 0 أو rad 3 = 0 (0, 6) 0 0 (0, -7) (-1, 0) (0,r) 0 (r, 0) مثال 2 الزوايا الربعية إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 0 المرسومة في الوضع القياسي يمر بالنقطة (26)، فأوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية ... تقع النقطة (06) على الجزء الموجب من المحور y ، لذلك فإن قياس الزاوية الربعية 6 يساوي 90. استعمل 6 = 7 ,6 = x = 0, y لكتابة الدوال المثلثية. sin 0 = csc 0 = 1 0 cos = = 0 6 = 1 sec 9 = - (غير معرفة) tan 0 = = x (غير معرفة) cot 0 = 0 = = 0 تحقق من فهمك (2) إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 0 المرسومة في الوضع القياسي يمر بالنقطة (20)، فأوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية . قراءة الرياضيات الدوال المثلثية باستعمال الزوايا المرجعية إذا كانت 6 زاوية غير ربعية مرسومة في الوضع القياسي، فإن زاويتها المرجعية 6 هي الزاوية الحادة المحصورة بين ضلع انتهاء الرمز 0 0 0 x الزاوية 0 والمحور .. والجدول الآتي يبين قواعد إيجاد قياس الزاوية المرجعية للزاوية ) يُقرأ ثيتا شرطة. بحسب الربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء لها، حيث 360 > 0 > °0 أو 27 > 4 > 0. مطويتك مفهوم أساسي الزوايا المرجعية الربع الأول الربع الثاني الربع الثالث الربع الرابع 0 0' 360°-0 0 = 27 - 0 0' 0-180° 0'=0-T وزارة التعليم الدرس 3- الدوال المثلثية للزوايا 73 of E 2024-14461 0 x 0' 180°-0 = 0 = T - 0 0'=0

إرشادات للدراسة لإيجاد الزاوية المرجعية للزاوية 0 التي قياسها أكبر من 360 أو أقل من 0، استعمل زاوية بقياس موجب محصور بين 360 ومشتركة في ضلع الانتهاء مع الزاوية . مثال B إيجاد الزوايا المرجعية رسم الزوايا في الوضع ارسم كلا من الزاويتين الآليتين في الوضع القياسي، لم أوجد الزاوية المرجعية لها: القياسي يمكنك الرجوع إلى الشكل الموجود في ملخص المفهوم في الدرس 42 لمساعدتك على رسم الزوايا في الوضع القياسي. 210° (a 8 = 210 0 5 الزاوية المشتركة مع الزاوية - في ضلع الانتهاء 5π 37 + 27 = 4 4 37 A' 4 إرشادات للدراسة الدورة الكاملة [0°, 360°] ضلع الانتهاء للزاوية 210 يقع في الربع الثالث. 0' = 0-180° =210° 180° 30° - 74 0- ضلع الانتهاء للزاوية 37 يقع في الربع الثاني. لإيجاد زاوية مشتركة في ضلع الانتهاء مع الزاوية 0 ، وقياسها موجب محصور بين :0°, 360° - إذا كانت 0 أكبر 360° فاطرح منها 360 أو أحد من مضاعفاتها. إذا كانت 0 أصغر من "، فأضف إليها 360 أو أحد مضاعفاتها. تحقق من فهمك -110° (3A 25-1 16 (38) 3 -=-=0 0 = T - 0 = T - 4 = لإيجاد قيم الدوال المثلثية لأي زاوية ، يمكنك استعمال الزوايا المرجعية وتُحدّد إشارة كل دالة بحسب الربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية . وللقيام بذلك استعمل الخطوات أدناه. مفهوم أساسي إيجاد قيم الدوال المثلثية الخطوة 1 أوجد قياس الزاوية المرجعية . الخطوة 2 أوجد قيمة الدالة المثلثية للزاوية ... الخطوة 3: حدد إشارة قيمة الدالة المثلثية للزاوية 0 باستعمال الربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء للزاوية 0 . الربع الأول الربع الثاني اضف إلى مطويتك sin 0, csc : + sin 6, csc 6 + cos 0, sec : + tan 6, cot : + الربع الرابع cos 0, sec :- tan 6, cot 0:- + الربع