النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل رابط الدرس الرقمي The Fundamental Theorem of Calculus 8-6 www.ien.edu.sa فيما سبق درست استعمال النهايات لتقريب المساحة تحت لماذا ؟ منحنى دالة الدرس (85) سقط قلم من جيب علي في أثناء ركوبه منطادًا ، فهوى نحو الأرض. والأثره أجد دوال أصلية. إذا كانت سرعة سقوط القلم المتجهة بالقدم لكل ثانية تُعطى بـ = (t) ، فمن الممكن إيجاد الارتفاع الذي سقط منه القلم. =- 32t . أستعمل النظرية الأساسية الدوال الأصلية والتكامل غير المحدد تعلمت في الدرسين 3-8 في التفاضل والتكامل و4-8 ، أنه إذا أعطيت موقع جسم بـ 2 + x) = x2) تر ، فإن العبارة التي لأجد التكامل المحدد. تمثل سرعة الجسم هي مشتقة (f(x أو 2 + f(x) = 2x ، لكن إذا أعطيت المفردات الدالة الأصلية antiderivative التكامل غير المحدد indefinite integral النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل Fundamental Theorem of Calculus عبارة تمثل السرعة، وطلب إليك إيجاد صيغة المسافة التي تم إيجاد السرعة منها، فلا بد من وجود طريقة للعمل عكسيا والعودة إلى الدالة الأصلية وإلغاء الاشتقاق. وبمعنى آخر، فإننا نبحث عن (F(x) ، بحيث إن (F(x) = f(x) . وتُسمى (F(x دالة أصلية للدالة . إيجاد الدوال الأصلية مثال 1 أوجد دالة أصلية لكل حالة مما يأتي: f(x) = 3x2 (a لنبحث عن دالة مشتقتها .3x2 تذكر أن قوة x في مشتقة دالة القوة أقل بواحد من قوة x في الدالة. وعليه فإن قوة المتغير x في (F(x ستكون 3 ، وبما أن معامل x في مشتقة الدالة يساوي قوة x في الدالة، فإن F(x) = x3 تحقق المطلوب. حيث إن مشتقة x3 هي 1 - 3x3 أو 3x2 . إن ق ليست الدالة الوحيدة التي تحققُ المطلوب، فمثلا 10 + G(x) = x3 تحقق المطلوب أيضًا؛ لأن x) = 3x3 - 1 + 10 = 3x2) ، وكذلك 37 - x) = x3) تحقق المطلوب. f(x) = - =- 8 (b أعد كتابة (f(x بقوى سالبة لتحصل على f(x) = - 8x9 ، وبما أن قوة x في مشتقة الدالة أقل بواحد من -8 قوة x في الدالة، فإن قوة x في (F(x ستكون 8 ، وعليه تكون F(x)= x دالة أصلية للدالة ، 9-8x-8-1 = -8x - . لاحظ أن كلا من (x) = x 8 - 12 ، (x) فمشتقة x8 هي * المثل دالة أصلية للدالة في تحقق من فهمك أوجد مالتين أصليتين مختلفتين لكل حالة مما يأتي: =x - -3x-4 (1B 2x (1A في المثال 1 لاحظ أن إضافة أو طرح ثابت لدالة أصلية ينتج عنه دالة أصلية أخرى، وبشكل عام فإن إضافة أو طرح ثابت C لدالة أصلية يُنتج دالة أصلية أخرى ؛ لأن مشتقة الثابت صفر. وعليه فإن هناك عددًا لانهائيا من الدوال الأصلية لأي دالة. والشكل العام للدالة الأصلية هو الشكل الذي يحوي الثابت C . وزارة التعليم Ministry of Education الدرس - النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل 2013146

إرشادات للدراسة الدوال الأصلية F(x) =kx) هي دالة أصلية 3 f(x) =k ، فمثلا ، إذا كان 3 = (f(x ، فإن F(x) = 3x ربط المفردات التكامل غير المحدد سبب تسمية التكامل غير المحدد بهذا الاسم أنه لا يعبر عن دالة محددة، بل عن عدد لا نهائي من الدوال الأصلية. 132 قاعدة القوة كما في المشتقات، فإن هناك قواعد لإيجاد الدالة الأصلية. مفهوم أساسي قواعد الدالة الأصلية إذا كان "f(x) = x ، حيث 11 عدد نسبي لا يساوي 1 ، فإن C+ |.F(x)= 18 + 1 "+1 قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت إذا كان"f(x) = kx ، حيث 11 عدد نسبي لا يساوي -1 ، عددًا ثابتا، فإن F(x) = kx" +1 "+1 +c قاعدة المجموع والفرق إذا كان لـ (x ) (x ) دالتان أصليتان هما (x) ، (F(x) على الترتيب ، فإن: (x) (x) دالة أصلية لـ (f(x) (x . مثال 2 قواعد الدوال الأصلية أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: f(x)=4x7 (a f(x)=4x7 F(x) = 4x7+1 7+1 +C = 18 + C f(x) = ( f(x) : =2x-4 F(x) = 2x-4+1 -4+1 +C 2 =-2׳ + C = - 3 + C f(x) = x2 - 8x + 5 f(x) = x2 - 8x + 5 = x2 - 8x1 + 5x0 x²+1 F(x) = 5x0+1 8x1 + 1 0+1 1+1 2+1 + = 3 x3 - 4x2 + x + C +C تحقق من فهمك الدالة المعطاة قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت بسط الدالة المعطاة أعد كتابة الدالة بقوة سالبة قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت بسط الدالة المعطاة أعد كتابة الدالة بدلالة قوى x قواعد الدالة الأصلية بسط أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: f(x) = 6x4 (24 f(x) = 8x7 + 6x + 2 (2 f(x) = 10 -19 (2B يُعطي الشكل العام للدالة الأصلية باسم ورمز خاصين. مفهوم أساسي التكامل غير المحدد يُعطى التكامل غير المحدد للدالة f بالصيغة + (dx = (x f(x)dx ، حيث (F(x دالة أصلية لد (2) و C ثابت. وزارة التعليم الفصل 8 النهايات والاشتقاق Ministry of Education 2024-1446

مثال 3 من واقع الحياة التكامل غير المحدد فيزياء: أجرى طلاب الصف الثالث الثانوي في إحدى المدارس الثانوية تجربة فيزيائية تتضمن إسقاط كرة من نافذة الفصل التي ترتفع عن سطح الأرض بـ 30 ، وتمثل 32 = (t) سرعة الكرة المتجهة اللحظية بالأقدام بعد 6 ثانية من سقوطها. a أوجد دالة موقع الكرة (s(t بعد ثانية من سقوطها . لإيجاد دالة الموقع، أوجد الدالة الأصلية لـ (t) . الربط مع الحياة السقوط الحر قبل أربعمائة عام تقريبا، استنتج جاليليو جاليلي أن الجميع الأجسام التي تسقط سقوطا حرا التسارع نفسه ، باهمال تأثير الهواء، وأن هذا التسارع لا يتأثر بأي من مادة الجسم الساقط أو وزنه أو الارتفاع الذي سقط منه. العلاقة بين الموقع والسرعة المتجهة s(t) = fv(t) dt v(t)=-321 = -32 -32t dt قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت بسط =- 32+1+1 1+1 +C = -162 + C أوجد C بتعويض 30ft للارتفاع الابتدائي ، 05 للزمن الابتدائي. s(t)=-16t² + C 30 =-16(0)2 + C 30=C الدالة الأصلية لـ (t) s(t) = 30, t = 0 بسط أي أن دالة موقع الكرة هي 30 + 162 = ) . عالم أوجد الزمن الذي تستغرقه الكرة حتى تصل إلى سطح الأرض. حل المعادلة 0 = (t) . s(t)=-16t² + 30 دالة موقع الكرة 0=-16t² + 30 -30=-16t2 1.875 +² 1.369 s(1) = 0 اطرح 30 من كلا الطرفين اقسم كلا الطرفين على -16 خذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين أي أن الكرة ستستغرق 1.369s تقريباً حتى تصل إلى سطح الأرض. تحقق من فهمك (3) سقوط حر عند قيام فنّي بإصلاح نافذة برج على ارتفاع 120ft سقطت محفظته نحو الأرض، وتمثل 32 = ) سرعة المحفظة المتجهة اللحظية بالأقدام بعد ثانية من سقوطها. أوجد دالة موقع المحفظة (s(t بعد ثانية من سقوطها. أوجد الزمن الذي تستغرقه المحفظة حتى تصل إلى سطح الأرض. النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لاحظ أن الرمز المُستعمل للتكامل غير المحدد يبدو شبيها بالرمز الذي استعمل للتكامل المحدد في الدرس 5-4 ، إذ إن الفرق الوحيد هو عدم ظهور حدي التكامل الأعلى والأدنى في رمز التكامل غير المحدد. إن إيجاد الدالة الأصلية لدالة ما هو طريقة مختصرة لحساب التكامل المحدد للدالة نفسها باستعمال مجموع ريمان وهذه العلاقة بين التكاملات المحددة والدوال الأصلية ذات أهمية كبيرة، وتسمى النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. مفهوم أساسي النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل إذا كانت (F(x) دالة أصلية للدالة المتصلة (f(x ، فإن f(x) dx = F(b) F(a) ويمكن التعبير عن الطرف الأيمن من هذه العبارة بالرمز (F(x . وزارة التعليم Mis الدرس - النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل 201336

