الأعداد المركبة ونظرية ديموافر - رياضيات3-3 - ثالث ثانوي

www.icn.edu.sa الأعداد المركبة ونظرية ديموافر Complex Numbers and De Moivre's Theorem 6-3 فيما سبق درست إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة (مهارة سابقة) والان لماذا ؟ يستعمل مهندسو الكهرباء الأعداد المركبة لوصف بعض العلاقات في الكهرباء فالكميات فرق الجهد V، والمعاوقة 2، وشدة التيار I ترتبط بالعلاقة V = 1. Z ، التي تستعمل لوصف تيار متردد. ويمكن كتابة كل متغير على صورة عدد أحول الأعداد المركبة من مركب على الصورة a + bj ، حيث العدد التخيلي (ويستعمل الصورة الديكارتية إلى المهندسون حتى لا يختلط الرمز مع رمز شدة التيار 1). الصورة القطبية والعكس. أجد حاصل ضرب الأعداد (إرشاد : استعملت كلمة المعاوقة بدلًا من كلمة المقاومة؛ المركبة وقسمتها وأجد ن مجموع وعة الأعداد المستخدمة هنا هي مجموعة الأعداد المركبة، حيث تستعمل كلمة المقاومة في مجموع عة الأعداد الحقيقية). جذورها وقواها في الصورة القطبية المفردات المستوى المركب complex plane المحور الحقيقي real axis المحور التخيلي imaginary axis لأن من A فولت عالي الصورة القطبية للأعداد المركبة الجزء الحقيقي للعدد المركب المعطى على الصورة الديكارتية a + bi ، هو a والجزء التخيلي bi . ويمكنك تمثيل العدد المركب على المستوى المركب بالنقطة ) كما هو الحال في المستوى الإحداثي، فإننا نحتاج إلى محورين لتمثيل العدد المركب، ويُعيَّنُ الجزء الحقيقي على محور أفقي يُسمى المحور الحقيقي ويرمز له بالرمز R ، في حين يُعينُ الجزء التخيلي على محور (R) الحقيقي رأسي يُسمى المحور التخيلي ويرمز له بالرمز ة .. القيمة المطلقة لعدد مركب في العدد المركب 0 at (لاحظ أن 0 = . يكون الناتج عددًا حقيقيا يمكن تمثيله absolute value of a complex number (1) التخيلي المستوى المركب على خط الأعداد أو على المحور الحقيقي. وعندما 0 b ، فإننا سنحتاج إلى المحور التخيلي لتمثيل الجزء التخيلي. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 (1) التخيلي a a+bi (a, b) (1) التخيلي (R) الحقيقي 0+ (R) الحقيقي الصورة القطبية polar form الصورة المثلثية trigonometric form المقياس modulus السعة argument تذكر أن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هيا المسافة بين ذلك العدد والصفر على خط الأعداد، وبالمثل، فإن الجذور النونية للعدد واحد القيمة المطلقة لعدد مركب هي المسافة بين العدد والصفر في المستوى المركب. وعند تمثيل العدد a + bi في المستوى المركب فإنه بالإمكان حساب بعده عن الصفر باستعمال نظرية فيثاغورس nth roots of unity مفهوم أساسي القيمة المطلقة لعدد مركب القيمة المطلقة للعدد المركب a + bi = = هي: (a, b) a R || = a + bil = Va + b الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 26

www.icn.edu.sa الأعداد المركبة ونظرية ديموافر Complex Numbers and De Moivre's Theorem 6-3 فيما سبق درست إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة (مهارة سابقة) والان لماذا ؟ يستعمل مهندسو الكهرباء الأعداد المركبة لوصف بعض العلاقات في الكهرباء فالكميات فرق الجهد V، والمعاوقة 2، وشدة التيار I ترتبط بالعلاقة V = 1. Z ، التي تستعمل لوصف تيار متردد. ويمكن كتابة كل متغير على صورة عدد أحول الأعداد المركبة من مركب على الصورة a + bj ، حيث العدد التخيلي (ويستعمل الصورة الديكارتية إلى المهندسون حتى لا يختلط الرمز مع رمز شدة التيار 1). الصورة القطبية والعكس. أجد حاصل ضرب الأعداد (إرشاد : استعملت كلمة المعاوقة بدلًا من كلمة المقاومة؛ المركبة وقسمتها وأجد ن مجموع وعة الأعداد المستخدمة هنا هي مجموعة الأعداد المركبة، حيث تستعمل كلمة المقاومة في مجموع عة الأعداد الحقيقية). جذورها وقواها في الصورة القطبية المفردات المستوى المركب complex plane المحور الحقيقي real axis المحور التخيلي imaginary axis لأن من A فولت عالي الصورة القطبية للأعداد المركبة الجزء الحقيقي للعدد المركب المعطى على الصورة الديكارتية a + bi ، هو a والجزء التخيلي bi . ويمكنك تمثيل العدد المركب على المستوى المركب بالنقطة ) كما هو الحال في المستوى الإحداثي، فإننا نحتاج إلى محورين لتمثيل العدد المركب، ويُعيَّنُ الجزء الحقيقي على محور أفقي يُسمى المحور الحقيقي ويرمز له بالرمز R ، في حين يُعينُ الجزء التخيلي على محور (R) الحقيقي رأسي يُسمى المحور التخيلي ويرمز له بالرمز ة .. القيمة المطلقة لعدد مركب في العدد المركب 0 at (لاحظ أن 0 = . يكون الناتج عددًا حقيقيا يمكن تمثيله absolute value of a complex number (1) التخيلي المستوى المركب على خط الأعداد أو على المحور الحقيقي. وعندما 0 b ، فإننا سنحتاج إلى المحور التخيلي لتمثيل الجزء التخيلي. وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 (1) التخيلي a a+bi (a, b) (1) التخيلي (R) الحقيقي 0+ (R) الحقيقي الصورة القطبية polar form الصورة المثلثية trigonometric form المقياس modulus السعة argument تذكر أن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هيا المسافة بين ذلك العدد والصفر على خط الأعداد، وبالمثل، فإن الجذور النونية للعدد واحد القيمة المطلقة لعدد مركب هي المسافة بين العدد والصفر في المستوى المركب. وعند تمثيل العدد a + bi في المستوى المركب فإنه بالإمكان حساب بعده عن الصفر باستعمال نظرية فيثاغورس nth roots of unity مفهوم أساسي القيمة المطلقة لعدد مركب القيمة المطلقة للعدد المركب a + bi = = هي: (a, b) a R || = a + bil = Va + b الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 26

