التحليل الإحصائي - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

التحليل الإحصائي Statistical Analysis 7-2 رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa فيما سبق درست مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت (مهارة سابقة) والان أختار مقياس النزعة المركزية الأنسب لتمثيل البيانات. لماذا ؟ شارك أمجد في 18 سباقا جبليًّا للدراجات خلال العام الماضي، ويُمثل الجدول المجاور الزمن بالدقائق والثواني الذي استغرقه للوصول إلى خط النهاية في كل منها. أي من مقاييس النزعة المركزية يفضل أن يستعمله أمجد لوصف هذه الأزمنة ؟ 6:51 / 7:03 | 6:49 | 7:29 | 6:59 | 7:20 | إن إيجاد أحد مقاييس النزعة المركزية لوصف البيانات وتلخيصها، والوصول إلى الاستنتاجات المتعلقة بالدراسة يُسمى التحليل الإحصائي لها. 6:48 6:52 6:50 7:01 6:49 6:57 6:53 7:07 6:54 6:56 7:09 7:02 التحليل الإحصائي البيانات الموجودة في الجدول أعلاه تشتمل على متغير؛ لذا تُسمى بيانات في متغير واحد. أجد هامش خطأ المعاينة ولوصف مثل هذه البيانات، يُستعمل أحد مقاييس النزعة المركزية، الذي يشير إلى متوسط البيانات أو منتصفها (مركزها)، وأبرز هذه المقاييس هو المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال. وأستعمله. أستعمل مقاييس التشتت والآن اختار مقياس لوصف البيانات يمكن استعمال الجدول أدناه: المقارنة مجموعات من البيانات. المفردات التحليل الإحصائي statistical analysis المتغير variable مفهوم أساسي المقياس مقاييس النزعة المركزية التعريف المتوسط الحسابي مجموع القيم مقسوما على عددها العدد الذي يشغل موقع المنتصف عند ترتيب الوسيط بيانات في متغير واحد univariate data أكثر فائدة عندما لا توجد في البيانات قيم متطرفة. القيم تنازليا أو تصاعديا في مجموعة بيانات توجد في البيانات قيم متطرفة عددها فردي، أو هو المتوسط للعددين ولا توجد فجوات كبيرة في الموجودين في المنتصف، في مجموعة بيانات منتصف البيانات. عددها زوجي ومرتبة ترتيبا تصاعديا أو تنازليا. مقاييس النزعة المركزية measure of central tendency المنوال القيمة الأكثر تكرارا أو شيوعًا بين القيم. تحوي البيانات قيما متكررة. المعلمة parameter الإحصائي Statistic هامش خطأ المعاينة margin of sampling error measure of variation مقياس التشتت التباين variance الانحراف المعياري standard deviation إرشادات للدراسة . مثال 1 من واقع الحياة مقاييس النزعة المركزية زمن السباق : إشارة إلى البيانات في سباق الدراجات أعلاه، أي مقاييس النزعة المركزية يصف البيانات و الأفضل. بصورة أفضل؟ ولماذا؟ بما أن البيانات تنتشر ولا يظهر فيها قيم متطرفة، يكون المتوسط هوا أي من مقاييس النزعة المركزية يناسب البيانات في الجدول المجاور؟ ولماذا؟ بما أنه توجد قيم متطرفة ولا يوجد فجوات كبيرة في منتصف البيانات، فإن الوسيط أفضل من غيره لتمثيل البيانات. تحقق من فهمك 17 15 17 15 18 1 16 16 18 18 16 48 16 12 14 40 (1) تمنح مؤسسة جائزة كبرى قيمتها 20000 ريال و 30 جائزة أخرى قيمة كل منها 500 ريال، أي مقاييس النزعة المركزية يلائم البيانات بصورة أفضل؟ ولماذا؟ يوجد نوعان من المقاييس يمكن استعمالهما لمجموعة من البيانات هما المَعْلَمة وهو مقياس يصف خاصية في المجتمع، والإحصائي وهو مقياس يصف خاصية في العينة، فمتوسط دخل الفرد في المملكة هو مثال على المعلمة، أما دخل الفرد في مدينتك التي تسكنها، فهو مثال على الإحصائي. ويتم تحديد مجتمع الدراسة في ضوء الهدف من الدراسة، فإذا أراد باحث مثلاً تعرف مدى رضا معلمي الرياضيات عن المناهج الجديدة في المملكة، فإن مجتمع الدراسة يكون جميع معلمي الرياضيات الذين يدرسون المناهج الجديدة في المملكة، ولصعوبة إجراء الدراسة على هي واحدة من البيانات أكبر أو أصغر كثيرا من بقية البيانات. جميع المعلمين، فإنه يتم اختيار مجموعة صغيرة والتي تمثل عينة الدراسة. القيمة المتطرفة وزارة التعليم 50 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء Ministry of Education 2024-1446

