الزوايا وقياساتها - رياضيات2-3 - ثاني ثانوي

رابط الدر الرقمي www.ien.edu.sa الزوايا وقياساتها Angles and Angle Measure 8-2 فيما سبق درست استعمال الزوايا المقاسة بالدرجات. الدرس (81) وانان المادة المزولة (الساعة الشمسية)، أداة تُحدّد الوقت نهارًا من خلال الظل الذي تسقطه على قرص مدرج لإظهار الساعة أو أجزاء من الساعة ويدور الظلّ على القرص 15 كل ساعة. الزوايا المرسومة في الوضع القياسي: تكون الزاوية المرسومة في المستوى أرسم زوايا في الوضع الإحداثي في الوضع القياسي إذا كان رأسها نقطة الأصل، وأحد ضلعيها القياسي، وأجد قياساتها. منطبقا على الجزء الموجب من المحور x. . أحول من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان والعكس. المفردات الوضع القياسي standard position . يُسمّى الضلع المنطبق على المحور x ضلع الابتداء للزاوية. . يُسمّى الضلع الذي يدور حول نقطة الأصل ضلع الانتهاء. في مفهوم أساسي قياسات الزوايا 0° 90° 49 ضلع 10 الابتداء 270" الرأس 180° ضلع الانتهاء أضف إلى مطويتك -145° 120° ضلع الابتداء initial side ضلع الانتهاء terminal side الراديان يكون قياس الزاوية موجبًا إذا دار ضلع الانتهاء عكس اتجاه عقارب الساعة ويكون قياس الزاوية سالبا إذا دار ضلع الانتهاء في اتجاه عقارب الساعة. radian الزاوية المركزية central angle طول القوس arc length مثال 1 رسم زاوية في الوضع القياسي ارسم كلا من الزاويتين المعطى قياساهما فيما يأتي في الوضع القياسي: -40° (b 215° (a 215° 180° +35° ارسم ضلع الانتهاء للزاوية 35 بدوران معاكس لحركة عقارب الساعة بدءًا من الجزء السالب من المحور x . قياس الزاوية سالب ارسم ضلع الانتهاء للزاوية 40 بدوران مع حركة عقارب الساعة بدءًا من الجزء الموجب من المحور x . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 -40° 35° 0 -105° (1B 215° تحقق من فهمك 80° (1A الفصل 8 حساب المثلثات 66

يمكن لضلع الانتهاء لزاوية أن يدور أكثر من دورة كاملة واحدة. فعلى سبيل المثال: دورة كاملة مقدارها 360 إضافة إلى دورة بمقدار 120 تشكلان زاوية قياسها 480 = 120 + 360 120° الزاوية 480 0 360° x الربط بالحياة التزلج المائي رياضة يضع مثال 2 من واقع الحياة رسم زاوية في الوضع القياسي التزلج الماني يتضمن التزلج المالي أن يقوم المنزلج بالمناورة من خلال الدوران في الهواء في أثناء تنفيذه هذه الرياضة. إذا تضمنت إحدى المناورات الدوران بمقدار 540 في الهواء، فارسم زاوية قياسها °540 في الوضع القياسي. 540° 360° 180° فيها المتزلج زلاجة من الزجاج الليفي، أو من أنواع مختلفة من الخشب في قدميه، ويتم ارسم ضلع الانتهاء للزاوية 180 بدءًا من سحبه فوق الماء بواسطة زورق الجزء الموجب من المحور x . ذي محرك سريع. 540° تحقق من فهمك (2) عجلات أوقف سعيد دراجته، فتحركت عجلتاها بزاوية قياسها 600 ، ارسم زاوية قياسها "600 في الوضع القياسي. عند . رسم زاويتين أو أكثر في الوضع القياسي، فإنها قد تشترك في ضلع الانتهاء مثل الزوايا التي قياساتها : 60,420,300 كما هو موضح في الشكل المجاور. يمكن إيجاد زاوية مشتركة في ضلع الانتهاء مع زاوية أخرى، من خلال جمع أو طرح أحد مضاعفات 360. 