0 = Tan - 1 4 + = Tan -1 ( ) + 1 = 2.21 0 = = Tan-1 = Tan - 13 ≈0.41 مثال 2 الأعداد المركبة بالصورة القطبية غير عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: صيغ التحويل 0 > a a=-6,b=8 -6+8i (a أوجد المقياس 7 والسعة 6. r = √√a² + b² = √(-6)²+82 = 10 لذا فإن الصورة القطبية للعدد 68 هي 2.21 cos 2.21 + (sin)10 تقريبا. صيغ التحويل، 0 < a a=4,b=√√3 بسط 4+ √√3i (b r = √a² + b² = √√4² + (√√3)2 = √194.36 إرشاد تقني لذا فإن الصورة القطبية للعدد 3 هي 0.41 cos 0.41 + isin)4.36 تقريباً. تحقق من فهمك عبر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية : 9+7i (2A -2-2i (2B ويمكنك استعمال الصورة القطبية لعدد مركب ؛ لتمثيله في المستوى القطبي باستعمال (6) كإحداثيات قطبية للعدد المركب. كما يمكنك تحويل عدد مركب مكتوب على الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية، وذلك باستعمال قيم ٢ ، وقيم النسب المثلثية للزاوية 0 المعطاة. مثال 3 تمثيل الصورة القطبية لعدد مركب وتحويلها إلى الصورة الديكارتية تحويل الأعداد المركبة: مثل العدد ( 3cos + i sin = 2 في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية. يمكن تحويل عدد مركب من الصورة القطبية إلى لاحظ أن قيمة " هي 3، وقيمة 0 هي . الصورة الديكارتية باستعمال الحاسبة البيانية من تطبيق الحاسبة، بفتح صفحة تطبيق الحاسبة وإدخال العبارة على الصورة القطبية ثم اختيار eater مع مراعاة إعدادات الآلة الحاسبة بحيث تعطي الصورة القطبية عين الإحداثيات القطبية (3) . ولكتابة العدد على الصورة الديكارتية أوجد القيم المثلثية، ثم بسط. الصورة القطبية 3(cos + i sin 7) = + 3√√3 = + بإيجاد قيم الجيب، وجيب التمام خاصية التوزيع 0 2 27 3, 3 (3.) 6 117 6 47 3 37 3 5 6 7π T وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 3√√3 فتكون الصورة الديكارتية للعدد ( cos 3 + i sin) 3 = 2 هي 1 + 33 - تحقق من فهمك مثل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية: z= 4 (cos 5 + i sin a 5π (38) 5/cos 37 + i sin الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 28

