مقدمة في المتجهات - رياضيات2-3 - ثالث ثانوي

رابط الدرس الرق www.ien.edu.sa مقدمة في المتجهات Introduction to Vectors 5-1 فيما سبق: درست استعمال حساب المثلثات لماذا ؟ في حل المثلث ( مهارة سابقة ) المحاولة الناجحة لتسجيل هدف في كرة القدم تعتمد على عدة عوامل؛ منها سرعة الكرة بعد ضربها، واتجاه حركتها. ويمكنك وصف كل من هذين العاملين باستعمال كمية واحدة تُسمى متجهًا. والان - أجري العمليات على المتجهات باستعمال مقياس الرسم، وأمثْلها هندسيا . المتعامدتين. أحلل المتجه إلى مركبتيه الكميات القياسية والكميات المتجهة يمكن وصف الكثير من الكميات الفيزيائية مثل الكتلة بقيمة عددية واحدة، وعندئذٍ تُسمي كمية قياسية (عددية)، ويدل هذا العدد على مقدار الكمية أو قياسها. أما المتجه فهو كمية لها مقدار واتجاه؛ فمثلا سرعة الكرة المتجهة نحو المرمي جنوبًا تمثل كلا من مقدار سرعة الكرة، واتجاه حركتها، ولذلك تعتبر متجه والعدد المرتبط بمتجه يسمى كمية متجهة. أحل مسائل تطبيقية على المتجهات. المفردات: كمية قياسية (عددية) scalar quantity متجه vector الكمية المتجهة vector quantity قطعة مستقيمة متجهة directed line segment نقطة البداية initial point نقطة النهاية terminal point الوضع القياسي standard position اتجاه المتجه direction طول المتجه (المقدار) magnitude الاتجاه الربعي quadrant bearing الاتجاه الحقيقي المتجهات المتوازية true bearing parallel vectors equal vectors opposite vectors. المتجهات المتساوية المتجهان المتعاكسان المحصلة resultant قاعدة المثلث triangle method قاعدة متوازي الأضلاع parallelogram method المتجه الصفري zero vector المركبات components المركبات المتعامدة rectangular components مثال 1 تحديد الكميات المتجهة حدد الكميات المتجهة، والكميات القياسية (العددية) في كل مما يأتي: a) يسير قارب بسرعة mi/h 15 في اتجاه الجنوب الغربي. بما أن لهذه الكمية اتجاها، إذن هي كمية متجهة. يسير شخص على قدميه بسرعة m/min 75 جهة الغرب. بما أن السرعة الشخص قيمة هي 75m/min ، واتجاها للغرب؛ لذا فهي ؟ كمية متجهة. قطعت سيارة مسافة قدرها 20km بما أن لهذه الكمية قيمة وهي 20km ، وليس لها اتجاه؛ إذن هذه المسافة كمية قياسية. تحقق من فهمك حدد الكميات المتجهة ، والكميات القياسية (العددية) في كل مما يأتي: 1) تسير سيارة بسرعة / mi 60 ، وبزاوية 15 جهة الجنوب الشرقي. (18) هبوط مظلّي رأسيا إلى أسفل بسرعة / 12.5mi . (1) طول قطعة مستقيمة 5cm . المتجهات: يمكن تمثيل المتجه هندسيا بقطعة مستقيمة لها اتجاه قطعة مستقيمة متجهة)، أو سهم يُظهر كلا من المقدار والاتجاه. ويمثل الشكل المجاور القطعة المستقيمة المتجهة التي لها نقطة البداية ،A، ونقطة النهاية .B. ويرمز لهذا المتجه بالرمز AB أو a