وعند سحب عينة من مجتمع فهنالك خطورة من وجود خطأ في المعاينة ناتج عن إجراء الدراسة على عينة من المجتمع وليس على المجتمع بأكمله يسمى هامش خطأ المعاينة. وكلما زاد حجم العينة قل هامش خطأ المعاينة، ويُحدد هامش خطأ المعاينة الفترة التي تدل على مدى اختلاف استجابة العينة عن المجتمع، وهذا يعني أنه يصف المدى الذي تقع فيه نسبة المجتمع فيما إذا أجريت الدراسة على المجتمع بأكمله. مفهوم أساسي هامش خطأ المعاينة عند سحب عينة حجمها " من مجتمع كلي، فإنه يمكن تقريب هامش خطأ المعاينة بالقيمة مثال 2 هامش خطأ المعاينة إرشادات للدراسة كتابة هامش خطأ المعاينة نكتب هامش خطأ المعاينة عادة على صورة نسبة مئوية. في دراسة مسحية عشوائية شملت 2148 شخصا، أفاد 58% منهم أن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة. (a) ما هامش خطأ المعاينة؟ بل هامش خطأ المعاينة قانون هامش خطأ المعاينة ~+ √2148 = ±0.0216 n 2148 بسط إرشادات للدراسة . إذن هامش الخطأ للمعاينة %2.16 تقريباً. ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين أفادوا أن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة؟ 58% +2.16% 60.16% = 58% - 2.16% 55.84% الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين أفادوا بأن كرة القدم هي لعبتهم المفضلة تقع بين %55.84 و %60.16 أي تقع في الفترة (%60.16 %55.84). تحقق من فهمك في دراسة مسحية عشوائية شملت 3247 شخصا، قال 41% منهم: إنهم مرتاحون للنهضة العلمية. (2) ما هامش خطأ المعاينة ؟ (28) ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة أفراد المجتمع المرتاحين للنهضة العلمية؟ مقاييس التشتت تصف مقاييس التشتت مقدار تباعد البيانات أو تقاربها، ومن أشهر مقاييس التشتت التباين، والانحراف المعياري . ويصف هذان المقياسان مدى بعد مجموعة البيانات عن المتوسط أو قربها منه. درست سابقا مقاييس التشتت يمثل الرمز X المتوسط للعينة ويقرأ x بار»، ويمثل الرمز المتوسط للمجتمع ويقرأ «ميو». ويحسب كل من مقاييس التشتت المدى، الربيعات المدى المتوسط للعينة والمتوسط للمجتمع بالطريقة ذاتها، أما طريقة حساب الانحراف المعياري لكل من بيانات العينة الربيعي الانحراف المتوسط. وبيانات المجتمع، فتختلف، وفيما يأتي توضيح لطريقة حساب كل من الانحراف المعياري للعينة ) ويُرمز له بالرمز ، والانحراف المعياري للمجتمع ( ويرمز له بالرمز ، ويقرأ «سيجما»). مفهوم أساسي قانونا الانحراف المعياري العينة Σ(x*x)² 1-1 s= المجتمع Σ(x-1)² k=1 0= 11 حيث 11 عدد قيم العينة و المتوسط الحسابي للعينة و قيم العينة. حيث 11 عدد قيم المجتمع و المتوسط الحسابي للمجتمع و x قيم المجتمع. وزارة التعلم الدرس 2- التحليل الإحصائي 205146

الربط مع الحياة مثال 3 من واقع الحياة الانحراف المعياري درجات اختبار حصل طلاب المعلم صالح في اختبارين متتاليين على المتوسط نفسه في اختبار الرياضيات وهو 75. إذا علمت أن درجات الاختبارين كما يأتي: الاختبار A الاختبار B 100, 100, 90, 10, 100, 95, 10, 95, 100, 100, 85, 15, 95, 20, 95, 90, 100, 100, 90, 10, 100, 100, 25 85,80, 75, 75, 70, 75, 75, 65, 75, 75, 75, 80, 75, 75, 70, 80, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 75 يستعمل المعلمون الأنواع a بين ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعًا، ثم أوجد الانحراف المعياري لدرجات الاختبار A. المختلفة من الأسئلة الموضوعية الخطوة 1 بما أن المتوسط 75 للاختبار كاملا ، فهو يمثل متوسط المجتمع. ومن هنا فإن: والمقالية لتقدير درجات طلابهم. . H = 75 الخطوة 2 أوجد الانحراف المعياري. إرشادات للدراسة المتوسط