ضرب الأعداد المركبة وقسمتها وإيجاد قواها وجذورها تُعدّ الصورة القطبية للعدد المركب، وصيغ المجموع، والفرق لكل من دالتي الجيب وجيب التمام مفيدة للغاية في ضرب الأعداد المركبة وقسمتها. ويمكن اشتقاق صيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية على النحو الآتي: (62) r(cos 6 + i sin 61) • r2(cos 62 + i sin = 122 الصورة القطبية للعددين المركبين 21-22 = rr2 (cos 6, cos 62 + i cos 6 sin 02 + i sin 6, cos 62 + 12 sin 6 sin (62) =1172[(cos ₁ cos 02 - sin ₁ sin 02) + (i cos 0₁ sin 02 + i sin 0₁ cos 0₂)] = rr2[(cos 60, cos 02 - sin 0 sin 02) + i (cos 6, sin 62 + sin 0, cos 02)1 = rr2[cos(61 + 62) + i sin(61 + 62) فك الأقواس جمع الحدود التخيلية والحقيقية، واستبدل 17 بـ 1- أخرج : عاملا مشتركا متطابقتا جيب المجموع، وجيب تمام المجموع ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية وقسمتها مفهوم أساسي للعددين المركبين (0) rcos 2 + i sin 02 ، 21 = r(cos 01 + i sin = 22 ، فإن صيغة الضرب صيغة القسمة 2122 = rr2 [cos(0 + 02) + i sin(0, + 02) = 12 [cos(01-02)+i sin(01-02)] ، حيث 0 22 ، 120 سوف تبرهن صيغة القسمة في التمرين 51 لاحظ أنه عند ضرب عددين مركبين، فإنك تضرب المقياسين وتجمع السعتين، وعند القسمة فإنك تقسم المقياسين وتطرح السعتين. ضرب الأعداد المركبة على الصورة القطبية مثال 4 + cos) C) 2 على الصورة القطبية، ثم عبر عنه + i sin 5).4(cos أوجد ناتج com + ising) بالصورة الديكارتية. 2 (cos 57 + i sin ) . 4 (cos 2 + i sin - = 8(cos 11T = = 2(4)[cos ( 6 +i sin + ) ( + ) + i sin | 5 + 117 العبارة المعطاة صيغة الضرب بسط والآن أوجد الصورة الديكارتية للناتج. 11 117 + i sin isin) 6 = 8 (√3-11) = 4√√3-4i الصورة القطبية أوجد قيم الجيب وجيب التمام خاصية التوزيع 117 cos) 8 ، والصورة الديكارتية 4 - 43. فتكون الصورة القطبية للناتج / i sin + تحقق من فهمك 6 أوجد الناتج على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية لكل مما يأتي: (cos 3 + i sin ) . (cos 1 + i sin ) (4 37 27 (cos + i sin ) . 2(cos + i sin ) (48 كما تقدم في فقرة "لماذا؟"، فإنه يمكن استعمال قسمة الأعداد المركبة للتعبير عن العلاقات في الكهرباء وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 3-6 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر 202946

الربط مع الحياة مهندسو الكهرباء يطور مهندسو الكهرباء تكنولوجيا جديدة لصناعة نظام تحديد المواقع والمحولات العملاقة التي تُشغل مدنا كاملة ومحركات الطائرات وأنظمة الرادار والملاحة، كما أنهم يعملون على تطوير منتجات متعددة مثل الهواتف المحمولة والسيارات والرجل الآلي. 30 مثال 5 من واقع الحياة قسمة الأعداد المركبة على الصورة القطبية كهرباء: إذا كان فرق الجهد V في دائرة كهربائية يساوي ،150V، وكانت معاوقتها Z تساوي 2 ([(0,46) cos (0.46) + j sin] 35)، فأوجد شدة التيار 1 في الدائرة على الصورة القطبية باستعمال المعادلة 1.2 = V. اكتب العدد 150 على الصورة القطبية. r = V1502 + 02 = 150, 0 = Tan - 1 2 =0 150 150 = 150 (cos 0 + j sin (0) حل V = 1.2 بالنسبة لـ 1 . المعادلة الأصلية اقسم كل طرف على Z I. Z=V V 1 = 150 (cos 0 + ) sin (0) V = 150 (cos 0 + j sin (0) I = Z=3√√5 [cos (-0.46) + j sin (-0.46)] 3√√5 [cos(-0.46)+j sin(-0.46)] 150 صيغة القسمة I = 3√√5 (cos [0 (-0.46)] + j sin [0 - (-0.46)]} 1 = 10 V5 (cos 0.46 + j sin 0.46) بسط أي أن شدة التيار تساوي 0.46) cos 0.46 + j sin) 5 10 أمبير تقريباً. تحقق من فهمك (5) كهرباء : إذا كان فرق جهد دائرة كهربائية 120V ، وكانت شدة التيار (6) + (8) أمبير ، فأوجد معاوقتها على الصورة الديكارتية. يعود الفضل في حساب قوى الأعداد المركبة وجذورها للعالم الفرنسي ديموافر، وقبل حساب قوى الأعداد المركبة وجذورها، فإن من المفيد كتابة العدد المركب على الصورة القطبية بإمكاننا استعمال صيغة ضرب الأعداد المركبة لتوضيح النمط الذي اكتشفه ديموافر. أولا: أوجد 22 من خلال الضرب 202. 2 - 2 = r(cos 6 + i sin (0) . r (cos 6 + i sin 0 22 = 12 [cos (0 + 6 + i sin (0 + 01 22 r2(cos 20+ i sin 20) والآن أوجد 23 بحساب 22.2 . 22. 2 = (cos 20 + i sin (20) • r(cos 6 + i sin 0 z33 [cos (20+0) + i sin (20 + 0)] z33 (cos 30+ i sin 30) اضرب صيغة الضرب بسط اضرب صيغة الضرب بسط لاحظ أنه عند حساب القوة النونية للعدد المركب، فإنك تجد القوّة النونية لمقياس العدد، وتضرب السعة في " . الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