الثالث sin 0, csc 0:- cos 8, sec 8:- tan 0, cot 0: + sin 0, csc :- cos 0, sec : + tan 0, cot 0:- الفصل 8 حساب المثلثات يمكنك استعمال قيم الدوال المثلثية للزوايا التي قياساتها " 530 600 التي تعلمتها في الدرس 1-4. قيم الدوال المثلثية للزوايا الخاصة جيب التمام الظل قاطع التمام القاطع ظل التمام cot 30° = V3 sec 30 cot 45° = 1 2√√3 csc 30° = 2 tan 30" = cos 30° = 3 2 sin 30° = 1 sec 45° = V2 csc 45 = 2 tan 45° = 1 cos 45°= sin 45" = 2 cot 60° sec 60° = 2 csc 60°= 2√3 tan 60" = √√3 3 cos 60° = √3 sin 60° = 2 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

0-240° 0' = 60° 0 0= 0' = y ft 84 ft مثال 4 استعمال الزاوية المرجعية لإيجاد قيمة دالة مثلثية أوجد القيمة الدقيقة للدالة المثالية في كل مما يأتي: cos 240° (a يقع ضلع الانتهاء للزاوية 240 في الربع الثالث. أوجد قياس الزاوية المرجعية 0 = 240° دالة . جيب التمام سالية في الربع الثالث -200° 97 ft 0'- 0-180° =240°-180° = 60° 1 cos 240° = -cos 60° == 2 57 CSC يقع ضلع الانتهاء للزاوية في الربع الثاني. أوجد قياس الزاوية المرجعية 0 = 5T CSC دالة قاطع التمام موجبة في الربع الثاني 5π tan (48) 0 = T - 0 57 =T- 6 6 6 = CSC = csc 30° arad rad = 30° csc 30° = 1 = 2 sin 30° تحقق من فهمك cos 135° (4A مثال 5 من واقع الحياة استعمال الدوال المثلثية أراجيح إذا كان طول كل ذراع من أذرع الأرجوحة في الشكل المجاور ،84ft وارتفاع محور ا الدوران 97ft فأوجد الارتفاع الكلي لنهاية الذراع الأصفر اللون عندما يدور كما هو موضح في الشكل. قياس الزاوية المشتركة في ضلع الانتهاء مع الزاوية "200 : 180 قياس الزاوية المرجعية دالة الجيب -200° + 360° 160° - 160° 20° ل = 0 sin لا 0 = 20°, r = 84 sin 20° = 84 84 sin 20" = y اضرب كل من الطرفين في 84 استعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة لا 28.7 = y بما أن لا تساوي 28.7 تقريباً، فإن الارتفاع الكلي لنهاية الذراع الأصفر اللون هو 97 + 28.7 ويساوي ft 125.7 تقريباً. تحقق من فهمك (5) أراجيح أوجد الارتفاع الكلي لنهاية الذراع الأصفر اللون في المثال 5 إذا كان طول هذه الذراع ft 72 ، وارتفاع محور الدوران 88، وقياس زاوية الدوران 195 وزارة التعليم الدرس 3- الدوال المثلثية للزوايا 75 loft 2024-14461 الربط بالحياة في بعض أنواع الأراجيح الدوارة يشعر الراكب بانعدام الوزن في لحظة ما، حيث تصل سرعة الأرجوحة إلى 60 ميلا في الساعة في كلا الاتجاهين

تأكد المثالان 1 إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 6 المرسومة في الوضع القياسي يمر بإحدى النقاط الآتية في كل مرة فأوجد قيم الدوال المثلثية السبت للزاوية 0 : (1,2) (1 (-8,-15) (2 مثال 3 ارسم كلا من الزوايا الآنية في الوضع القياسي، ثم أوجد الزاوية المرجعية لها: 300° (4 115° (5 مثال 4 الوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثلثية فيما يأتي: sin 3 (7 4 tan 57 3 (8 sec 120° (9 (0,-4) (3 3π (6) مثال 5 11) تقنية فتح سعيد حاسوبه المحمول الذي طول شاشته cm 22، فشكل زاوية قياسها 125 كما هو مبين في الشكل المجاور. أعد رسم الشكل السابق في المستوى الإحداثي بحيث تكون الزاوية 125 مرسومة في الوضع القياسي. ) أوجد قياس الزاوية المرجعية