أو a . أما طول المتجه فهو عبارة عن طول القطعة المستقيمة التي تمثله، ففي الشكل المجاور، إذا كان مقياس الرسم هو 1cm 5s فإن طول المتجه ،a ، ويُرمز له بالرمز lal ، يساوي 5 × 2.6 أو ft/s 13 . يكون المتجه في الوضع القياسي. إذا كانت نقطة بداية المتجه هي نقطة الأصل ويعبر عن اتجاه المتجه بالزاوية التي يصنعها مع الاتجاه الأفقي (الاتجاه الموجب للمحور x ) . فمثلا: اتجاه المتجه 2 هو 35 . .B نقطة النهاية B نقطة البداية A y 35° 1cm = 5 ft/sec وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 5 المتجهات 86

إرشادات للدراسة زاوية الاتجاه الحقيقي إذا أعطي قياس زاوية بثلاثة ويمكن التعبير عن اتجاه المتجه أيضًا باستعمال زاوية الاتجاه الربعي ص ، وتُقرأ فاي، وهي زاوية قياسها بين 0 و 90 شرق أو غرب الخط الرأسي (خط) شمال - جنوب). فمثلا زاوية الاتجاه الربعي للمتجه v في الشكل المجاور هي 35" جنوب شرق، وتكتب E 35° . أرقام، ولم تعط أي مركبات كما يمكن استعمال زاوية الاتجاه الحقيقي ، حيث تُقاس الزاوية مع عقارب الساعة بدءًا شرق اتجاهية إضافية، فإنها زاوية من الشمال. ويُقاس الاتجاه الحقيقي بثلاثة أرقام، فمثلًا يُكتب الاتجاه الذي يحدّد زاوية اتجاه حقيقي. فمثلا زاوية قياسها 25 من الشمال مع عقارب الساعة باستعمال الاتجاه الحقيقي على الصورة 025 . الاتجاه الحقيقي للمتجه في الشكل المجاور هي 145° إرشادات للدراسة النيوتن وحدة لقياس القوة، ويرمز له بالحرف N، وهو عبارة عن القوة التي تؤثر في جسم كتلته 1kg؛ لتكسبه تسارعا مقداره 1m/s2 . مثال 2 تمثيل المتجه هندسيًا استعمل مسطرةً ومنقلة؛ لرسم متجه لكلِّ من الكميات الآتية، واكتب مقياس الرسم في كل حالة: a = 20 ft/s a باتجاه °030 . استعمل مقياس الرسم 10 1cm ، وارسم سهما طوله 10 : 20 ، أو 2cm بزاوية قياسها 30 من الشمال، وفي اتجاه عقارب الساعة. 30° 145 4 wo غرب O W 1 cm = 10 ft/s E W S V 1cm = 25 N 0 140° N E v = 75N ، بزاوية قياسها °140 مع الاتجاه الأفقي. استعمل مقياس الرسم 25 = cm 1، وارسم سهما طوله 25 : 75 ، أو 3cm في الوضع القياسي، وبزاوية قياسها 140 مع الاتجاه الموجب للمحور x . z = 30 mih ، باتجاه S60°W . استعمل مقياس الرسم / in 20 mi 1 ، وارسم سهما طوله تنبيه الطول يمكن أن يمثل طول المتجه مسافة أو سرعة، أو قوة. وإذا مثل المتجه سرعة فإن طوله لا يمثل المسافة المقطوعة . in 1.5 = 20 + 30 ، بزاوية قياسها 60 في اتجاه جنوب غرب . تحقق من فهمك 60° 1 in = 20 mi/h استعمل مسطرة ومنقلة؛ لرسم متجه لكلّ من الكميات الآتية، واكتب مقياس الرسم في كل حالة: 2 t= 20 ft/s ، باتجاه 065 . 28) u = 15 mih ، باتجاه E 25° . 