تاريخ الرياضيات ماريا أجنسن (1799-1718) عالمة إيطالية برعت في اللغات والفلسفة والرياضيات، ويُعد كتابها Analytical Institutions أول كتاب ناقش حسابي التفاضل والتكامل معا. من نتائج النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل أنها ربطت بين التكاملات والمشتقات، فالتكامل هو عملية إيجاد دوال أصلية، في حين أن الاشتقاق هو عملية إيجاد مشتقات. لذا فإن عمليتي التكامل والاشتقاق هما عمليتان عكسيتان، ويمكننا استعمال النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكاملات المحددة دون الحاجة إلى استعمال النهايات. مثال 4 المساحة تحت منحنى استعمل النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى كل دالة مما يأتي والمحور x على الفترة المعطاة: y = 4×3 a على الفترة (13)؛ أي dx 43 أولا: أوجد الدالة الأصلية. 4x3+1 √4x³ dx dx= 3+1 = x + C +C . قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت بسط الآن: احسب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل ، ثم أوجد الفرق. 4x3 dx=. dx = x + C 4 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل = ((3) + C) ((1) + C) 81 1 80 a=1,b=3 بسط 100 y=4x³ 50 1 2 3 أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = 4 x3 والمحور x على الفترة [13] هي 80 وحدة مربعة. ) 6 + y = x2 + 4x على الفترة [4 (0)؛ أي x2 + 4x + 6) dx) أولا: أوجد الدالة الأصلية. y = x 2 + 4x + 6 Of 1 2 3 4 5' +4x+6) dx قواعده الدالة الأصلية بسط =- + 6x0+1 4x1 + 1 x 2 + 1 + 2+1 +C 1+1 =- 3 0+1 +2x² + 6x + C الآن احسب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل، ثم أوجد الفرق. النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل a=0,b=4 بسط 14 - x2 + 4x + (6) dx = + 2x2 + 6x + +de = ( - (4)³ +2(4)² + 6(4)+ 3 + c) - +2(0)² + 6(0) + + c = 34.67 -0 34.67 أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى 6 + y = - x2 + 4x والمحور x على الفترة [04] هي 34.67 وحدة مربعة تقريبا. 16x3 - تحقق من فهمك احسب كل تكامل محدد مما يأتي: 3x2 dx (4A لاحظ أنه عند حساب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل ، وحساب الفرق بين القيمتين ، فإن C لن تظهر في الناتج؛ وذلك لأن C موجودة في كلتا الدالتين الأصليتين، فإن الفرق بين قيمتي C يساوي صفراء لذا فإنه لحساب تكامل محدد باستعمال النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل يمكنك إهمال الثابت C، وعدم كتابته في الدالة الأصلية. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 134

تنبيه التكاملات صحيح أنه يمكن تجاهل الثابت C عند حساب التكامل أخذه المحدد، إلا أنه يجب بعين الاعتبار عند حساب التكامل غير المحدد لأنه جزء من الدالة الأصلية. قبل حساب التكامل حدد ما إذا كان محددًا أو غير محدد. مثال 5 التكاملات المحددة وغير المحددة احسب كل تكامل مما يأتي: (9x-x³) dx (a هذا تكامل غير محدد. استعمل قواعد الدالة الأصلية لحسابه. √(9x-x³) d. = dx 1 9x1+1 3+1 1+1 +C 3+1 (9x-x³) dx (b L(9x- 12 = قواعد الدالة الأصلية بسط هذا تكامل محدد احسب قيمة التكامل باستعمال قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى. L(9x - x³) dx = (x² -| =((3)² (3)-[(2)² - (2)] 4 - 20.25 146.25 تحقق من فهمك احسب كل تكامل مما يأتي: +8x-3) dx (5A النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل a=2,b=3 بسط -x4 +8x324x2 + 30x-4) dx (5B لاحظ أن التكامل غير المحدد يُعطي الدالة الأصلية، في حين لا يُعطي التكامل المحدد الدالة الأصلية بصورة صريحة، بل هو الفرق بين قيمتي الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى. أي أن التكامل غير المحدد يعطي دالة، الدالة وهي ا الأصلية، ويمكن استعمالها لإيجاد مساحة المنطقة تحت منحنى الدالة بين أي حدين أعلى وأدنى؛ ليصبح التكامل عندها محددًا. مثال 6 التكاملات المحددة يُعطى الشغل اللازم لشد نابض ما مسافة 0.5m من موضعه الطبيعي بالتكامل 360x dx ما قيمة الشغل اللازم لشد النابض مقيسًا بوحدة الجول؟ احسب قيمة التكامل المحدد. 360x dx = = 10.5 180x20 180 (0.5)2180(0)² = 45-0 45 10.5 10.5 قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت، والنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل a = 0, b = 0.5 بسط أي أن الشغل اللازم هو 45 . تحقق من فهمك أوجد الشغل اللازم لشد نابض مسافة ما والمعطى بالتكامل في كل مما يأتي: 10.7 476x dx (6A 1.4 51 512x dx (6B وزارة التعليم Ministry of Education الدرس - النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل 201356