ويمكن تلخيص ذلك على النحو الآتي: نظرية نظرية ديموافر إذا كان (0) cos) 0 + i sin) = = عددًا مركبًا على الصورة القطبية، وكان " عددًا صحيحًا موجبا، فإن: . " = [r(cos 0 + i sin 0)]" = r"(cos n0 + i sin n0) مثال 6 نظرية ديموافر 0 = Tan - 1 -1 = Tan - 143 a=4,b= 4√3 = √√4² + (4√3)2 = Tan-13 = بسط بسط فتكون الصورة القطبية للعدد 473 + 4 هي ( cos 3 + i sin) . والآن استعمل نظرية ديموافر؛ لإيجاد القوة السادسة. = √16+48 تاريخ الرياضيات إبراهام ديموافر (1754-1667) رياضي فرنسي عُرف بالنظرية المسماة باسمه، وكتابه عن الاحتمالات Doctrine of Chances . وبعد ديموافر من الرياضيين الرواد في الهندسة التحليلية والاحتمالات. هو أوجد (44) بالصورة القطبية، ثم عبر عنه بالصورة الديكارتية. أولا: اكتب 43 + 4 على الصورة القطبية. r = Va2 + b2 صيغ التحويل = 8 (4+4√/30)= [(+sin sin 3)] =86 [cos 80s 6(3)+sin 6 ( =262144 (cos 2π + i sin 2π) = 262144(1+0) = 262144 أي أن 262144 = 436 + 4). تحقق من فهمك أوجد الناتج في كل مما يأتي، وعبّر عنه بالصورة الديكارتية : (1+√31) (6A الصورة القطبية نظرية ديموافر بسط أوجد قيمتي الجيب وجيب التمام بسط (2√3-21)8 (6B يوجد للمعادلة 256 = x4 حلان في مجموعة الأعداد الحقيقية هما 4 ,4. ويُظهر - مراجعة المفردات التمثيل البياني المجاور للمعادلة 256 - y = x4 وجود صفرين حقيقيين عند 4,4 = x ، بينما في مجموعة الأعداد المركبة فإن لهذه المعادلة حلين حقيقيين، النظرية الأساسية في الجبر كل معادلة كثيرة حدود درجتها وحلين مركبين. أكبر من صفر لها جذر واحد على الأقل ينتمي إلى مجموعة درست سابقاً نتيجة النظرية الأساسية في الجبر، والتي تنص على وجود " صفرا المعادلة كثيرة الحدود من الدرجة 11 في مجموع عة الأعداد المركبة؛ لذا يكون للمعادلة الأعداد المركبة. (-4,0 -120- (4.0) -8 -4 101 4 8x 120- (0,-256) 256 = x4 التي تكتب على الصورة 0 = 256 - 4 أربعة حلول أو جذور مختلفة، وهي 44441 وبشكل عام، فإنه يوجد " جذر نوني مختلف لأي عدد مركب لا يساوي الصفر حيث 2 2 1 ، بمعنى أنه لأي عدد مركب جذران تربيعيان وثلاثة جذور تكعيبية وأربعة جذور رباعية...، وهكذا. وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 3-6 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر 20311446

32 ولإيجاد جميع جذور عدد مركب يمكن أن تستعمل نظرية ديموافر للوصول إلى الصيغة الآتية: الجذور المختلفة مفهوم أساسي لأي عدد صحيح 2 1 ، فإن للعدد المركب ) i sin + من الجذور النونية المختلفة، ويمكن إيجادها باستعمال الصيغة : (C 0 + 27 6 + 2ka TCOS + i sin n k = 0, 1, 2, ..., 11-1 ويمكننا استعمال هذه الصيغة لجميع قيم k الممكنة، إلا أنه يمكننا التوقف عندما 1 - k = n ، وعندما يساوي العدد 1، أو يزيد عليه تبدأ الجذور بالتكرار، كما يظهر في المعادلة: 0 + 2711 + 27 12 وهي مطابقة للزاوية التي تنتج عندما 0 = k مثال 7 جذور العدد المركب أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب 41 - 4 - . على الصورة القطبية. أولا: اكتب 41 - 4 - . 5 -4-4i √√32 cos: + i sin 5) 4 والآن اكتب الصيغة للجذور الرباعية. 57 5 + 2k + i sin 4 4 2kπ' 57 + i sin + 16 r= - = V ( -42 + (-12 = 132,0 = Tan 1 1 + 1 = 5π ===(√32) (√32) (cos +2 (v بسط 5π =√32 cos 1320001 + 16 ثانيا : لإيجاد الجذور الرباعية، عوض 123 = . k = 0 32205 + 5π 16 2 (0)π). 5π 2(0) T + i sin + 16 4 = 32 cos +i sin 57 0.86 +1.28i 16 16 k = 1 32 | 005 + 5π 2(1)π 16 5π 2(1)π + i sin + 16 4 = √32 137 COS + i sin 16 137 16 -1.28+0.86i k = 2 32 cos + 5π 2(2)π 16 + i sin 4 57 16 2(2) + =√32 (cos- 217 16 + i sin a = -0.86 - 1.28 16 k = 3 5π 2(3)π 32c05 + 16 + i sin + 4 57 2(3)π 16 4 = √32 COS + i sin 297 16 29π 16 = 1.28 -0.86i الجذر الأول الجذر الثاني الجذر الثالث الجذر الرابع الجذور الرباعية للعدد 4 - 4- هي : 0.86 - 1.28.28 - 0.86- ,i, 1.28 + 0.86i 1.28 + 0.86 تحقق من فهمك أوجد الجذور التكعيبية للعدد 2 + 2 (78) أوجد الجذور التكعيبية للعدد 8 وزارة التعليم الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة Ministry of Education 2024-1446