60° + 360° = 420° 60° 360°-300° x 60° -300° 420° 0 امثال و إيجاد الزوايا المشتركة في ضلع الانتهاء ب كلّ ممَّا يأتي أوجد زاويتين إحداهما بقياس موجب، والأخرى بقياس ،سالب، مشتركتين في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة: 130° (a زاوية بقياس موجب : 490 = °360 + 130 زاوية بقياس سالب : 230 = 360 - 130 أضف °360 اطرح 360° -200° (b زاوية بقياس موجب : 160 = °360 + 200 زاوية بقياس :سالب 560 = 360 - 200- تحقق من فهمك 15° (3A أضف 360 اطرح 360 -45° (3B وزارة التعليم الدرس 2- الزوايا وقياساتها 67 2024-1446

إرشادات للدراسة التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان والعكس يمكن أن تقاس الزوايا أيضًا بوحدات تستند إلى طول قوس من دائرة. فقياس الزاوية 6 المرسومة في القياس بالراديان الوضع القياسي، والتي تحدد على الدائرة قوشا طوله مسار الطول تصف القطر الدائرة هو 1 رادیان (rad) كما في القياس بالدرجات، فإن القياس بالراديان يقيس مقدار محيط الدائرة يساوي .27r. لذلك فالدورة الكاملة على الدائرة تساوي 27 راديان. وبما أن 360 = 2mrad ، فإن العلاقة بين القياس بالدرجات والقياس بالراديان كما يأتي: الدوران من ضلع الابتداء حتى ضلع الانتهاء. . قياس زاوية بالراديان يكون موجبًا إذا كان الدوران عكس حركة عقارب الساعة. قياس زاوية بالراديان يكون سالبا إذا كان الدوران مع حركة عقارب الساعة. مفهوم أساسي 360 = rad 27 أي أن 180 = Trad التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان والعكس من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان للتحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان اضرب قياس الزاوية بالدرجات في Trad 180° 0 0 = 1 رادیان أضف إلى مطويتك من القياس بالراديان إلى القياس بالدرجات للتحويل من القياس بالراديان إلى القياس بالدرجات اضرب قياس الزاوية بالراديان في 180° Trad قراءة الرياضيات القياس بالراديان كلمة راديان أو rad تحذف عادة عندما يتم التعبير عن قياسات الزوايا بالراديان ومن هنا فعندما لا نضع وحدة لقياس معطى لزاوية تكون الوحدة هي 68 الراديان. الفصل 8 حساب المثلثات مثال A التحويل من القياس بالدرجات إلى القياس بالراديان والعكس حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان والمكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي: -30° (a 5 7 = rad " 180° Trad -30° -30°. Trad 180" = 900° 2 -= 450° -30π =- =- - rad 180 تحقق من فهمك 120° (4A (48) 37 8 ملخص المفهوم القياس بالدرجات وبالراديان يُظهر الشكل المجاور قياسات الزوايا الخاصة بالدرجات وبالراديان من المفيد أن تحفظ قياسات الزوايا الخاصة الآتية بالدرجات وبالراديان فقياسات الزوايا الخاصة الأخرى ما هي إلا مضاعفات لقياسات هذه الزوايا. 30" = 45 = 1 60°⁹ = 90° أضف إلى مطويتك 90° 57 6 120° 135° 60° 45° 150° 6 30° π-180 0° 0 0 360° 2 x 210° 330° 77 225° 315° 11π 6 240° 300° 6 4 270° 47 57 4 37 3 3 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