احسب كل تكامل مما يأتي: تدرب وحل المسائل أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: (المثالان 1.2) f(x) = x5 (1 g(r) f(z) = √z (2 1 13 + 12 (3 = 75 + 8 5 w(u)=u+u³ u(d) = + - -6d² + 3.5 (5 m(t) = 16 t³-12 +2 + 20-11 (6 (7) سقوط حر: ارجع إلى فقرة لماذا ؟ في بداية الدرس. افترض أن القلم قد استغرق 25 حتى الوصول إلى سطح الأرض. (مثال 3) - s(t) = √-321 أوجد دالة الموقع 32 احسب قيمة C عندما 28 = s(t) = 0 ، t ما ارتفاع القلم عن سطح الأرض بعد 1.55 من سقوطه ؟ احسب كل تكامل مما يأتي: (المثالان 4.5) ²(-x² + 10) dx (17 L - 4x+8) dx (19 I -6 3 dx (16 L3 dx (+5) dx (18 (-x²-9x-10) dx (20 (x-4) = (t) ، حيث == 21) مقذوفات: تُعطى سرعة مقذوف بـ 120 + 32 - (1) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية بعد ! ثانية ، ويبلغ ارتفاعه 228ft بعد 38 . (a) أوجد أقصى ارتفاع يصله المقذوف. ) أوجد سرعة المقذوف عندما يصل إلى سطح الأرض. احسب كل تكامل مما يأتي: (10-121²+5) (23 (312 +81) dt (22 L(-91² + 4t) dt (25 (413 +10t+2) dt (24 1x+3 +3³ (312² +61 + 1) dt (27 (161³ – 151² +7) dt (26 √x - 28 حجم الكرة يمكن إيجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها إلى حلقات دائرية من خلال مستويات رأسية متوازية ثم إجراء تكامل الحساب مساحات الحلقات الدائرية. IX √R2-x² (14.2 w6.1 (6m+ 12m³) dm (8 (6m - L 5 2x3 dx (9) f 2x -a+6) da (10 h²+h³ ³) dh (11 1.2 13+2.3t 5.7) dt 34-1 (12) -20.1 w5.7 +13.2 w23 +3) dw (13 14 حشرات تُعطى سرعة قفز حشرة بـ 34 + 32 - = ) ، حيث يبلغ طول نصف قطر كل حلقة VR2 - x2 ، أي أن مساحة كل الزمن بالثواني و (t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية. ( مثال 6 ) أوجد دالة الموقع (t) للحشرة، ثم احسب قيمة الثابت C بفرض أنه عندما 0 = t ، فإن 0 = (t) . أوجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح الأرض؟ (15) هندسة: صمَّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه = y ، حيث x بالأقدام. احسب مساحة المنطقة x² 157.5 ب 4x + تحت القوس (مثال 6) حلقة هي (تو - V2) أوجد TR2 - x2) dx) / لحساب حجم الكرة . -R (29) مساحات احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي (f(x ، (x) والمحور x ، في الفترة 3 = x 1 f(x) = x²+1 g(x)=-x²+9 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 2 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 136

(30) تمثيلات متعددة ستستكشف في هذه المسألة العلاقة بين قيمة تكامل دالة على فترة ومساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x ، وتأثير موقع الدالة بالنسبة لمحور x على إشارة التكامل. مراجعة تراكمية استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة a) هندسيا : مثل الدالة f(x) = x3 - 6x 2 + x بيانيا، وظلل والمحور x ، والمعطاة بالتكامل في كل مما يأتي: (الدرس 5-8 ) المنطقة المحصورة بين (x) والمحور x في الفترة 4 x 0 . Luen 14x6 dx (38 -2 L+2 (x+2) dx (39 تحليليا احسب كلا من: - 62 . 6x2 + 8x)dx, 12 · L(x³- 6x² + 8x)dx استعمل قاعدة القسمة لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: (الدرس (4-8) لفظيا : أعطِ تخمينا حول مساحة المنطقة الواقعة فوق أو تحت المحور x . تحليليا أوجد التكامل على الفترة كاملة من خلال حساب (x³. x x + 62 - ) ، ثم أوجد المساحة الكلية من خلال حساب (x³-6x2+8x) dx Jo - . 