لاحظ أن الجذور الأربعة التي أوجدناها في المثال 7 تقع على دائرة. فإذا نظرنا إلى الصورة القطبية لكل جذر، نجد أن لكل منها مقياسًا قيمته (1.54 = 32 ) ويمثل نصف قطر الدائرة. كما أن المسافات بين الجذور على الدائرة متساوية، وذلك نتيجة للفرق الثابت بين قيم السعة؛ إذ يساوي . تحدث إحدى الحالات الخاصة عند إيجاد الجذور النونية للعدد 1، فعند كتابة 1 على الصورة القطبية، فإننا نحصل على 1 = r وكما ذكرنا في الفقرة السابقة، فإن مقياس (0.86, 1.28) 10 (-1.28, 0.86) (-0.86,-1.28)(1.28, -0.86) الجذور هو طول نصف قطر الدائرة الناتجة عن تمثيل الجذور في المستوى المركب؛ لذا فإن الجذور النونية للعدد واحد تقع على دائرة الوحدة. مثال 8 الجذور النونية للعدد واحد إرشادات للدراسة. أوجد الجذور الثمانية للعدد واحد. أولا: اكتب 1 على الصورة القطبية. الجذور النونية لعدد مركب يكون للجذور المقياس نفسه وهو " . . سعة الجذر الأول . ثم تزداد للجذور الأخرى على التوالي بإضافة 27 . r = V12 + 10 = 1, 0 = Tan - 1 1 = 0 1 = 1 . (cos 0 + i sin (0) والآن اكتب الصيغة للجذور الثمانية. 1 1 1 (cos 0+ 2k 8 0 + 2k + i sin 8 = cos + i sin 4 4 1 = 1 = '8 = " 10 = 0 بسط ثانيًا : افترض أن 0 = k لإيجاد الجذر الأول للعدد 1 11(0) (0) عد k = 0 COS + i sin 4 4 = cos 0 + i sin 0 = 1 الجذر الأول لاحظ أن مقياس كل جذر هو ،1 ويمكن إيجاد سعة الجذر الحالية بإضافة إلى سعة الجذر السابق. COS 1 + i sin = + i as 1 + i sin 1 = i COS COS 3+ i sin 3 == 2 √2 + 2 √2 i cos T + i sin T = -1 COS + i sin 5 4 √2 == i 2 2 37 COS + i sin 37 =-i 2 2 7π 7π COS +i = i الجذور الثمانية للعدد 1 هي : 1/2 - 12 - 2 كما هو موضح في الشكل أعلاه تحقق من فهمك 8 أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد. الجذر الثاني الجذر الثالث الجذر الرابع الجذر الخامس الجذر السادس الجذر السابع الجذر الثامن 2 - 2 10 2R (88) أوجد الجذور السداسية للعدد واحد. وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 3-6 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر 2033446

تدرب وحل المسائل أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبر عنه بالصورة مثل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة: (مثال (1) الديكارتية المثالان (45) 6 (cos + i sin ) 4 (cos + i sin ) (18 . 5 (cos 135° + i sin 135°) 2 (cos 45° + i sin 45°) (19 3 (cos + i sin ) : (cos m + i sin ) (20 2 (cos 90° + i sin 90°). 2(cos 270° + i sin 270°) (21 z = 4+4i (1 z=-3+i (2 z=-4-6i (3 z=2-5i (4 z = -7 +5i (5 z=8-2i (6 (7) متجهات تُعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة 15 + 10 = 2 ، حيث تُقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N). (مثال (1) ) مثل : كمتجه في المستوى المركب. أوجد طول المتجه واتجاهه. عبر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية (مثال (2) 4+4i (8 -2+1 (9 3 (cos + i sin ) 4 (cos 2 + i sin 2) (22 + isin 4c05 (co ) + 201 2) ÷ 2 (cos + i sin 3) (23 (cos 60° + i sin 60°) 6(cos 150° + i sin 150°) (24 6/cos + i sin in 3) ÷ +2(cos +sin) (25 5 (cos 180° i sin 180°). 2 (cos 135° + i sin 135°) (26 (cos 3 + 1sing) + 300 + 1sin أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية، ثم عبر عنه بالصورة الديكارتية (مثال (6) (2+2√√31)6 (28 [4(cos + + i sin n)] (29 (2+3)-2 (30 [2(cos 1 + i sin 4- √2i (10 2-2i (11 4+5i (12 -1-√√3i (13 مثل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبر عنه بالصورة (32) تصميم: يعمل سالم في وكالة للإعلانات. ويرغب في تصميم الديكارتية (مثال (3) 4(cos + i sin ) (14 117 i (cos + sin x) (15 6 6 2(cos + sin(16 47 3 i . (cos 360° + i sin 360) (17 لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبين أدناه. ويستطيع تعيين رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة 0 = 1 - x6 في المستوى المركب. أوجد رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية (مثال (7) وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 34

أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي: المثالان (78) (33) الجذور السداسية للعدد : (34) الجذور الرباعية للعدد 4 - 43 (35) الجذور التربيعية للعدد 41 - 3 - (36) كهرباء : تُعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة 0.92 cos 0.9 + j sin)5، وتُعطى في الجزء الآخر a) حول كلا من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية. اجمع الناتجين في الفرع ؛ لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة. حول المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية. من الدائرة بالعبارة 0.42 cos 0.4 + j sin)8 . (37) كسريات الكسريات شكل هندسي يتكون من نمط مكرر بشكل مستمر، وتكون الكسريات ذاتية التشابه؛ أي أن الأجزاء الصغيرة للشكل لها الخصائص الهندسية نفسها للشكل الأصلي، كما في الشكل أدناه. (38) أوجد العدد المركب 2 إذا علمت أن (1-1) هو أحد جذوره الرباعية ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى. حُلّ كلًا من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة: x3 = i (39) x4 = 811 (40 x3 + 1 = i (41 مسائل مهارات التفكير العليا (42) اكتشف الخطأ يحسب كل من أحمد وباسم قيمة 5 1 + - - - - فيستعم . فيستعمل أحمد نظرية ديموافر ويحصل على الإجابة i sin + . Cos 6 . ويقول باسم بأن أحمد قد أنجز جزءا من المسألة فقط. أيهما إجابته صحيحة ؟ برر إجابتك. تحد أوجد الجذور المحدّدة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة القطبية، ثم عين العدد المركب الذي له هذه الجذور. 5 6 6 o R 37 2 (43 31 (44 4 R 57 77 4 4 وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 3-6 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر 20356 في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلال تكرار z2 = (2)، حيث . 20 = 0.8 + 0.5i 2₁ = f(z)21, 22, 23, 24, 25, 26 (a (21)f = 22 ، وهكذا. مثل كل عدد في المستوى المركب. صف النمط الناتج .

(45) برهان: إذا كان r(cos 6 + isin = 21 ، (4) r(cos 4 + i sin = 22 ، حيث 0 # r ، فأثبت أن 2 = - [cos (0₁₂) + i sin (0₁ - 0₂)] (46) تحد اكتب 36 cos بدلالة 6 cos مستعملا نظرية ديموافر. إرشاد: أوجد قيمة 03 cos) + i sin) مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين تدريب على اختبار 130 أي مما يأتي يمثل A وطوله، A(3,4,-2), B(-5, 2, 1) 35 13! (-8,-2, 3), √√77 A (8,-2, 3), √77 B (-8,-2, 3), 109 C (8,-2, 3), 109 D (47) اكتب وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب (0) r(cos 6 + i sin = 2 ، حيث 11 عدد صحيح مو - 137 ما المسافة بين النقطة (3) والنقطة (67) مراجعة تراكمية مثل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي: (الدرس 1-6) Q(4,5) (48 3.97 A 4.97 B 5.97 C 6.97 D P(4.5, -210°) (49 اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية (الدرس (2-6) (x-3)2+y2 9 (50 x2 + y2 = 2y (51 (58) أي مما يأتي يمثل تقريبا الصورة القطبية للعدد المركب 214 - 20؟ 29 (cos 5.47 + i sin 5.47) A 29 (cos 5.52+ i sin 5.52) B. 32 (cos 5.47+ i sin 5.47) C 32 (cos 5.52 + i sin 5.52) D أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يأتي: (الدرس 1-6) (2.). (5.) (32 (1,-45°), (-5, 210°) (53 حول الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي إلى إحداثيات ديكارتية: (الدرس (2-6) (5.) (54 (4,210°) (55 36 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة ملخص الفصل مفاهيم أساسية الإحداثيات القطبية ( الدرس (1-6) يُعين موقع النقطة (8) (r) في نظام الإحداثيات القطبية باستعمال المسافة المتجهة r والزاوية المتجهة 6 . • المسافة بين النقطتين (02 2012 ,01 r) في المستوى القطبي هي: PP2 = Vri + 13 - 2012 cos (02 - 01) المفردات نظام الإحداثيات القطبية ص 10 القطب ص 10 المحور القطبي ص 10 الإحداثيات القطبية ص 10 المعادلة القطبية ص 12 المحور التخيلي ص 26 القيمة المطلقة لعدد مركب ص 26 الصورة القطبية ص 27 الصورة المثلثية ص المقياس ص 27 السعة ص 27 27 التمثيل القطبي ص 12 المستوى المركب ص 26 الجذور النونية للعدد واحد ص 33 المحور الحقيقي ص 26 90° 120° 60° 150° P₂(1,0₂) 0° 210° 330° 240° 270° 300° اختبر مفرداتك اختر المفردة المناسبة من القائمة أعلاه لإكمال كل جملة مما يأتي: الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات ( الدرس (2-6) . الإحداثيات الديكارتية للنقطة (0) هي ( cos sin ) . (1 . هو مجموعة كل النقاط (0) (r) التي تحقق معادلة قطبية معطاة. . لتحويل إحداثيات نقطة ( ) من الإحداثيات الديكارتية (2) المستوى الذي يحوي محوراً يمثل الجزء الحقيقي، وآخر يمثل إلى الإحداثيات القطبية استعمل المعادلات 2 + x2 = ۲ 1 - Tan = 0 ، عندما 0 ( x ، أو 1 + 1 Tan = 0 الجزء التخيلي هو . (3) يُحدد موقع نقطة في . باستعمال المسافة المتجه من نقطة ثابتة إلى النقطة نفسها وزاوية متجهة من محور ثابت عندما 0 > x . الأعداد المركبة ونظرية ديموافر (الدرس (3-6) . الصورة القطبية أو المثلثية للعدد المركب a + bi هي (0) r (cos 8 + i sin . . صيغة الضرب العددين مركبين 21، 22 هي: . صيغة القسمة لعددين مركبين 21، 22 هي: 02122 = rr2 [cos (01 + 02) + i sin (61 + 62)] 12 Icos (01-02) + i sin (01-02)], r2 +0 22 . تنص نظرية ديموافر على أنه إذا كانت z = r (cos 6 + isi هي الصورة القطبية لعدد مركب فإن z"=" (cos no + i sin n0) حيث " عدد صحيح موجب. الجذور المختلفة : لأي عدد صحيح 2 ، فإن للعدد المركب (0) cos 0 + i sin) ، من الجذور النونية المختلفة ويمكن إيجادها باستعمال الصيغة : rifcos! 0 + 2k 0+2kT + i sin 11 11 k = 0, 1, 2, ..., 11-1 هي الزاوية 6 لعدد مركب مكتوب على الصورة (4) r(cos + i sin 0) (5) تُسمى نقطة الأصل في نظام الإحداثيات القطبية بـ . (6) تُسمى القيمة المطلقة لعدد مركب بـ . (7 (8 اليمين هو اسم آخر للمستوى المركب. هو نصف مستقيم ممتد من القطب، ويكون أفقيا باتجاه وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة 20370