2) 60 = m ، بزاوية قياسها 80 مع الاتجاه الأفقي. عند إجرائك العمليات على المتجهات، فإنك تحتاج إلى الأنواع الشائعة الآتية من المتجهات: • المتجهات المتوازية لها الاتجاه نفسه، أو اتجاهان متعاكسان، وليس بالضرورة أن يكون لها الطول نفسه. فمثلا في الشكل المجاور .a || b ||cl|le || f • المتجهات المتساوية لها الاتجاه نفسه، والطول نفسه. ففي الشكل المجاور a ؛ لهما الطول والاتجاه نفساهما، لذا هما متساويان ويعبر عنه بالرموز : a = c. لاحظ أن a b ؛ لأن ؛ لأن لهما اتجاهين مختلفين. ..... • المتجهان المتعاكسان لهما الطول نفسه، لكن اتجاهيهما متعاكسان يكتب المتجه المعاكس للمتجهة على : الصورة a ، ففي الشكل المجاور e = a . وزارة التعليم الدرس 1- مقدمة في المتجهات 1870 2024-1446

0 عند جمع متجهين أو أكثر يكون الناتج متجها ، و يسمى المحصلة ويكون لمتجه المحصلة التأثير نفسه الناتج عن تأثير المتجهين الأصليين عند تطبيقهما واحدا تلو الآخر. ويمكن إيجاد المحصلة هندسيًّا باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي الأضلاع. مفهوم أساسي إيجاد المحصلة قاعدة المثلث لإيجاد محصلة المتجهين ab اتبع الخطوتين الآتيتين: الخطوة 1 أجر انسحابا للمتجه b ، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه a. الخطوة 2 محصلة المتجهين ab هي المتجه المرسوم من نقطة بداية a إلى نقطة نهاية b . b a+b قاعدة متوازي الأضلاع لإيجاد محصلة المتجهين ab اتبع الخطوات الآتية : الخطوة 1 أجر انسحابا للمتجه b ، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة بداية المتجه a. الخطوة 2 أكمل رسم متوازي الأضلاع الذي ضلعاه ab الخطوة 3 محصلة المتجهين هي المتجه الذي يُمثله قطر b b a+b متوازي الأضلاع . إرشادات للدراسة المحصلة لإيجاد محصلة أكثر من متجهين باستعمال قاعدة متوازي الأضلاع، يلزم إعادة الرسم أكثر من مرة لذا من الأسهل في هذه الحالة استعمال طريقة مشابهة لقاعدة المثلث، وذلك بوضع نقطة بداية متجه عند نقطة نهاية المتجه الذي يسبقه وهكذا. V1 + V2 + V3 مثال 3 من واقع الحياة إيجاد محصلة متجهين رياضة المشي : قطع عبد الله في سباق للمشي، مسافة 120 باتجاه N 50° E ، ثم مسافة m 80 في اتجاه الشرق. كم يبعد عبد الله عن نقطة البداية، وما هي زاوية الاتجاه الربعي ؟ افترض أن المتجه p يمثل المشي 120m في الاتجاه N 50°E ، وأن المتجه و يمثل المشي 80m باتجاه الشرق. ارسم شكلا يمثل 4, باستعمال مقياس الرسم 1cm = 50m . استعمل مسطرة ومنقلة لرسم سهم طوله cm 2.4 = 50 : 120 ؛ ويصنع زاوية قياسها 50 شمال شرق؛ ليُمثل المتجه p ، وارسم سهما آخر طوله 1.6cm = 50 : 80 في اتجاه الشرق؛ ليمثل المتجه و. الطريقة 1 قاعدة المثلث E N 2.4 cm E 0 1.6 cm 1 cm = 50 m الطريقة 2 قاعدة متوازي الأضلاع N 50° P اعمل انسحابًا للمتجه q ، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع اعمل انسحابًا للمتجه q ، بحيث تلتقي نقطة بدايته مع نقطة نهاية المتجه p ، ثم ارسم متجه المحصلة p + q نقطة بداية ، ثم أكمل متوازي الأضلاع، وارسم قطره الذي يمثل المحصلة + p ، كما في الشكل أدناه. كما في الشكل أدناه. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 N 66° B p+q 3.7 cm 1 cm = 50 ft E P p+q نحصل في كلتا الطريقتين على متجه المحصلة p + q نفسه. قس طول p + q باستعمال المسطرة، ثم قس الزاوية التي يصنعها هذا المتجه مع ا الرأسي كما في الشكل المجاور. الخط تجد أن طول المتجه يساوي 3.7cm تقريبا، ويُمثل 185m = 50 × 3.7 . وعليه يكون عبد الله على بعد 185m من نقطة البداية باتجاه 66°E . الفصل 5 المتجهات 88

إرشادات للدراسة المتجهات المتوازية في الاتجاه نفسه محصلة ناتج جمع متجهين أو أكثر لها الاتجاه نفسه، هو متجه طوله يساوي مجموع أطوال هذه المتجهات واتجاهه هو اتجاه المتجهات الأصلية نفسه. 3 m/sec a+b 5 m/sec b 2 m/sec قراءة الرياضيات || تقرأ القيمة المطلقة للعدد الحقيقي .. || تمثل طول المتجه . تحقق من فهمك أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية مستعملا قاعدة المثلث، أو متوازي الأضلاع. ثم حدد اتجاهها بالنسبة للأفقي. (3) W (3B b لعبة أطفال : رمى طفل كرةً صغيرةً في لعبة مخصصة للأطفال بسرعة 7ins ، باتجاه °310، فارتدت باتجاه °055 ، وبسرعة 4in/s. أوجد مقدار محصلة حركة الكرة واتجاهها. (قرب طول المحصلة إلى أقرب بوصة، والاتجاه إلى أقرب درجة) عند جمع متجهين متعاكسين لهما الطول نفسه، فإن المحصلة هي المتجه الصفري. ويرمز له بالرمز 0 أو 0 ، وطوله صفر ، وليس له اتجاه وعملية طرح المتجهات تشبه عملية طرح الأعداد. لإيجاد 9 - p ، اجمع معكوس إلى ؛ أي أن: (1-) + p - 9 = p . و كذلك يمكن ضرب المتجه في عددٍ حقيقي. مفهوم أساسي ضرب المتجه في عدد حقيقي a+(-a) 0 إذا ضُرب المتجه v في عدد حقيقي ، فإن طول المتجه v هو | | | . ويتحدد اتجاهه بإشارة k . . إذا كانت 0 ، فإن اتجاه هو اتجاه v نفسه. . إذا كانت 0 ، فإن اتجاه kv هو عكس اتجاه ٧ . 3x- مثال 4 العمليات على المتجهات إرشادات للدراسة المتجهان المتوازيان المتعاكسان محصلة ناتج جمع متجهين متوازيين متعاكسين هو متجه طوله يساوي القيمة المطلقة للفرق بين طولي المتجهين واتجاهه هو اتجاه المتجه الأكبر طولا. ارسم المتجه 3x - y ، حيث x, y متجهان كما في الشكل المجاور. أعد كتابة المتجه 3x - y على صورة حاصل جمع متجهين ( 3 ) + 3x ، ثم مثل المتجه 3x برسم متجه طوله 3 أمثال المتجه x ، وبالاتجاه نفسه كما في الشكل 5.1.1 . ولتمثيل المتجه y - ، ارسم متجهًا طوله لا طول y ، وفي اتجاه معاكس لاتجاه y كما في ل ، 5.1.2 ثم استعمل قاعدة المثلث؛ لرسم متجه المحصلة كما في الشكل 5.1.3 . الشكل 2 3x 3x الشكل 5.1.2 الشكل 5.1.3 m m- P (4B P وزارة التعليم الدرس 1- مقدمة في المتجهات 89 2024-1446 الشكل 5.1.1 7yd تحقق من فهمك ارسم المتجه الذي يُمثل كلًا مما يأتي : b 4yd a+b a - c + 2b (4A 3yd