6x2 + 8x)dx + k8-7k = j(k) = 2k4 + 11k3 (40 g(n): = 23+4 n2 + 1 (41 42) إذا كان 8 = lim 2 x 2 + x ، فأوجد قيمة . ( الدرس 2-8 ) x-1 أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: لفظيا أعطِ تخمينا حول الفرق بين قيمة التكامل على الفترة (الدرس (3-8) كاملة والمساحة الكلية. مسائل مهارات التفكير العليا 31) تحد: احسب قيمة V2 - x2 dx ، حيث ۲ عدد ثابت . -T تبرير حدد ما إذا كانت كل عبارة مما يأتي صحيحة دائمًا، أو صحيحة أحيانا، أو غير صحيحة أبدا. برر إجابتك: y = x2 + 3 (43) y=x³ (44 تدريب على اختبار f(x) dx = x = √ f f(x)dx (32 f(x)dx = -b lal f(x) dx = f(x) dx (34 (35) برهان أثبت أنه لأي عددين ثابتين 1 ، 1 ، فإن m dx = ['n dx + Lm (n+m) dx = "I 36) تبرير : صف قيم f(x), f(x)dx, f(x)dx ، عندما يقع i=1 التمثيل البياني للدالة تحت المحور x في الفترة a sx < b . 37) اكتب بين لماذا يمكننا إهمال الحد الثابت C في الدالة الأصلية عند حساب التكامل المحدد. 45) إذا كان 6 = k xdx ، فما قيمة k ؟ 1A 2B 3 4 D Jo وزارة التعليم Ministry of Education الدرس - النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل 201376

الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل مفاهيم أساسية تقدير النهايات بيانيا (الدرس 1-8 ) . المفردات النهاية من جهة واحدة ص 88 النهاية من جهتين ص 88 التعويض المباشر ص 97 الصيغة غير المحددة ص 98 المماس ص 107 . تكون نهاية (f(x عندما تقترب x من C موجودة ، إذا وفقط إذا كانت النهايتان من اليمين واليسار موجودتين ومتساويتين. تكون نهاية (f(x عندما تقترب x من غير موجودة إذا اقتربت (f(x من قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من العدد من اليسار ومن اليمين، أو عندما تزداد قيم (x) أو تتناقص بشكل غير محدود عند معدل التغير اللحظي ص 107 اقتراب قيم x من العدد من اليسار أو اليمين أو كليهما، أو عندما قسمة الفرق ص 107 تتذبذب قيم (x) بين قيمتين مختلفتين عند اقتراب قيم x من السرعة المتجهة اللحظية ص حساب النهايات جبريا (الدرس 2-8) المشتقة ص 114 . يمكن إيجاد نهايات كثيرات الحدود والدوال النسبية عادةً من الاشتقاق ص 114 خلال التعويض المباشر. 0 إذا توصلت إلى الصيغة غير المحددة : عند حساب نهاية دالة نسبية، فبسط العبارة جبريًا من خلال تحليل كل من البسط والمقام أو إنطاق البسط أو المقام ، ثم اختصار العوامل المشتركة. المماس والسرعة المتجهة (الدرس (3-8) . معدل التغير اللحظي للدالة / عند النقطة ((x, f(x) هو ميل المماس 11 عند النقطة ((x, f(x) ، ويُعطى بالصيغة m = lim h→0 f(x + h) - f(x) h (x+h, f(x + h) y= f(x) (xf(x) f(x-h)+f(x) ht 0 xx+hx المعادلة التفاضلية ص 114 اختبر مفرداتك 109 المؤثر التفاضلي ص 114 التجزيء المنتظم ص 124 التكامل المحدد ص 125 الحد الأدنى ص 125 الحد الأعلى ص 125 مجموع ريمان الأيمن ص 125 التكامل ص 125 الدالة الأصلية ص 131 التكامل غير المحدد ص 132 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ص 133 اختر المفردة المناسبة لكل عبارة مما يأتي: 1) ميل المنحنى غير الخطي عند نقطة عليه هو . يمكن تمثيله بميل مماس منحنى الدالة عند تلك النقطة. ، والذي (2) يمكن إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x باستعمال المشتقة (الدرس 4-8 . يُرمز لمشتقة "f(x) = x بالرمز (f(x، وتُعطى بالصيغة 1 - "f(x) = nx ، حيث " عدد حقيقي. المساحة تحت المنحنى والتكامل الدرس (85) . تُعطى مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة (f(x والمحور x بالصيغة (3) يمكن إيجاد نهايات دوال كثيرات الحدود والدوال النسبية باستعمال ، وذلك إذا كان مقام الدالة النسبية لا يساوي صفرا عند النقطة التي تُحسب عندها النهاية . 4) إذا كان (F(x) = f(x) ، فإن (F(x) تُسمى . يُسمى ناتج التعويض في النهايات على الصورة ہے. f(x) J. f(x) dx = lim Σ f(x) Ax de ··" f(x) i=1 الحدان الأعلى والأدنى للتكامل ، 4 Ax=b ; ,x = a + idx 11 ، حيث a ، b هما (6) تُسمى عملية إيجاد المشتقة بـ (7) إذا سبقت دالة بــ الدالة. d dx ، فإن ذلك يعني إيجاد مشتقة النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل (الدرس 6-8) الدالة الأصلية لـ "f(x) = x هي (F(x) وتُعطى بالصيغة x" +1 "1+1 +c = (F(x ، حيث C عدد ثابت . إذا كانت (F(x) دالة أصلية للدالة المتصلة (f(x، فإن (8) يطلق على السرعة المتجهة عند لحظة زمنية محددة . 138 b f(x)dx = F(b) - (a) الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