للزاوية 125 ، ثم اكتب دالة مثلثية يمكن استعمالها في إيجاد d استعمل هذه الدالّة، لإيجاد قيمة ، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة. - sin 300° (10 تدرب وحل المسائل المثالان 12 إذا كان ضلع الانتهاء للزاوية 6 المرسومة في الوضع القياسي يمر بإحدى النقاط الآتية في كل مرة فأوجد قيم الدوال المثلثية السبت للزاوية . (3,0) (14 (-9,-3) (17 -250° (20 400° (23 (-6,8) (13 (4,-2) (16 (5,12) (12 (0, -7) (15 مثال 3 ارسم كلا من الزوايا الآتية في الوضع القياسي، ثم أوجد الزاوية المرجعية لها. 285° (19 02 4 195° (18 مثال 4 أوجد القيمة الدقيقة لكل دالة مثالية فيما يأتي: CSC 225° (27 cos 150° (26 tan 315° (25 sin 210° (24 sec 1π (31 cot 5T (30 cos (29 sin (28 مثال 5 (32) كرة قدم يركل لاعب الكرة نحو الهدف من مسافة xm عن حارس المرمى كما هو مبين في الشكل المجاور، فيقفز الحارس ويمسك الكرة على ارتفاع 2.1m من سطح الأرض. a) أوجد قياس الزاوية المرجعية للزاوية "154. ثم اكتب دالة مثلثية يمكن استعمالها في إيجاد المسافة بين اللاعب وحارس المرمى عندما ركل اللاعب الكرة. 154° ) ما المسافة التقريبية بين اللاعب وحارس المرمى عندما ركل اللاعب الكرة؟ x 2.1m وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 76 الفصل 8 حساب المثلثات

(33 عجلات دوارة في إحدى مدن الألعاب عجلة دوّارة طول نصف قطرها ft 68، وترتفع عن سطح الأرض 15ft. بعد جلوس الشخص في العربة السفلية دارت العجلة بزاوية قياسها 202.5 عكس حركة عقارب الساعة قبل أن تتوقف، فكم يكون ارتفاع هذه العربة عن سطح الأرض عندما تتوقف العجلة عن الدوران؟ A (68. ft) ? ft افترض أن 8 زاوية مرسومة في الوضع اللباسي، وقد أعطي فيما يأتي قيمة إحدى الدوال المثلثية للزاوية 0 والربع الذي يقع فيه ضلع الانتهاء لها. أوجد قيم الدوال الملالية الخمس الأخرى للزاوية .. 34) = 6 sin، الربع الثاني 8 (36 17 - . = 6 cos، الربع الثالث أوجد القيمة الدقيقة لكل والله مثلثية فيما يأتي: (35) 3 - = 6 tan، الربع الرابع (37 12 5 - = 0 cot، الربع الرابع -2018 sin 570° (40 cot (43 COS csc 180° (39 cot 270° (38 tan مسائل مهارات التفكير العليا 44) تحد الزاوية 0 مرسومة في الوضع القياسي، حيث 2 = tan 0 = - 1, sin. هل من الممكن أن يكون قياس الزاوية 6 مساويا لـ 225 ؟ وضح إجابتك. (45) تبرير حدد ما إذا كانت المعادلة: 180 sin 60" = sin 3 صحيحة أم غير صحيحة. وضح إجابتك. (46) مسألة مفتوحة: أعط مثالا على زاوية 0 بقياس سالب بحيث: 0 2 0 sin 0 3 0 , cos . اكتب وضح خطوات إيجاد قيمة دالة مثلثية لزاوية قياسها أكبر من 90 . مضمنا ذلك وصفا للزاوية المرجعية في هذه الخطوات. 35-12i D 36 - 1 تدريب على اختبار (48) إذا كان مجموع عددين 21، والفرق بينهما 3، فما ناتج ضربهما ؟ (49) ما المقدار الذي يكافئ المقدار : 2 + 6) 121 A 36-12i B مراجعة تراكمية -17x (52 tan C = 1 (55) 5 15 (58 x+8 2x + 20 وزارة التعليم الدرس - الدوال المثلثية للزوايا 77 2024-14461 حول قياس كل زاوية مكتوبة بالراديان فيما يأتي إلى الدرجات (الدرس (82) † (50 (51 حل كلًا من المعادلات الآتية علما بأن جميع الزوايا حادة: (الدرس 1-8) cos A = -(53 أوجد قيمة و في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) sin 30° = (54 (57 x+ 18