للمجتمع عندما يكون المتوسط للمجتمع 4 معلوما، يمكنه أن يحل مكان المتوسط للعينة X. +(7575)2 + (75-75)² 23 (x - 2 σ = 11 (85-75)²+(80-75)² + = 3.9 قانون الانحراف المعياري إرشادات للدراسة . المتوسط والانحراف المعياري للعينة إذا قارن المعلم صالح درجات طلابه بدرجات طلاب آخرين في اختبار وطني مثلا، فإن درجات طلابه تعد هيئة من درجات كل الطلاب الذين تقدموا للاختبار، وعليه أن يحسب ، 5 في هذه الحالة. المتوسط لدرجات الاختبار A يساوي 75 والانحراف المعياري يساوي تقريبا 3.9 استعمل الحاسبة البيانية؛ لإيجاد الانحراف المعياري للاختبار B. اضغط ) ثم وأدخل القيم (الدرجات) في العمود A. 4: الاحصاء ولمشاهدة الإحصائيات اضغط ) ثم اختر 1: الحسابات الإحصائية 1: إحصاء أحادي المتغير ومنها ثم اضغط موافق موافق موافق المتوسط لدرجات الاختبار B يساوي 75 والانحراف المعياري يساوي تقريبا 36 قارن الانحراف المعياري في كلا الاختبارين وماذا تستنتج؟ 96 Onevar(b[11) Copyl إحصاء أحادي المتغير 75. 1725. 159175. العنوان 100 100 x 90 ΣΧ 10 Σχε 100 SXS-X 36.6041499636 95 A الانحراف المعياري للاختبار B أكبر كثيرًا من الانحراف المعياري للاختبار A؛ لذا فدرجات الطلاب في الاختبار A أكثر تجانسا، أي أن درجات بعضهم قريبة من بعض مقارنةً بالاختبار B الذي يبين درجات عالية جدا، ودرجات لآخرين دون المتوسط كثيرا. تحقق من فهمك 3) احسب المتوسط والانحراف المعياري للمجتمع للبيانات المحدّدة في الجدول المجاور. (3) ضع 70 مكان 30 في الجدول المجاور. ماذا تتوقع أن يحدث لكل من المتوسط والانحراف المعياري؟ أعد الحسابات للتحقق. 31 34 33 33 28 31 29 34 36 33 36 29 32 28 30 28 33 29 28 29 29 27 26 31 28 170 168 سم سم، 3C) اختير (5) طلاب عشوائيا من فصل دراسي، وقيست أطوالهم فكانت : 175 سم، ( 167سم، 170 سم. بين ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعا، ثم أوجد الانحراف المعياري لأطوال 52 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء هؤلاء الطلاب. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

تدرب وحل المسائل أي مقاييس النزعة المركزية يصف بصورة أفضل البيانات الآتية؟ ولماذا؟ (مثال (1) 833, 796, 781, 776, 758 (1 37.2, 36.8, 40.4, 19.2 (2 65, 70, 17, 60, 55, 65, 63, 58, 60, 69 (3 53, 61, 46, 59, 61,55,49 (4 9) تمارين رياضية : في دراسة مسحية شملت 4213 شخصا اختيروا بطريقة عشوائية، أفاد 78% منهم أنهم يمارسون الرياضة لمدة ساعة أسبوعيا على الأقل. a) ما هامش خطأ المعاينة؟ ما الفترة الممكنة التي تحتوي على نسبة المجتمع الذين يمارسون الرياضة ساعة واحدة على الأقل أسبوعياً؟ (5) تغذية: يوضح الجدول أدناه عدد السعرات لكل طبق خضار. 10 قيادة تُحدّد عادة السرعات القصوى على الطرقات تفاديا للحوادث. الخضار السعرات الخضار السعرات الخضار السعرات زهرة بركلي باذنجان بندورة ملفوف فاصوليا حبوب جزر فلفل كوسا سبانخ خس 10 17 66 17 25 17 28 9 14 30 20 9 a) فيما يأتي السرعات القصوى (mi/h) للطرقات جميعها في إحدى الدول بين مدنها وقراها بين ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعا، ثم أوجد الانحراف المعياري للسرعات في الجدول أدناه. (مثال 3) السرعات القصوى للطرقات جميعها (mi/h) (6) طقس: يبين الجدول أدناه، درجات الحرارة في أثناء النهار ولمدة أسبوع بالدرجات الفهرنهايتية: اليوم درجة الحرارة السبت الأحد الإثنين الثلاثاء الأربعاء الخميس الجمعة 64°F 73°F 69°F 70°F 71°F 75°F 74°F (7) ألعاب أولمبية في دراسة مسحية عشوائية شملت 5824 شخصا، أفاد 29% منهم أنهم سيشاهدون الألعاب الأولمبية على التلفاز. (مثال (2) a ما هامش خطأ المعاينة ؟ ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين سوف يشاهدون الألعاب الأولمبية على التلفاز ؟ (8) رياضة في دراسة مسحية عشوائية شارك فيها 5669 شخصا، وجد أن %31% منهم يشاهدون مباراة واحدة على الأقل في كرة القدم شهريا. a) ما هامش خطأ المعاينة ؟ ) ما الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة المجتمع الذين يشاهدون مباراة واحدة على الأقل في كرة القدم شهريا ؟ 70 65 70 75 65 70 70 75 65 70 إذا كان الانحراف المعياري للسرعات القصوى (mi/h) للطرقات جميعها في دولة أخرى (24) . قارن الانحراف المعياري للسرعات في كلا الدولتين. وماذا تستنتج؟ (11) تدريب في أثناء التمرين سجّل سلطان الأزمنة التي ركض فيها مسافة 40m. بين ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعا، ثم أوجد الانحراف المعياري للبيانات في الجدول أدناه. 12) اختبارات فيما يأتي درجات صف مكون من 10 طلاب في اختبار من 25 درجة. درجات 10 طلاب في اختبار من 25 درجة 20 17 21 22 20 21 20 21 21 23 a قارن بين المتوسط والوسيط للدرجات. ) أوجد الانحراف المعياري للبيانات، وقربه إلى أقرب جزء من مئة. على افتراض أن الدرجة 20 كانت خطاً، وتم تعديلها إلى 25، كيف يتأثر كل من المتوسط والوسيط بهذا التغيير؟ وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 2- التحليل الإحصائي 20536

(13) مدارس: يوضّح الجدول أدناه عدد الطلاب لكل معلم في مدارس أوجد الضرب الداخلي للمتجهين في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا إحدى المناطق التعليمية: كانا متعامدين أو لا. (مهارة سابقة) عدد الطلاب لكل معلم u =(1, 3, 5), v = (-8,1,1) (21 27 26 26 22 25 24 25 28 22 24 u = (-2, 4, 6), v = (2,3,4) (22 24 26 24 22 20 27 23 22 29 23 u = (3, 4, 5), v = (-1, -3, -5) (23 u = 8i - 8j + 3k, v = 2i + 4j + 6k (24) 24 29 26 24 28 28 29 25 25 23 ما مقياس النزعة المركزية الأنسب لهذه البيانات؟ ولماذا؟ بين ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعا، ثم أوجد أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة الانحراف المعياري للبيانات، علما بأن المتوسط الحسابي لها بالإحداثيات الديكارتية في كل مما يأتي: (الدرس 2-6) يساوي 25، وقربه إلى أقرب جزء من ملة. مسائل مهارات التفكير العليا (14) مسألة مفتوحة اجمع بيانات في متغير واحد، ثم صف مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت المناسبة لهذه البيانات. (15) تحد، إذا أيد 67% من المستهدفين موضوع دراسة مسحية 69.2% - 64.8% ، فكم شخصًا تناولت الدراسة المسحية رأيهم؟ (6,11) (25 (-9,2) (26 (3, 1) (27 تدريب على اختبار وكانت الفترة الممكنة التي تتضمن نسبة أفراد المجتمع المؤيدة هي (28) إحصاء في مجموعة من تسعة أعداد مختلفة، أي مما يأتي لا يؤثر 16 تبرير حذفت قيمة متطرفة كبيرة من مجموعة بيانات، كيف يؤثر ذلك في المتوسط والانحراف المعياري لمجموعة البيانات؟ وضح ذلك. في الوسيط ؟ زيادة كل عدد بمقدار 10 مضاعفة كل عدد زيادة القيمة الصغرى فقط زيادة القيمة الكبرى فقط 17 تبرير إذا زيدت كل قيمة في مجموعة بيانات بمقدار 10، فكيف (29) درجات اختبار كانت درجات 5 طلاب اختيروا عشوائيا في فصل يؤثر ذلك في المتوسط والوسيط والانحراف المعياري؟ فسّر دراسي كما يلي 70,50,305,55 بين ما إذا كانت هذه البيانات تمثل عينة أم مجتمعا، ثم احسب الانحراف المعياري لدرجاتهم إلى إجابتك. 18 اكتب قارن بذكر أوجه الشبه وأوجه الاختلاف بين المتوسط والوسيط لمجموعة بيانات في متغير واحد. أقرب عدد صحيح. 15 B 40 A 13 D 14 C مراجعة تراكمية حدد إذا كانت كل دراسة مسحية مما يأتي تتبنى عينة متحيزة أو غير متحيزة وفسر إجابتك (الدرس 1-7) (19) قام باحث بإرسال استبانة إلى كل شخص تنتهي بطاقة الهوية الخاصة به برقم معين. (20) إيجاد أطوال أعضاء فريق كرة السلة لتحديد المتوسط الحسابي لأطوال طلاب المدرسة. 54 الفصل 7 الاحتمال والإحصاء وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446