مثال 1 قدر x²-4 x-2x-2 جدول قيم. lim باستعمال التمثيل البياني، ثم عزّز إجابتك باستعمال التحليل بيانيا : يُبين التمثيل البياني للدالة = = (f(x أدناه أنه x-2 كلما اقتربت قيم x من العدد 2 ، فإن قيم (f(x المقابلة تقترب من 4 ؛ x²-4 لذا فإن بإمكاننا تقدير 2 - 2 lim بالعدد 4 . ty = التعزيز عدديًا : كوّن جدول قيم باختيار قيم x القريبة من العدد 2 من x تقترب من -2 كلا الجهتين. تقترب من 2 مراجعة الدروس 8-1 تقدير النهايات بيانيا ( الصفحات 86 - 94) قدر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزز إجابتك باستعمال جدول قيم: lim (2x-7) (9 x-3 lim (0.5x +3x-5) (10 x-1 قدر كل نهاية مما يأتي: lim x 2 + x - 6 (11 x-2+ x-2 x2 + x + 20 lim x-4 (12) X-4 9 lim x-4x28x+16 (13 x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 lim x-2 x²-7x-10 x-2 (14 f(x) 3.9 3.99 3.999 4.01 4.001 4.1 8-2 حساب النهايات جبريًا (الصفحات 95-104) استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي: x2 + 2x + 10 lim x-5 (15 x lim (5x22x+12) (16 1--1 احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا، وإلا فاذكر السبب. يبين نمط قيم (f(x، أنه كلما اقتربت قيم x من العدد 2 من اليسار ومن اليمين، فإن قيم (f(x تقترب من العدد 4 . مثال 2 احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ذلك ممكنا، وإلا فاذكر السبب. lim (2x3 - x2 + 4x + 1) (a x-2 بما أن هذه نهاية كثيرة حدود؛ لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim (2x3 - x2 + 4x + 1 = 2(2)3 - 22 + 4(2) + 1 x-2 16 4+8+1=21 2x-7 lim x-42-x2 يما أن هذه نهاية دالة نسبية مقامها ليس صفرا عندما 4- = x ؛ لذا يمكننا حسابها باستعمال التعويض المباشر. lim -8-7 2(-4)-7 2x-7 x-42-2-2-(-4)² = = = 2-16 15 14 وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 201396 x2 + 1 lim (17 x-25 √x-5 lim (-3x³-2x²+15) (18 x-2 احسب كل نهاية مما يأتي: lim x+2 (19 x-2 x2 2x-8 lim (2 - 4x3 + (x2) (20 1400

وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 دليل الدراسة والمراجعة مثال 3 أوجد ميل مماس منحنى y = x2 عند النقطة (24) . h-0 f(x + h)-f(x) صيغة معدل التغير اللحظي f(2+ h) (2+)2, f(2) = 22 m = lim h x=2 = lim h→0 f(2+ h) -f(2) h (2+ h)2-22 = lim h→0 h = lim h→0 = lim 4+4h+h²-4 h 0-4 h(4 + h) h فك الأقواس بسط، ثم حلل اقسم على عوض = lim (4+ h) h-0 =4+0=4 الفصل 8 8-3 المماس والسرعة المتجهة (الصفحات 107-112 ) أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة : y=6-x, (-1,7), (3, 3) (21 y= x²+2, (0,2), (-1,3) (22 أوجد معادلة ميل منحنى كل دالة مما يأتي عند أي نقطة عليه: y = x2 + 3 x (23) y = x3 + 4x (24 تمثل (s(t في كل مما يأتي موقع جسم بالأقدام بعد 4 ثانية . أوجد سرعة الجسم المتجهة اللحظية عند الزمن المعطى: s(t) = 15t - 16t2, t = 0.5 (25) s(t)=-16t2 35t + 400, 3.5 (26 تمثل (h(t في كل مما يأتي مسار جسم متحرك . أوجد السرعة المتجهة أي أن ميل مماس منحنى y = x2 عند النقطة (24) هو 4 . .h(x)= 2-5 x+2 مثال 4 أوجد مشتقة افترض أن 2 + f(x) = x2 - 5x = x3 . لذا، (x) = f(x)/(x) . أوجد مشتقة كل من (f(x) (x من الفرض قواعد مشتقات القوة والدالة الثابتة من الفرض قواعد مشتقات القوة والدالة الثابتة f(x) = x2 - 5 f'(x) = 2x (x) = x3 + 2 g'(x) = 3x² استعمل (f(x), f(x) () (x لإيجاد مشتقة (x) . = (x) قاعدة مشتقة القسمة عوض بسط = f(x)g (x) − f(x) g'(x) [g(x)]² 2x(x32) (x2-5) 