القوس المقابل . الزاوية المركزية في دائرة هي الزاوية التي يقع رأسها على مركز الدائرة. إذا علمت قياس الزاوية المركزية وطول نصف قطر الدائرة، فإنك تستطيع أن تجد طول القوس المقابل لها. ا مفهوم أساسي طول القوس التعبير اللفظي طول القوس من الدائرة (s)، المقابل لزاوية مركزية قياسها (0) بالراديان يساوي حاصل ضرب نصف القطر 1 في 0. لها الزاوية المركزية ) أضف إلى مطويتك الرموز s = r0 سوف تبرهن هذه الصيغة في السؤال (48) مثال 5 من واقع الحياة إيجاد طول القوس تنبيه طول القوس تذكر أن تكتب قياس الزاوية بالراديان وليس بالدرجات عندما تحسب طول القوس. وتذكر أيضا أن الدورة الكاملة تساوي 27 رادیان شاحنات طول نصف قطر إطارات شاحنة in 33، ما المسافة بالقدم التي يقطعها الإطار بعد أن تدور إطارات الشاحنة ثلاثة أرباع دورة؟ الخطوة 1 أوجد قياس الزاوية المركزية بالراديان. --2- 37 = قياس الزاوية هو 34 الدورة الكاملة الخطوة 2 : استعمل طول نصف القطر وقياس الزاوية المركزية لإيجاد طول القوس. s = rd = 33.3 = 155.5 in = 13.0 ft صيغة طول القوس عوض عن 7 بـ 33 و 0 بـ 372 استعمل الآلة الحاسبة للتبسيط القسم على 12 للتحويل إلى وحدة القدم إذن إطار الشاحنة قطع مسافة ft 13 تقريبا بعد دوران إطاراتها ثلاثة أرباع دورة. اتحقق من فهمك (5) مطاعم : يقع في أعلى برج الخرج مطعم دوار، نصف قطره 90ft، حيث يدور الجناح المخصص لتقديم الطعام والقريب من النوافذ الخارجية دورة كاملة كل 90 دقيقة. إذا ذهب شخص للمطعم لتناول العشاء وجلس على طاولة بجانب النافذة عند الساعة 6:42 مساءً وانتهى عند الساعة 8:00 مساءً، فما المسافة التي دارها؟ تأكد المثالان ارسم كلا من الزوايا الآتية المعطى قياسها في الوضع القياسي: 140° (1 -60° (2 390° (3 مثال 3 في كل مما يأتي أوجد زاويتين، إحداهما بقياس موجب، والأخرى بقياس سالب، مشتركانين في ضلع الانتهاء مع الزاوية المعطاة: 25° (4 175° (5 -100° (6 مثال 4 حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان، والمكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي: 225° (8 -40° (9 مثال 5 10) التنس طاولة، تحرك لاعب تنس طاولة في مسار على شكل قوس من دائرة. إذا كان القول تصفية قطر دائرته هو 1.2m، وزاوية دوران اللاعب تساوي 100 فما طول هذا القوس، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة؟ ا عشرة التعليم الدرس 2- الزوايا وقياساتها 69 of E 2024-1446

-90° (13 510° (16 تدرب وحل المسائل المثالان 1 ارسم كلا من الزوايا الآنية المعطى قياسها في الوضع القياسي: 160° (12 295° (15 75° (11 -120° (14 (17) جمباز يتأرجح لاعب جمباز على جهاز له عارضتان ليدور بزاوية قياسها 240 ـ ارسم هذه الزاوية في الوضع القياسي. مثال 3 في كل مما يأتي أوجد زاويتين، إحداهما بقياس موجب، والأخرى بقياس سالب، مشتركتين في ضلع الانتهاء مع الزاوية المعطاة: 205° (20 -195° (23 95° (19 -80° (22 50° (18 350° (21 مثال 4 حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان ، والمكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي: - (26 7π (29) 107 9 5T (25 190° (28 330° (24 -50° (27 مثال 5 (30) رياضة : دراجة ذات عجلة واحدة نصف قطرها 0.8ft، ما المسافة التي تقطعها العجلة إذا دارت - دورة؟ أوجد طول القوس المحدد في كلُّ من الدائرتين الآتيتين، مقربا إلى أقرب 27 m (32 جزء من عشرة. (31 37 5 cm (33) ساعات كم من الوقت يستغرق عقرب الدقائق في ساعة ليدور بزاوية قياسها 2.5 راديان؟ (34) المزولة بالرجوع إلى فقرة "لماذا؟“ بداية هذا الدرس، نجد أن الظل يدور على القرص °15 كل ساعة. a) بعد كم ساعة يدور الظل بزاوية قياسها راديان؟ 87 ما قياس الزاوية بالراديان التي يدورها الظل بعد مرور 5 ساعات؟ مزولة طول نصف قطرها 8in ، ما طول القوس الذي يصنعه دوران الظل على حافة القرص بعد مرور 14 ساعة، مقربًا إلى أقرب جزء من عشرة؟ في كل مما يأتي أوجد ،اويتين إحداهما بقياس موجب، والأخرى بقياس سالب مشتركتين في ضلع الانتهاء مع 197 6 (38 -3037 -400° (36 الربط بالحياة استعملت المزولة قديما في الزاوية المعطاة 620° (35 (39 تمثيلات متعدّدة: لديك النقطتان (68) ,(60) هندسيا : ارسم المثلث AECD حيث E هي نقطة الأصل. ) جيريا، أوجد ظل CCED. جبريا: أوجد ميل ED . لفظيا ما العلاقة التي تستطيع استنتاجها بين الميل وظل الزاوية؟ وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 المسجد الأقصى المعرفة أوقات الصلاة. الفصل 8 حساب المثلثات 70

حول قياس الزاوية المكتوبة بالدرجات إلى الراديان والمكتوبة بالراديان إلى الدرجات في كل مما يأتي : 217 (40 8 124° (41 -200° (42 5 (43 44) أحصنة دوارة في مدينة ألعاب تدور لعبة الأحصنة في دائرتين الأولى 5.2m داخلية طول نصف قطرها 4m، والثانية خارجية طول نصف قطرها 5.2m. إذا كانت الأحصنة تدور 5 دورات في الدقيقة، فاعتمد على هذه المعلومات في الإجابة عن السؤالين الآتيين: a) أوجد قياس الزاوية 6 بالراديان التي يدورها حصان في ثانية واحدة. 4m ) كم يزيد طول القوس الذي يصنعه حصان يدور في الدائرة الخارجية على طول القوس الذي يصنعه حصان يدور في الدائرة الداخلية، وذلك بعد مرور ثانية واحدة؟ مسائل مهارات التفكير العليا (45) اكتشف الخطأ كتب كلُّ من عليّ وأحمد عبارة تُمثل قياس الزاوية المشتركة في ضلع الانتهاء مع الزاوية الظاهرة في الشكل المجاور. من منهما إجابته صحيحة؟ وضح إجابتك. أحمد (360-x)° علي (x - 360) 46) تحد مستقيم يصنع زاوية قياسها و راديان مع الجزء الموجب من المحور x عند النقطة (20). أوجد معادلة هذا المستقيم. 47) مسألة مفتوحة: ارسم زاوية حادة في الوضع القياسي وسمها، وأوجد زاويتين، إحداهما بقياس موجب والأخرى بقياس ،سالب بحيث تكونان مشتركتين في ضلع الانتهاء مع هذه الزاوية. (48) برهان برهن صيغة طول القوس المقابل للزاوية المركزية. 6 Z (50) هندسة إذا كانت مساحة المثلث المجاور 60 وحدة مربعة، فما طول الضلع Z XZ؟ Y X 4√√34 D 2√109 C 4√109 B 2√34 A 13 11 (53) تدريب على اختبار (x+6)(x+8)-(x-7)(x-5)=013 (49 فأوجد قيمة x . مراجعة تراكمية أوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية 0 في كل مما يأتي: (الدرس 1-8) 22 (52) 3 (51 e 14 0 حل كل معادلة مما يأتي: (مهارة سابقة) a+1 = (54 15 9 = +14 (55 t-3 1-3 x+2 5 1 = (56) x+1 3 x + 1 استعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد طول الوتر في المثلثات القائمة الزاوية التي طول كلُّ من ساقيها كما يأتي: (مهارة سابقة) a = 14, b = 11 (59) وزارة التعليم الدرس 2- الزوايا وقياساتها 71 2024-1446 a = 8, b = 17 (58) a = 12, b = 15 (57)