دليل الدراسة والمراجعة الفصل 6 مراجعة الدروس 6-1 الإحداثيات القطبية ( الصفحات 10 - 16) قلل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي W(-0.5, -210) (9 Y(4,-120°) (11 مثال 1 مثل المعادلة 5 = r بيانيا في المستوى القطبي. حلول المعادلة 5 = r هي الأزواج المرتبة (5) ، حيث 0 أي عدد حقيقي. ويتكون التمثيل من جميع النقاط التي تبعد 5 وحدات عن القطب، لذا فإن التمثيل هو دائرة مركزها القطب، وطول نصف قطرها x(1.5.) (10 Z(-3, 5) (12 .5 T 57 27 2 3 3 6 57 71 4π 6 117 6 57 3 (5, 3) 3 0 مثل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانيا: r = √(14 0 = 11π (16 8 = - 60° (13 r = 7 (15 أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط مما يأتي: (-3,60°), (4, 240°) (18 (5.). (2.) (17 (7,5), (2, (20 (-1,-45°), (6,270°) (19 47 3 6-2 الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات الصفحات 17 - 25) مثال 2 أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة اكتب المعادلة r = cos على الصورة الديكارتية، ثم حدد نوع تمثيلها بالإحداثيات الديكارتية في كل مما يأتي، حيث 27 = 0 - 27 البياني. المعادلة الأصلية اضرب الطرفين في ٢ x = rcos 6, r² = x²+ y² r = 2 cos 0 2 = 2r cos x2 + y2 = 2x (-1,5) (21 (3,7) (22 (1,2) (23 0 = x2 + y2 - 2x اطرح 2x من الطرفين اكتب كل معادلة على الصورة الديكارتية، وحدد نوع تمثيلها البياني: أي أن الصورة القياسية للمعادلة r = 5 (24 r = 4 sin 6 (25) r = 6 sec 0 (26 r= CSC (27 هي : 1 = x - 12 + y)، وهي معادلة دائرة مركزها (10) وطول نصف قطرها 1. 0 5 6 1r = 2 cost 6 11 6 وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 4π 37 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة 38

الأعداد المركبة ونظرية ديموافر الصفحات 26 - 36) مثال 3 6-3 مثل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة: مثل 61 - 4 في المستوى المركب، ثم عبر عنه بالصورة القطبية. -87- +4 -8 on 4 8R -4 (4.-6 أوجد المقياس. صيغة التحويل r = √a² + b² a = 4, b = -6 = V42 + (6)2 = 213 صيغة التحويل 4 = 4,b = -6 0 = Tan-11 = = Tan-1 (-4) =-0.98 أوجد السعة. z = 4i (29 z=6-3i (31 2 = 3 - 1 (28) z = -4+ 2i (30 عبر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية: -5+8i (33 √2+ √2i (35 3+ √2i (32 -4-√√3i (34 مثل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبر عنه بالصورة الديكارتية: = 3 (cos + i sin ) (36 z= 2 = 5 (cos 3 + i sin 5(c+sin(7 = = 2 (cos + i sin ) (38 57 z = 4 (cos + i sin 5) (39 أوجد الناتج في كل مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبر عنه بالصورة الديكارتية: COS بسط فتكون الصورة القطبية للعدد 6 - 4 هي: 2√13 [(cos(-0.98) + i sin(-0.98)] مثال 4 أوجد ناتج ( cos 1 + i sin ) . 5 (cos 2 + i sin) 3 على الصورة القطبية، ثم حوله إلى الصورة الديكارتية. - cos 1 + i sin) 3 العبارة المعطاة | 3(cos+isin)-5(cos + sin 2) 2 . = (3.5) [cos (+7) | =15[cos (17 -150s ()+isin) 6 + i sin sin(+)] + i sin 5). 4 (cos + i sin ) (40 8 (cos 225 + i sin 225°). (cos 120° + i sin 120°) (41 5( cos 1 + i sin in 7) ÷ 1/3 (cos - + 1 ) 6(cos 210° i sin 210°) ÷ 3 (cos 150° + i sin 150°) (43 (42 + i sin صيغة الضرب بسط والآن أوجد الصورة الديكارتية لناتج الضرب. 15 cos (17) + i sin 12 177 12 = 15[-0.26+ i(-0.966) 3.9 14.5i الصورة القطبية أوجد قيمتي الجيب وجيب التمام خاصية التوزيع فتكون الصورة الديكارتية لناتج الضرب 14.5 - 3.9 - تقريبًا. وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة 2039 (44) أوجد قيمة 4 + 2 بالصور القطبية، ثم اكتبه على الصورة الديكارتية. (45) أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب 1 + 1 .