3x² - (x³ + 2)² x4 + 15x 2 + 4x (x3 + 2)² h(t) = 8 - 22 + 3 (28) اللحظية (t)) للجسم عند أي زمن h(t) = 12t² - 5 (27 المشتقات الصفحات 114-121 ) 8-4 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات ، ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة. g(t)²+5+11,1-4,1 (29 = m(j) 10j 3,j=5,-3 (30 = أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: z(n) 4n2+9n (32 3 = 1 g(h) 4h4-8h+5 (34 p(v)-9v+14 (31 t(x) = -3 √√x6 (33 استعمل قاعدة مشتقة القسمة؛ لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: m(q) 204 - 12 + 9 92-12 (36 f(m) = 5 - 3m 5+2m (35 الفصل 8 النهايات والاشتقاق 140

8-5 المساحة تحت المنحنى والتكامل الصفحات 122 - 130 ) مثال 5 قرب مساحة المنطقة المظللة تحت منحنى كل دالة مما يأتي باستعمال استعمل النهايات لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الأطراف اليمنى و 5 مستطيلات (37 f(x) f(x) = - x2 + 8x - 10 (38 12x² y = 2x2 والمحور x ، في الفترة [02] أو 2x2 dx 10 ابدأ بإيجاد xx 2 4 صيغة Ax 12 Ax = b-a x = 0 + 12 = 2 2 4 b=2,a=0 Ax=2-0-2 a=0, Ax= 32 ---=(274) 11-08-1 استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x ، والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: fara 2x2dx (39) (2x³-1) dx (40 L²x²+ +x) dx (41 [ (3x2 - (1) x) dx (42 8-6 И = lim n' = lim 4 n(n + 1)(2n+ 111111 6 = lim 004-11 8(2n2+3+1) 312 = lim + + 1x 3 11" 訓 16 = 15.33 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل الصفحات (131-137) مثال 6 أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: g(n) 5n 2 (43 = - r(q)=-3q²+9q-2 (44 m(t) 613-1212 + 2-11 (45 p(h) = 7h6+4h512h3-4 (46 احسب كل تكامل مما يأتي: dx (47) (2x²-4) dx (48) -4+5x3 + 3x4) dx (49 f22 - 4 - 4x2x3+5x5) dx (50 [ - x2 + 4x - أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: f(x) = 4 (a f(x)=4x-5 F(x) 4x-5+1 = -5+1 +C =x-4 + C = - +C f(x) = x2 - 7 (b f(x) = x2 - 7 = x²-7x0 F(x)= x²+1 7x0+1 = +C 2+1 0+1 = 3 x3 - 7x + C بسط صيغ المجموع بسط أخرج عاملا مشتركا ثم اقسم على " خصائص النهايات أعد كتابة الدالة المعطاة بقوة سالبة قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت بسط الدالة المعطاة أعد كتابة الدالة بدلالة قوى x قواعد الدالة الأصلية بسط وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 2014146

الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة تطبيقات ومسائل 51 حيوانات: يُعطى عدد الحيوانات P في محمية طبيعية بالمئات بعد (55) رماية أطلق محمد سهما بسرعة ft/s 35 باتجاه هدف. افترض أن ارتفاع السهم بالأقدام بعد ثانية من إطلاقه معطى بالدالة سنة بالدالة. (الدرس 1-8) 40+3+48t+100 5t3-70-95 = (t) ، حيث 5 2 1 . h(t)=-16t2 + 35t + 1.5 (8-3) أوجد العدد التقريبي للحيوانات في المحمية بعد 5 سنوات. ) أوجد (lim (t ؟ x+7 (52) تحف فنية لدى سلمان تحفة فنية يزداد سعرها كل سنة. افترض أن الدالة 8001 = 4t + 19 (1) تمثل سعر ا التحفة بعد أ سنة بمئات الريالات (الدرس 1-8 استعمل الآلة البيانية لتمثيل الدالة في الفترة 10 s t s 0 . استعمل التمثيل البياني في الفرع التقريب سعر ا التحفة عندما . 1 = 3,6,10 استعمل التمثيل البياني في الفرع الحساب (lim (t وضح العلاقة بين نهاية الدالة وسعر التحفة. e) بعد 10 سنوات، قدم أحد المعارض الفنية عرضًا لشراء التحفة ) اكتب معادلة السرعة المتجهة اللحظية (٤) للسهم . (6) ما سرعة السهم بعد 0.5/5 من إطلاقه ؟ متى يصل السهم إلى أقصى ارتفاع ؟ ما أقصى ارتفاع يصل إليه السهم ؟ 56 تصميم يقوم مصمم ألبسة رياضية بعمل شعار جديد يشبه المنطقة المظللة تحت المنحنى أدناه؛ حيث سيقوم بخياطة هذا الشعار على من سلمان بسعر ( 30000 ريال، هل من الأفضل بيعها بهذا السعر ؟ قمصان لاعبي فريق رياضي ، ما مقدار القماش الذي يحتاج إليه برر إجابتك. (53) مبيعات افترض أن الدالة . 450 5+25(0.4) ما بالريالات بعد سنة (الدرس (82) =t)) تمثل سعر . سلعة العمل 50 شعارًا إذا كانت x بالبوصات؟ (الدرس 6-8) -x+3x3 ) أكمل الجدول أدناه: السنة السعر 3 2 1 0 استعمل الآلة البيانية لتمثيل الدالة في الفترة 10 t 0 . 1-xx 3 1 2 - استعمل التمثيل البياني لتقدير )lim o إذا كانت موجودة. (57) ضفادع تمثل الدالة 3226 = (t) سرعة قفز ضفدع بالأقدام لكل ثانية ، حيث : الزمن بالثواني (الدرس 6-8) d) وضح العلاقة بين نهاية الدالة وسعر السلعة. أوجد موقع الضفدع (t) على فرض أن 0 = (t) عندما 0 = t (54) صواريخ، أطلق صاروخ رأسيًّا إلى أعلى بسرعة ft/s 150. افترض ) ما الزمن الذي يستغرقه الضفدع في الهواء عند قفزه؟ أن ارتفاع الصاروخ (t) بالأقدام بعد ثانية يُعطى بالدالة (8-3) h(t)=-16t2 + 150t+8.2 a) أوجد السرعة المتجهة اللحظية (t)) للصاروخ ما سرعة الصاروخ بعد 1.55 من إطلاقه؟ متى يصل الصاروخ إلى أقصى ارتفاع ؟ ما أقصى ارتفاع يصل إليه الصاروخ ؟ ، 58) طيور سقطت حبة قمح من منقار حمامة تطير على ارتفاع 20ft . وتعطى سرعة سقوط الحبة بالدالة 32 = (1) ، حيث | الزمن بالثواني، (t) بالأقدام لكل ثانية (الدرس 6-8) أوجد موقع الحية (7) عند أي زمن. أوجد الزمن الذي تستغرقه الحبة حتى تصل إلى سطح الأرض. وزارة التعليم 142 الفصل 8 النهايات والاشتقاق Ministry of Education 2024-1446

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: اختبار الفصل الفصل 8 قدر كل نهاية مما يأتي: f(x) = - 3x - 7 (20) b(c)=4c-8c+5c³ (21 1 w(y) = 3y+6y (22 g(x) = (x²-4)(2x-5) (23 h(t) = 3 + 412 + 1 (24 -16 (2 x-4x-4 lim lim x3+5x22x + 21 (4 x10 lim x + 4 - 8 (1 +0-x 6 lim x-7 x 7 (3 (5) إلكترونيات يُعطى متوسط تكلفة إنتاج جهاز إلكتروني بالريال .C(x) = 100x + 7105 x عند إنتاج x جهاز بالدالة . a احسب نهاية الدالة عندما تقترب x من المالانهاية فسر الناتج في الفرع 2. (25) صناعة : تُعطى التكلفة الحدية ، بالريال لإنتاج x كرة قدم يوميا بالدالة 0.005x احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكنا، وإلا فاذكر السبب: lim (2x3 - 12x + 3) (7 lim (6) X-9 x-5 √√x 2 2000+2+4 1 + 10+2 (t) عدد المشتركين في .c(x) = 15 أوجد دالة تمثل التكلفة الحقيقية . ) أوجد تكلفة زيادة الإنتاج اليومي من 1500 كرة إلى 2000 كرة. استعمل النهايات؛ لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x ، والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: تمثل الدالة (8) ناد رياضي: ناد رياضي بعد يوم من افتتاحه. ما عدد المشتركين في البداية؟ ما أكبر عدد ممكن لمشتركي النادي؟ احسب كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): -3x+4) dx (26 ( 22 - 3) L10xx 10.x 10 x dx (27 -2x+4x2) dx (28 10-2 lim (2x3 - 8x2 - 5) (10 أوجد جميع الدوال الأصلية لكل حالة مما يأتي: d(a) 4a3+9a2-2a+8 (29 20 (2) = 2 24 + 3 22 - 3 (30 lim (x27x+2) (9 1400 23 - x - 1 x-x-4+7x3+4 (11 x-00 25+x-4 lim (12) lim x-x x (13) اختيار من متعدد ما قيمة . 1 A 0B - x+3 x x-0 D غير موجودة أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: y= x²+2x-8, (-5,7), (-2, -8) (14 -+2(-1-2)(2) (15 y (2x+1)2, (-3, 25), (0, 1) (16 أوجد السرعة المتجهة اللحظية (t) لجسم يعطى موقعه عند أي زمن بالدالة (t) في كل مما يأتي: احسب كل تكامل مما يأتي: (5x³-6x²+4x-3) dx (31 +4x-2) dx (32 (33) مساحات ما مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي (x) f(x) في الفترة 4 x 2 في الشكل أدناه ؟ -30- g(x)= |√(x)= | 10 24 6.x A 17 وحدة مساحة B 17 وحدة مساحة 15 وحدة مساحة .... D 16 وحدة مساحة وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 8 اختبار الفصل 201436 h(t) = 9t + 32 (17) h(t) 102 713 (18) = h(t) = 33 - 2 + 4 (19)