קרר الربط مع الحياة يتطلب الضغط على مفتاح الكهرباء لإشعال الضوء قوة مقدارها .3 والقوة التي تؤثر بها الجاذبية الأرضية في الشخص تعادل 600N تقريبا. والقوة المبذولة من لاعب رفع أثقال تساوي 2000N تقريبًا . تطبيقات المتجهات: يُسمى المتجهان اللذان ناتج جمعهما المتجه ، مركبتي .. ومع أن مركبتي المتجه يمكن أن تكونا في أي اتجاه، إلا أنه من المفيد غالبًا تحليل المتجه إلى مركبتين متعامدتين واحدة أفقية، والأخرى رأسية. ففي الشكل المجاور، يمكن اعتبار القوة r المبذولة لسحب العربة بصفتها مجموع مركبتين هما أفقية x تحرك العربة إلى الأمام، ورأسية لا تسحب العربة إلى أعلى. مثال 5 من واقع الحياة تحليل القوة إلى مركبتين متعامدتين قص العشب يدفع علي عربة قصَّ العشب بقوة مقدارها 450N ، وبزاوية قياسها 56 مع سطح الأرض. ارسم شكلًا يوضّح تحليل القوة التي يبذلها علي إلى مركبتين متعامدتين. يمكن تحليل قوة الدفع إلى مركبتين؛ أفقية x إلى الأمام ورأسية إلى أسفل كما في الشكل أدناه. 450 N 56° 450 N 56° 90 الفصل 5 المتجهات أوجد مقدار كل من المركبتين؛ الأفقية والرأسية للقوة. تكوّن كلُّ من القوة ومركبتاها الأفقية والرأسية مثلثاً قائم الزاوية. استعمل تعريف الجيب، أو جيب التمام؛ لإيجاد مقدار كل قوة منهما. x 450 56 cos تعريف الجيب وجيب التمام حل بالنسبة إلى y ، x استعمل الآلة الحاسبة |x| = 450 cos 56° |×| = 252 sin 56° lyl 450 || = 450 sin 56° || = 373 مقدار المركبة الأفقية 252N تقريبًا، ومقدار المركبة الرأسية 373N تقريبا. تحقق من فهمك 5) كرة قدم : يركل لاعب كرة قدم من سطح الأرض بسرعة مقدارها 44ft/s ، وبزاوية قياسها °33 مع سطح الأرض كما في الشكل أدناه. 44 ft/sec 33° ارسم شكلا يوضّح تحليل هذه السرعة إلى مركبتين متعامدتين. أوجد مقدار كل من المركبتين الأفقية والرأسية للسرعة . وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدرب وحل المسائل (17) ركوب الزوارق : غادر زورق أحد المواني باتجاه 60°W ، حدد الكميات المتجهة والكميات القياسية في كل مما يأتي: (مثال 1) فقطع مسافة 12 ميلا بحريَّا، ثم غيّر قائد الزورق اتجاه حركته إلى (1) طول محمد 125cm . (2) مساحة مربع m2 20. (3) يركض غزال بسرعة m/s 15 باتجاه الغرب. (4) المسافة التي قطعتها كرة قدم 5m. (5) إطار سيارة وزنه 7kg معلق بحبل. (6 رمي حجر رأسياً إلى أعلى بسرعة ft/s 50 . استعمل المسطرة والمنقلة؛ لرسم متجه لكل من الكميات الآتية، ثم اكتب مقياس الرسم في كل حالة (مثال (2) 7) h = 13 in/s ، باتجاه 205 8 g = 6 km/h ، باتجاه N70°W ft/s 5 = ، وبزاوية قياسها 300 مع الأفقي. 