الفصل 6 دليل الدراسة والمراجعة تطبيقات ومسائل (46) ألعاب قسمت لوحة السهام إلى 3 مناطق كما هو موضح في (49) كهرباء : تُصمَّم معظم الدوائر الكهربائية لتتحمل فرق جهد قدره الشكل أدناه، بحيث يحصل اللاعب على 100 نقطة عند إصابته المنطقة القريبة من القطب وعلى 50 نقطة عند إصابته المنطقة المتوسطة، و 20 نقطة عند إصابته المنطقة البعيدة (الدرس 1-6) 0° 90° 120° 60° 150° 30° 180° 210° 330° 20- 240° 300° 270° إذا أصاب اللاعب النقطة (3.565) ، فما عدد النقاط التي يحصل عليها ؟ حدد موقعين، بحيث يحصل اللاعب على 50 نقطة عند إصابة أي منهما ؟ (47) حدائق: تستعمل شركة عناية بالحدائق رشاشا قابلا للتعديل، ويستطيع الدوران 360 ، ويروي منطقة دائرية طول نصف قطرها 20ft الدرس (61) مثل المنطقة التي يستطيع الرشاش ريَّها في المستوى القطبي. ) أوجد مساحة المنطقة التي يستطيع الرشاش ريها، إذا ضبط ليدور في الفترة 210 ≥ 0 ≥ 30 (48 عجلة دوارة يمكن تمثيل مسار العجلة الدوّارة في الشكل أدناه بالمعادلة 0 r = 50 sin ، حيث r بالقدم (الدرس (2-6) .220V للفرعين a b استعمل المعادلة 1.2 = V ، حيث فرق الجهد V بالفولت، والمعاوقة 2 بالأوم، وشدة التيار I بالأمبير (قرب إلى أقرب جزء من عشرة) (الدرس (3-6) إذا كانت شدة التيار المار بالدائرة (25) أمبير، فأوجد المعاوقة. إذا كانت معاوقة الدائرة 32 - (1) ، فأوجد شدة التيار. (50) تحويل جوكوسكي (lowkoski) : يُعين تحويل جوكوسكي لكل عدد مركب (0) r (cos) 0 + i sin = 2 عددًا مركبا 20 يُعطى بالصيغة 1 + 2 = 70 . أوجد صورة العدد المركب ( cos f + i sin) = 2 وفق هذا التحويل (الدرس (3-6) 201 3 2 3 57 6 T 6 EO 20 40 0 77 = 50sin 0 11 6 6 4π 3 37 57 3 عين الإحداثيين القطبيين لموقع راكب إذا علمت أنه يقع عند = . (قرب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر). عين الإحداثيين الديكارتيين لموقع الراكب مقربا إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر. إذا وقع القطب على سطح الأرض، فما ارتفاع ذلك الراكب مقربا إلى أقرب قدم ؟ الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2024-1446 40

الفصل 6 اختبار الفصل أوجد ثلاثة أزواج مختلفة يمثل كل منها إحداثيات قطبية للنقطة P في كل 8 عبر عن المعادلة 49 = 2 + 72 - ) ، بالصورة القطبية. من التمثيلين 12، حيث 27 5 0 1 2 . (1 2π 2 3, ,3 PA 6 0 11" 6 57 6 7π 6 4π 3 37 3 2 9) كهرباء إذا كان فرق الجهد V في دائرة كهربائية 135V، وكانت شدة التيار المار بها 1 هو (4) - (3 أمبير، فأوجد معاوقة الدائرة 2 بالإحداثيات الديكارتية مستعملا المعادلة 102 = V. 10) اختيار من متعدد أي مما يأتي يبين تمثيل العدد المركب الذي إحداثياته الديكارتية (1-3) في المستوى القطبي؟ A C 5 5 6 b 6 Π 4 Эп 3 5% 6 2π T 4 3 37 w IT b 0 5 6 20 3 11% 77 11 6 6 T D 5 6 0 114 7 B 0 6 0 77 11T 6 6 4π 57 3 37 3 2 مثْل بيانيا في المستوى القطبي كلا من المعادلات الآتية: r = 1 (4 0=5 (6 3 0 = 30° (3 r = 2.5 (5 (7) رادار يقوم مراقب الحركة الجوية بتتبع مسار طائرة موقعها الحالي عند النقطة (665) ، حيث r بالأميال. أوجد كل قوة مما يأتي على الصورة الديكارتية، وقرب إلى القرب عدد صحيح إذا لزم الأمر : وزارة التعليم Ministry of Education الفصل 6 اختبار الفصل 204146 (-1+4i)3 (11 (6+1)4 (12 عين الإحداثيين الديكارتيين للطائرة مقربًا الناتج إلى أقرب ميل. إذا وجدت طائرة عند نقطة إحداثياتها الديكارتية (75-50) فعين الإحداثيين القطبيين لها مقربا المسافة إلى أقرب ميل، والزاوية إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر. ما المسافة بين الطائرتين؟ قرب الناتج إلى أقرب ميل.