10 d = 28 km ، وبزاوية قياسها 35 مع الأفقي. (11) R = 40m ، باتجاه E 55° 12 n = 32 m/s ، باتجاه °030 أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية باستعمال قاعدة المثلث أو قاعدة متوازي الأضلاع، قرّب المحصلة إلى أقرب جزء من عشرة من السنتمتر، ثم حدد اتجاهها بالنسبة للأفقي مستعملا المسطرة والمنقلة (مثال (3) N25°E ، فقطع مسافة 15 ميلا بحريا. أوجد بعد الزورق، واتجاه حركته في موقعه الحالي بالنسبة إلى الميناء. (مثال 3 ) حدد مقدار المحصلة الناتجة عن جمع المتجهين، واتجاهها في كلّ مما يأتي: (مثال 3 ) 18 18 للأمام، ثم 20N للخلف. 19) 100m للشمال، ثم 350m للجنوب . 20) 17mi شرقا، ثم 16mi جنوبًا. 21 15m/s باتجاه زاوية قياسها 60 مع الأفقي، ثم . 2 m/s 9.8 إلى الأسفل. استعمل المتجهات الآتية؛ لرسم متجه يمثل كل عبارة مما يأتي: ( مثال 4 ) m - 2n (22 4n+P (23 5P p + 2n - 2m (24) m - 3n + p (25 m n ارسم شكلا يوضّح تحليل كل متجه مما يأتي إلى مركبتيه المتعامدتين، ثم أوجد مقدار كل منهما. (مثال (5) 26) in/s 2 ، باتجاه "310 مع الأفقي. (27) 1.5cm ، باتجاه E 49° . ، باتجاه 255 . وزارة التعليم الدرس 1- مقدمة في المتجهات 1910 2024-1446 in/min (28 .in/min d (14 (16 m b (13 (15

92 42 (29) تنظيف يدفع حسن عصا مكنسة التنظيف بقوة مقدارها 190N، وبزاوية قياسها 33 مع سطح الأرض كما في الشكل المجاور. (مثال (5) a ارسم شكلا يوضّح تحليل هذه القوة إلى مركبتيها المتعامدتين. أوجد مقدار كل من المركبة الأفقية والمركبة الرأسية. 190 N 33° 30 لعب أطفال : يدفع محمد عربة أخته بقوة مقدارها 100N، وباتجاه 31° مع الأفقي، أوجد مقدار المركبة الرأسية للقوة إلى أقرب عدد (31 را تمثيلات متعددة في هذه المسألة ستستقصي ضرب متجه في عدد حقيقي. a بيانيا : ارسم المتجه a على المستوى الإحداثي، بحيث تكون نقطة بدايته عند نقطة الأصل. واختر قيمة عددية لـ k ، ثم ارسم متجها ناتجا عن ضرب k في المتجه الأصلي على المستوى الإحداثي نفسه وكرّر العملية مع أربعة متجهات أخرى,,, e ، واستعمل قيمة k نفسها في كل مرة. (32) أوجد طول واتجاه المتجه الموازن للمتجهين: a = 15 mi/h ، باتجاه 125 b = 12 mi/h ، باتجاه 045 (33) كرة حديدية : عُلّقت كرة حديدية بحبلين متساويين في الطول كما في الشكل أدناه. 15° 15° 12 باوند 1. إذا كانت 12 تمثلان قوتي الشد في الحبلين، وكانت T1 = T2 ، فارسم شكلا يُمثل وضع التوازن للكرة. أعد رسم الشكل باستعمال قاعدة المثلث لتجد T1 + T2 استعمل الشكل في الفقرة ( وحقيقة أن محصلة 2 + T1 هي المتجه الموازن لوزن الكرة؛ لحساب مقدار كل من 12 ,11 جدوليًا : انسخ الجدول أدناه في دفترك، ثم اكتب البيانات أوجد طول كل متجه واتجاهه مما يأتي بمعلومية مركبتيه الأفقية والرأسية، المناسبة داخله لكل متجه رسمته في الفرع ) نقطة النهاية للمتجه مضروبا في العدد k .a نقطة النهاية للمتجه المتجه والمدى الممكن لزاوية كل منها : (34) الأفقية in 0.32 ، الرأسية in 2.28 ، 180° > 0 > 90° . a b c d e 35) الأفقية 3.1 ، الرأسية ft 4.2 ، 90 > 0 > 0° . تحليليا : إذا كانت (ab) نقطة النهاية للمتجه a ، فما إحداثيات نقطة النهاية للمتجه ka ؟ المتجه الموازن هو متجه يساوي متجه المحصلة في المقدار ويعاكسه في الاتجاه، بحيث إن ناتج جمع متجه المحصلة مع المتجه الموازن (36) الأفقية 2.6cm ، الرأسية 9.7cm ، 360° > 0 > 270° . ارسم ثلاثة متجهات لتوضح صحة كل خاصية من الخصائص الآتية هندسيا : (37) الخاصية الإبدالية a + b = b + a يساوي المتجه الصفري والمتجه الموازن للمتجه a + b هو (a + b) b (38) الخاصية التجميعية + + a + b) + c = a) الفصل 5 المتجهات (a + b) (39) الخاصية التوزيعية bakb حيث 20.52 = وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مسائل مهارات التفكير العليا (40) مسألة مفتوحة لديك متجه مقداره 5 وحدات بالاتجاه الموجب لمحور x ، حلل المتجه إلى مركبتين متعامدتين على ألا تكون أي منهما أفقية أو رأسية. (41) تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا أو ليست صحيحة أبدا، وبرر إجابتك. "من الممكن إيجاد مجموع متجهين متوازيين باستعمال طريقة متوازي الأضلاع". (42) تبرير بفرض أن a + b = a + b| عبر عن هذه العبارة بالكلمات . هل هذه العبارة صحيحة أم خاطئة؟ برر إجابتك . (43) اكتشف الخطأ: حاول كلُّ من حسين ومصطفى إيجاد محصلة المتجهين ab. أيهما كانت إجابته صحيحة ؟ برر إجابتك. حسين b a+b مصطفى b a+b (49) حُلّ المثلث الآتي مقربًا الناتج إلى أقرب عُشر إذا لزم ذلك. (مهارة سابقة ) B a 110° 13 38° C b A (50) حُلّ المعادلة : 0 = sin 2x - cos x لجميع قيم x . (مهارة سابقة ) تدريب على اختبار (51) نزهة قام حسان بنزهة خارج مخيمه الكشفي، فقطع مسافة km 3.75 في اتجاه الشرق من المخيم حتى وصل أحد المساجد، ثم سار شمالا قاصدًا حديقة عامةً، فقطع مسافة km 5.6 ، حدد موقع الحديقة بالنسبة للمخيم؟ (52) طارت طائرة لعبة تسير باستعمال جهاز التحكم عن بعد، بزاوية قياسها 32 مع الأفقي، وبسرعة 48fts كما في الشكل أدناه أي مما يأتي يمثل مقدار المركبتين الأفقية والرأسية لسرعة الطائرة على الترتيب؟ 48 ft/sec 32° 25.4 ft/s, 40.7 ft/s A 40.7 ft/s, 25.4 ft/s B 56.6 ft/s, 90.6 ft/s C 90.6 ft/s, 56.6 ft/s D وزارة التعليم الدرس 1- مقدمة في المتجهات 93 2024-1446 (44) تبرير هل من الممكن أن يكون ناتج جمع متجهين مساويًا لأحدهما؟ برر إجابتك. (45) اكتب قارن بين قاعدتي متوازي الأضلاع والمثلث في إيجاد محصلة متجهين. مراجعة تراكمية أوجد قيمة x في كل مما يأتي مقربا الناتج إلى أقرب عُشر إذا لزم (48 60° 3 ذلك. (مهارة سابقة ) 30° 10 A 54° 17.8 x (46 (47